INVENTORY CONTROL. Ing. Lorenzo Tiacci

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1 INVENTORY CONTRO Ig. orezo Tiacci Testo di riferimeto: Ivetory Maagemet ad Productio Plaig ad Cotrol - Third Ed. E.A. Silver, D.F. Pyke, R. Peterso Wiley, 998 Idice. POITICA (s, ) (order poit, order quatity) - CONTINUOUS REVIEW.. SCETA DE FATTORE k PER A DETERMINAZIONE DEE SCORTE DI SICUREZZA.... Miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo fisso B per eveto di Stockout.... Miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo B (espresso i percetuale al valore v dell'item) per sigola uità i Stock-out...3. Scelta i fuzioe di ua data probabilità P di o adare i Stock-out durate u ciclo di approvvigioameto (cycle service level)..4. Scelta i fuzioe di ua data percetuale P di domada soddisfatta direttamete dallo scaffale (fill rate)..5. Scelta i fuzioe di u dato tempo medio tra icideti di stock out (TBS = Time Betwee Stockout Occasio)..6. Miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo B 3 per uità e durata di Stock-out.. POITICA (R, S) (review period, order up to level) - PERIODIC REVIEW 3. VARIABIITA' DE EAD TIME DI APPROVVIGIONAMENTO 4. AGGREGAZIONE NE CASO MUTI-ITEM 4.. Allocazioe di u valore totale di scorte di sicurezza per la miimizzazioe del umero atteso totale di icideti di stock-out i u ao 4.. Allocazioe di u valore totale di scorte di sicurezza per la miimizzazioe del valore totale atteso di uità di stock-out i u ao Allegato. Alcue fuzioi della gaussiaa ormalizzata

2 Notazioe D = Valore medio della domada aua [uità/ao] k = fattore di sicurezza = lead time di approvvigioameto [ai] = quatità di riordio [uità] r = tasso di mateimeto scorte [( / )/ao] v = costo variabile per uità [ /uità] A = costo fisso di riempimeto [ /riempimeto] s = puto di riordio [uità] SS = scorte di sicurezza [uità] f( x ) = fuzioe desità di probabilità della domada. x è la variabile aleatoria che rappreseta la domada i u certo itervallo di tempo. f (x) è la desità di probabilità della domada durate, co valor medio x ˆ e deviazioe stadard. f R+ (x) è la desità di probabilità della domada durate R+, co valor medio xˆr e deviazioe stadard R. Se si assume ua distribuzioe di probabilità gaussiaa: xxˆ x f( x ) = e fu ( x ) = x i cui il valor medio ell'itervallo di tempo è ˆx e la deviazioe stadard è x e fuzioe gaussiaa ormalizzata, co valor medio ullo e deviazioe stadard uitaria. x Fu ( x ) = fu ( u) du p ( x) u = Gu ( x ) = Cumulata della fuzioe gaussiaa ormalizzata u e du fu ( u) du = - Fu ( k ) x x probabilità che ua variabile gaussiaa ormalizzata (valore medio ullo e deviazioe stadard uitaria) assuma u valore maggiore o uguale a k. E' spesso espressa come - F u (k), dove F u (k) è la cumulata della fuzioe desità di probabilità della gaussiaa ormalizzata valutata i x. u ( ) ( ) u ( ) x x u x e du u x f u du 'oss fuctio': fuzioe della gaussiaa ormalizzata, usata per trovare il umero atteso di stock out i u ciclo di approvvigioameto. x - -

3 Proprietà delle fuzioi della gaussiaa ormalizzata i. f ( x) x f ( x) (segue immediatamete dalla defiizioe) () u u ii. Fu ( x) fu( x) pu ( x) (segue immediatamete dalla defiizioe) () iii. G ( x) f ( x) x p ( x) f ( x) x( F ( x)) (3) u u u u u DIM: dalla () applicado la (4) alla defiizioe di G u (k) si ottiee: u fu ( u) du fu ( u) fu ( x) (4) x G ( k) ( u x) f ( u) du u f ( u) du x f ( u) du f ( x) x p ( x) u u u u u u x x x x iv. G ( x) p ( x) F ( x) (5) u u u DIM: dalla (3): utilizzado la () e la (): G ( x) f ( x) p ( x) x p ( x) u u u u G ( x) x f ( x) p ( x) x f ( x) = p ( x) u u u u u - 3 -

4 Defiizioi Giaceza o Ivetory o Had (OH) = umero di item fisicamete preseti i magazzio Dispoibilità o Ivetory Positio (IP) = OH + ordii i arrivo backorders Ivetory evel (I) = OH backorders I O Had (OH) Ivetory Positio (IP) Ivetory evel (I) s t - 4 -

5 . POITICA (s, ) (order poit, order quatity) - CONTINUOUS REVIEW I Dispoibilità (IP) Giaceza (OH) =EO s SS t Ipotesi: è stato predetermiato (attraverso ad esempio l'eo). Si tratta quidi di determiare il puto di riordio s. Per farlo, valutiamo iazi tutto alcue gradezze di iteresse. Scorte di sicurezza: per defiizioe soo pari al valore atteso delle scorte appea prima dell'arrivo di u ordie. 0 SS s x f( x) dx s xˆ (6) si vede quidi che le scorte di sicurezza soo quel 'cuscio' che rimae sottraedo dal puto di riordio, s, il valor medio della domada durate il lead time. Probabilità di adare i stock out: è la probabilità che la domada durate il lead time sia maggiore del puto di riordio s. prob x s f x dx ( ) (7) s Numero atteso di stock out per ciclo: è il valor atteso della quatità (x-s), cioè di quato la domada durate il lead time eccede il puto di riordio s. I valori assumibili da x, per cui si verifica uo stock out, soo aturalmete solo quelli maggiori di s. ESPRC x s f x dx ( ) (8) s - 5 -

6 Valore atteso delle giaceze medie: il valore atteso scorte appea prima dell'arrivo di u ordie è, per defiizioe, pari alle scorte di sicurezza: E OH SS s xˆ ( prima_arrivo_ordie ) Il valore atteso delle scorte appea dopo l'arrivo di u ordie sarà quidi pari alle scorte di sicurezza aumetate della quatità di riordio : E OH SS s xˆ ( dopo_arrivo_ordie ) 'adameto medio delle giaceze è quidi a dete di sega, aalogo a quello dell'eo, traslato verso l'alto di ua quatità pari alle scorte di sicurezza. Il valore atteso delle giaceze medie è quidi pari a: E( OH ) ( s xˆ ) (9) Numero di riempimeti atteso i u ao: è pari al rapporto tra domada aua e quatità fissa di riordio: (D/) Approccio per stabilire il puto di riordio s. Il puto di riordio s può essere visto come la somma delle scorte di sicurezza e del valore atteso della domada durate il lead time; ifatti dalla (6): Si tratta quidi di stabilire il valore delle scorte di sicurezza SS. 'espressioe delle scorte di sicurezza viee posta come: s xˆ SS (0) SS k () Bisoga quidi i sostaza di stabilire il valore di k per dimesioare le scorte di sicurezza (attraverso la ()) e risalire attraverso la (0) al valore del puto di riordio s. Se si assume distribuzioe ormale della domada f(x) durate il lead time Probabilità di adare i stock out per ciclo xxˆ probx xˆ k f( x) dx e dx () xˆ k xˆ k sostituedo: u ( x xˆ ) / u ˆ u( ) k prob x x k e du p k (3) - 6 -

7 Numero atteso di stock out per ciclo xxˆ ESPRC x x k f x dx x x k e dx ˆ ( ) ˆ (4) xˆ k xˆ k sostituedo: u ( x xˆ ) / u u k ESPRC u k e du G ( k) (5) - 7 -

8 . SCETA DE FATTORE k PER A DETERMINAZIONE DEE SCORTE DI SICUREZZA... Miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo fisso B per eveto di Stock-out. I costi totali soo pari a: ETRC k C C C AD k vr DB p k derivado la fuzioe per trovare il miimo: ( ) r c s / ( / ) u( ) detrc( k) DB dpu ( k) vr 0 dk dk ma dalla (): e quidi: da cui: dpu ( k) fu ( k) (6) dk vr vr fu ( k) e (7) DB DB k DB k (8) r l v Se l'argometo del logaritmo è miore di, la fuzioe o ha miimo. Da ua aalisi sulla fuzioe di costo (Silver pag. 97) si vede che miore è il k i questo caso, e miore soo i costi. uesto sigifica che il costo associato all'icidete di stock-out è così basso da risultare coveiete o dotarsi di scorte di sicurezza (k = 0). Addirittura u k < 0 porterebbe ad ua ulteriore dimiuzioe di costi, ma ciò sigificherebbe o solo o avere scorte di sicurezza, ma addirittura posizioare il puto di riordio ad u valore miore del valore medio della domada durate il lead time. Nella realtà, al di là delle idicazioi forite dall'aalisi dei costi qui presetata, le aziede impogoo comuque u valore miimo del coefficiete di sicurezza k, solitamete sempre maggiore di zero, e corrispodete al livello miimo di servizio richiesto. Riassumedo, se l'argometo del logaritmo è miore di, il valore di k da assumere è il valore miimo imposto dall'azieda. I asseza di idicazioi, assumere u valore pari a 0 (asseza di scorte di sicurezza).. Miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo B (espresso i percetuale al valore v dell'item) per sigola uità i Stock-out. I costi totali soo pari a: B v Gu( k) D ETRC( k) Cr Cc Cs AD / ( / k ) vr derivado la fuzioe per trovare il miimo: ma dalla (5): detrc( k) B v D dgu ( k) vr 0 dk dk - 8 -

9 dgu ( k) pu ( k) (9) dk si ottiee quidi: B v D r vr p ( k) 0 p ( k) (0) DB u u Bisoga quidi selezioare il valore di k che soddisfi questa codizioe. Da otare che il valore di pu ( k) rappreseta ua probabilità; quidi o c'è soluzioe quado il valore r/db è maggiore dell'uità (probabilità del 00%). Azi, come detto il miimo valore accettabile per pu ( k) sarà pari a 0.5, visto che per valori superiori si avrebbe u k egativo. Ache i questo il miimo valore di k ammissibile è 0, valgoo cioè le stesse cosiderazioi fatte el paragrafo Scelta i fuzioe di ua data probabilità P di o adare i Stock-out durate u ciclo di approvvigioameto (cycle service level) Ricordadosi che la probabilità di adare i stock out i u ciclo di repleishmet è data da pu ( k) si avrà che: u u, P p ( k) p ( k) P () Bisoga quidi selezioare il valore di k che soddisfi questa codizioe...4 Scelta i fuzioe di ua data percetuale P di domada soddisfatta direttamete dallo scaffale (fill rate) Poiché ogi riempimeto ha ua dimesioe pari a, la percetuale di backorders sarà pari a: %backorders = (ESPRC/) uidi la percetuale di domada soddisfatta direttamete dallo scaffale sarà pari a: a codizioe da imporre sarà duque: da cui: fill rate = - (ESPRC/) ESPRC Gu ( k P ) G k P () u ( ) ( ) Bisoga quidi trovare il valore di k che soddisfi questa codizioe

10 ..5 Scelta i fuzioe di u dato tempo medio tra icideti di stock out (TBS = Time Betwee Stockout Occasio) Il umero atteso di repleishmet i u ao è pari a D/. Poiché la probabilità che si verifichi u icidete di stock out i u ciclo è pari a p ( k), il umero auo atteso di icideti di stock out u sarà pari a (D/). pu ( k), ed ha le dimesioi di ua frequeza (SO/ao). 'itervallo di tempo che trascorre tra u icidete e l'altro sarà quidi mediamete: TBS pu ( k) D pu ( k) D( TBS) (3) Bisoga quidi trovare il k che soddisfi questa codizioe. Da otare che ache i questo caso il valore di pu ( k) rappreseta ua probabilità; quidi o c'è soluzioe quado il valore /D(TBS) è maggiore dell'uità (probabilità del 00%). Ache i questo caso l'aalisi porterebbe a scegliere u k il più piccolo possibile. Valgoo le stesse cosiderazioi espresse el paragrafo... Dal cofroto della (3) co la (0) si deduce che c'è ua equivaleza tra i due metodi per la scelta del k, e cioè la miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di B e l'imposizioe del TBS come livello di servizio. I particolare l'equivaleza è data per: B TBS r - 0 -

11 . POITICA (R, S) (review period, order up to level) - PERIODIC REVIEW I Dispoibilità (IP) Giaceza (OH) S =S-OH SS t R Ipotesi: R è stato predetermiato, ad esempio attraverso l'eo espresso come tempo ottimale di riforimeto: EO A R D Dvr Si tratta quidi di determiare il valore della dispoibilità obiettivo (o order up-to level) S. Valutiamo alcue gradezze di iteresse, ricordado che ora l'itervallo di icertezza è R+. Scorte di sicurezza Probabilità di adare i stock out Numero atteso di stock out per ciclo 0 SS S x fr( x) dx S xˆ R (4) R (5) S ( ) prob x S f x dx R( ) (6) S ESPRC x S f x dx Valore atteso scorte appea dopo l'arrivo di u ordie: E( OHdopoarrivoordie ) SS DR s xˆ R DR - -

12 Valore atteso scorte appea prima dell'arrivo di u ordie: E( OHprimaarrivoordie ) SS S x f ( x) dx S xˆ R 'adameto medio delle giaceze è quidi a dete di sega (vedere figura) Valore atteso giaceze medie Numero di riempimeti atteso i u ao: (/R) 0 DR E( OH ) ( S xˆ R ) (7) Approccio per stabilire il livello di dispoibilità obiettivo (order up-to level) S Dalla (4): S x SS (8) ˆR Si tratta quidi di stabilire il valore delle scorte di sicurezza SS. 'espressioe delle scorte di sicurezza è posta come: SS k R (9) Si tratta quidi i sostaza di stabilire il valore di k per dimesioare le scorte di sicurezza (attraverso la ()) e risalire attraverso la (0) al valore del livello di dispoibilità obiettivo S. Se si assume distribuzioe ormale della domada f(x) durate (R+) Probabilità di adare i stock out per ciclo xxˆ R R probx xˆ R k R fr( x) dx e dx (30) xˆ k xˆ k R R R R R sostituedo: u ( x xˆ ) / R R Numero atteso di stock out per ciclo u ˆ R u( ) k prob x x k e du p k (3) xxˆ R R ESPRC x xˆr kr fr( x) dx x xˆr kr e dx xˆ k xˆ k R R R R R (3) - -

13 sostituedo: u ( x xˆ ) / R R u R R u k ESPRC u k e du G ( k) (33) Dal cofroto fra: scorte di sicurezza ˆR R probabilità di adare i stock out (R,S) (s,) SS S x k SS s xˆ k probx S f ( ) i u ciclo R x dx ( ) umero atteso di stock out per S prob x s f x dx ciclo ESPRC x S fr( x) dx ( ) S ESPRC x s f x dx valore atteso giaceze medie DR E( OH ) ( S xˆ R ) E( OH ) ( s xˆ ) umero di riempimeti atteso i u ao (/R) (D/) probabilità di adare i stock out probx xˆ ( ) (distribuzioe ormale) R k R pu k ˆ umero atteso di stock out per ciclo (distribuzioe ormale) s Pr ob x x k p ( k) s u ESPRC R Gu ( k ) ESPRC Gu( k) Si ottiee ua perfetta equivaleza tra le due politiche se si poe: S = s; = R+; = DR (34) - 3 -

14 3. VARIABIITA' DE EAD TIME DI APPROVVIGIONAMENTO Nei modelli fiora trattati la quatità chiave è la domada durate il periodo di approvvigioameto, che è pari a elle politiche (s,) e pari a R+ elle politiche (R,S). a durata del lead time è stata cosiderata costate e determiisitica. Se la durata del lead time o è ivece ota co certezza, appare chiaro che sarà richiesto u icremeto delle scorte di sicurezza (a parità di livello di servizio richiesto) al fie di proteggere da questo icremeto di icertezza. Si assuma che il lead time e la domada ell'uità di tempo D siao due variabili aleatorie idipedeti, e che E() e var() siao rispettivamete valor medio e variaza del lead time, e che E(D) e var(d) siao valor medio e variaza della domada ell'uità di tempo. Partiamo dal caso (s,), i cui la variabile di iteresse è la domada durate il periodo di approvvigioameto. Può essere dimostrato allora che il valore medio della domada durate è pari a: xˆ E( ) E( D) (35) e che la deviazioe stadard della domada durate il lead time è pari a: E( ) var( D) E( D) var( ) (36) Utilizzado la (35) e la (36) ella (0) e ella () si può determiare il valore di s. Nel caso (R,S), la variabile di iteresse è la domada durate il periodo R+. Il suo valore medio è i questo caso pari a: xˆ R E( R ) E( D) R E( ) E( D) (37) e la deviazioe stadard della domada durate il periodo R+ è pari a: R E( R ) var( D) E( D) var( R ) R E( ) var( D) E( D) var( ) (38) Utilizzado la (37) e la (38) ella (8) e ella (9) si può determiare il valore di S

15 4. AGGREGAZIONE NE CASO MUTI-ITEM (N.B. Sviluppiamo le formule solo per la politica (s,), teedo presete l'aalogia dimostrata co la politica (R,S) ed ipotizzado acora ua distribuzioe della domada ormale durate il lead time). Suppoiamo di avere prodotti, co idice i =,...,. Per ciascu prodotto i avremo: scorte di sicurezza: SSi ki i (39) Di umero atteso di icideti di SO all'ao: p u( k i) i (40) Di umero atteso di uità di SO all'ao: igu ( ki ) (4) fill rate atteso: i G ( k ) (4) i u i cycle service level atteso: p ( k ) (43) ueste quatità adrao sommate rispetto a tutti gli item per otteere le misure globali: u i i valore totale scorte di sicurezza [ ]: umero atteso totale di icideti di SO all'ao: valore totale atteso di uità di SO all'ao[ ]: fill rate pesato sulla domada: cycle service level pesato sulla domada: ki ivi (44) i Di p u( k i) i i (45) Di ivigu ( ki ) i i (46) i i igu ( ki ) Di i i i D i D Di pu ( ki ) i (47) (48) 4. Allocazioe di u valore totale di scorte di sicurezza per la miimizzazioe del umero atteso totale di icideti di stock-out i u ao Il problema cosiste el trovare il valore di k i per ciascu articolo i maiera tale da miimizzare la fuzioe: Di p u( k i) i (49) i soggetta al vicolo: ki ivi Y (50) i dove Y è il valore totale delle scorte di sicurezza assegato espresso i euro. Utilizzado il metodo dei moltiplicatori di agrage, questo equivale a miimizzare la fuzioe: - 5 -

16 D i ( k,..., k, M ) pu ( ki) M Y ki ivi i i i il che si ottiee poedo le derivate parziali della fuzioe uguali a zero: D v fu ( ki ) M ivi 0 fu ( ki ) M k D i i i i i i i Y ki ivi 0 (5) M i a (5) esprime u sistema di equazioi elle icogite k,...,k. a (5) impoe il rispetto del vicolo espresso dall'equazioe (50). Si ota duque quado la fuzioe ha u miimo, il vicolo di parteza è rispettato; il miimo ioltre coicide co il miimo della fuzioe iiziale da miimizzare. Fissato u valore di M, il sistema espresso dalla (5) è u sistema di equazioi elle icogite k,...,k. Il procedimeto risolutivo prevedrebbe di: - fissare arbitrariamete u valore di M; - trovare i k i attraverso la (5); - sostituire i k i ella (5) per verificare il rispetto del vicolo (e torare al primo step, co u valore modificato di M, ripetedo l itero procedimeto fio a che il vicolo (5) o viee rispettato) Si osservi che la (5) è equivalete alla (7) a patto di porre: (5) M r (53) B i cui, ricordiamo, B è il costo associato al sigolo icidete di stock-out. Sostituedo la (47) ella (5) si ottiee ifatti: ivi ir fu( ki) (54) DB uesto sigifica che il procedimeto di risoluzioe può essere visto come segue: - fissare arbitrariamete u valore di B ; - trovare i k i attraverso la (54); - calcolare il valore totale delle scorte di sicurezza (50) otteuto co i k i e cofrotarlo co il valore Y assegato. Torare evetualmete al primo step, modificado il valore di B e ripetere il procedimeto, fio a che il valore totale delle scorte di sicurezza o è pari a quello desiderato. Cioè: verificare la (50) (che poi equivale alla (5)). I sostaza quidi il problema è equivalete alla miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo fisso B per icidete di stock out, co il vicolo aggiutivo per cui B deve assumere u valore tale da redere il valore totale delle scorte di sicurezza uguale al valore assegato (uguale a Y). Nel caso i cui si scelga u valore di B tale che il k più piccolo diveti ullo, e oostate ciò l'equazioe del vicolo o è soddisfatta per "eccesso", come si procede? Si cotiua a dimiuire il valore di B. Il k che prima era 0 diveterebbe egativo, ivece si cotiua a mateere pari a 0 quado si verifica l equazioe di vicolo (cioè il valore delle scorte di sicurezza). Gli altri k dimiuiscoo, e si cotiua fiché o si trova il valore per cui le scorte di sicurezza assumoo il valore assegato. Se ache altri k divetao 0, si procede come per il primo. i - 6 -

17 Al limite il problema o ammette soluzioe se pur co tutti i k = 0 il valore delle scorte di sicurezza desiderate o viee raggiuto (ma ciò sigificherebbe avere scorte di sicurezza ulle). 4. Allocazioe di u valore totale di scorte di sicurezza per la miimizzazioe del valore totale atteso di uità di stock-out i u ao Il problema cosiste el trovare il valore di k i per ciascu articolo i maiera tale da miimizzare la fuzioe: Di ivigu ( ki ) i (55) i soggetta al vicolo: ki ivi Y (56) i dove Y è il valore totale delle scorte di sicurezza espresso i euro. Utilizzado acora il metodo dei moltiplicatori di agrage, questo equivale a miimizzare la fuzioe: D i ( k,..., k, M ) ivigu ( ki) M Y ki ivi i i i il che si ottiee poedo le derivate parziali della fuzioe uguali a zero: Di i ivi pu ( ki ) Miv i 0 pu ( ki ) M k D i i i Y ki ivi 0 (58) M i a (57) esprime u sistema di equazioi elle icogite k,...,k. a (58) impoe il rispetto del vicolo espresso dall'equazioe (56). Fissato u valore di M, il sistema espresso dalla (57) è u sistema di equazioi elle icogite k,...,k. Il procedimeto risolutivo prevedrebbe quidi di: - fissare arbitrariamete u valore di M; - trovare i k i attraverso la (57); - sostituire i k i ella (58) per verificare il rispetto del vicolo (e torare al primo step, co u valore modificato di M, ripetedo il procedimeto fio a che il vicolo (58) o viee rispettato) Si osservi che la (57) è equivalete alla (0) a patto di porre: (57) M r (59) B i cui, ricordiamo, B è il costo (i percetuale al valore dell'item) associato alla sigola uità i stock-out. Sostituedo la (59) ella (57) si ottiee ifatti: r i pu( ki) (60) DB uesto sigifica che il procedimeto di risoluzioe può essere visto come segue: - fissare arbitrariamete u valore di B ; - trovare i k i attraverso la (60); i - 7 -

18 - calcolare il valore totale delle scorte di sicurezza otteuto co i k i e cofrotarlo co il valore Y assegato. Torare evetualmete al primo step, modificado il valore di B fiché il valore totale delle scorte di sicurezza o è pari a quello desiderato. Cioè: verificare la (56) (che poi equivale alla (58)). I sostaza quidi il problema è equivalete alla miimizzazioe dei costi totali i fuzioe di u costo B (espresso i percetuale al valore dell'item) per uità di stock out, co il vicolo aggiutivo per cui B deve assumere u valore tale da redere il valore totale delle scorte di sicurezza uguale al valore richiesto (uguale a Y) - 8 -

19 k f u (k) p u (k) G u (k) k f u (k) p u (k) G u (k) k f u (k) p u (k) G u (k) 0 0,3989 0,5000 0,3989 0,7 0,33 0,40 0,49,4 0,497 0, , ,0 0,3989 0,4960 0,3940 0,7 0,30 0,389 0,405,4 0,476 0,0797 0, ,0 0,3989 0,490 0,3890 0,7 0,3079 0,358 0,38,4 0,456 0, , ,03 0,3988 0,4880 0,384 0,73 0,3056 0,37 0,358,43 0,435 0, ,0343 0,04 0,3986 0,4840 0,3793 0,74 0,3034 0,96 0,334,44 0,45 0, , ,05 0,3984 0,480 0,3744 0,75 0,30 0,66 0,3,45 0,394 0, ,038 0,06 0,398 0,476 0,3697 0,76 0,989 0,36 0,89,46 0,374 0,075 0,0308 0,07 0,3980 0,47 0,3649 0,77 0,966 0,06 0,67,47 0,354 0, ,0337 0,08 0,3977 0,468 0,360 0,78 0,943 0,77 0,45,48 0,334 0, , ,09 0,3973 0,464 0,3556 0,79 0,90 0,48 0,3,49 0,35 0,068 0,0998 0, 0,3970 0,460 0,3509 0,8 0,897 0,9 0,0,5 0,95 0,0668 0,093 0, 0,3965 0,456 0,3464 0,8 0,874 0,090 0,8,5 0,76 0,0655 0,0865 0, 0,396 0,45 0,348 0,8 0,850 0,06 0,60,5 0,57 0,0646 0,0800 0,3 0,3956 0,4483 0,3373 0,83 0,87 0,033 0,40,53 0,38 0,0630 0,0736 0,4 0,395 0,4443 0,338 0,84 0,803 0,005 0,0,54 0,9 0,0678 0,0674 0,5 0,3945 0,4404 0,384 0,85 0,780 0,977 0,00,55 0,00 0, ,06 0,6 0,3939 0,4364 0,340 0,86 0,756 0,949 0,080,56 0,8 0, ,055 0,7 0,393 0,435 0,397 0,87 0,73 0,9 0,06,57 0,63 0,058 0,0494 0,8 0,395 0,486 0,354 0,88 0,709 0,894 0,04,58 0,45 0, ,0436 0,9 0,398 0,447 0,3 0,89 0,685 0,867 0,03,59 0,7 0,0559 0,0380 0, 0,390 0,407 0,3069 0,9 0,66 0,84 0,004,6 0,09 0, ,034 0, 0,390 0,468 0,307 0,9 0,637 0,84 0,09860,6 0,09 0, ,070 0, 0,3894 0,49 0,986 0,9 0,63 0,788 0,09680,6 0,074 0,056 0,07 0,3 0,3885 0,4090 0,944 0,93 0,589 0,76 0,09503,63 0,057 0,0555 0,065 0,4 0,3876 0,405 0,904 0,94 0,565 0,736 0,0938,64 0,040 0, ,04 0,5 0,3867 0,403 0,863 0,95 0,54 0,7 0,0956,65 0,03 0, ,0064 0,6 0,3857 0,3974 0,84 0,96 0,56 0,685 0,08986,66 0,006 0, ,005 0,7 0,3847 0,3936 0,784 0,97 0,49 0,660 0,0889,67 0,0989 0, ,0967 0,8 0,3836 0,3897 0,745 0,98 0,468 0,635 0,08654,68 0,0973 0, ,090 0,9 0,385 0,3859 0,706 0,99 0,444 0,6 0,0849,69 0,0957 0,0455 0,0874 0,3 0,384 0,38 0,668 0,40 0,587 0,0833,7 0,0940 0, ,089 0,3 0,380 0,3783 0,630,0 0,396 0,56 0,0874,7 0,095 0, ,0785 0,3 0,3790 0,3745 0,59,0 0,37 0,539 0,0809,7 0,0909 0,047 0,074 0,33 0,3778 0,3707 0,555,03 0,347 0,55 0,07866,73 0,0893 0,048 0,0699 0,34 0,3765 0,3669 0,58,04 0,33 0,49 0,0776,74 0,0878 0, ,0658 0,35 0,375 0,363 0,48,05 0,99 0,469 0,07568,75 0,0863 0, ,067 0,36 0,3739 0,3594 0,445,06 0,75 0,446 0,074,76 0,0848 0,0390 0,0578 0,37 0,375 0,3557 0,409,07 0,5 0,43 0,0779,77 0,0833 0, ,0539 0,38 0,37 0,350 0,374,08 0,7 0,40 0,0738,78 0,088 0, ,050 0,39 0,3697 0,3483 0,339,09 0,03 0,379 0,06999,79 0,0804 0, ,0464 0,4 0,3683 0,3446 0,304, 0,79 0,357 0,0686,8 0,0790 0, ,048 0,4 0,3668 0,3409 0,70, 0,55 0,335 0,0677,8 0,0775 0,0355 0,039 0,4 0,3653 0,337 0,36, 0,3 0,34 0,06595,8 0,076 0, ,0357 0,43 0,3637 0,3336 0,03,3 0,07 0,9 0,06465,83 0,0748 0,0336 0,033 0,44 0,36 0,3300 0,69,4 0,083 0,7 0,06336,84 0,0734 0,0388 0,090 0,45 0,3605 0,364 0,37,5 0,059 0,5 0,060,85 0,07 0,036 0,057 0,46 0,3589 0,38 0,04,6 0,036 0,30 0,06086,86 0,0707 0,0344 0,06 0,47 0,357 0,39 0,07,7 0,0 0,0 0,05964,87 0,0694 0, ,095 0,48 0,3555 0,356 0,040,8 0,989 0,90 0,05844,88 0,068 0, ,064 0,49 0,3538 0,3 0,009,9 0,965 0,70 0,0576,89 0,0669 0,0938 0,034 0,5 0,35 0,3085 0,978, 0,94 0,5 0,0560,9 0,0656 0,087 0,005 0,5 0,3503 0,3050 0,947, 0,99 0,3 0,05496,9 0,0644 0,0807 0,0077 0,5 0,3485 0,305 0,97, 0,895 0, 0,05384,9 0,063 0,0743 0,0049 0,53 0,3467 0,98 0,887,3 0,87 0,093 0,0574,93 0,060 0,0680 0,00 0,54 0,3448 0,946 0,857,4 0,849 0,075 0,0565,94 0,0608 0,069 0, ,55 0,349 0,9 0,88,5 0,86 0,056 0,05059,95 0,0596 0,0559 0, ,56 0,340 0,877 0,799,6 0,804 0,038 0,04954,96 0,0584 0,0500 0, ,57 0,339 0,843 0,77,7 0,78 0,00 0,0485,97 0,0573 0,044 0, ,58 0,337 0,80 0,74,8 0,758 0,003 0,04750,98 0,056 0,0385 0, ,59 0,335 0,776 0,74,9 0,736 0, ,04650,99 0,055 0,0330 0,0087 0,6 0,333 0,743 0,687,3 0,74 0, , ,0540 0,075 0, ,6 0,33 0,709 0,659,3 0,69 0,0950 0,04457,0 0,059 0,0 0, ,6 0,39 0,676 0,633,3 0,669 0,0934 0,04363,0 0,059 0,069 0, ,63 0,37 0,643 0,606,33 0,647 0,0976 0,0470,03 0,0508 0,08 0, ,64 0,35 0,6 0,580,34 0,66 0,090 0,0479,04 0,0498 0,0068 0, ,65 0,330 0,578 0,554,35 0,604 0,0885 0,04090,05 0,0488 0,008 0, ,66 0,309 0,546 0,58,36 0,58 0,0869 0,0400,06 0,0478 0,0970 0,0079 0,67 0,387 0,54 0,503,37 0,56 0, ,0396,07 0,0468 0,093 0, ,68 0,366 0,483 0,478,38 0,539 0, ,0383,08 0,0459 0,0876 0, ,69 0,344 0,45 0,453,39 0,58 0,086 0,03748,09 0,0449 0,083 0, ,7 0,33 0,40 0,49,4 0,497 0, ,03667, 0,0440 0,0786 0,006468

20 k f u (k) p u (k) G u (k) k f u (k) p u (k) G u (k) k f u (k) p u (k) G u (k), 0,0440 0,0786 0,006468,8 0,0079 0, , ,5 0,0009 0, , , 0,043 0,0743 0,0069,8 0,0077 0, , ,5 0,0008 0,0004 0, , 0,04 0,0700 0,0060,8 0,0075 0,0040 0, ,5 0,0008 0, , ,3 0,043 0,0659 0,00595,83 0,0073 0,0037 0, ,53 0,0008 0, , ,4 0,0404 0,068 0,005788,84 0,007 0,0056 0, ,54 0,0008 0, , ,5 0,0396 0,0578 0,00568,85 0,0069 0,0086 0, ,55 0,0007 0, , ,6 0,0387 0,0539 0,00547,86 0,0067 0,008 0,0006 3,56 0,0007 0, , ,7 0,0379 0,0500 0,0053,87 0,0065 0,0005 0, ,57 0,0007 0, , ,8 0,037 0,0463 0,0057,88 0,0063 0, , ,58 0,0007 0, ,000048,9 0,0363 0,046 0,00508,89 0,006 0,0096 0, ,59 0,0006 0, , , 0,0355 0,0390 0,004887,9 0,0060 0, , ,6 0,0006 0, , , 0,0347 0,0355 0,004750,9 0,0058 0, , ,6 0,0006 0, , , 0,0339 0,03 0,00466,9 0,0056 0, , ,6 0,0006 0, , ,3 0,033 0,087 0,004486,93 0,0055 0, , ,63 0,0005 0, , ,4 0,035 0,055 0,004359,94 0,0053 0,0064 0, ,64 0,0005 0, , ,5 0,037 0,0 0,00435,95 0,005 0, , ,65 0,0005 0,0003 0, ,6 0,030 0,09 0,0044,96 0,0050 0, , ,66 0,0005 0,0006 0, ,7 0,0303 0,060 0,003996,97 0,0048 0, , ,67 0,0005 0,0003 0,000093,8 0,097 0,030 0,00388,98 0,0047 0,0044 0, ,68 0,0005 0, , ,9 0,090 0,00 0,003770,99 0,0046 0, , ,69 0,0004 0,000 0,000069,3 0,083 0,007 0, ,0044 0, , ,7 0,0004 0, ,000058,3 0,077 0,0044 0, ,0 0,0043 0, , ,7 0,0004 0, , ,3 0,070 0,007 0, ,0 0,004 0,0064 0, ,7 0,0004 0, , ,33 0,064 0, , ,03 0,0040 0,003 0, ,73 0,0004 0, ,000077,34 0,058 0, , ,04 0,0039 0,0083 0, ,74 0,0004 0, ,000083,35 0,05 0, , ,05 0,0038 0,0044 0, ,75 0,0004 0, , ,36 0,046 0, , ,06 0,0037 0,0007 0, ,76 0,0003 0, , ,37 0,04 0, , ,07 0,0036 0, , ,77 0,0003 0, ,000093,38 0,035 0, , ,08 0,0035 0, , ,78 0,0003 0, , ,39 0,09 0, , ,09 0,0034 0,0000 0, ,79 0,0003 0, , ,4 0,04 0, ,0070 3, 0,0033 0, , ,8 0,0003 0, , ,4 0,09 0, , , 0,003 0, , ,8 0,0003 0, ,00006,4 0,03 0, ,0056 3, 0,003 0, , ,8 0,0003 0, , ,43 0,008 0, , ,3 0,0030 0, , ,83 0,0003 0, , ,44 0,003 0, ,0040 3,4 0,009 0, , ,84 0,0003 0, ,000047,45 0,098 0, , ,5 0,008 0, ,0005 3,85 0,000 0, , ,46 0,094 0, ,0067 3,6 0,007 0, , ,86 0,000 0, , ,47 0,089 0, ,0098 3,7 0,006 0, , ,87 0,000 0, ,000054,48 0,084 0, ,003 3,8 0,005 0, , ,88 0,000 0, ,000000,49 0,080 0, , ,9 0,005 0, , ,89 0,000 0, ,000049,5 0,075 0,0060 0, , 0,004 0, , ,9 0,000 0, ,000000,5 0,07 0, , , 0,003 0, , ,9 0,000 0, , ,5 0,067 0, , , 0,00 0, , ,9 0,000 0, , ,53 0,063 0, ,0085 3,3 0,00 0, , ,93 0,000 0, , ,54 0,058 0, , ,4 0,00 0, , ,94 0,000 0, , ,55 0,054 0, ,0075 3,5 0,000 0, , ,95 0,000 0, , ,56 0,05 0, ,0066 3,6 0,000 0, , ,96 0,000 0, , ,57 0,047 0, ,0060 3,7 0,009 0, , ,97 0,000 0, , ,58 0,043 0, , ,8 0,008 0, , ,98 0,000 0, , ,59 0,039 0, ,005 3,9 0,008 0, , ,99 0,000 0, , ,6 0,036 0, , ,3 0,007 0, , ,000 0, , ,6 0,03 0, ,0048 3,3 0,007 0, ,0003,6 0,09 0, , ,3 0,006 0, ,00077,63 0,06 0, , ,33 0,006 0, ,00033,64 0,0 0, ,0088 3,34 0,005 0, ,00009,65 0,09 0, ,0047 3,35 0,005 0, ,000050,66 0,06 0, ,0007 3,36 0,004 0, ,00000,67 0,03 0, ,0069 3,37 0,004 0, , ,68 0,00 0, ,003 3,38 0,003 0, , ,69 0,007 0, , ,39 0,003 0, , ,7 0,004 0, , ,4 0,00 0, , ,7 0,00 0, ,0006 3,4 0,00 0, , ,7 0,0099 0, , ,4 0,00 0, , ,73 0,0096 0, , ,43 0,00 0, , ,74 0,0093 0, , ,44 0,00 0, , ,75 0,009 0, , ,45 0,000 0, ,000070,76 0,0088 0, , ,46 0,000 0, , ,77 0,0086 0, , ,47 0,000 0, , ,78 0,0084 0,0078 0, ,48 0,0009 0, , ,79 0,008 0, , ,49 0,0009 0, , ,8 0,0079 0, , ,5 0,0009 0, ,