ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente

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1 Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi: Criteri di cofroto e criterio di codesazioe Criteri della radice, del rapporto, di Raabe. Criterio dell itegrale. 3. Serie a sego qualuque: serie assolutamete covergeti e serie a sego altero. 4. Complemeti Riordiameti Il prodotto di Cauchy di due serie Prodotti ifiiti Successioi e serie i campo complesso Somma si serie e sviluppi di Taylor Idice delle defiizioi, dei teoremi e degli esempi fodametali Idice degli esercizi svolti i aula Nota fiale e riferimeti bibliografici Versioe del 3 Marzo 2009

2 Prime geeralità sulle serie Prime geeralità sulle serie Defiizioe.. Assegata ua successioe {a } N di umeri reali, per ogi m N, si defiisce somma parziale m-esima di {a } N il umero reale S m := a = a 0 + a + + a m. La successioe {S m } m N viee deomiata serie di termie geerale -esimo a. Ua serie viee i geere idicata co il simbolo e talvolta ache co a 0 + a + + a a Il carattere della successioe {S m } m N viee idicato come carattere della serie. Si dice che ua serie è regolare, covergete, divergete positivamete oppure divergete egativamete se tale è la successioe delle sue somme parziali. Ua serie o regolare viee deomiata idetermiata. Nel caso i cui la serie sia regolare, il limite della successioe delle somme parziali viee deomiato somma della serie e deotato acora co il simbolo + a ; sarà chiaro dal cotesto se tale simbolo idica la serie o la sua somma. Esplicitamete, se S R, si ha a = S R ε > 0, ν N tale che ν : a = + M > 0, ν N tale che ν : a = M > 0, ν N tale che ν : S a k < ε. k=0 a k > M. k=0 a k < M. Notiamo ifie che potremmo cosiderare serie per geeriche successioi del tipo {a } 0 co 0 0. Quato detto el seguito cotiuerà a valere ache per queste successioi. Esempio.. Sia a = per ogi N. Risulta S m = = m + quidi la serie degli a è positivamete divergete. Esempio.2. Sia {a } N = {( ) } N. Risulta { m pari {S m } m N = 0 m dispari quidi la serie degli a è idetermiata. k=0

3 Prime geeralità sulle serie 2 { } Esempio.3. Serie di Megoli Sia {a } N = (+) N. Risulta S m = ( + ) Passado al limite risulta = m (m + ) ( = ) ( ) ( m ) m + quidi la serie degli a è covergete co somma. ( ( + ) = lim ) =. m + m + = m +. La serie di Megoli rietra i ua classe più ampia di serie per le quali possiamo facilmete stabilire il carattere. Defiizioe.2. Assegata ua successioe {b } N si cosidera la successioe delle differeze di termii successivi della b, ovvero a = b + b. La serie di termie geerale a si dice serie telescopica. Teorema.. Teorema sul carattere di ua serie telescopica. Sia {b } N R. Si cosideri la serie telescopica Risulta (b + b ). Tale serie è regolare se e solo se lo è la successioe b. Tale serie divergete positivamete (rispettivamete egativamete) se e solo se la successioe b diverge positivamete (rispettivamete egativamete). Tale serie è covergete se e solo se la successioe b è covergete. I quest ultimo caso lim b = L (b + b ) = L b 0. Dimostrazioe. La somma parziale della serie è data da (b + b ) = (b b 0 ) + (b 2 b ) + + (b m+ b m ) = b 0 + b m+. La tesi segue per passaggio al limite. Esempio.4. Si cosideri la successioe { lg + }. La serie corrispodete divergete positivamete poichè è ua serie telescopica, co S m = m (lg( + ) lg ) = lg(m + ).

4 Prime geeralità sulle serie 3 Osservazioe. Abbiamo visto che data ua successioe {a } N possiamo sempre associarvi ua serie telescopica di termie geerale b = a + a e somma parziale S m = a 0 + a m+. Possiamo ache otare che si può sempre costruire ua serie la cui successioe delle somme parziali sia {a } N si tratta della serie a 0 + (a + a ) Esempio.5. La serie geometrica U esempio importate per il seguito è dato dalla serie h co h R, la quale viee deomiata serie geometrica di ragioe h. Per ogi m N, deotata co s m la somma parziale m-esima, risulta S m = + h + + h m hs m = h + h h m+ e sottraedo si ha ( h)s m = h m+. Se h =, come visto ell Esempio., la serie diverge. Se h si ha Ricordado che lim m + hm = S m = hm+ h si ha che per h <, la serie è covergete e risulta + se h > se h = 0 se < h < o esiste se h h = h. Per h la serie geometrica diverge positivamete, metre se h, la serie è idetermiata. Alcue semplici operazioi algebriche sulle serie possoo essere dedotte dai teoremi sui limiti di successioi. Il successivo risultato ci dice che per le serie valgoo le operazioi ammissibili i ˆR. Teorema.2. Si cosiderio due serie di umeri reali + a e + b. ) Se le serie soo etrambe covergeti, ache la serie somma + (a + b ) è covergete e si ha (a + b ) = a + b ;

5 Prime geeralità sulle serie 4 2) Se ua delle due serie è divergete positivamete (risp. egativamete) e se l altra serie è covergete, allora la serie + (a + b ) risulta divergete positivamete (risp. egativamete). 3) Se la serie + a è covergete e se λ R, allora ache la serie + λa è covergete e si ha (λa ) = λ + a. 4) Se la serie + a è divergete positivamete (rispettivamete, egativamete) e se λ > 0, allora ache la serie + a (λa ) è divergete positivamete (rispettivamete, egativamete). Se ivece λ < 0, la serie + (λa ) è divergete egativamete (rispettivamete, positivamete). Dimostrazioe. Dimostriamo la proprietà ), le altre si deducoo i modo aalogo. Sia {S m } la successioe delle somme parziali relative alla serie di termie geerale a e {T m } la successioe delle somme parziali relative alla serie di termie geerale b. Essedo (a + b ) = S m + T m per i teoremi sulle operazioi sui limiti risulta ovvero la tesi. lim m + (a + b ) = lim S m + lim T m = m + m + a + b Osservazioe. Applichiamo quato visto per la serie geometrica alla rappresetazioe decimale dei umeri razioali. Sappiamo che la frazioe geeratrice di u umero periodico è data da a 0, a a 2...a k a k+...a = a 0 + a a 2...a k a k+... a a...a k } 9.{{..9} } 0.{{..0} k k ad esclusioe del periodo 0 e del periodo 9. Osserviamo, mediate esempi, che tale risultato è cosegueza della somma della serie geometrica. Prima di tutto osserviamo che la covezioe dell idetificazioe che si fa del periodo 9 co l uità successiva ha ora u seso preciso. Ifatti 0, = ( ) = 0 0 = 0 9 = 9, quidi, se ammettessimo il periodo 9, si avrebbe 0, 9 = 9 0, = 9 9 =. Mediate la serie geometrica si possoo cosiderare gli allieameti decimali i ogi base (va cosiderata ua diversa ragioe della serie) Si può così dimostrare che u umero periodico resta periodico se lo si riscrive i u altra base.

6 Prime geeralità sulle serie 5 Esempio.6. Verifichiamo che 3/99 = 0, 3. Risulta 0, = = 3 00 ( = 2 00 ( ) ) = = = Osserviamo che + 2 = 2, + 2 =, =2 2 = 2,... Abbiamo duque l impressioe che i primi termii cotribuiscoo i modo sigificativo alla somma della serie; viceversa o sembra possibile cambiare questi termii i modo che questa uova serie o coverga. I prossimi risultati (Lemma.3, Teoremi.4 e.5 ) formalizzao proprio questi feomei. Lemma.3. Il carattere di ua serie o cambia quado si alterao u umero fiito di termii. Dimostrazioe. Siao {a } N e {b } N due successioi tali che A = {k N a k b k } è fiito. Sia ν = max A. Per ogi ν risulta a = b cioè a b = 0. Per ogi m ν si ha Passado al limite su m N, si ha (a b ) = (a b ) = ν (a b ). ν (a b ). Essedo b = (b a ) + a possiamo usare il Teorema.2 (puto ) per cocludere che se + a coverge ache + b coverge. Mediate lo stesso teorema (puto 2) si vede che se + a diverge positivamete (risp. egativamete) ache + b diverge positivamete (risp. egativamete). Se + a è idetermiata, per m ν risulta b = ν (b a ) + a. Passado al limite su m, il limite del secodo membro, e quidi del primo, o esiste. Ovvero + è idetermiata. b

7 Prime geeralità sulle serie 6 Nel caso della serie geometrica e delle serie telescopiche, abbiamo visto che si riesce a semplificare il valore delle somme parziali S e a calcolare limite. Questo è purtroppo u caso piuttosto raro. Nella maggiorparte dei casi si ricorre a criteri idiretti. Il primo viee utilizzato per escludere che la serie coverga. Teorema.4. Sia {a } N ua successioe di umeri reali e si suppoga che la serie + a sia covergete. Allora lim + a = 0. Dimostrazioe. Si cosideri la successioe {S m } m N delle somme parziali della serie + a e sia S R la somma della stessa serie. Per il teorema delle successioi estratte lim S m = S = lim S m quidi m + m + lim a m = lim S m S m = lim S m lim S m = S S = 0. m + m + m + + Esempio.7. La codizioe precedete o è i geerale sufficiete ad assicurare la covergeza di ua serie. Si pesi all Esempio.4 per ua serie divergete co termie geerale ifiitesimo. Vedremo che ache la serie armoica (Esempio.8) è divergete pur essedo il suo termie geerale ifiitesimo. Ua codizioe ecessaria e sufficiete di covergeza per le serie è data mediate il comportameto di ua uova serie detta serie resto m-esimo. Defiizioe.3. Sia {a } N ua successioe di umeri reali e sia m N. Il resto m-esimo della serie + a è la serie di termie geerale b = esso viee idicato co il simbolo R m. Ovvero R m = { 0 m a m + b = =m+ I virtù del Lemma.3 la serie di parteza e la serie resto m esimo hao lo stesso carattere. Teorema.5. La serie coverge se e solo se la serie resto m-esimo è covergete per ogi m N e la successioe {R m } m N è ifiitesima. Dimostrazioe. Essedo R 0 = + a ua implicazioe è baale. Sia S = + a, risulta R m = lim K K b = lim K K =m+ Passado al limite su m si ha lim m R m = 0. a = lim K K a. a a = S a.

8 Prime geeralità sulle serie 7 Ua ulteriore codizioe ecessaria e sufficiete per la covergeza di ua serie si ricava dal criterio di covergeza di Cauchy per le successioi. Teorema.6. Criterio di Cauchy per serie Sia {a } N ua successioe di umeri reali. Le segueti proposizioi soo equivaleti (a) La serie + a è covergete (b) ε > 0 ν N tale che k, m ν : k a m a < ε. (c) ε > 0 ν N tale che k, m ν, k m : (d) ε > 0 ν N tale che k ν, p N : k+p =k+ =k+ a < ε. a < ε. Dimostrazioe. Le proprietà (a) e (b) soo equivaleti per il criterio di Cauchy delle successioi applicato alle successioi delle somme parziali. Le proprietà (b) e (c) soo equivaleti i quato m a = k a + m =k+ Ovviamete la proprietà (c) implica (d), scelto m = k + p. Viceversa fissati k, m N co k m esiste p N tale che m = k + p, quidi la proprietà (d) implica la proprietà (c). a. U altro fodametale esempio di serie o covergete co termie geerale ifiitesimo, è dato dalla serie armoica così chiamata perchè ogi termie è la media armoica del precedete e del successivo. 2 Esempio.8. La serie armoica Sia data la successioe a = per. La serie ad essa associata si chiama serie armoica. Mostriamo, mediate il criterio di Cauchy che la serie + o coverge. Si osserva che 2(k+) =k+ = k + + k k + 2 2k k k + 2 = k + 2(k + ) = 2. Preso duque ε < /2 viee violata la codizioe (d) del criterio di Cauchy i corrispodeza di ogi ν N, k ν e p = k + 2. Possiamo essere più precisi rispetto al carattere della serie armoica utilizzado u teorema di cofroto che geeralizza quello delle successioi. 2 Dati a, b due umeri reali o ulli, la loro media armoica è data dalla quatità [ ( + )]. 2 a b

9 Prime geeralità sulle serie 8 Teorema.7. Si cosiderio due serie + a e + b e si suppoga che a b N. () Allora (i) Se la serie + a è divergete positivamete, lo è ache la serie + b. (ii) Se la serie + b è divergete egativamete, lo è ache la serie + a. Dimostrazioe. Sommado termie a termie le disuguagliaze a b, fissato m N risulta a b. Per otteere (i) e (ii) basta applicare il teorema di cofroto per successioi. Esempio.9. La serie armoica diverge positivamete ovvero Sappiamo che la successioe b = = +. ( + ) è crescete e covergete al suo sup pari al umero di Nepero e. Quidi ( + ) e. Essedo la fuzioe y = lx crescete, dalla precedete disuguagliaza si deduce che ( = le l + ) ( = l + ) I coclusioe Cosiderado la somma parziale abbiamo l +. m l +. Operado come ell Esempio.4 possiamo cocludere che S m = l(m + ). Passado al limite per m +, essedo {l(m + )} ua successioe divergete, per i teoremi di cofroto delle successioi risulta S m divergete e quidi la serie armoica è divergete.

10 2 Serie a termii o egativi 9 Esempio.0. La serie armoica geeralizzata + α co espoete 0 < α < diverge. Se 0 < α < essedo, risulta α < quidi < α. Quidi la serie armoica è miorate per la serie armoica geeralizzata di espoete 0 < α < che duque diverge per cofroto. y = x y = x α 2 Serie a termii o egativi Defiizioe 2.. Ua serie + a tale che a > 0 per ogi N viee deomiata serie a termii positivi (oppure a termii strettamete positivi). Se a 0 per ogi N si dice che la serie è a termii o egativi. Se a 0 per ogi ν, co ν N assegato, allora la serie si dice defiitivamete a termii o egativi. Aalogamete si defiiscoo le serie a termii defiitivamete positivi. Teorema 2.. Teorema di regolarità delle serie a termii o egativi. Ua serie a termii o egativi coverge o diverge positivamete. I particolare essa coverge se e solo se la successioe delle somme parziali è limitata. Dimostrazioe. Per serie a termii o egativi la successioe delle somme parziali risulta crescete; ifatti quidi S m+ = S m + a m+ S m lims m = sup S m. m m Se le somme parziali soo limitate superiormete la successioe {S m } e quidi la serie coverge. Se sup S m = + la serie diverge positivamete. m Osservazioe. Grazie al Lemma.3 il teorema precedete si estede a serie a termii defiitivamete o egativi. Per serie a termii egativi, applicado il teorema precedete alla serie di termie geerale a e ricordado il Teorema.2 avremo covegeza oppure egativa divergeza. Osservazioe. Per idicare che ua serie + a a termii o egativi è covergete, ha seso scrivere + a < +. Tale otazioe o ha seso se la serie o è a termii o-egativi. Osservazioe. Ua serie a termii o egativi per cui o sia verificata la codizioe ecessaria diverge. Esempio 2.. La serie armoica o verifica il criterio di Cauchy, quidi o coverge. Essedo a a termii positivi essa diverge. Per tali serie è possibile stabilire diversi criteri di covergeza.

11 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe 0 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe I criteri di cofroto estedoo quato fatto ella dimostrazioe della divergeza della serie armoica. U primo criterio elemetare di cofroto si può ricavare direttamete dai teoremi di cofroto per i limiti. Teorema 2.2. Criterio di cofroto Si cosiderio due serie + a e + b e si suppoga che esista ν N tale che Allora 0 a b N, ν. (2) (i) Se la serie + a è divergete positivamete, lo è ache la serie + b. (ii) Se la serie + b è covergete, lo è ache la serie + a. (iii) Sia 0 a b per ogi N. Se la serie + b è covergete, lo è ache la serie + a e si ha la seguete disuguagliaza delle somme delle serie: Dimostrazioe. Si poe a b. b = { a ν b ν +. Le serie + b e + b differiscoo per u umero fiito di termii e quidi per il Lemma.3 hao lo stesso carattere. Sommado termie a termie le disuguagliaze a b, fissato m N risulta a b. Per otteere (i) basta applicare il teorema di cofroto per successioi e torare da b a b. Per il puto (ii) bisoga combiare il teorema di cofroto per successioi, il Lemma.3 co il precedete criterio di regolarità delle serie a termii o egativi. Ifie per (iii), abbiamo che m a m b 0 e sappiamo che esistoo A, B 0 tali che a = A, + b = B. Per il teorema di permaeza delle disuguagliaze A B. Osserviamo che la disuguagliaza tra le somme delle serie o vale se la la disuguagliaza a b è verificata solo defiitivamete. I geerale, quado si cambiao u umero fiito di termii, o cambia il carattere della serie, ma i caso di covergeza cambia la somma della serie stessa.

12 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe Teorema 2.3. Criterio del cofroto asitotico Si cosiderio due serie + a a termii o egativi e + b a termii strettamete positivi. Si suppoga che esista il limite lim a b = l.. Se l > 0, l R, le due serie hao lo stesso carattere. 2. Se l = 0 e se la serie + b è covergete, ache la serie + a è covergete. Se ivece la serie + a è divergete positivamete, ache la serie + b è divergete positivamete. 3. Se l = + se la serie + a è covergete, ache la serie + b coverge, metre se la serie b è divergete positivamete ache la serie + a è divergete positivamete. Dimostrazioe.. Dalla defiizioe di limite, i corrispodeza di ε = l/2 > 0, esiste ν N tale che l/2 < a /b < 3l/2 per ogi ν, da cui l 2 b < a < 3l 2 b. Applicado il precedete criterio di cofroto e il Teorema.2 (3), teedo coto di etrambe le diseguagliaze, si deduce che le due serie hao lo stesso carattere. 2. Dalla defiizioe di limite, co ǫ =, esiste ν N tale che a /b < per ogi ν, da cui a < b. Ache i questo caso si può cocludere applicado il criterio di cofroto. 3. Basta applicare il caso 2) ivertedo i ruoli delle due serie ifatti i questo caso lim b /a = 0. L ipotesi a a termii strettamete positivi è defiitivamete verificata essedo lim a b = +. Esempio 2.2. La serie armoica geeralizzata + α co espoete α 2 coverge. La serie + si cofrota asitoticamete alla serie di Megoli studiata ell Esempio.3: 2 lim / 2 /(( + )) =. Poichè la serie di Megoli coverge, per il precedete criterio, ache la serie armoica geeralizzata di espoete 2 coverge. Se α > 2 essedo, risulta α > 2 quidi α < 2. Quidi la serie armoica geeralizzata di espoete α > 2 coverge per cofroto co la serie armoica geeralizzata di espoete α = 2. y = x α α > 2 y = x 2

13 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe 2 Mediate i teoremi di cofroto o abbiamo alcua iformazioe sulla serie armoica el caso < α < 2. Questo caso sarà trattato i tre modi diversi. Teorema 2.4. Criterio di codesazioe di Cauchy. Sia {a } N ua successioe decrescete di umeri reali o egativi. La serie + a coverge se e solo se la serie + 2 a 2 coverge. Dimostrazioe. Trascuriamo per semplicità il primo termie di + a Sia {S m } m N la successioe delle somme parziali di + a e {T m } m N la successioe delle somme parziali di + 2 a 2. Essedo {a } N ua decrescete si ha Sommado queste disuguagliaze otteiamo a = 2 0 a 2 0 a 2 + a 3 a 2 + a 2 = 2a 2 = 2 a 2 a 4 + a 5 + a 6 + a 7 a 4 + a 4 + a 4 + a 4 = 4a 4 = 2 2 a 2 2 a 8 + a a 5 8a 8 = 2 3 a k+ S 2 k+ T k.... =2 k... a 2 k a k = 2 k a 2 k Utilizzado il teorema di cofroto per successioi, vogliamo provare che se {T k } k N coverge allora {S m } m N coverge. Ricordiamo che m N, ν N, tale che m < 2 ν+. Questa relazioe segue ad esempio dalla defiizioe di limite applicata a lim k 2 k+ = +. Essedo poi {S m } crescete, per ogi m N esiste ν N per cui S m < S 2 ν+ T ν Se {T k } k N coverge, essedo mootoa, è limitata. Duque {S m } m N è limitata e quidi la serie di parteza è covergete perchè a termii positivi.

14 2. Criteri di cofroto e criterio di codesazioe 3 Viceversa si ota che a a 2 a 2 2a 2 2 = 2 20 a 2 0 = 2 2 a 2 a 3 + a 4 a 4 + a 4 = 2a 4 = 2 22 a 2 2 a 5 + a 6 + a 7 + a 8 a 8 + a 8 + a 8 + a 8 = 4a 8 = 2 23 a k =2 k a 2 k a k = 2 2k a 2 k Sommado otteiamo S 2 2 T Se {S m } m N coverge allora è limitata quidi {T k } k N è limitata e duque covergete perchè a termii positivi.... Esempio 2.3. La serie + α coverge se α > e diverge positivamete se α. Sia a = α, Essedo ua serie a termii positivi la sua covergeza sarà equivalete alla covergeza della serie 2 a 2 = ( ) α 2 2 = ( ) 2 α 0. Tale serie, è la serie geometrica di ragioe 2 α, quidi coverge se e solo se 2 α < ovvero α >. Ioltre ella dimostrazioe del criterio di codesazioe abbiamo provato che le somme parziali della serie di parteza soo maggiorate dalla somma della serie di termie geerale 2 a 2. Passado al limite, tale disuguagliaza si coserva, duque si ha + α ( ) 2 α = 2α = 2 α 2 α 2. (3) Co strumeti più sofisticati si provao alcue somme della serie armoica geeralizzata, ad esempio se α = 2 si prova che 2 = π2 6. Utilizzado la serie armoica geeralizzata el criterio del cofroto asitotico, si ha il seguete.

15 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 4 Corollario 2.5. Criterio degli ifiitesimi. Sia p R. Si cosideri + a a termii o egativi e si suppoga che esista il limite lim p a = l R.. Se l > 0, l R, la serie data ha lo stesso carattere della serie + 2. Se l = 0 e p > la serie data coverge. 3. Se l = + e p la serie data diverge positivamete. 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe Richiamo. Sia {x } N ua successioe di umeri reali limitata. Si dice che l è il miimo limite della successioe e si scrive lim if x = l se soo verificate le segueti due proprietà caratteristiche p. l.i) ε > 0 esiste ν N tale che per ogi N, ν risulta l ε < x. l.ii) ε > 0 e per ogi ν N esiste N, ν per cui x < l + ε. Aalogamete, si dice che L è il massimo limite della successioe e si scrive lim supx = L se soo verificate le segueti due proprietà caratteristiche L.I) ε > 0 esiste ν N tale che per ogi N, ν risulta x < L + ε. L.II) ε > 0 e per ogi ν N esiste N, ν per cui L ε < x. Se la successioe è illimitata iferiormete si poe lim if Se la successioe è illimitata superiormete si poe lim if x = x = + Nella pratica il calcolo del massimo e miimo limite di ua successioe corrispode all idividuare il più grade e il più piccolo valore di adereza della successioe, cioè il più grade e il più piccolo elemeto di R a cui tede ua estratta della successioe data.

16 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 5 Teorema 2.6. Criterio della radice. Sia L ˆR. Sia {a } il termie geerale di ua serie a termii o egativi, ovvero a 0 per ogi N. Sia lim sup + a = L. Allora, se L > la serie + a k diverge positivamete, se L < la serie + a k coverge. k= Dimostrazioe. Sia L R tale che L > scegliamo ε > 0 i modo che L ε > Per le proprietà caratteristiche del massimo limite, per ogi ν N esiste ν per cui risulta a > L ε ossia a > (L ε) per ifiiti idici. La serie o pu covergere perchè il suo termie geerale o tede a zero. Essedo a termii o-egativi, la serie diverge positivamete. Se L = + allora la successioe o è limitata quidi o può essere ifiitesima. Nuovamete il termie geerale della serie o tede a zero e quidi la serie essedo a termii o egativi diverge positivamete. Se L < scegliamo ε > 0 i modo che L + ε < Per le proprietà caratteristiche del massimo limite, esiste ν N tale che per ogi ν risulta a < L + ε ossia a < (L + ε). La serie data è defiitivamete maggiorata dalla serie geometrica di ragioe L + ε <. Per cofroto la serie data coverge. Ricordiamo che se ua successioe coverge se e solo se il massimo limite coicide co il miimo limite. Ioltre il limite della successioe è esattamete il massimo limite, ovvero il miimo limite. Corollario 2.7. Criterio della radice. Sia L ˆR. Sia a il termie geerale di ua serie a termii o egativi. Suppoiamo che esista il limite lim + a = L. Allora, se L > la serie + a diverge positivamete, se L < la serie + a coverge. Osserviamo che il criterio della radice è iefficace per l =, i particolare o dà iformazioi per la serie armoica geeralizzata. Richiamo. Per i Teoremi di tipo Cesaro il limite della radice -esima di ua successioe è legato al limite del tasso di crescita della successioe. Precisamete, se a > 0 per ogi 0 allora lim a + a = l lim a = l. Dal precedete corollario si deduce subito il seguete risultato. Teorema 2.8. Criterio del rapporto. Sia L ˆR. Sia a il termie geerale di ua serie a termii strettamete positivi. Suppoiamo che esista il limite a + lim = L. + a Allora, se L > la serie + a diverge positivamete, se L < la serie + a coverge. k=

17 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 6 Ache tale risultato può euciarsi facedo uso del massimo e miimo limite di a. Teorema 2.9. Criterio del rapporto. Siao l, L ˆR. Sia {a } il termie geerale di ua serie a termii positivi, ovvero a > 0 per ogi N. Siao a + a + lim if = l lim sup = L. + a + a Allora, se l > la serie + a k diverge positivamete, se L < la serie + a k coverge. k= Dimostrazioe. Se l > la successioe {a } N è defiitivamete crescete. Ifatti per la prima proprietà del miimo limite, preso ε = l h co < h < l, esiste ν N tale che Per ogi ν risulta a + a > h >, ovvero a + > a. Essedo a termii positivi, la serie otteuta da ua successioe strettamete crescete o può essere ifiitesima. Essedo violata la codizioe ecessaria per la covergeza della serie, ed essedo la serie a termii positivi essa deve essere divergete positivamete. Se L <,si può cosiderare q R tale che L < q <. Applichiamo la proprietà caratteristica del massimo limite co ε = q L > 0. Esiste ν N tale che, per ogi ν risulta a + /a < q, da cui a + < qa. Per ogi ν risulta a q ν a ν. ifatti, tale proprietà è ovviamete vera per = ν e, supposta vera per u certo ν, si ha a + < qa < qq ν a ν = q + ν a ν. I defiitiva, per ogi k N risulta a ν + a ν+ + + a ν+k a ν ( + q + + q k ). Per cofroto co la serie geometrica di ragioe q < abbiamo che k= a =ν coverge. Poichè il comportameto della serie o cambia alterado u umero fiito di termii, ache la serie a coverge. Osserviamo che il criterio del rapporto ella forma del Teorema 2.8 è iefficace per L =, i particolare o dà iformazioi per la serie armoica geeralizzata. Ci si potrebbe chiedere se elle applicazioi covega utilizzare il criterio della radice o quello del rapporto o se è idifferete. Mostriamo che il criterio della radice è più efficace el seso che tutte le volte che il criterio del rapporto dà la covergeza, lo stesso vale per il criterio della radice. Ogi volta che il criterio della radice o dà iformazioi, lo stesso vale per il criterio del rapporto. È solo per ua opportuità di calcolo che scegliamo di applicare i molte situazioi il criterio del rapporto.

18 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 7 Proposizioe 2.0. Sia {c } N ua successioe a termii strettamete positivi. Si hao le segueti relazioi. lim sup lim if c lim sup c lim if c + Dimostrazioe. Dimostriamo la (4), aalogamete si procede per (5). c (4) c + c (5) c Sia L 2 = lim sup + c. Se L 2 = + l asserto è baale. Sia L 2 R. Dalla prima proprietà del massimo limite, i corrispodeza di ǫ > 0 esiste ν N tale che per ogi ν si ha c + c L 2 + ε. Questo implica che c + (L 2 + ε)c e, come visto ella dimostrazioe del criterio del rapporto, per ogi ν risulta c (L 2 + ε) ν c ν. Ne deduciamo che c (L 2 + ε) cν (L 2 + ε) ν. Passado al limsup su e madado ε a zero si ha l asserto. Per chiarire acora meglio la relazioe tra i due criteri diamo u esempio di serie per cui il criterio del rapporto o dà iformazioi metre il criterio della radice risulta efficace. Esempio 2.4. Si cosideri la serie associata alla successioe { 2 pari a = 3 dispari Voledo utilizzare il criterio del rapporto abbiamo che ( a 2 ) 3 3 pari + = a ( 3 ) 2 2 dispari Quidi si ha lim if Il criterio del rapporto è quidi iapplicabile. Quidi Viceversa a + a + = 0, lim sup = +. (6) a a a = lim sup La serie coverge per il criterio della radice. 2 pari 3 dispari a = <. (7) 2

19 2.2 Criterio della radice, del rapporto e di Raabe 8 Osservazioe. Acceiamo, seza dimostrarlo, che il criterio degli ifiitesimi è più efficace del criterio della radice, el seso che tutte le volte che il criterio della radice forisce iformazioi, le avrebbe forite ache il criterio degli ifiitesimi. Vi soo serie per cui il criterio della radice è iefficace, metre quello degli ifiitesimi dà iformazioi. Nei casi i cui sia il criterio della radice che quello del rapporto soo iefficaci, viee utilizzato u criterio acora più geerale. Teorema 2.. Criterio di Raabe. Sia {a } N ua successioe di umeri reali strettamete positivi. Suppoiamo che esista ( ) a lim = L R a ˆR. + Se L R > la serie + a coverge. Se L R < la serie + a diverge positivamete. Dimostrazioe. Sia L R >. Applichiamo la defiizioe di limite co ε < L R. Ovvero L R ε >. Poiamo Esiste ν N tale che, per ogi ν risulta I particolare per ogi ν si ha h = L R ε > 0. (a /a + ) > (L R ε). (8) a a + > (L R ε)a + > a +. Da ciò segue a > ( + )a +. Ovvero, la successioe {a } è strettamete positiva e decrescete, quidi covergete. Per il Teorema., coverge ache la serie telescopica associata a questa successioe: Da (8) segue ache che per ogi ν, si ha ache a ( + )a + < + a ( + )a + > ha +. I defiitiva a + < h (a ( + )a + ). La serie data coverge allora per cofroto co la serie telescopica h (a ( + )a + ) < +. Sia L R <. Per il Teorema della permaeza delle disuguagliaze, esiste ν N tale che per ogi ν risulta (a /a + ).

20 2.3 Criterio dell itegrale 9 I particolare per ogi ν si ha a a + a +. Da ciò segue a ( + )a +. Ovvero, la successioe {a } è strettamete positiva e crescete. I particolare (ν + )a ν+ νa ν, (ν + 2)a ν+2 (ν + )a ν+ νa ν. Iterado questo procedimeto, si ottiee che per ogi ν a νa ν. La serie data diverge per cofroto co la serie armoica. Esempio 2.5. Osserviamo che, cotrariamete al criterio della radice e del rapporto, il criterio di Raabe si applica alla serie armoica geeralizzata. Ifatti se a =, allora α ( ) a lim a + = lim ( + ) α Quidi se α > la serie coverge, se α < la serie diverge. = α. (9) Nel caso α = il criterio o ci dice ulla (L R = ), come ci si aspetta avedo usato proprio la divergeza di tale serie ella dimostrazioe del criterio. 2.3 Criterio dell itegrale Diamo u ulteriore criterio che relazioa la covergeza di ua serie a termii o egativi co la covergeza di u itegrale improprio. Il criterio può essere usato ache per stabilire la covergeza di u itegrale improprio i u itoro di + partedo dalla covergeza di ua serie. Teorema 2.2. Sia f : [0 + ) [0, + ) ua fuzioe o egativa decrescete. La serie + f() risulta covergete se e solo se la fuzioe f è itegrabile i u itoro di +. Ioltre f() + 0 f(x)dx Dimostrazioe. Essedo f decrescete, per ogi N risulta f( + ) f(x) f() x [, + ]. f(). (0) Ioltre la fuzioe f è itegrabile su ciascuo di questi itervalli perchè mootoa. Itegrado la precedete relazioe ell itervallo [, + ], si ottiee + f( + ) f(x)dx f() Sommado sugli iteri tra zero ed m N risulta f( + ) m f(x)dx 0 f().

21 2.3 Criterio dell itegrale 20 Cambiado variabile ella prima sommatoria, si ha m+ f() m 0 f(x)dx f(). Idicado co {S m } m N la successioe delle somme parziali delle serie a termii o egativi di termie geerale f() abbiamo otteuto che S m+ f(0) m 0 f(x)dx S m. Se l itegrale geeralizzato + 0 f(x)dx coverge si ha che {S m+ } m N è limitata duque {S m } m N è limitata, quiid covergete e vale la prima disuguagliaza. Se la serie coverge, risulta {S m } m N limitata e quidi per ogi m N si ha m 0 f(x)dx S essedo S la somma della serie data. L itegrale improprio + 0 f(x)dx può covergere o divergere positivamete essedo f positiva. Se per assurdo divergesse positivamete, i corrispodeza di S esisterebbe δ > 0 tale che per ogi t δ t 0 f(x)dx > S. Tale codizioe è violata dagli iteri m > δ. Essedo la fuzioe itegrale cotiua, la secoda disuguagliaza segue da m 0 f(x)dx S per passaggio al limite. Osservazioe. Il teorema si estede facilmete a serie del tipo + [0, + ) ua fuzioe o egativa decrescete, si ha Quidi la serie + m+ = 0 f() m f(x)dx f(). 0 = 0 = 0 f(). Cosiderata f : [ 0, + ) = 0 f() risulta covergete se e solo f è itegrabile i u itoro di +. Ioltre = 0 + f() + 0 f(x)dx f(). = 0 Corollario 2.3. Stima del resto m-esimo di ua serie Sia m N. f : [m + + ) [0, + ) ua fuzioe o egativa decrescete. Il resto m-esimo della serie di termie geerale f() è stimato da + m+ f(x)dx =m+ f() + m f(x)dx. Esempio 2.6. Fissato α > 0 la fuzioe f(x) = x α è decrescete e positiva. Essa è itegrabile i u itoro di + se e solo se α >. Ne deduciamo che la serie armoica geeralizzata coverge se e solo se α >. Operado come el precedete corollario, si ha ua stima della somma della serie α = + + x αdx + α = + =2 α + Tale stima è molto meo accurata di quella otteuta i (3). + x αdx α α = + α.

22 3 Serie a sego qualuque 2 3 Serie a sego qualuque 3. Serie assolutamete covergeti Defiizioe 3.. Serie assolutamete covergeti. Sia {a } N ua successioe di umeri reali. Si può cosiderare la serie di termie geerale -esimo a ; tale serie è a termii positivi e quidi deve essere o covergete o divergete positivamete. Si dice che la serie + a è assolutamete covergete (risp. assolutamete divergete) se la serie + a è covergete (risp. divergete positivamete). Mostriamo che la codizioe di assoluta covergeza è più restrittiva di covergeza di ua serie. Teorema 3.. Ogi serie assolutamete covergete è covergete e risulta a a. () a Dimostrazioe. Sia {a } N tale che + a è assolutamete covergete. Usiamo la relazioe a = (a + a ) a. Data l ipotesi di assoluta covergeza, per il Teorema.2, puto (i) la tesi seguirà dimostrado che (a + a ) coverge. Questa serie è a termii positivi, essedo x + x 0 per ogi x R. Ioltre a + a 2 a, quidi la serie è maggiorata da u serie covergete e coverge per cofroto. Per dimostrare () basta applicare la disuguagliaza triagolare alla successioe delle somme parziali. Osservazioe. La disuguagliaza () estede ad ua quatità umerabile di termii la disuguagliaza triagolare. Combiado la disuguagliaza triagolare per u umero fiito di termii, co la codizioe di Cauchy per + a, si trova immediatamete la codizioe di Cauchy per + a. I questo modo si ha u altra dimostrazioe del precedete teorema. L assoluta covergeza è solo ua codizioe ecessaria per la covergeza, o è ua codizioe sufficiete. Ua serie covergete ma o assolutamete covergete sarà descritta ell Esempio 3. Riscriviamo i termii di assoluta covergeza i criteri della radice e del rapporto.

23 3. Serie assolutamete covergeti 22 Teorema 3.2. Sia + a k ua serie di umeri reali. k= (i) Sia lim sup + a = L ˆR. Se L < la serie data coverge assolutamete e quidi coverge. Se L > la serie data o coverge. (ii) Sia {a } N a termii o defiitivamete ulli. Siao a + lim if = l + 2 a ˆR, a + lim sup = L 2 + a ˆR. Se L 2 < la serie data coverge assolutamete e quidi coverge. Se l 2 > la serie data o coverge. Qualora esistao lim a (oppure lim a + a ), ei precedeti euciati possiamo sostituire il limite della radice (risp. del rapporto) al massimo e miimo limite della radice (risp. del rapporto). Dimostrazioe. Utilizzado i corrispodeti criteri per la serie a termii positivi, i casi L < ed L 2 < discedoo dal fatto che l assoluta covergeza implica la covergeza della serie. Per il caso L 2 >, l 2 > si ripercorroo le dimostrazioi dei Teoremi 2.6, 2.9 otteedo che (lim a = 0). Questo equivale a (lim a = 0). Viee duque violata la codizioe ecessaria alla covergeza. L estesioe del criterio degli ifiitesimo e del criterio di Raabe all assoluta covergeza, è immediata cosegueza di quei criterio e della covergeza dedotta dalla covergeza assoluta. Proposizioe 3.3. Sia + a k ua serie di umeri reali. k= (i) Sia {a } N a termii o defiitivamete ulli. Suppoiamo che esista ( ) a lim a + = L R ˆR. Se L R > la serie data coverge assolutamete e quidi coverge. Se L R < la serie data diverge assolutamete. (ii) Sia p R. Si suppoga che esista il limite (a) Sia l p > 0, l p R. Se p > la serie + lim p a = l p R. a coverge assolutamete e quidi coverge. Se p la serie + a diverge assolutamete. (b) Se l p = 0 e p > la serie data coverge assolutamete e quidi coverge;. (c) Se l p = + e p la serie data diverge assolutamete.

24 3.2 Serie a sego altero 23 Osservazioe. Nel Teorema 3.2, dalla divergeza assoluta prevista dai criteri della radice e del rapporto, abbiamo ricavato iformazioi sulla o covergeza della serie di parteza. Questo o accade ell estesioe del Criterio di Raabe e degli ifiitesimi. Ovvero ci soo serie per cui ( ) a lim a + <, quidi soo assolutamete divergeti, ma ache covergeti. U esempio i tal seso è la serie armoica geeralizzata a sego altero, studiata ell Esempio 3.2. Co lo stesso esempio si deduce che o è detto che ua serie a sego o costate tale che + a sia asitoticamete equivalete a p co p sia o covergete. 3.2 Serie a sego altero Defiizioe 3.2. Sia {a } N ua ua successioe di umeri reali a sego costate (a 0 per ogi N oppure a 0 per ogi N). La serie associata alla successioe ( ) a, ovvero + ( ) a si dice serie a segi alteri. Il criterio di Leibitz darà ua codizioe sufficiete per la covergeza delle serie a sego altero. Premettiamo il seguete lemma sulle successioi. Lemma 3.4. Ogi successioe {x } tale che la sottosuccessioe dei pari {x 2 } e quella dei dispari {x 2+ } hao lo stesso limite fiito, è ua successioe covergete. Dimostrazioe. Si fissi ε > 0. Per ipotesi ν P N tale che k N, k ν P risulta x 2k l ε. ν D N tale che k N, k ν D risulta x 2k+ l ε. e risulta che se max{2ν P, 2ν D + } si ha { x2k l = 2k, co k ν x l = P. x 2k+ l = 2k +, co k ν D Quidi x l < ε. Ovvero si ha la covergeza della successioe di parteza. Teorema 3.5. Criterio di Leibitz per le serie a sego altero. Sia {a } N ua successioe decrescete ed ifiitesima di umeri reali o egativi. Allora, la serie a sego altero + ( ) a è covergete. Ioltre, deotata co S la somma di + ( ) a e, per ogi m N, S m la relativa somma parziale m-esima, si ha S S m a m+. (2)

25 3.2 Serie a sego altero 24 Dimostrazioe. Teedo presete che la successioe {a } N è decrescete, valgoo le relazioi S 2(m+) = S 2m (a 2m+ a 2m+2 ) S 2m ; S 2m+ = S 2m + (a 2m a 2m+ ) S 2m. Ne segue che la sottosuccessioe {S 2m } m N è decrescete, metre la sottosuccessioe {S 2m+ } m N è crescete. Per il teorema di regolarità delle successioi mootoe, si ha lim m S 2m+ lim m S 2m Ioltre, essedo a a termii positivi si ha = sup S 2m+ := S D m = if S 2m := S P m S 2m+ = S 2m a 2m+ S 2m. I particolare, da questa relazioe e dalla mootoia di {S 2m+ } m N segue S S 2m+ S 2m. Ovvero {S 2m } m N è limitata dal basso e quidi S P R. Ifie, utilizzado l ipotesi che a sia ifiitesima e risulta S D = lim m S 2m+ = lim m (S 2m a 2m+ ) = lim m S 2m = S P R. Possiamo applicare il lemma precedete e cocludere che {S m } m N ovvero la serie alterate coverge. Resta da dimostrare la (2). Per quato visto, per ogi m N, si ha Quidi se m è pari, ovvero m = 2k, allora S 2m+ sup S 2m+ = S D = S = S p = if S 2m S 2m. m m 0 S 2k S S 2k S 2k+ = ( a 2k+ ) = a 2k+ = a m+. Se ivece m è dispari, ovvero m = 2k +, risulta Ciò completa la dimostrazioe. 0 S S 2k+ S 2k+2 S 2k+ = a 2k+2 = a m+. Esempio 3.. Serie armoica a sego altero Si cosidera ( ) +. Tale serie o è assolutamete covergete (i quato al serie dei suoi valori assoluti è la serie armoica). Ma la successioe a = risulta positiva, decrescete e ifiitesima, duque per il criterio di Leibitz tale serie coverge.

26 4 Complemeti sulle serie 25 Ache i questo caso o è semplice determiare S la somma della serie, (vedi Esercizi e 4.5) ma si può approssimarla co u errore fissato mediate la formula (2). Tale relazioe sigifica ifatti che l errore commesso approssimado la somma di ua serie a termii alteri co ua somma parziale è miore o uguale del valore assoluto del primo termie trascurato. Nel caso specifico, se vogliamo cooscere S co u errore di u millesimo basterà calcolare la somma parziale S 999. Esempio 3.2. Serie armoica geeralizzata a sego altero Si cosideri la serie ( ) + α α R. Per il criterio di Leibitz essa coverge per ogi α > 0. Ovviamete la serie o coverge per α 0 o essedo verificata la codizioe ecessaria per la covergeza. Cofrotiamo questo risultato co la Proposizioe 3.3. Sia a = ( ) +. Se si utilizza il α criterio di Raabe ( ) a lim a + = α. Quidi se α > la serie coverge assolutamete e quidi coverge, se α < la serie diverge assolutamete. Se α = si ha la serie armoica a sego altero che coverge per il criterio di Leibitz. Ma tale criterio si applica ache se 0 < α <, quidi la serie coverge pur essedo assolutamete divergete. Aalogamete se si applica il criterio degli ifiitesimi lim α a = abbiamo iformazioi sulla assoluta coivergeza, e quidi covergeza, el caso α > metre per α si ricorre al criterio di Leibitz. 4 Complemeti sulle serie 4. Riordiameti Abbiamo visto che l alterazioe di u umero fiito di termii di ua serie o ifluisce sul suo carattere. Esamiiamo (seza dimostrazioe) alcue proprietà delle serie che riguardao ivece l alterazioe di u umero ifiito di termii. La situazioe è molto più complicata, vegoo a macare per somme ifiite proprietà elemetari delle somme fiite, quali l associatività e la commutatività. Il seguete esempio mostra che la somma ifiita o è associativa. Se ifatti la somma ifiita fosse associativa, la serie + ( ), che o è determiata avrebbe due somme diverse ( ) = = (+ ) + ( ) + ( ) + ( ) + = 0!!! = + ( + ) + + ( + ) + =???

27 4. Riordiameti 26 Il successivo esempio mostra che la somma ifiita o è commutativa. Se ifatti la somma ifiita fosse commutativa, la somma della serie armoica geeralizzata a sego altero + ( ) = S, sarebbe ulla. Ivece, per la stima del resto data dal criterio di Leibitz, risulta S S 2 a 3 ovvero S + 2 /3 da cui 0 < 6 S 5 6. Usado il Teorema.2 S = S/2 = ( ) = ( ) 2 = Sommado le precedeti due espressioi si osserva che i termii positivi della prima serie restao ialterati, quelli egativi hao deomiatore pari e quidi si dividoo tra quelli multipli di 4 e quelli o multipli di 4. I termii egativi il cui deomiatore o è multiplo di quattro vegoo cacellati ella somma co i termii positivi della secoda serie, i termii egativi il cui deomiatore è multiplo di quattro vegoo sommati co i termii positivi della secoda serie. Questi hao deomiatore multiplo di 4 e quidi si ottegoo termii egativi co deomiatore multiplo di 2. Ovvero S = ( ) + ( ) 2 = Suppoedo che la somma ifiita commutativa, si avrebbe Da cui S = S = = = S Defiizioe 4.. Ua serie + a ha la proprietà associativa se per ogi { k } successioe crescee di umeri aturali, la serie di termie geerale b k = a k + + a k ha lo stesso carattere della serie a Teorema 4.. Ogi serie regolare ha la proprietà associativa Dimostrazioe. Sia + a regolare e sia { k } ua successioe crescete di umeri aturali. Si cosidera la somma parziale di {b k } k N = {a k + + a k } k N. Risulta T K = K b k = k=0 K k=0 a k = S K essedo {S K } estratta dalla somma parziale relativa alla serie di termie geerale a. Se {S N } ammette limite, ache la sua estratta e quidi {T K } ammettoo lo stesso limite.

28 4. Riordiameti 27 Defiizioe 4.2. Se + a è ua serie di umeri reali e se k : N N è ua bigezioe. Dicesi riordiameto di + a la serie a k() Ua serie si dice icodizioatamete covergete se ogi suo riordiameto è covergete. Esempio 4.. Abbiamo visto che la serie armoica a segi alteri o è icodizioatamete covergete. Teorema 4.2. Le serie a termii o egativi soo icodizioatamete covergeti Dimostrazioe. Basta dimostrare che se ua serie a termii positivi coverge ogi suo riordiameto coverge. Viceversa se la serie diverge si procede per assurdo. Sia + a a termii o-egativi e covergete. Sia k : N N è ua bigezioe e si cosidera la somma parziale relativa alla serie di termie geerale {a k() } N. Risulta T m = a k(0) + a k() + + a k(m) a a max{k(0),...,k(m)} = S max{k(0),...,k(m)}. Essedo + a covergete, per il teorema di regolarità risulta T m S max{k(0),...,k(m)} S essedo s la somam della serie. Ache il riordiameto è a termii positivi, avedo somma parziale limitata essa è covergete. Il successivo risultato (che o dimostriamo) stabilisce l icodizioata covergeza co ipotesi più deboli. Teorema 4.3. Se ua serie è assolutamete covergete, ogi suo riordiameto è assolutamete covergete e la somma della serie data e della serie otteuta riordiadoe i termii coicidoo. Duque l assoluta covergeza implica l icodizioata covergeza. Nel caso i cui l assoluta covergeza viee a macare, ma la serie data coverge si può procedere come ell esempio della serie armoica a sego altero ed otteere u riordiameto che abbia carattere, e i particolare somma, fissato a priori. Teorema 4.4. Sia + a ua serie covergete ma o assolutamete covergete allora Per ogi S R esiste u riordiameto della serie data covergete ad S; esiste u riordiameto della serie data divergete positivamete; esiste u riordiameto della serie data divergete egativamete; esiste u riordiameto della serie data idetermiato.

29 4.2 Il prodotto alla Cauchy di due serie Il prodotto alla Cauchy di due serie Siao + a e + b due serie umeriche di umeri reali. Si defiisce serie prodotto secodo Cauchy delle due serie, e si deota co la serie a c tale che c = b, a k b k. (3) Il termie -esimo della serie prodotto secodo Cauchy si ottiee sommado i prodotti dei termii delle due serie la cui somma degli idici è uguale ad. Nel diagramma seguete, i termii della serie prodotto si ottegoo sommado gli elemeti delle diagoali. Quidi la somma parziale -esima della serie prodotto secodo Cauchy si ottiee sommado tutti gli elemeti che si trovao al di sotto della k=0 diagoale -esima. Per compredere che ci si aspetta u risultato del geere moltiplicado due serie, si provi a moltiplicare due poliomi (a x + +a 0 )(b x + +b 0 ) e si calcoli il valore del prodotto i x =, si ottiee uo sviluppo aalogo a quello del prodotto alla Cauchy di due serie. Ci si chiede se il prodotto alla Cauchy di due serie covergeti è ua serie covergete e se la sua somma è il prodotto delle somme delle serie di parteza. Questo o è vero a meo di ipotesi aggiutive come illustrato ei successivi risultati. Teorema 4.5. Siao {a } N, {b } N e {c } N la successioe defiita da (3). b 0 a 5 a 5 a 4 a 3 a 2 a b a 4 b 2 a 3 b 3 a 2 b 4 a b 5 a 0 a 0 b 0 b b 2 b 3 b 4 b 5 i) Siao {a } N, {b } N a termii o egativi. Se + a, + b covergoo, allora + coverge e risulta a b = c c. (4) ii) Se + a, + b covergoo assolutamete, allora + c coverge assolutamete e sussiste (4) Dimostrazioe. (i) Si cosiderao le somme parziali delle tre serie coivolte A m = a B m = b C m = La dimostrazioe si basa sulla seguete disuguagliaza C m A m B m C 2m m N. (5) c

30 4.2 Il prodotto alla Cauchy di due serie 29 No foriamo ua dimostrazioe iduttiva della precedete disuguagliaza ma essa è facilmete visulizzabile el successivo diagramma dove il sego deota gli idici coivolti i C m, il a 2m sego gli idici coivolti i A m B m e il gli idici coivolti ella somma parziale C 2m. Per ipotesi {A m } m N e {B m } m N soo covergeti, quidi per il teorema di regolarità delle serie a termii positivi, risultao successioi limitate dalla somma delle rispettive serie. Siao A, B 0 tali che lim m A m = A e lim m B m = B. Per ogi m N si ha A m A e B m B. a m a 0 b 0 b m b 2m D altra parte C m A m B m quidi ogi m N risulta C m AB e quidi per il teorema di regolarità essedo C m limitata e somma parziale di ua serie a termii positivi, detta serie risulta covergete. Sia C = lim m C m, utilizzado il teorema di cofroto per successioi ella (5) si deduce C = AB. (ii) Poichè le serie soo assolutamete covergeti per la prima parte del teorema la serie prodotto delle serie + a e + b coverge alla somma serie di termie -esimo γ = a k b k. k=0 Essedo c γ, la serie prodotto alla Cauchy di + a e + b coverge assolutamete per cofroto. Resta da dimostrare la (4). È sufficiete dimostrare che A m B m C m 2 a k b k k=0 k=0 a k b k (6) suppoedo ifatti di avere tale disuguagliaza, per m + il secodo membro tede a zero e quidi AB = C. Cerchiamo mediate il diagramma precedete di capire la disuguagliaza (6). Come visto i precedeza i termii A m B m C m hao idici solo ei puti segati da ma o segati da. Possiamo maggiorare aggiugedo i termii i valore assoluto co idice ei puti che hao l esclusivo simbolo. Aggiugedo e sottraedo i termii i valore assoluto co idice ei puti cotrassegati sia da, sia da, sia da si ha la (4). Questo coclude la dimostrazioe Euciamo seza dimostrare, il seguete risultato. Teorema 4.6. Se + a coverge assolutamete e + b coverge, allora la serie prodotto alla Cauchy delle precedeti coverge assolutamete e vale l idetità (4) Se è oto a priori che + c coverge e se + a, + b covergoo, allora vale la (4).

31 4.3 Prodotti ifiiti 30 Esempio 4.2. Vi soo serie assolutamete covergeti che moltiplicate dao serie covergeti, e serie covergeti o a termii positivi che moltiplicate per dao serie o covergeti La serie armoica a segi alteri, moltiplicata per se stessa coverge, metre la serie + moltiplicata per se stessa o coverge. Ifatti se a = b = ( ) risulta ( ) c = k= ( ) k k ( ) k k ( = ( ) + 2( 2) + + ) che coverge per il criterio di Leibitz. Al cotrario se a = b = ( ) + risulta c = k=0 ( ) k + k +. Osservato che k + k + k + + = + si ha c k=0 + = + k=0 = + + = Essedo violata la codizioe ecessaria, la serie + c o coverge. 4.3 Prodotti ifiiti Assegata ua successioe {a } N di umeri reali, per ogi m N, si defiisce prodotto parziale m-esima di {a } N il umero reale P m := a 0 a a m. La successioe {P m } m N viee deomiata prodotto ifiito di termie geerale -esimo a. U prodotto ifiito viee idicata co il simbolo e talvolta ache co a 0 a a a Si osserva subito che se esiste ν N tale che a ν = 0 allora per ogi m ν risulta P m = 0 e quidi la trattazioe o è iteressate. Si assuma che per ogi N risulti a 0. Ha seso parlare di lim m P m. Si dice che u prodotto ifiito è covergete se tale limite esiste ed è fiito. Si dice che u prodotto ifiito è divergete positivamete (rsip. egativamete)se tale limite esiste ed è uguale a + (risp ).

32 4.4 Successioi e serie i campo complesso 3 U prodotto ifiito si dice regolare se è covergete oppure divergete positivamete oppure divergete egativamete. I tal caso si poe + a = lim P. U prodotto ifiito o regolare viee deomiato oscillate. Teorema 4.7. Codizioe ecessaria per la covergeza o ulla di u prodotto ifiito. Sia {a } N ua successioe di umeri reali tali che per ogi N risulti a 0. Se il prodotto ifiito + a coverge a P 0 allora lima =. Dimostrazioe. Utilizzado l ipotesi lim P = P 0 e la relazioe a = P P l asserto segue subito dai teoremi delle operazioi per i limiti di successioi. 4.4 Successioi e serie i campo complesso Si cosidera {a } N ua successioe di umeri complessi, ovvero ua fuzioe N a C. La successioe {a } N C si dirà covergete i C ad u valore l C se ε > 0, ν N tale che ν risulta a l < ε. Si oti che questa defiizioe è formalmete aaloga a quella della covergeza di ua successioe reale, ove il modulo sostituisce il valore assoluto, ovvero la covergeza ad l C della successioe {a } N C equivale alla covergeza a zero della successioe reale { a l } N. Viceversa o potremo parlare di positiva o egativa divergeza di successioi i C o essedo tale campo ordiato. Alla successioe {a } N vegoo associate le successioi reali {Re(a )} N, {Im(a )} N, { a } N. Defiizioe 4.3. Si dice che ua successioe di umeri complessi diverge i modulo se lim a = + ovvero M > 0, ν N tale che ν risulta a > M. Teorema 4.8. Siao {a } N C ed l C. Soo equivaleti le sequeti due proposizioi a) lim a = l b) lim Re (a ) = Re (l) lim Im(a ) = Im (l).