ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006

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1 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato per delimitare il perimetro di u aiuola rettagolare. a) Qual è l aiuola di area massima che è possibile delimitare? Si pesa di tagliare il filo i due parti e utilizzarle per delimitare u aiuola quadrata e u altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affiché: b) la somma delle due aree sia miima? c) la somma delle due aree sia massima? U aiuola, ua volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettagolo; ua scatola, cioè, colma di terreo. Si discute di aumetare del 0% ciascua sua dimesioe. Di quato terreo i più, i termii percetuali, si ha bisogo? PRBLEMA Si cosiderio le fuzioi f e g determiate da f () log e g () a, essedo a u parametro reale e il logaritmo di base e.. Si discuta, al variare di a, l equazioe log a e si dica, i particolare, per quale valore di a i grafici di f e g soo tra loro tageti.. Si calcoli, posto a e, l area che è compresa fra i grafici di f e g (co 0) ella striscia di piao determiata dalle rette di equazioi e. 3. Si studi la fuzioe h() log a scegliedo per a u valore umerico maggiore di e se e disegi il e grafico. 3 QUESTINARI Si arra che l ivetore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compesato co chicchi di grao: u chicco sulla prima casella, due sulla secoda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiado il umero dei chicchi, fio alla 64 a casella. Assumedo che 000 chicchi pesio circa 38 g, calcola il peso i toellate della quatità di grao pretesa dall ivetore. I poliedri regolari - oti ache come solidi platoici - soo, a meo di similitudii, solo cique: il tetraedro, il cubo, l ottaedro, il dodecaedro e l icosaedro. Sai dimostrarlo? I u piao soo dati ua retta r e due puti A e B a essa esteri ma situati el medesimo semipiao di origie r. Si trovi il più breve cammio che cogiuga A co B toccado r. Zaichelli Editore, 006

2 Si dimostri che l equazioe se ha ua e ua sola radice e, utilizzado ua calcolatrice tascabile, se e dia ua stima. Si descriva altresì ua procedura di calcolo che coseta di approssimare co la precisioe voluta. Si dimostri che la somma dei coefficieti dello sviluppo di (a b) è uguale a per ogi N. L equazioe risolvete u dato problema è: k cos 5k 0 dove k è u parametro reale e ha le segueti limitazioi: Si discuta per quali valori di k le radici dell equazioe siao soluzioi del problema. Bruo de Fietti ( ), tra i più illustri matematici italiai del secolo scorso, del quale ricorre quest ao il ceteario della ascita, alla domada: «che cos è la probabilità?» era solito rispodere: «la probabilità o esiste!». Quale sigificato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a ua delle diverse defiizioi di probabilità che soo state storicamete proposte? U tiratore spara ripetutamete a u bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascu tiro. Quati tiri deve fare per avere probabilità 0,99 di colpirlo almeo ua volta? Della fuzioe f () si sa che è derivabile e diversa da zero i ogi puto del suo domiio e, acora, che: f () f () e f (0). Puoi determiare f ()? Teuto coto che: 4 0 d calcola u approssimazioe di utilizzado uo dei metodi di itegrazioe umerica studiati. Durata massima della prova: 6 ore. È cosetito soltato l uso di calcolatrici o programmabili. No è cosetito lasciare l Istituto prima che siao trascorse 3 ore dalla dettatura del tema. Zaichelli Editore, 006

3 SLUZINE DELLA PRVA D ESAME CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 PRBLEMA a) Poiché la lughezza del filo rappreseta il perimetro del rettagolo che delimita l aiuola, detti b, h rispettivamete la base e l altezza di tale rettagolo (figura ), vale: b h l. Figura. b h b h h b Scelta b come icogita, si ha h l b, quidi la fuzioe area da massimizzare risulta la seguete: (b) b l b b l b, b 0; l. Il grafico di (b) è ua parabola co la cocavità rivolta verso il basso e vertice di ascissa 4 l. Quidi il massimo della fuzioe è l ordiata del vertice, cioè: ma b 0; l (b) 4 l l6. l Si tratta del caso i cui l aiuola ha la forma di u quadrato di lato. 4 b) Si idica co la parte del filo che si usa per delimitare l aiuola di forma quadrata. La lughezza del lato del quadrato Q è duque 4. Di cosegueza, la lughezza della circofereza che delimita l aiuola di forma circolare è l ; si ricava quidi il raggio r: r l r l. Figura. Q 4 π 4 3 Zaichelli Editore, 006

4 Si è ora i grado di calcolare le due aree: area(q) 4 6 ; area( ) l (l ). 4 Sommado si ottiee la seguete fuzioe: g ( ) 6 4 l l, [0; l ]. 4 Il grafico di g è u ramo di parabola compreso tra i puti A(0; g (0)) e B (l; g (l )), co la cocavità rivolta verso l alto (figura 3). Si osserva che i casi 0 e l corrispodoo etrambi all utilizzo del filo itero (seza effettuare alcu taglio) per delimitare ua sola aiuola di forma circolare ( 0) o ua sola aiuola di forma quadrata ( l). 4π A 6 4(4+π) V B 4 4+π Figura 3. La fuzioe g () è cotiua i u itervallo limitato e chiuso, quidi, per il teorema di Weierstrass, ammette massimo e miimo assoluti. Precisamete, detto V il vertice della parabola, il miimo di g è l ordiata di V. Poiché V, allora: 4 4l mi g () g [0;l ] 4l 4 l. 4(4 ) c) Il massimo di g viee assuto i uo degli estremi dell itervallo di defiizioe. sservado che: l l g (0) g (l ), 4 6 l si coclude che ma g (), cioè l area massima si ottiee quado il filo o viee tagliato besì 4 utilizzato tutto per delimitare u uica aiuola di forma circolare. Si cosideri ora u parallelepipedo a base rettagolare di dimesioi a, b, c. Il suo volume è: V abc. Icremetado del 0% ciascua dimesioe (figura 4), si ottiee u uovo parallelepipedo di volume: V 0 00 a 0 00 b 0 00 c 0 3 abc 3 0 abc. 4 Zaichelli Editore, 006

5 0 c c b 0 b a 0 a Figura 4. La differeza tra i due volumi risulta essere: V V 3 0 abc. I termii percetuali, pertato, si ottiee: ,% PRBLEMA. Primo metodo Si discute l equazioe log a co metodo grafico poedo log e a e determiado gli evetuali puti di itersezioe tra i grafici delle due fuzioi, al variare di a. a 0. La fuzioe a è rappresetata da ua parabola co il vertice ell origie e co la cocavità rivolta verso il basso (figura 5). =log =a Figura 5. Si ha sempre u solo puto di itersezioe. a 0. La fuzioe a diveta 0. I questo caso (figura 6) il puto di itersezioe ha coordiate (; 0) e la soluzioe dell equazioe è quidi. a 0. La fuzioe a è rappresetata da ua parabola co il vertice ell origie e co la cocavità rivolta verso l alto. Figura 6. =log =0 5 Zaichelli Editore, 006

6 Ci soo tre possibilità al variare di a (figura 7): - abbiamo parabole che itersecao il grafico di log i due puti distiti; - esiste ua parabola tagete; - ci soo parabole che o itersecao mai il grafico di log. =a T =log Determiiamo la parabola tagete. Risulta: a log D(a ) D(log) a log a log a a e a. e Figura 7. La parabola tagete ha quidi equazioe e Riassumedo la discussioe dell equazioe log a, risulta: - per a 0, soluzioe; - per 0 a e, soluzioi distite; - per a e, soluzioi coicideti; - per a e, essua soluzioe. le due curve devoo itersecarsi. le due curve devoo avere la stessa tagete el puto comue log a e il puto di tageza T ha coordiate e;. Secodo metodo Le evetuali soluzioi dell equazioe log a soo gli zeri della fuzioe h() log a al variare di a R, che risulta cotiua el suo campo di esisteza D ]0; [. sserviamo che per a 0 si ottiee la ota fuzioe logaritmica che ha u uico zero i (figura 8). Sia ora a 0 e studiamo l adameto della fuzioe agli estremi del campo di esisteza. Vale: lim h () per ogi valore di a, 0 lim h () se a 0 se a 0 a=0 =log Figura 8. 6 Zaichelli Editore, 006

7 Trattiamo allora separatamete i casi a 0 e a 0. a 0. Dallo studio dei limiti effettuato, deduciamo che esistoo, D tali che f ( ) 0 e f ( ) 0. Per il teorema degli zeri, esiste almeo u puto ell itervallo ] ; [ i cui la fuzioe si aulla. D altra parte, risulta: h () a 0 per D, quidi la fuzioe è strettamete crescete. Pertato ache el caso a 0 l equazioe log a ha u uica soluzioe. a 0. I questo caso i limiti agli estremi del campo di esisteza soo etrambi egativi. Studiamo il sego della derivata prima h () a i D. Risulta: h () 0 a a. Poiché il massimo della fuzioe è assuto i di tale massimo. Calcoliamo l immagie: a log a a, l esisteza degli zeri di h dipede dal sego h (log a ). Studiamo la disequazioe: h a 0 log a 0 a. e I coclusioe: - 0 a : il massimo di h è positivo, i limiti agli estremi del campo di esisteza soo etrambi e egativi, ed esiste u solo puto critico; quidi la fuzioe h() ammette due zeri; - a : il massimo di h è zero ed esiste u solo puto critico, pertato l ascissa di tale massimo è e l uica soluzioe dell equazioe assegata dal problema; - a : poiché ma h 0, o esistoo soluzioi di h () 0. e Gli zeri dell equazioe log a possoo essere iterpretati graficamete come le ascisse dei puti di itersezioe tra i grafici di f () e g (), come mostra la figura 9. =a =a =a =log =log =log e 0<a< e a= e a> e Figura 9. 7 Zaichelli Editore, 006

8 I grafici di f e g soo tageti solo per a. Ifatti le due curve soo tageti se e solo se si itersecao e hao la stessa retta tagete el puto di itersezioe. Algebricamete, questo equivale a risol- e vere il seguete sistema: g () f () g () f () a log a log. a Questo sistema è soddisfatto se e solo se e e a. e. La fuzioe g assume i questo caso la forma g () e. Per quato visto el puto precedete, sappiamo che i grafici di f e g hao u puto i comue, che i tal caso è proprio il puto P (e ; ). Cosiderado le itersezioi tra la retta e i grafici delle fuzioi g e f, si ottegoo rispettivamete i puti di ascissa e e e. Per determiare l area evideziata i figura 0, occorre duque suddividere il domiio di itegrazioe ei due itervalli [e ; e ] e [e ; e ]. = e e e e P =log = = 0 e0 e (log ) d 0 0e e (e ) d Figura 0. [ log ] e e e 0 0 d [ ] e e e e 3 e 3 e e 4 5 e Scegliamo a e studiamo la fuzioe h () log. Per quato visto ei puti precedeti: - il campo di esisteza è D ]0; [; - o esistoo itersezioi co gli assi cartesiai e la fuzioe è sempre egativa perché il massimo è egativo; - i limiti agli estremi di D soo etrambi ; - f (), la fuzioe è crescete i 0;, decrescete i h'() h() ma Figura. ; e ma h () h D (log ), come riassuto ella figura. sserviamo che o vi soo asitoti obliqui perché lim h (). Rimae ora da studiare la derivata secoda: h () 4 ( ). 8 Zaichelli Editore, 006

9 Risulta quidi: h () 0 ( ) 0 e questa disequazioe o è mai soddisfatta. Pertato la derivata secoda è sempre egativa e la fuzioe ha la cocavità rivolta verso il basso i tutto il campo di esisteza. Il grafico della fuzioe è riportato ella figura. (log+) =log Figura. QUESTINARI Si tratta di calcolare la somma dei primi 64 termii della progressioe geometrica a, N, co ragioe q. Poiché la somma vale: s a q, q risulta: s ,84 0 9, dove s 64 rappreseta il umero dei chicchi. Si calcola il peso m, teedo coto che 000 chicchi pesao circa 38 g. m, g 69,9 0 6 g 69,9 0 0 t. U poliedro si dice regolare quado le sue facce soo poligoi regolari cogrueti e i suoi agoloidi soo cogrueti. Pertato gli agoli delle facce di ogi suo agoloide devoo essere agoli di poligoi regolari e devoo essere almeo tre. Ioltre, per u oto teorema di geometria solida, i ogi agoloide la somma degli agoli delle facce è miore strettamete di 360. Se le facce del poliedro soo triagoli equilateri, l agolo di ogi faccia è di 60, quidi si possoo avere agoloidi di tre facce (si ottiee il tetraedo), di quattro facce (si ottiee l ottaedro), di cique facce (si ottiee l icosaedro) ma o di più, perché la loro somma sarebbe maggiore o uguale a 360 e ciò è impossibile per il suddetto teorema. Se le facce del poliedro regolare soo quadrati, l agolo di ogi faccia è di 90, quidi si può avere solo l agoloide di tre facce (si ottiee il cubo). Se le facce del poliedro regolare soo petagoi regolari, l agolo di ogi faccia è di 08, quidi si può avere l agoloide di tre facce (si ottiee il dodecaedro) ma o di più. Se le facce del poligoo regolare soo esagoi regolari, l agolo di ogi faccia è di 0 quidi o si possoo avere poliedri relativi perché la somma degli agoli di tre facce è 360 il che è impossibile. Aalogamete o è possibile costruire poliedri regolari aveti per facce poligoi regolari co più di sei lati. 9 Zaichelli Editore, 006

10 3 Siao a e b le distaze di A e B dalla retta r e h la distaza tra le loro proiezioi D e C su r (figura 3). Si cosidera il caso i cui il puto P sia itero al segmeto CD. Posto PC, co 0 h, risulta: BP a, PD h, AP b (h ) h b h. È ecessario miimizzare la fuzioe f () BP AP, ovvero: B A a b D h P C r Figura 3. f () a h b h, 0 h. Si studia il sego della derivata prima f : h f (). a h b h Posto f () 0: h b h ( h) a a h b h 0, segue che: h b h (h )a. Si eleva al quadrato teedo coto che 0 h: ( h b h ) (h h)(a ) 4 h 3 b h a h h a 4 a h h 3 (a b ) a h a h 0 ah ah. a b a b ah Poiché 0 h e è maggiore di h, si ottiee la seguete tabella del sego di f () (figura 4). a b ah Si coclude che la fuzioe f ha u miimo per. a b Qualora si preda il puto P estero al segmeto CD, posto PC, si 0 + f () trova che la fuzioe g () da miimizzare è maggiore o uguale a f (), 0 ah h a b cioè g () f (). f() mi ah Pertato il miimo m del cammio rimae per e sostituedo ella fuzioe f si trova: a b Figura 4. m f ah a b (a b) h. 4 Defiita la fuzioe f () se, questa è derivabile e quidi cotiua su R; la sua derivata prima vale: f () cos. Scelto l itervallo I [; ], risulta che: 0 Zaichelli Editore, 006

11 f () 0,84 0 e f () 0, Pertato, per il teorema degli zeri, esiste almeo u puto tale che f () 0. Ioltre, poiché: f () 0 ]; [, il puto è uico. Per stimare il valore di si può procedere, per esempio, co il metodo di bisezioe e si ottiee la seguete tabella. a f(a) b f(b) a b f a b 0,84 0,090,5 0,497,5 0,497 0,090,75 0,34,75 0,34 0,090,875 0,079,875 0,079 0,090,938 0,005 Si può proseguire così fio alla precisioe voluta (la soluzioe alla quarta cifra decimale è,9346). 5 6 Lo sviluppo della poteza -esima di u biomio si può otteere co la formula del biomio di Newto: (a b) b k 0 ak k a a b b. k 0 La somma dei coefficieti dello sviluppo della poteza -esima del biomio si ottiee poedo a e b : ( ). Si ha quidi:. 0 0 Per k 0 l equazioe diveta 0 che è impossibile; si può quidi dividere per k 0 e diveta: cos 5k, k che (co le limitazioi espresse i radiati) equivale al sistema: A = 3 cos 5k k 4 Risolviamo il sistema graficamete (figura 5). Si trova: A cos k k 4(3 0) ; k 97 π 4 π B π 3 4 π = cos π Figura 5. B 0 k 5. Zaichelli Editore, 006

12 Pertato l equazioe ammette ua sola soluzioe per: 5 k 4(3 0) Tra le varie defiizioi di probabilità che soo state storicamete proposte vi è quella soggettiva che si usa per gli eveti per i quali o è possibile calcolare teoricamete il umero dei casi favorevoli e possibili e o si può sottoporre l eveto a prove sperimetali ripetute elle stesse codizioi. Essa viee applicata i vari casi reali, ad esempio se si vuole stimare la probabilità di vittoria di ua squadra di calcio a u toreo. La valutazioe soggettiva porta a cosiderare il calcolo della probabilità come a ua scommessa; essa è defiita come la misura del grado di fiducia che ua persoa attribuisce al verificarsi di u eveto E secodo la sua opiioe. Il valore si ottiee effettuado il rapporto tra la somma P che si è disposti a pagare i ua scommessa e la somma V che si riceverà el caso i cui l eveto si verifichi: p (E ) V P. Bruo De Fietti è il matematico italiao che ha fissato i fodameti della cocezioe soggettiva della probabilità; affermado che la probabilità o esiste itedeva forse dire che o esiste i modo oggettivo, cioè uguale per tutti, poiché, come già detto, i varie situazioi è possibile esprimere solo valutazioi soggettive e quidi persoali sul verificarsi di u eveto. 8 9 La probabilità di colpire il bersaglio è p 0,3 e di macarlo è q p 0,7. La probabilità di o colpirlo mai i tiri è q (0,7), perciò quella di colpire almeo ua volta i tiri è la probabilità cotraria (0,7). Si tratta ora di determiare il miimo itero tale che: (0,7) 0,99 (0,7) 0,0. Passado ai logaritmi si trova: log(0,7) log(0,0) log(0,7),9. log( 0,7) Quidi il tiratore deve compiere 3 tiri per colpire il bersaglio almeo ua volta. Ua fuzioe reale f, diversa da zero i ogi puto del suo campo di esisteza, che soddisfa la codizioe f ()f () è la fuzioe espoeziale f () ke, co k reale. Impoedo la codizioe f (0), risulta: k e f () e, R. Qualora si abbiao competeze sulle equazioi differeziali, si può risolvere il problema cosiderado d l equazioe. d Separiamo le variabili: d d l c ke co k reale. Impoedo la codizioe (0), risulta e. 0 Per il calcolo approssimato di si può utilizzare il metodo dei rettagoli. Dividedo l itervallo [0; ] i 5 parti uguali, si ottiee: 4 d f (0) f 5 f 5 f 3 5 f 4 5 ovvero 3,35. Aumetado il umero si può migliorare l approssimazioe. Zaichelli Editore, 006

13 Per esercitarti acora sugli argometi trattati el Svolgi il Problema Problema 83 pag. V 07 Problema 84 pag. V 08 Problema 88 pag. V 08 Problema Esercizio 739 pag. N 9 Problema pag. W 64 (puti a, b) Esercizio 500 pag. V 77 Esercizio pag. W 8 Problema 6 pag. W 40 (puto a) Quesito Problema pag. S 78 Quesito Quesito pag. 4 Quesito 3 pag. 4 Quesito 3 Esercizio 97 pag. V 09 Problema 0 pag. W 69 Quesito 4 Esercizio 70 pag. 8 Quesito 7 pag. 6 Quesito 5 Quesito 4 pag. 40 Quesito 9 pag. 40 Quesito 6 Esercizio 676 pag. Q 8 Esercizio 678 pag. Q 8 Quesito 7 Esercizio 3 pag. 77 Esercizio 35 pag. 77 Quesito 8 Test 7 pag. 97 Quesito 9 Esercizio 45 pag. V 45 (secodo caso) Quesito 0 Problema 8 pag. 57 (puto c) Quesito 5 pag. 6 3 Zaichelli Editore, 006