Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

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1 Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Lucio Demeio Dipartimeto di Igegeria Idustriale e Scieze Matematiche Uiversità Politecica delle Marche 1. Esercizio (31 marzo ). Al proto soccorso di u ospedale si presetao mediamete 5 pazieti all ora, distribuiti secodo la legge di Poisso. Ioltre, la gravità dei casi viee catalogata co quattro codici: rosso, giallo, verde e biaco (i ordie decrescete di gravità). Il codice rosso si preseta R volte su 100, il codice giallo metà volte del rosso, il verde ed il biaco (i proporzioi uguali) metà volte del giallo. Qual è la probabilità che, i u dato itervallo di u ora, si presetio più di due persoe da codice rosso? Soluzioe. Sia X la v.a. che idica il umero di pazieti che arrivao al proto soccorso i u ora. Essedo distribuita secodo la legge di Poisso abbiamo che P (X = k) = e k!. Siao ora X R, X G, X V ed X B le v.a. che idicao il umeri di pazieti i arrivo co codici rispettivamete rosso, giallo, verde e biaco. Siao ioltre R, G, V ed B le frazioi di codice rosso, giallo, verde e biaco su 100 pazieti. Dai dati del problema abbiamo che R + G + V + B = 100 G = R /2 V = B = G /2 La soluzioe del sistema è immediata ed offre R = 50, G = 25, V = B = Le variabili X R, X G, X V ed X B soo pertato distribuite secodo la legge di Poisso co λ R = λ/2, λ G = λ/4 e λ V = λ B = λ/8. La variabile di iteresse è X R, per la quale abbiamo La risposta alla domada è duque P (X R = k) = e λ R λk R k!. P (X R > 2) = k=3 e λ R λk R k! = 1 2 k=0 e λ R λk R k! =

2 2. Esercizio (20 settembre ). Ua fabbrica produce televisori al plasma; sia p la frazioe (assoluta, o percetuale) di televisori difettosi. Esprimere la probabilità che, su u campioe di N televisori, k siao difettosi, usado sia la distribuzioe biomiale che quella di Poisso. Posto, quidi, N = 120 e k = 3, cofrotare i due valori (biomiale e Poisso) per 10 valori di p = 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06, 0.07, 0.08, 0.09 e 0.1, commetado i risultati. Soluzioe. Sia X il umero di televisori difettosi; la variabile segue la legge biomiale di parametri N e p, quidi N P (X = k) = p k (1 p) N k. k Usado Poisso, co λ = N p abbiamo ivece P (X = k) = e k!. Usado i dati del problema co le due distribuzioi otteiamo la seguete tabella: p Prob. Biom. prob. Poisso Esercizio (Lebfevre Cap. 3 Q. 46 p. 108). Il umero di particelle emesse da ua sorgete radioattiva è descritto da ua v.a. X distribuita secodo la legge di Poisso co media λ = l 5 all ora. Da u ora all altra, ioltre, le emissioi soo idipedeti. (i) Calcolare la probabilità che i almeo 30 periodi di u ora, sulle 168 ore di ua settimaa, o ci siao state emissioi di particelle. (ii) Calcolare la stessa probabilità usado u appropriata legge di Poisso. Soluzioe. 2

3 (i) La probabilità che i u ora o ci siao emissioi è data dalla legge di Poisso per k = 0, P (X = 0) = e λ = 1/5. Quidi, idicado co X il umero di periodi di u ora i cui o ci soo emissioi, abbiamo X B(, p) co = 168 e p = 1/5 = 0.2. La risposta pertato è P (X 30) = 168 k= ( 168 (0.2) k (0.8) 138 k = 1 k k k=0 ) (0.2) k (0.8) 138 k 0.78 (ii) Si tratta di approssimare la distribuzioe biomiale del puto precedete co Poisso usado λ = p = = Otteiamo: P (X 30) = k=30 e 29 k! = 1 k=0 e k! Ogi cofezioe di biscotti di gusto occiola cotiee 100 biscotti. Il umero di pezzi di occiole preseti i u sigolo biscotto può essere modellato co ua variabile aleatoria di Poisso di parametro 2. Si chiede: Quato vale la probabilità che u biscotto preso a caso da ua cofezioe cotega più di u pezzo di occiola? Quato vale la probabilità di trovare più di 2 pezzi di occiole (i totale) i due biscotti presi a caso da ua cofezioe? 3. Quato vale la probabilità di trovare più di 160 pezzi di occiole i tutta la cofezioe? 5. Ua persoa prede l autobus per recarsi al lavoro e per torare a casa. Il tempo d attesa al mattio, x, è distribuito uiformemete ell itervallo 0, 5] (i miuti) metre il tempo d attesa serale, y, segue la legge { ay + b, 0 y 10 f(y) = 0 altrimeti calcolare la distribuzioe di x; calcolare a e b; calcolare il tempo medio totale di attesa; calcolare la variaza del tempo medio totale di attesa; calcolare la media e la variaza della differeza tra i tempi di attesa al mattio ed alla sera. 6. U automobilista etra i u parcheggio e vuole parcheggiare la sua automobile i u be preciso posto-auto. Davati a lui ci soo 5 macchie, ciascua co probabilità p = 0.5 di occupare quel posto. Qualè la probabilità che la macchia davati a lui lo occupi? Soluzioe. P (X = 5) = (0.8) 4 (0.2) =

4 7. I u cotrollo a campioe sulle emissioi la probabilità di trovare u automobile fuori orma è di 0.1 %. Qualè la probabilità che si debbao effettuare più di 3 cotrolli prima di trovare ua a orma? Soluzioe. 3 3 P (X > 3) = 1 P (X 3) = 1 P (X = k) = 1 (0.1) k 1 (0.9) = k=1 k=1 8. Uo zoo ha a disposizioe 100 kg di care per sfamare u leoe. La quatità cosumata dal leoe i u gioro è rappresetata da ua variabile casuale di media µ = 5 kg e deviazioe stadard σ = 1 kg. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che la care a disposizioe basti per 21 giori; (ii) suppoiamo che i 10 giori il leoe abbia magiato 60 kg; suppoedo sempre σ = 0.5 kg, determiare l itervallo di cofideza per la media al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la media sia µ = 5 kg? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 5 e σ = 1. Siao X 1, X 2,..., X (co = 21) le variabili he rappresetao il cosumo di care (da parte del leoe) el primo, el secodo,..., el 21-esimo gioro. La care a disposizioe basta se X 1 + X X 100. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X X µ P (X 1 + X X 100) = P σ = 21 P (S 1.09) Φ( 1.09) = 1 Φ(1.09) = La dose di caffè ecessaria per ua tazzia può essere rappresetata da ua variabile casuale X di media µ = 7 gr e scarto quadratico medio σ = 0.5 gr. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che u barattolo da 250 gr sia sufficiete per 36 tazzie; (ii) suppoiamo che per le prime 20 tazzie siao stati usati 140 gr; suppoedo sempre σ = 0.5 gr, determiare l itervallo di cofideza per la dose media al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la dose media sia µ = 7 gr? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 7 e σ = 0.5. Siao X 1, X 2,..., X (co = 36) le variabili che rappresetao le dosi di caffè della prima, della secoda,..., della 36-esima tazzia. 4

5 Il barattolo di caffè a disposizioe basta se X 1 + X X 250. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X X µ P (X 1 + X X 250) = P σ = 36 P (S 0.67) Φ( 0.67) = 1 Φ(0.67) = L ete che gestisce u tratto di autostrada ha sale sufficiete per elimiare u accumulo di 2 metri di eve su tale tratto. Suppoiamo che la quatità di eve che cade i u gioro sia rappresetata da ua variabile casuale X di media µ = 4 cm e deviazioe stadard σ = 0.8 cm. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che il sale a disposizioe basti per 50 giori; (ii) suppoiamo che ei primi 10 giori del periodo siao caduti 50 cm di eve; suppoedo sempre σ = 0.8 cm, determiare l itervallo di cofideza per la media al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la media sia µ = 4 cm? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 4 e σ = 0.8. Siao X 1, X 2,..., X (co = 50) le variabili che rappresetao la quatità di eve della prima, della secoda,..., della 50-esima giorata. La quatità di sale a disposizioe basta se X 1 + X X 200. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X X µ P (X 1 + X X 200) = P σ = 50 P (S 0) Φ(0) = Ua cartoleria ha ua scorta di matite sufficiete per 400 persoe. Suppoiamo che il umero di persoe che si presetao i u gioro sia ua variabile casuale X di media µ = 18 persoe e deviazioe stadard σ = 2 persoe. (i) Usado l approssimazioe ormale, calcolare la probabilità che il umero di matite a disposizioe basti per 22 giori; (ii) suppoiamo che ei primi 10 giori del periodo si siao presetate 240 persoe; suppoedo sempre σ = 2, determiare l itervallo di cofideza per la media gioraliera al 99%; (iii) possiamo acora giustificare che la media sia µ = 18 persoe? Soluzioe. Sia X N (µ, σ 2 ), co µ = 18 e σ = 2. Siao X 1, X 2,..., X (co = 22) le variabili che rappresetao il umero di clieti della prima, della secoda,..., della 22-esima giorata. 5

6 La scorta di matite a disposizioe basta se X 1 + X X 400. Usado l approssimazioe ormale abbiamo che X1 + X X µ P (X 1 + X X 400) = P σ = 22 P (S 0.43) Φ(0.43) Ad u turo elettorale, gli scrutii iiziali eseguiti su uumero di sole 20 sezioi dao per il partito A le segueti percetuali: 35, 60, 55, 40, 49, 52, 39, 46, 55, 45, 70, 10, 22, 34, 44, 62, 58, 57, 43, 20 Determiare gli itervalli di cofideza per il risultato fiale del partito A al 90%, 95% e 99%. Soluzioe. Il rago del campioe è = 20 e dobbiamo usare la distribuzioe di Studet co 19 gradi di libertà. Dalle tavole di Studet abbiamo: t 0.05 (19) = 1.729, t (19) = e t (19) = Dai dati abbiamo X = 44.8 e S 2 = Gli itervalli di cofideza soo pertato: Al 90%: X S t 0.05 (19), X + S ] t 0.05 (19) = 38.93, 50.67] Al 95%: X S t (19), X + S ] t (19) = 37.69, 51.91] Al 99%: X S t (19), X + S ] t (19) = 35.08, 54.52] 13. U isieme di misurazioi del puto di fusioe del piombo forisce i segueti dati, i gradi cetigradi: 330, Suppoedo che i dati provegao da ua popolazioe ormale di variaza icogita, determiare gli itervalli di cofideza al 90%, 95 % e 99% per la media. Soluzioe. Il rago del campioe è = 10 e dobbiamo usare la distribuzioe di Studet co 9 gradi di libertà. Dalle tavole di Studet abbiamo: t 0.05 (9) = 1.833, t (9) = e 6

7 t (9) = Dai dati abbiamo X = e S 2 = Gli itervalli di cofideza soo pertato: Al 90%: X S t 0.05 (9), X + S ] t 0.05 (9) = 329.9, 338.0] Al 95%: X S t (9), X + S ] t (9) = 328.9, 338.9] Al 99%: X S t (9), X + S ] t (9) = 326.8, 341.1] 14. (Ross 7.38) U isieme di misurazioi della capacità di 10 batterie forisce i segueti risultati, i ampere-ora: 140, Stimare la variaza della popolazioe e forire gli itervalli di cofideza al 90%, 95 % e 99%. Soluzioe. Il rago del campioe è = 10 e dobbiamo usare la distribuzioe del χ 2 co 9 gradi di libertà. I valori di α che ci iteressao soo 0.05 e 0.95 per l itervallo al 90%, e per l itervallo al 95%, e per l itervallo al 99%, Dalle tavole del χ 2 abbiamo: La variaza campioaria è S 2 = Gli itervalli di cofideza soo dati dalla formula Livello χ 2 α/2 (9) χ2 1 α/2 (9) 90% % % ] ( 1) S 2 ( 1) S 2 χ 2 α/2 ( 1), ( 1) χ 2 1 α/2 e pertato: Al 90%: 17.14, 87.25] Al 95%: 15.25, ] Al 99%: 12.30, ] 7