CONCETTI BASE DI STATISTICA

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1 CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto avviee. Per u alto grado di credibilità la probabilità è vicia al valore. Da u puto di vista o completamete corretto la probabilità può essere cosiderata come il rapporto tra il umero di eveti favorevoli e il umero degli eveti possibili elle medesime codizioi. Variabile aleatoria Ua variabile aleatoria è ua variabile che può assumere qualsiasi valore i u determiato itervallo, e alla quale è associata ua distribuzioe di probabilità (o desità di probabilità). Ua variabile aleatoria che può assumere solo valori isolati è detta variabile discreta. Ua variabile aleatoria che può assumere tutti i valori etro u itervallo fiito o ifiito è detta variabile cotiua.

2 Distribuzioe di probabilità (di ua variabile aleatoria) Ua fuzioe che defiisce la probabilità che ua variabile aleatoria discreta assuma u determiato valore (o che ua variabile aleatoria cotiua assuma tutti i valori di u itervallo). La probabilità che ua variabile aleatoria possa assumere u qualsiasi valore tra quelli permessi è. Desità di probabilità per ua variabile discreta: ua fuzioe che forisce, per ogi valore x i di ua variabile aleatoria discreta X, la probabilità p i che la variabile aleatoria si uguale a x i. p i = Pr(X = x i ) per ua variabile cotiua: ua fuzioe p(x) che forisce, per ogi itervallo (x x+dx) dei valori che può assumere ua variabile aleatoria cotiua X, la probabilità dp che la variabile aleatoria assuma u valore all'itero dell'itervallo. dp = p(x) dx = Pr(x X x+dx) La desità di probabilità coicide co la derivata (quado esiste) della fuzioe di distribuzioe p(x) = dp(x)/dx

3 Normalizzazioe della desità di probabilità Per il fatto che la probabilità che ua variabile aleatoria possa assumere u qualsiasi valore tra quelli permessi vale, la desità di probabilità deve soddisfare a codizioi di ormalizzazioe: per ua variabile discreta: Se i valori possibili soo (x, x,..,x N ) i= per ua variabile cotiua: ell'itervallo (a b) N p i = p i 0 Se i valori possibili soo compresi b a p( x) dx = p(x) 0 a x b

4 Media o Valore Atteso Per ua variabile discreta: siao x i i valori assuti dalla variabile aleatoria X co probabilità p i. Il valore atteso, se esiste, risulta: µ = E ( X ) = la somma essedo estesa a tutti i valori x i che può assumere la variabile X. Per ua variabile cotiua: sia p(x) la desità di probabilità associata alla variabile aleatoria X. Il valore atteso, se esiste, risulta: µ = l'itegrale essedo esteso a tutti gli itervalli che compredoo i possibili valori assuti da X. i p i x i E ( X ) = x p( x) D dx

5 Variabile aleatoria cetrata Ua variabile aleatoria il cui valore atteso sia ullo. Se la variabile aleatoria X ha u valore atteso uguale a µ, la corrispodete variabile aleatoria cetrata è (X - µ). Variaza La variaza di ua variabile aleatoria, o di ua distribuzioe di probabilità, è il valore atteso del quadrato della corrispodete variabile cetrata σ {[ ]} ( X E( X ) = E X ) [ E( )] = V ( X ) = E X Deviazioe stadard La deviazioe stadard di ua variabile aleatoria, o di ua distribuzioe di probabilità, è la radice quadrata positiva della variaza σ = {[ ]} ( X E( X ) = E X ) [ E( )] V ( X ) = E X

6 Distribuzioe Normale o Gaussiaa La distribuzioe di probabilità di ua variabile aleatoria X la cui desità di probabilità è p( x) = π σ e ( x µ ) σ µ è il valore atteso della variabile aleatoria X e σ è la relativa variaza. mezzo di attributi). x

7 Popolazioe La totalità degli elemeti i cosiderazioe. Nel caso di ua variabile aleatoria, la distribuzioe di probabilità (desità di probabilità) defiisce la popolazioe di quella variabile. Frequeza Il umero di volte i cui u dato tipo di eveto si avvera. Dal puto di vista della misura : il umero di osservazioi che cadoo i ua specifica classe. Distribuzioe di frequeza La relazioe empirica tra i valori di ua caratteristica e la loro frequeza (frequeza relativa). I questi casi la distribuzioe può essere rappresetata i differeti modi, ad es. : per mezzo di u istogramma per mezzo di u grafico a barre per mezzo di ua tabella a due etrate

8 Valor medio o valore atteso Il valore atteso della variabile aleatoria z, rappresetato col simbolo µ z e detto ache valor medio di z, è dato da µ = z E( z) z p( z) dz La sua stima statistica è data dalla media aritmetica dei valori z i assuti dalla variabile z di desità di probabilità p(z). z = i= z i

9 Variaza La variaza di ua variabile aleatoria coicide col valore atteso (medio) del quadrato della deviazioe dal suo valore atteso. Quidi la variaza di ua variabile aleatoria z, di desità di probabilità p(z), è data da: σ ( z ) ( z) = µ z p( z) dz essedo µ z il valore atteso di z. La variaza σ (z) può essere stimata da () s z = ( z ) = i z z zi = Il fattore (-) ella espressioe di s (z) proviee dalla correlazioe tra i valori z i e z e riflette il fatto che vi soo solo (-) termii idipedeti el set di valori {z i - z }. Se il valore atteso µ z della variabile z è oto (o stimato) la variaza può essere stimata da s ( zi ) = z i i= ( µ ) z i=

10 La variaza della media aritmetica delle osservazioi, piuttosto che la variaza di ua sigola osservazioe, è la misura appropriata dell'icertezza del risultato di ua misurazioe. La variaza della variabile z, σ (z), deve essere accuratamete distita dalla variaza della media aritmetica. La variaza della media aritmetica di ua serie di osservazioi idipedeti z i della gradezza rappresetata dalla variabile aleatoria z è data da σ z = σ z / () () ed è stimata dalla variaza sperimetale della media: s s ( z) ( ) () z = = ( z i z) i= Deviazioe stadard La deviazioe stadard è la radice quadrata positiva della variaza.

11 GRADI DI LIBERTA' E LIVELLI DI CONFIDENZA Il problema è di otteere dalla stima y della gradezza misurata Y, e dalla sua icertezza u c (y), ua icertezza espasa U p = k p u c (y) che defiisca u itervallo y-u Y y+u tale che abbia ua elevata probabilità di copertura (o u elevato livello di cofideza) p. Si deve quidi determiare il fattore di copertura k p che geera u itervallo itoro al risultato y della misurazioe che ci si aspetta cotega ua grade, specifica frazioe p della distribuzioe di valori che potrebbero ragioevolmete essere attribuiti alla gradezza Y da misurare.

12 Per otteere il fattore di copertura k p che produce u itervallo corrispodete a uo specifico livello di cofideza p si richiede ua dettagliata coosceza della distribuzioe di probabilità caratterizzata dai risultati della misura e dalla icertezza. Ad esempio, per ua gradezza z descritta dalla distribuzioe ormale di valor medio µ z e deviazioe stadard σ z, il valore di k p che produce u itervallo µ z ± k p σ z che comprede ua frazioe p della distribuzioe, può essere calcolato facilmete. Alcui esempi soo riportati i tabella. Livello di cofideza p (i %) Fattore di copertura k p