Terzo appello del. primo modulo. di ANALISI

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1 Terzo appello del primo modulo di ANALISI Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri e perle più piccole di diametro di 1 cetimetro. Co quati distiti allieameti è possibile coprire u filo di 1 cetimetri? Più i geerale mostrare che, se deotiamo co A() il umero dei distiti allieameti di perle (di 1 o 2 cetimetri di diametro) che coproo u filo lugo cetimetri, allora c é ua semplice relazioe lieare che permette di ricavare A() dai termii che lo precedoo. Sia k 5 u itero fissato. Se decidiamo di ifilare sul filo di 1 cm k perle grosse rimarrà solo lo spazio per 1 2k perle piccole e quidi sul filo verrao ifilate 1 kperle. Pertato ua cofigurazioe sarà determiata specificado i quali dei 1 k posti si viee a trovare ua perla grossa, il che equivale a selezioare u sottoisieme di k elemeti i u isieme di cardialità k; questa operazioe può essere fatta i ( ) 1 k k modi diversi. Pertato il umero totale di cofigurazioi possibili su u filo di 1 cm è A(1) = 5 ( ) 1 k = 89. k k= Sia C l isieme delle cofigurazioi su u filo lugo cm, possiamo vedere C come uioe disgiuta di due isiemi C = C C o O dove C o deota il sottoisieme delle cofigurazioi che termiao co ua perla piccola metre C O deota quello delle cofigurazioi che termiao co ua perla grade. Chiaramee C o è i bigezioe co C 1 metre C O è i bigezioe co C 2

2 (i etrambi i casi la bigezioe si ottiee tagliado il tratto di filo su cui è ifilata l ultima perla) pertato si ha A() = C = C o + C O = A( 1) + A( 2). Si avrà duque A(1) = 1, A(2) = 2, A(3) = 3, A(4) = 5, A(5) = 8,... abbiamo ritrovato i umeri di Fiboacci! 2. Sia f(x) := e x 1 e sia x la successioe defiita per ricorreza da { x = a (a) Mostrare che x è mootoa. x +1 = f(x ) (b) Dire per quali valori del parametro a R la successioe x risulta limitata. Studiamo la fuzioe g(x) := e x 1 x: da g (x) = e x 1 1 deduciamo che g è decrescete sull itervallo ], 1] e crescete sull itervallo [1, + [ duque g(x) g(1) = per ogi x R e di cosegueza f(x) x x R e quest ultima disuguagliaza implica la cresceza di x. Se a 1 x è limitata: ifatti, visto che f(], 1]) ], 1], è facile verificare per iduzioe che x ], 1] N e duque x [x, 1] N. Osserviamo ioltre che, per la mootoia, sup N x = lim + x := l. Se l < + dalla cotiuit a di f segue che f(l) = f( lim + x ) = lim f(x ) = + lim x +1 = l + da segue l = 1. Da ciò deduciamo che se x = a > 1 allora x o può essere superiormete limitata.

3 3. Sia f(x) := (cos x) 1/x2. (a) Mostrare che f è estedibile per cotiuità i. (b) Dire se è puto di massimo o miimo locale per la fuzioe così estesa. Studiamo dapprima la fuzioe h(x) = log f(x) = che log cos x = 1 2 x x4 + O(x 6 ) log cos x x 2 : visto si ha immediatamete che h(x) = x2 +O(x 4 ) è estedibile per cotiuità i x = e l origie è puto di massimo per la fuzioe così estesa. Visto che f(x) = e h(x) dalla cresceza della fuzioe espoeziale segue che le medesime cosiderazioi valgoo ache per f.

4 Secodo appello del secodo modulo di ANALISI Mostrare che x 1/x arcta s ds = π log x. s 2 Derivado l espressioe f(x) = x 1/x f (x) = arcta x x arcta sds otteiamo s arcta(1/x) ( 1 (1/x) x ) = 1 [arcta x + arcta(1/x)]. 2 x Ricordado che arcta x + arcta(1/x) = π/2 ed osservado che f(1) = deduciamo che f(x) = π log x (a) Mostrare che l equazioe y y = 1 e t + e t ammette al più ua soluzioe limitata. (b) Mostrare che l equazioe (*) del puto precedete ammette ua soluzioe y(t) tale che lim t y(t) =. Le soluzioi dell equazioe omogeea v v = soo del tipo v(t) = ae t +be t. Se y 1 ed y 2 soo soluzioi limitate dell equazioe o omogeea (*) allora la loro differeza è ua soluzioe limitata dell equazioe omogeea e di cosegueza è ulla. ( )

5 I effetti, applicado il metodo della variazioe delle costati arbitrarie, otteiamo che la geerica soluzioe dell equazioe ha la forma y(t) = (a + t e s t e s + e s ds)et + (b + e s e s + e s ds)e t. Visto che t e s ds = 1 1+e 2t log( ) e t e s ds = 1 1+e2t log( ) e s +e s 2 2 e s +e s 2 2 affichè la soluzioe sia ifiitesima serve che a = 1 log 2 2 e b = 1 log 2; i effetti per questa scelta dei parametri y(t) = log(1+e 2t )e t log(1+e2t )e t ed è immediato verificare che etrambi gli addedi che compogoo y soo ifiitesimi per t Sia g C (R, C) ua fuzioe 1-periodica. (a) Mostrare che per ogi k Z \ () si ha che 1 lim + g(t)e ikt dt =. (b) Più i geerale, mostrare che se f C 1 (R, C) è 2π-periodica si ha che ( 1 2π ) ( 1 ) lim g(t)f(t)dt = f(t)dt g(t)dt. + 2π (a). Visto che g è 1-periodica coviee riscrivere l itegrale g(t)e ikt dt = = = 1 h+1 h= h 1 1 h= 1 1 h= g(t)e ikt dt g(t + h)e ik(t+h) dt g(t)e ikt e ikh dt = 1 eikh 1 e ikh 1 È evidete che questa quatità è limitata, pertato 1 lim + g(t)e ikt dt =. g(t)e ikt dt

6 (b). Suppoiamo ora, per semplicità, che f sia a media ulla. Dato ɛ >, è possibile trovare u poliomio trigoometrico (a media ulla) σ tale che σ f < ɛ; possiamo quidi scrivere g(t)f(t)dt g(t)σ(t)dt + g(t) f(t) σ(t) dt g(t)σ(t)dt + ɛ g Dal puto (a) segue che lim g(t)σ(t)dt =, pertato si avrà che g(t)f(t)dt < ɛ(1 + g ) defiitivamete, e di cosegueza, visto che ɛ è arbitrario, lim g(t)f(t)dt =. Il caso i cui f o abbia media ulla si tratta semplicemete scrivedo f(t) = ˆf + (f(t) ˆf ): il primo pezzo è costate metre il secodo ha media ulla e la tesi segue immediatamete.