Esercizi di econometria: serie 2

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1 Esercizi di ecoometria: serie Esercizio Per quali delle segueti uzioi di desità cogiuta le variabili casuali ed soo idipedeti? (a) (b) (c) (d) Nel caso (c) calcolare la uzioe di desità della codizioata ad = e la uzioe di desità icodizioata della Soluzioe Due variabili casuali e soo idipedeti quado, comuque predo due valori x e, è veriicata ua delle segueti codizioi: ) = ( x) ( ) ) x, ( x / ) = ( x) x ) /, a. Veriichiamo l idipedeza della tabella (a) co la prima codizioe ( ) ( ) = (.3)(.4) =.. ( ) =, Possiamo già dire che le due variabili o soo idipedeti poiché la codizioe deve essere rispettata da tutti i valori di e di b. Veriichiamo l idipedeza ella tabella (b) co la secoda codizioe. ( / ) =. 4 ( ) / = ( / ) =.5.4 ( ) / = Ache i questo caso le due variabili o soo idipedeti. c. Veriichiamo ora l idipedeza tra le variabili ella tabella (c) attraverso la secoda codizioe. ( / ) =.3 ( ) / ( / ) =.5 = ( ) / ( 3/ ) =. = ( 3) ( / ) =.3 ( ) / ( / ) =.5 = ( ) / ( 3/ ) =. = ( 3) ( / 3) =.3 ( ) / ( / 3) =.5 = ( ) / ( 3/ 3) =. = ( 3) ( / 4) =.3 ( ) / ( / 4) =.5 = ( ) / ( / 4) =. = ( 3) / = / = / = / = 3 3

2 Esercizi di ecoometria serie Le due variabili casuali soo idipedeti, poiché la codizioe è rispettata per tutti i valori di e. d. Veriichiamo la prima codizioe per l idipedeza ( ) ( ) =.4 ( ) =, Ache i questo caso si può dire che o sussiste idipedeza Per deiizioe la uzioe di desità discreta codizioata della variabile aleatoria dato = è data dalla seguete espressioe: ( x ) =, ) ( ) el ostro caso, dato che = e x può assumere i valori, e 3, avremo: ( x ) / /. = = = = x = x = x = 3 La uzioe di desità icodizioata della o è altro che la sua uzioe margiale. (x) Totale Tabella : uzioe di desità margiale Esercizio Si laci u tetraedro regolare (dado a quattro acce) volte. Sia = {umero sul primo tetraedro} ed = {più alto dei due umeri}. Le variabili casuali ed soo idipedeti? Soluzioe Siao: = {umero sul primo tetraedro} = {il più alto dei due umeri} Esse possoo assumere le segueti modalità: 4

3 Esercizi di ecoometria serie = { } = { } Lo spazio campioario è il seguete: Ω = {,,,3,4,,,3,4 3, 3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4 } La uzioe di desità cogiuta è pari a: 3 4 (x) /6 /6 /6 /6 4/6 /6 /6 /6 4/6 3 3/6 /6 4/6 4 4/6 4/6 () /6 3/6 5/6 7/6 Tabella : uzioi di desità cogiuta e margiale Per provare l idipedeza tra le due variabili casuali veriichiamo la codizioe: ) = ( x) ( ) x, 4 ( ) ( ) = = = (, ) Già a questo puto possiamo dire che le due variabili casuali o soo idipedeti, i quato la codizioe deve essere rispettata per tutti i valori della e della. Esercizio 3 Siao ed variabili casuali dicotomiche che possoo assumere solo i valori - ed co le segueti probabilità: P(=-, =-)=P(=, =) = a e P(=-,=)=P(=,= -) = a a. Trovare le distribuzioi margiali di ed b. Determiare il valore di a tale che ed siao idipedeti Soluzioe a. Il calcolo delle uzioi margiali risulta immediato e i valori soo i segueti: - (x) - a (/)-a / (/)-a a / () / / Tabella 3: uzioi di desità margiale 5

4 Esercizi di ecoometria serie b. Sappiamo ioltre che due variabili casuali e soo idipedeti se soo uguali la uzioe di desità cogiuta e il prodotto delle uzioi margiali, comuque preda due valori di e di. Aiché si abbia idipedeza il valore di a dovrà essere tale da rispettare la codizioe: ) = ( x) ( ) x, (, ) = ( ) ( ) a = = = 4 La tabella della uzioe di desità cogiuta coterrà quidi i segueti valori: - (x) - /4 /4 / /4 /4 / () / / Tabella 4: uzioi di desità cogiuta e margiale Si tratta di ua distribuzioe uiorme co le margiali ach esse uiormi. Esercizio 4 Determiare se soo idipedeti le variabili casuali ed co uzioe di desità cogiuta: ( x ) 3x = < < x < altrimeti Soluzioe L idipedeza di variabili casuali è strettamete coessa co le distribuzioi codizioate delle variabili stesse. I particolare, date due variabili casuali e, queste soo idipedeti quado la distribuzioe codizioata e la distribuzioe margiale hao lo stesso valore, ossia: ( x / ) = ( x) x /, Calcoliamo le distribuzioi margiali della e della. ( x) = ) d = 3x d = x 3x ( ) = ) dx = 3x dx = 3 6

5 Esercizi di ecoometria serie Veriichiamo la codizioe: ) ( ) 3x x / ( x / ) = = = 3x = 3 Se e deduce che le due variabili casuali soo o idipedeti. ( x) Esercizio 5 Sia la distribuzioe di Beroulli co parametro p e sia E( =) = e E( =) =. A cosa e uguale E()? Soluzioe La distribuzioe beroulliaa ha uzioe di desità cogiuta pari a: (x) p -p Tabella 5: uzioe di desità margiale Utilizzado i dati dell esercizio e sruttado la seguete proprietà: ( ) E[ E( / x )] E = = possiamo ricavare il valore atteso di el seguete modo: E ( ) E [ E ( / = x) ] = E [ / = x] ( x) = ( p) p = ( p p) = p = x= Esercizio 6 Suppoiamo che la variabile casuale ( R) sia distribuita uiormemete ell itervallo (,), e la variabile casuale distribuita codizioatamete ad =x come ua biomiale di parametri e p=x a. Trovare E() b. Trovare la distribuzioe di.(ricordare l itegrale della uzioe beta) a b (a )(b ) B(a,b) = x ( x) dx = (per a e b iteri positivi) (a b ) 7

6 Esercizi di ecoometria serie Soluzioe La v. a. è uiormemete distribuita, per cui la uzioe di desità è la seguete: ( x) < x < = altrimeti Sappiamo ioltre che la v.c. / = x si distribuisce come ua biomiale di parametri e p=x / = x B[,x] / ( / x) = x ( x) a. per il calcolo del valore atteso della sruttiamo la proprietà: ( ) = E[ E( / x )] E = la quatità al secodo membro è il valore atteso del valore atteso di ua biomiale. Il valore atteso della biomiale sappiamo essere pari a p, el ostro caso essedo p=x, sarà pari a x. Per cui abbiamo: ( ) E[ x ] E = Sappiamo, ioltre, che la variabile casuale è uiormemete distribuita ell itervallo (,), per cui il suo valore atteso sarà: E dx = [ x] x ( x) dx = ( x) ( x) dx = x ( ) = Il valore atteso della è pari a /. b. Sappiamo che la distribuzioe codizioata della è ua biomiale. Per ricavare la distribuzioe della dobbiamo risolvere l itegrale: ( ) = )dx I primo luogo, ricaviamo la uzioe di desità cogiuta delle due variabili e. Partiamo dalla ormula della uzioe di desità codizioata: ) = / ( x / ) ( x) ( ) ) / x / = () Sappiamo, ioltre, che la (x), ell itervallo cosiderato, è pari ad, per cui, la () diveta ) = ( x / ) = ( x / ) = x ( x) / / Torado ora alla uzioe di desità della, possiamo scrivere: ( ) = ) dx = x ( x) dx = x ( x) Per la risoluzioe di questo itegrale, ricordiamo che l itegrale della uzioe beta è: ( ) dx () B a ( a, b) = x ( x ) b dx = ( a ) ( b ) ( a b ) 8

7 Esercizi di ecoometria serie 9 Nel ostro caso: a = = a- b = -- - = b- Il calcolo della (), può essere così scritto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x = = = dx