Dispense di Analisi Matematica II

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1 Dispese di Aalisi Matematica II Domeico Cadeloro (Prima Parte) Itroduzioe Queste dispese trattao la prima parte del corso di Aalisi Matematica II. Nel primo capitolo si discutoo gli itegrali geeralizzati (detti a volte impropri), e si foriscoo gli strumeti che servirao per affrotare ache gli aspetti piu pratici di questi argometi. Nel secodo capitolo tratteremo ivece successioi e serie di fuzioi, esamiado e cofrotado i diversi tipi di covergeza, e mettedo i evideza il particolare comportameto delle serie di poteze e delle serie di Fourier. Alla fie di ogi capitolo verra presetata ua carrellata di esempi: di solito essi soo formulati come esercizi e se e da ache la risoluzioe; ma i molti casi si tratta di quesiti o baali, che illustrao svariate e importati applicazioi dei cocetti studiati. Lo studete duque o li deve iterpretare come reali strumeti di verifica, besi come u modo diverso di itrodurre strumeti piu avazati di calcolo: si acceera a fuzioi speciali quali la Gamma e la Beta, a vere e proprie trasformate di Laplace (sia pure mascherate), e a metodi risolutivi di alcue equazioi fuzioali, ache queste presetate alla buoa e seza alcua pretesa di sistematicita o completezza. Meo ambiziose, ma pur sempre impegative, sarao alcue applicazioi delle serie di poteze e di Fourier, specialmete quelle idirizzate verso il calcolo della somma, il che, com é be oto, spesso preseta otevoli difficolta e tuttavia coduce a volte a risultati assai iteressati.

2 Chapter 3 Itegrali geeralizzati, parte I Le applicazioi del calcolo itegrale spesso vao al di la delle situazioi che si possoo affrotare co l itegrale di Riema: per esempio, i Probabilita e i Teoria degli Errori é spesso fodametale poter calcolare l area di regioi piae illimitate (area che spesso é fiita), e itegrali di fuzioi ache illimitate e/o defiite su domiii illimitati. Le stesse serie umeriche, gia trattate i Aalisi I, si possoo facilmete iterpretare come itegrali di fuzioi a gradiata defiite sulla semiretta [, + [ : e spesso proprio questa iterpretazioe di ua serie permette di calcolare la somma o almeo di determiare il comportameto. Duque, é importate defiire (e poi evetualmete calcolare) itegrali di fuzioi illimitate e itegrali di fuzioi defiite su itervalli illimitati. Iizieremo co il trattare le fuzioi defiite su itervalli limitati [a, b], illimitate i prossimita di u puto, i base alla seguete defiizioe. Defiizioe 3. Sia [a, b] u itervallo limitato della retta reale, e sia data ua fuzioe f : [a, b[ IR (o preciseremo se f sia defiita o o su b). Diciamo che f é illimitata solo i prossimita di b se risulta sup{ f(x), x [b r, b[ } = + e sup{ f(x), x [a, b r[ } < + per ogi r i ], b a[. Isomma, f dev essere limitata i ogi itervallo [a, b r] che escluda u itoro di b, e dev essere illimitata i ogi itoro (siistro) di b. Per esempio, la fuzioe f(x) =, defiita su [, [, é illimitata solo i prossimita di. Acora, la x fuzioe g(x) = l( x), ello stesso itervallo, é illimitata solo i prossimita di. 2

3 Ora, data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata solo i prossimita di b, diremo che f é localmete itegrabile alla Riema se essa é itegrabile alla Riema i ogi itervallo [a, b r], co r ], b a[. Per esempio, le due fuzioi defiite poc azi hao questa proprieta, i quato soo cotiue i [, [. Ifie, data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata solo i prossimita di b e localmete itegrabile alla Riema, diremo che f é itegrabile i seso geeralizzato (abbreviato i s.g.) se esiste fiito il limite b r lim f(x)dx. r a I tal caso, questo limite é detto l itegrale geeralizzato di f i [a, b], e scriveremo b a b r f(x)dx = lim f(x)dx. r a Solitamete, se f : [a, b[ IR é ua fuzioe cotiua, l itegrabilita i seso geeralizzato equivale alla possibilita di applicare la formula fodametale: f(x)dx = b a F (b) F (a), sostituedo evetualmete F (b) co il limite della primitiva F per x che tede a b. Ifatti, b r a f(x)dx = F (b r) F (a) e quidi l esisteza del limite (fiito) di F (x) per x che tede a b (qui, x = b r) equivale all esisteza dell itegrale geeralizzato di f. Per esempio, la fuzioe f(x) =, defiita e cotiua su [, [, o é itegrabile i x s.g. perche la fuzioe F (x) = l( x) (primitiva di f) o ha limite fiito per x che tede a. I altri termii, l area della regioe di piao compresa fra l asse x e il grafico della f, e le rette x = e x =, é ifiita. Ivece risulta itegrabile i s.g. itervallo. la fuzioe g(x) = l( x), sempre ello stesso Ifatti, ua sua primitiva é G(x) = (x ) l( x) x, e tale fuzioe ammette limite per x. I defiitiva l( x) = G() =. (L itegrale qui é egativo poiché l itegrada é egativa, i quato x é compreso fra e.) 3

4 I maiera del tutto aaloga si defiisce l itegrabilita i s.g. per ua fuzioe che sia defiita i ]a, b], illimitata solo i prossimita di a, e localmete itegrabile alla Riema (ossia itegrabile i ogi itervallo del tipo [a + r, b], per < r < b). Per esempio, la fuzioe h(x) =, cotiua i ], ] e illimitata solo i prossimita di, x o é itegrabile i s.g., i quato ua sua primitiva é H(x) = l x, e questa o ha limite fiito i ; ivece, la fuzioe f(x) = 2, co caratteristiche aaloghe i ], ], risulta x itegrabile i seso geeralizzato. Ifatti si ha lim r + r 2 dx = lim x r +( r) =. Ache i questo caso possiamo be costatare che la fuzioe F (x) = x, primitiva della fuzioe data, ammette limite fiito i (ache se, come si vede i questo esempio, tale limite o coicide co l itegrale geeralizzato). Per maggiore varieta, e per successive applicazioi, mostriamo ora ua famiglia di fuzioi, dipedeti da u parametro positivo α, e vediamo quali di queste soo itegrabili i s.g. e quali o. Ci riferiremo ora alla situazioe i cui le fuzioi siao illimitate solo i prossimita di a, ma aaloghe deduzioi si possoo facilmete trovare elle altre situazioi. Iiziamo co le fuzioi f α, defiite per x ], ] dalla legge f α (x) = x α, co α >. E evidete che tali fuzioi soo cotiue i ], ], positive e illimitate i prossimita di. Gia sappiamo, ioltre, che f o é itegrabile i s.g. Se α, ua primitiva di f α é data da F α (x) = ( α)x α. Ora, le fuzioi F α ammettoo limite fiito per x se solo se α < : ifatti i tal caso l espoete a deomiatore é egativo, e il limite si aulla. Se ivece α > il limite é. Di cosegueza, per quato visto i precedeza, f α é itegrabile i s.g. se solo se α <. I termii piu ituitivi, le fuzioi itegrabili i s.g., tra le f α, soo quelle che, pur adado a ifiito per x, rimagoo piu basse rispetto a x. 4

5 segue: Aalogamete, se cosideriamo le fuzioi h α :]a, b] IR, defiite per α > come f α (x) = (x a) α, possiamo facilmete vedere che la situazioe é perfettamete aaloga al caso precedete (voledo, ci si puo ricodurre direttamete tramite la sostituzioe t = x a), e quidi ache i questo caso avremo itegrabilita i s.g. se e solo se α <. E acora, tra le fuzioi g α, defiite da x (b x) α i [a, b[, soo itegrabili soltato quelle co α < (ache qui, basta la sostituzioe t = b x). Per esempio, la fuzioe x x é itegrabile i [, [: qui α = 2. Acora si ha itegrabilita per la fuzioe x 3 x 2 i ], ]: qui la sigolarita é presete all estremo siistro, co α = 2, e quidi l itegrale i s.g. esiste; ifatti ua primitiva é 3 x 3x /3, e tale fuzioe ammette limite ullo i, per cui Toriamo ora a u discorso piu geerale. 3 dx = 3. x 2 Ovviamete, qualora f risulti illimitata sia i prossimita di b che i prossimita di a, si dira che essa é itegrabile i s.g. se essa é localmete itegrabile (ossia itegrabile alla Riema i ogi itervallo del tipo [a + r, b r] co r >, e se esistoo fiiti etrambi i limiti a+b lim 2 f(x)dx, r + a+r b r lim f(x)dx. r + a+b 2 (Notiamo che a+b 2 é il puto medio tra a e b). I tal caso, l itegrale geeralizzato di f sara la somma dei due limiti. Cosideriamo per esempio la fuzioe g(x) = x x, defiita e cotiua i ], [, e illimitata solo i prossimita dei due estremi. Ua sua primitiva é la fuzioe G(x) = 2 arcsi x, e tale fuzioe ammette limite fiito sia i che i. Si ha pertato x x dx = 2 arcsi 2 arcsi = 2 arcsi = π. b r Attezioe!!! I geerale o basta che esista fiito il limite lim r f(x)dx. Per a+r esempio, la fuzioe h(x) = ta x, defiita e cotiua i ] π, π [, o é itegrabile i s.g

6 ei due sottoitervalli ] π, ] e [, π [: ifatti ua sua primitiva é H(x) = l cos x, e tale 2 2 fuzioe ha limite ifiito sia a π che a π. Tuttavia, poiche h é ua fuzioe dispari, 2 2 ovviamete risulta π 2 r π +r h(x)dx = per ogi r. Duque, beche la fuzioe h o sia 2 itegrabile i s.g. i ] π, π [, si ha baalmete 2 2 π 2 r lim h(x)dx =. r + π 2 +r Acora u po piu i geerale, formuliamo qualche altra defiizioe. Defiizioe 3.2 Sia f : [a, b] IR ua fuzioe che risulti illimitata i prossimita di u umero fiito di puti, c, c 2,..., c k iteri ad [a, b] (e o i altri puti di [a, b]). Questo vuol dire che, per ogi r > e per ciascu puto c i (ma o per altri puti) si ha sup{ f(x) : x [c i r, c i + r] [a, b]} =. Diremo che ua tale fuzioe é localmete itegrabile se essa e itegrabile i ogi itervallo [α, β] [a, b] el quale essa sia limitata. Ora, se f é ua fuzioe illimitata solo i prossimita dei puti c,..., c k iteri ad [a, b], c < c 2 <... < c k, e se f é localmete itegrabile, diremo che f é itegrabile i s.g. i [a, b] se essa lo é i ogi itervallo del tipo [a, c ], [c, c 2 ],...[c k, b]. Ovviamete, se questo é il caso, l itegrale di f i [a, b] e la somma di tutti gli itegrali ei precedeti itervalli. Vediamo ora delle codizioi che assicurio l itegrabilita i s.g. ache quado o si possa utilizzare la formula fodametale, per esempio i quei casi i cui o si coosce u espressioe elemetare delle primitive. La prima codizioe esprime u criterio del tipo di Cauchy, che o dimostreremo. Essa verra formulata solo el caso di fuzioe illimitata i prossimita del puto b: si lascia al lettore il compito, se vuole, di trovare formulazioi egli altri casi di illimitatezza. Teorema 3.3 Sia data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata soltato i prossimita di b, e localmete itegrabile. La fuzioe f é itegrabile i s.g. i [a, b] se e solo se per ogi ε > esiste u δ > tale che per ogi scelta di b, b i [b δ, b[. b b f(x)dx ε 6

7 Ua prima cosegueza di questo teorema é ua codizioe sufficiete per l itegrabilita, espressa i termii di cofroto. Teorema 3.4 Sia data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata soltato i prossimita di b, e localmete itegrabile. Sia poi g : [a, b[ IR +, ach essa illimitata i prossimita di b e localmete itegrabile. Se g é itegrabile i s.g. e se f(x) g(x) i [a, b[, allora ache f é itegrabile i s.g. Dimostrazioe. Bastera usare il teorema 3.3: si fissi ε > ; allora, per l itegrabilita di g esiste u δ > tale che b b g(x)dx ε per ogi scelta di b, b i [b δ, b[. Ora, per tali scelte di b e b si ha ache b b f(x)dx g(x)dx ε. b b Applicado ora alla f la codizioe sufficiete del teorema 3.3, si ottiee l asserto. Vediamo ora ache u risultato di o itegrabilita. Teorema 3.5 Sia g : [a, b[ IR + ua fuzioe illimitata solo i prossimita di b, e localmete itegrabile, ma o itegrabile i s.g.. Ora, sia f : [a, b[ IR + u altra fuzioe illimitata solo i prossimita di b e localmete itegrabile; se f(x) g(x) i [a, b[ allora ache la fuzioe f o é itegrabile i s.g. i [a, b[. Ache allo scopo di dimostrare quest ultimo teorema, osserviamo che, el caso di fuzioi o-egative, l itegrale tra a e b r va crescedo col decrescere di r, pertato il limite lim r + b r a f(x)dx esiste certamete, fiito o ifiito: duque, i tal caso, f risulta itegrabile i s.g. se e solo se tale limite e fiito. E chiaro pertato che, ella situazioe descritta el teorema 3.5, tale limite o puo che essere ifiito per la f, se esso lo é per la g. Vediamo qualche esempio. La fuzioe f(x) = si π 2 x x é defiita e cotiua i [, [, ed é illimitata solo i viciaza di. No é facile trovare primitive per tale fuzioe, e quidi o possiamo usare la defiizioe 7

8 per decidere se essa é itegrabile i s.g. oppure o. Tuttavia, essa é o egativa, e miore di g(x) = x, fuzioe di cui abbiamo gia dimostrato l itegrabilita. Allora, grazie al teorema 3.4, possiamo cocludere che ache f é itegrabile. ello stesso itervallo, la fuzioe h(x) = e quest ultima é positiva e o itegrabile, come gia visto. No é ivece itegrabile, l (e+x) x i quato tale fuzioe é maggiore di x, U altro esempio sigificativo é la fuzioe ϕ(x) = x, defiita i ], [. Qui, le x sigolarita soo due, ei due estremi. Nell itervallo [, [ la ostra fuzioe é itegrabile 2 i s.g., i quato positiva e miore di 2 x, e quest ultima é itegrabile i s.g. per quato gia visto. Ivece, ell itervallo ], ], la fuzioe ϕ o é itegrabile, i quato positiva 2 e maggiore di, che, come gia sappiamo, o é itegrabile i seso geeralizzato. D altra x parte, ua primitiva della fuzioe ϕ e F (x) = l x +, e F ammette limite fiito (ullo, x ifatti) per x che tede a ma ha limite per x che tede a. fuzioe ϕ o é itegrabile i s.g. i ], [. I coclusioe, la Come abbiamo gia visto per lo studio delle serie, il criterio stabilito tramite cofroto, ossia il Teorema 3.4, puo essere perfezioato e reso piu duttile se formulato i termii asitotici. Noi stabiliremo solo alcue formulazioi, i termii di ordie di ifiito. Teorema 3.6 Sia f : [a, b[ IR ua fuzioe illimitata solo i prossimita di b e localmete itegrabile. Suppoiamo poi che si abbia lim f(x) = +, x b e che l ordie di tale ifiito sia α >. Allora, se α < f é itegrabile i s.g., e se α f o é itegrabile. Dimostrazioe. Poiche il limite é +, possiamo dedurre che f(x) é strettamete positiva almeo i u itervallo del tipo [b r, b[, per qualche r >. Se l ordie d ifiito é α, vuol dire che esiste fiito e strettamete positivo il limite L := lim x b f(x)(b x)α. Per la defiizioe di limite (applicata scegliedo ε = L ), cio vuol dire che esiste u δ > 2 tale che f(x)(b x) α L < L 2 per ogi x > b δ, x < b. Da qui, dividedo tutto per 8

9 (b x) α : f(x) L (b x) L α 2 (b x), α sempre per x > b δ. Ora, se α < possiamo dedurre che, per x > b δ si ha f(x) 3L 2 (b x) α : di qui, l itegrabilita per cofroto, dato che la fuzioe a secodo membro é itegrabile i s.g. Se ivece α >, si deduce, sempre per b δ < x < b: f(x) L 2 (b x) α, e di qui la o itegrabilita di f, sempre per cofroto. Vediamo alcui esempi: la fuzioe f(x) = x, defiita per x ], π], é itegrabile i si x s.g.: ifatti essa é cotiua, é illimitata solo i prossimita di, ove ammette limite ifiito, ma l ordie di tale ifiito é 2 (come si vede facilmete, cofrotado il umeratore, che é ifiitesimo di ordie, co il deomiatore, che é di ordie ). 2 La fuzioe g(x) = 2x π cos 2 x, defiita e cotiua i [, π 2 [, preseta u ifiito i π 2 : ifatti si ha (2x π)( π lim x) 2 x π cos 2 x 2 = 2 lim (2x π) 2 x π cos 2 x 2 2 = lim x π cos 2 x si 2 x = 2, 2 di ordie avedo applicato due volte la Regola di L Hospital. Duque la fuzioe g o é itegrabile i s.g.. U altro esempio iteressate é il seguete: f(x) = (l x) x, defiita per x ], ]. Qui l uico puto sigolare é, e i tale puto si ha u ifiito (egativo), perché la fuzioe x vice el cotrasto co il logaritmo; si tratta ovviamete di u ifiito di ordie miore di, a causa del logaritmo, ma questo ifiito o ha ordie, 2 i seso stretto. Tuttavia, proprio perche questa fuzioe é, presa i valore assoluto, piu bassa di x, e quest ultima é itegrabile, e segue l itegrabilita ache per f grazie al teorema

10 Ivece, o é itegrabile i s.g. la fuzioe h(x) =, defiita per x ], ]. Qui x l x 2 gli ordii di ifiito o ci aiutao, perché la ostra fuzioe é (i modulo) miore di x, ma quest ultima o é itegrabile i s.g., e quidi o si puo applicare 3.4, e 3.5. I questo caso, si puo procedere itegrado direttamete: ua primitiva é l l x (logaritmo iterato), e chiaramete i questa o ha limite fiito, duque h o é itegrabile i s.g.

11 Chapter 4 Itegrali geeralizzati, parte II Passiamo ora a esamiare (quado sia possibile) l itegrabilita di fuzioi defiite su itervalli illimitati, ossia su semirette o su tutto IR. Tratteremo i dettaglio solo fuzioi defiite su semirette del tipo [a, + [, i quato gli altri casi soo aaloghi. Defiizioe 4. Sia duque f : [a, + [ IR ua fuzioe quasiasi, e suppoiamo che i ogi itervallo [a, b], co b > a, essa sia itegrabile i seso classico o i seso geeralizzato (secodo le defiizioi precedeti). I tal caso, diremo che f é localmete itegrabile. Allora, posto F (x) = x f(t)dt per ogi x > a, diremo che f é itegrabile i s.g. i [a, + [ se a esiste fiito il limite lim F (x) = x + lim x + x a f(t)dt. Ache i questo caso, se f : [a, + [ IR é cotiua, l itegrabilita i s.g. dipede dal limite di ua sua qualsiasi primitiva: detta F ua primitiva di f, si ha ifatti x lim x + a f(t)dt = lim (F (x) F (a)), x + purché uo dei due limiti esista. Per esempio, la fuzioe x e x, defiita i [, + [, é itegrabile i s.g. poiche ua sua primitiva é x e x, e quidi e x dx = lim ( x + e x ) =.

12 Altro esempio: la fuzioe x 2 x [, b], co b >, e ifatti si ha b di questi itegrali é ifiito. Pertato, la fuzioe x 2 x é itegrabile i s.g. i ogi itervallo del tipo 2 dx = b, ma chiaramete, se b tede a +, il limite x o é itegrabile i s.g. i [, + [. Viceversa, la fuzioe x x 2 o é itegrabile i ], ], i quato l ifiito che essa preseta i é di ordie maggiore di. Tuttavia, tale fuzioe é itegrabile i [c, + [ per ogi c > : ifatti, ua sua primitiva é x, e quidi si ha x c dx = lim x ( 2 x c x ) = c. Ma comuque, ache i questo caso o si ha itegrabilita i tutto [, + [. Prima di passare a cosiderazioi piu geerali, facciamo otare u fatto semplice, ma spesso sottovalutato: le fuzioi costati o soo itegrabili su itervalli illimitati, a meo che o siao ulle. Ache per questo tipo di itegrale geeralizzato possiamo facilmete osservare che, data la famiglia di fuzioi f α, defiite su [, + [ co la legge f α (x) = x α, si ha itegrabilita i s.g. su [, + [ se e solo se α >. Ifatti, per α = ua primitiva é x l x, e chiaramete questa ha limite ifiito a + ; poi, per α, ua primitiva é x ( α)x α (come abbiamo gia visto), e stavolta il limite, per x +, é fiito se e solo se α >. I modo u po drastico, possiamo cocludere che essua delle fuzioi f α é itegrabile i s.g. su [, + [: quelle co α > o soo itegrabili i ], [, quelle co α < o soo itegrabili i [, + [, e quella co α = o lo é e i ], ] é i [, + [. Ora, é evidete come defiire l itegrabilita di ua fuzioe f defiita su ua semiretta del tipo ], b], co b IR: bastera verificare che la fuzioe f lo sia i [ b, + [, ove f (x) = f( x), o equivaletemete che esista fiito il limite b lim x x f(t)dt. Nel caso piu geerale di fuzioi defiite su tutto IR, esse si dirao localmete itegrabili se soo itegrabili, i seso classico o geeralizzato, i ogi itervallo del tipo [ N, N], co N >. Defiizioe 4.2 Se f : IR IR é localmete itegrabile, diremo che essa é itegrabile i seso geeralizzato su IR se essa lo é sia su [, + [ sia su ], ]. 2

13 Ache qui, bisoga fare molta attezioe a valutare l itegrabilita separatamete elle due semirette. Per esempio, se cosideriamo la fuzioe f(x) = si x i tutto IR, essa é cotiua e quidi localmete itegrabile. Si ha poi N N si xdx = per ogi N >, i quato la fuzioe si é dispari. Duque, (baalmete) esiste ed é ullo il limite di tali itegrali per N che tede a + : ma la fuzioe si o é itegrabile i tutto IR, perché o lo é i essua delle due semirette ], ] e [, + [, i quato la primitiva (x cos x) o ha limite a + é a. Ora, come gia abbiamo fatto i precedeza, stabiliamo alcue codizioi sufficieti affiche ua fuzioe f : [a, + [ IR, localmete itegrabile, sia itegrabile i s.g.. No riporteremo le dimostrazioi. Teorema 4.3 Siao f e g due fuzioi defiite su [a, + [ e localmete itegrabili, e suppoiamo che g(x) per ogi x i [a, + [. ) Se f(x) g(x) i tutto [a, + [ e se g é itegrabile i s.g. allora lo é ache f. 2) Se f(x) g(x) per ogi x [a, + [ e se g o é itegrabile i s.g., allora eache f lo é. (Risultati aaloghi valgoo per fuzioi defiite su semirette siistre o su tutto IR.) Il teorema precedete si puo affiare, ache i questo caso, attraverso il comportameto all ifiito della fuzioe itegrada. Teorema 4.4 Sia f : [a, + [ IR ua fuzioe localmete itegrabile, e suppoiamo che lim x + f(x) =. Se l ordie di ifiitesimo é maggiore di, allora f é itegrabile i s.g.. Se f é o-egativa, e l ordie di ifiitesimo é miore o uguale a, allora f o é itegrabile i s.g. Isomma, se f é cotiua e o-egativa, la sua itegrabilita dipede da quato essa sia schiacciata verso il basso ma mao che x va a ifiito. Tuttavia si tega presete che i questo teorema si dao solo codizioi sufficieti. Ua fuzioe potrebbe beissimo 3

14 essere itegrabile i s.g. ache se essa o ha limite a + : basti pesare alla fuzioe che vale su ogi umero itero, e su tutti gli altri umeri reali; per tale fuzioe, che ovviamete o ha limite all ifiito, ogi itegrale su itervalli limitati é ullo, e quidi ache l itegrale geeralizzato esiste ed é ullo. Osserviamo ache, pero, che se il limite all ifiito esiste e o e zero, l itegrabilita é esclusa, per semplice cofroto diretto: ifatti, se il limite lim x + f(x) fosse u umero a >, grazie al teorema della permaeza del sego si potrebbe dedurre che f(x) > a 2 per ogi x maggiore di u qualche m >, e quidi f sarebbe maggiorate di ua fuzioe positiva e o itegrabile (cioe la costate a ), almeo tra m e +. (E u ragioameto 2 simile si puo fare se il limite all ifiito fosse egativo, ovviamete). D altra parte, se f é di sego variabile, la secoda parte del teorema 4.4 o si puo applicare i geerale. Vedremo i seguito degli esempi per chiarire questa cosa. 4. Esempi Discuteremo ora u certo umero di esempi di fuzioi, studiadoe l itegrabilita geeralizzata. Beche siao formulati come esercizi, alcui di questi esempi o soo proprio elemetari, i quato riguardao applicazioi della teoria i svariate situazioi, e spesso coducoo a risultati difficlmete otteibili co teciche usuali. Lo studete puo provare a risolvere da solo ciascu quesito, cofrotado poi la propria soluzioe co quella forita el testo. Esempio 4.5 Si dimostri che, per ogi t >, esiste l itegrale geeralizzato Γ(t) = x t e x dx. L itegrada é defiita e cotiua almeo i ], + [ per ogi t >. Comiciamo co l osservare che a + la fuzioe preseta u ifiitesimo di ordie superiore a qualsiasi α positivo, e duque l itegrabilita i [, + [ é cosegueza del teorema 4.4. Chiaramete poi, per t, i o c é essua sigolarita, e quidi ache i [, ] l itegrabilita é ovvia. Ma ache el caso t < la 4

15 fuzioe itegrada preseta i u ifiito di ordie miore di (l ordie é t) e quidi risulta itegrabile i s.g. ache i [, ]. Duque, per ogi t > la quatita Γ(t) esiste fiita. Tale fuzioe ha delle particolarita molto iteressati. Itato, possiamo facilmete calcolare alcui valori di Γ: Γ() = e t dt =, Γ(2) = xe x dx = il secodo itegrale essedo calcolato per parti. Sempre procededo per parti, si ha ache Γ(t + ) = x t e x dx = M lim M + ( Me M + e x dx) =, M lim ( M t e M + tx t e x dx) = tγ(t). M + Questa proprieta richiama molto quella be ota per il fattoriale: e ifatti, grazie ache ai primi valori calcolati per Γ, possiamo dedurre che Γ() = ( )! per ogi itero >. Isomma risulta per ogi. seguito), si puo ache dedurre che x e x dx =! Ioltre, grazie a u particolare itegrale di Gauss (che studieremo i Γ( 2 ) = x e x dx = π. Duque, da qui si possoo ricavare ache i valori Γ( + ), Γ( + 2), ecc.: 2 2 Γ( 3 2 ) = π 2 Γ( 2 ) = 2, Γ(5 2 ) = 3 2 Γ(3 2 ) = 3 7 π, Γ( ) = 5 3 π, Questi soo, i geerale, i valori di Γ sui cosiddetti semi-iteri: formula valida per ogi itero. Γ( + 2 ) = (2)!!4 π, Esempio 4.6 Cosiderata la fuzioe f(x) = e x2, per x IR, stabilire l itegrabilita e calcolare l itegrale i tutto IR. 5

16 La fuzioe data é pari, cotiua e mai egativa. i [, + [. Bastera studiarla duque Poiche f é ifiitesima, per x +, di ordie superiore a qualsiasi poteza di x, sicuramete essa é itegrabile i s.g. f(x)dx = 2 e x2 dx. IR Avremo allora Operado la sostituzioe x 2 = t, da cui x = t, dx = 2 dt, avremo poi t f(x)dx = 2 e x2 dx = t /2 e t dt = Γ( 2 ) = π. IR La fuzioe qui esamiata prede il ome di fuzioe gaussiaa, e l itegrale calcolato é di utilita fodametale i teoria degli errori. Notiamo che, i questa situazioe, o sarebbe stato possibile determiare ua primitiva i termii elemetari, e abbiamo ricavato il risultato sulla base di proprieta della fuzioe Γ. Si studiera i seguito u altro metodo per otteere piu direttamete lo stesso risultato. Esempio 4.7 U altra importate fuzioe, legata alla fuzioe Γ, é la Beta: essa si deota co Be, ed é defiita al variare di due quatita positive, α e β, come segue: Be(α, β) = x α ( x) β dx. Sembra u itegrale facile, ma, teedo coto del fatto che α e β possoo essere umeri o iteri, e eache razioali, il calcolo i geerale o é affatto elemetare. Ioltre, per α e/o β miori di, la fuzioe itegrada é illimitata i prossimita di uo degli estremi, (o di etrambi). Si tratta pero di ifiiti di ordie miore di, e quidi l itegrabilita é garatita dal teorema 3.6. U importate formula, difficile da dimostrare, é la seguete: Be(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). (4.) Per esempio, se si dovesse calcolare l itegrale x9 ( x) 5 dx, sarebbe molto piu facile adoperare la fuzioe Beta, piuttosto che sviluppare la poteza e calcolare tutti gli itegrali dei umerosi addedi risultati. Ifatti, si ha x 9 ( x) 5 dx = Be(, 6) = Γ()Γ(6) Γ(26) 6 = 9!5! 25! = ( ). 9

17 U importate applicazioe della fuzioe Beta si ha el calcolo di itegrali del tipo co h e k iteri positivi. π 2 si h x cos k xdx, I teoria, é sempre possibile esprimere le poteze di si x e cos x i termii delle fuzioi si mx e cos x, co m e iteri miori o uguali ad h e k rispettivamete. Ma questo diveta piuttosto complicato se h e k soo molto gradi. Ivece, operado la sostituzioe si 2 x = u, (co u che varia tra e ), da cui x = arcsi u e dx = 2 u u du, si perviee a π 2 = 2 si h x cos k xdx = u h/2 ( u) k/2 2 du = u u u h/2 /2 ( u) k/2 /2 du = 2 Be(h +, k ). A questo puto, usado la formula (4.) e i valori di Γ sugli iteri e i semi-iteri, il calcolo dell itegrale é presto cocluso. Per fare u esempio cocreto, valutiamo l itegrale π 2 si7 x cos xdx: co la formula trovata poc azi, e adoperado poi (4.), abbiamo π 2 si 7 x cos xdx = Be(4, 2 2 ) = 2 Adoperado ora le formule per la fuzioe Γ, troveremo: Γ(4)Γ(5 + /2). Γ(9 + /2) π 2 si 7 x cos xdx = 2 3!!9!4 9 π 5!4 5 8! π = 3!9!44 5!8! = 6 255, dopo varie semplificazioi. Esempio 4.8 Si cosideri la fuzioe x = f(x) = si x, x, x per x IR, e si verifichi che f é itegrabile i s.g. (Questa é ua fuzioe molto importate elle applicazioi, ma le sue primitive o si possoo esprimere i termii elemetari). 7 Itato possiamo osservare

18 che f é cotiua e pari: basta studiare l itegrabilita i [, + [. questo comporta che f é localmete itegrabile, e Purtroppo, oostate f teda a per x, o si puo stabilire u ordie di ifiitesimo, e quidi o possiamo applicare direttamete il teorema 4.4. l esisteza del limite procededo per parti. x lim x + f(t)dt, Itato, osserviamo che x f(t)dt = f(t)dt + x f(t)dt, Tuttavia, é possibile dedurre e ovviamete sara sufficiete esamiare il limite del secodo addedo, per x. Abbiamo allora, per x > : x x [ ] x si t cos t f(t)dt = dt = t t Chiaramete, lim x + cos x x x cos t t 2 dt = cos cos x x x cos t t dt. 2 =, quidi l itegrabilita di f i [, + [ equivale a quella dell ultima fuzioe itegrada, x cos x x 2, i [, + [: ma questa volta possiamo applicare i teoremi di cofroto, i quato si ha cos x x 2 x 2, e la fuzioe x x 2 é itegrabile i s.g. i [, + [. I coclusioe, f é itegrabile i s.g. su tutto IR. (Vedremo successivamete qualé il valore dell itegrale). Esempio 4.9 Si dimostri che la fuzioe hx si x x e x x é itegrabile i seso geeralizzato su [, + [, qualuque sia h >. La fuzioe data preseta ua sigolarita i, ed ioltre é defiita i u itervallo illimitato. Tuttavia, poiché il fattore e hx ha limite i, la sigolarita i dipede solo dal secodo fattore, che ifatti tede a +. Ma l ordie d ifiito é 2 duque la fuzioe data risulta itegrabile i seso geeralizzato almeo i ogi itervallo del tipo [, A], co A >. L itegrabilita ell itera semiretta [, + [ dipede ivece dal primo fattore, che é ifiitesimo di ordie superiore rispetto a qualuque poteza di x. é itegrabile ella semiretta [, + [. 8 Duque la fuzioe assegata

19 L itegrale dell esempio precedete o puo essere calcolato i termii elemetari. U discorso diverso si puo fare ell esempio seguete. Esempio 4. Si cosideri, per ogi h >, la fuzioe f(x) = e hx si x x. Si dimostri che tale fuzioe e itegrabile i s.g. i [, + [ e, deotato co F (h) l itegrale risultate, si calcoli la derivata F (h), ricavadoe ifie u espressioe esplicita per l itegrale F (h). L itegrabilita di f si deduce come ell esempio precedete, azi i questo caso o c é eache la sigolarita i. ua cosa semplice, ma si puo osservare che F (h) = hx si x xe x dx = Il calcolo dell itegrale o é si xe hx dx, avedo svolto il calcolo di derivata sotto il sego d itegrale (la validita teorica di tale procedimeto sara studiata i seguito). si puo svolgere co teciche usuali: [ ] + si xe hx dx = si xe hx h Ora, si ha [ e e hx hx cos x cos xdx = h Pertato si xe hx dx = h ( h h Si deduce ora facilmete che ] + h e hx cos xdx = h e hx si xdx = h h L ultimo itegrale e hx cos xdx. e hx si xdx. e hx si xdx) = h + e hx si xdx. 2 h 2 e hx si xdx = + h 2, e quidi F (h) = + h 2. Da cio si puo subito ricavare che F (h) = C arcta h, per opportua costate C. D altra parte, se h tede a + l itegrada f tede a, e quidi l itegrale F (h) tede a (ache questo verra chiarito meglio i seguito, v. 5.4 e osservazioi segueti): da cio si deduce che C = π 2 hx si x e x dx = π arcta h, 2 9 teorema e i defiitiva

20 per h. Otteiamo quidi, come caso particolare per h =, si x x dx = π 2, e si x dx = π. x Esempio 4. Si cosideri la fuzioe f := x x log a x (co a > fissato), per x. Si cerchio i valori di a per cui tale fuzioe é itegrabile i [, + [, e per tali valori si calcoli l itegrale. La fuzioe data preseta illimitatezza i prossimita di (co limite + ), e ioltre va esamiata ache per x +. due itegrali: I = e f(x)dx, I 2 = e Trattiamo allora separatamete f(x)dx. Ua primitiva di f é la fuzioe log a x, se a a F (x) = log( log x ), a =. Per cotrollare l itegrabilita di f i [, e], basta effettuare il limite lim F (x) : x + se tale limite esiste fiito, f é itegrabile, altrimeti o. chiaramete che lim x + F (x) = + se a =. se a <, e + se a >. lim x + log a x = Ora, si vede Per gli altri casi, otiamo che Duque, I esiste se e solo se a <, e i tal caso si ha I = a. Per quato riguarda I 2, l esisteza dell itegrale dipede dal limite di F (x) per x +. Di uovo si vede subito che tale limite é ifiito per a =. Ioltre, risulta lim F (x) = x + 2

21 se e solo se a >, e + per a <. Duque I 2 esiste se e solo se a >, e i tal caso si ha I 2 = a. I defiitiva, si deve cocludere che la fuzioe data o é itegrabile i [, + [ per alcu valore di a >. Esempio 4.2 Si studi l itegrabilita della fuzioe f(x) = si xt x t i [, + [, a secoda dei valori del parametro t 2. Essedo lim x f(x) =, la fuzioe data o preseta sigolarita i. Pertato, basta studiare l itegrabilita per es. i [, + [. Nel caso t >, la fuzioe data é maggiorata dalla fuzioe itegrabile itegrabile sez altro. I geerale, poedo x t = u, si ottiee f(x)dx = t Nel caso estremo t =, si otterrebbe 2 f(x)dx = 2 si u du. u2 /t si udu x t, e quidi risulta e l itegrale i questioe o esiste. Nel caso t > /2, la quatita k := 2 /t risulta maggiore di, e l itegrale geeralizzato esiste. si u u du = [ cos u k u k ]+ k e stavolta l itegrale esiste, per maggiorazioe. cos u du, uk+ Si ha ifatti 2

22 Chapter 5 Successioi e serie di fuzioi I questo capitolo studieremo alcui importati tipi di covergeza per successioi o serie di fuzioi, al fie di idetificare il limite, se esiste, e stabilire quado possibile alcue sue proprieta. D ora i poi deoteremo co A u geerico itervallo (limitato o o) della retta reale, e supporremo che (f ) sia ua geerica successioe di fuzioi, defiite su A e a valori i IR. 5. Covergeza putuale e covergeza uiforme Defiizioe 5. Diremo che la successioe f é putualmete covergete i A se esiste fiito il limite lim f (x) := f(x) + per ogi x A. E chiaro che, se cio accade, il limite f é ach essa ua fuzioe reale defiita su A. Tale fuzioe viee detta ache il limite putuale della successioe (f ). La defiizioe ora data puo essere formulata equivaletemete ache i termii piu tecici: la successioe (f ) é putualmete covergete ad ua fuzioe f su A se accade quato segue: (*) Per ogi ε > e per ogi x A esiste u N IN, co N dipedete da ε e da x, 22

23 tale che f (x) f(x) < ε per ogi N. Puo ache accadere che ua successioe di fuzioi cotiue, defiite su u itervallo compatto, coverga putualmete ad ua fuzioe discotiua: per esempio, la successioe f (x) = x, defiita i A = [, ], risulta covergete putualmete alla fuzioe, x [, [ f(x) =, x =. I questo esempio possiamo facilmete verificare che la defiizioe ( ) data prima é soddisfatta: ifatti, fissato ε >, se scegliamo x = oppure x = basta predere N = perche risulti (baalmete) f (x) f(x) ε per ogi N. Se ivece scegliamo x ], [ la relazioe f (x) f(x) ε diveta f (x) ε ossia x ε: passado a logaritmo, e teedo presete che x e ε soo miori di, l ultima disequazioe diveta l x > l ε e quidi l ε l ε. Duque, per x ], [ la quatita N é la parte itera di aumetata di. l x l x (Si oti che l ε l x é rapporto di due quatita egative, e quidi e u umero positivo). Qui si vede bee che, ma mao che x si avvicia a, la quatita N cresce e tede a ifiito, ache lasciado ε costate. Questo vuol dire che, pur avedosi covergeza i tutto [, ], fissato ε la quatita N dev essere scelta molto grade quato il puto x e molto vicio a (ma diverso da ). U altro esempio simile si icotra ella successioe g (x) = x, defiita su tutto IR per >. Ache qui, si vede facilmete che il limite putuale é, e stavolta é ua fuzioe cotiua. Tuttavia, ache i questo caso possiamo costatare che, pur teedo ε fissato, bisoga scegliere N molto grade quado x é molto grade. Si ha ifatti g (x) ε se e solo se x x ε ossia >. ε Questo comportameto di N i dipedeza della x puo sembrare poco iteressate, al mometo, ma vedremo presto che spesso é importate che la quatita N o teda a ifiito al variare di x (co qualsiasi ε fissato). Per esempio, se cosideriamo la successioe f, co f (x) = cos(x), defiita su tutto IR, stavolta il limite putuale é (basta 23

24 ricordare i primi teoremi sui limiti, studiati a suo tempo). Ora, se si fissa ε >, e si vuole che f (x) sia miore di ε, basta scegliere > : ifatti, se si prede maggiore di si ε ε trova f (x) ε, idipedetemete da x. I questo caso, la quatita N puo essere scelta come la parte itera di aumetata di, e puo tedere a ifiito solo se si fa variare ε ε, avviciadolo a. Si ha cosi la seguete defiizioe. Defiizioe 5.2 Data ua successioe di fuzioi (f ), defiite su A e a valori reali, diremo che essa coverge uiformemete a ua fuzioe f su A se accade quato segue: (**) Per ogi ε > esiste u N IN, co N dipedete solo da ε e o da x, tale che f (x) f(x) < ε per ogi N e ogi x A. Alterativamete, la codizioe di uiforme covergeza puo essere riformulata i questo modo: (***) Per ogi ε > esiste u N IN tale che si abbia per ogi N. sup f (x) f(x) ε x A A sua volta, questa codizioe equivale a richiedere che sia ifiitesima la successioe umerica a, dove a := sup x A f (x) f(x), IN. Notiamo subito che la codizioe di covergeza uiforme é legata molto strettamete all isieme A el quale si sta studiado la successioe. Per esempio, se cosideriamo la successioe x, abbiamo visto che essa o é uiformemete covergete i [, ]: ifatti la dipedeza di N da x costrige N a divetare sempre piu grade quato piu x si avvicia a. Ivece, se ci limitiamo a scegliere A = [, 2 ], é evidete che, i quel caso, 3 il massimo valore per N é la parte itera di l ε l 2 3 ovviamete. +, e questa quatita o dipede da x, Ache l altro esempio, i cui f (x) = x, puo dare luogo a covergeza uiforme se si restrige l isieme A ad u qualuque itervallo limitato, per es. [ 3, 3]. I tale itervallo, possiamo scegliere N come la parte itera di 3 ε +. 24

25 Ovviamete, la covergeza uiforme i u itervallo [a, b] implica ache la covergeza putuale i [a, b]. Ioltre, se ua successioe (f ) coverge putualmete i [a, b] ad u limite f, e la covergeza é uiforme i ]a, b[, allora essa é uiforme ache i [a, b]. Ifatti, possiamo porre, per ogi itero : a = sup f (x) f(x), b = max{ f (a) f(a), f (b) f(b) }. x ]a,b[ Per l ipotesi di covergeza uiforme i ]a, b[, la successioe a é ifiitesima (v. ( ) e ota successiva); ioltre, per l ipotesi di covergeza putuale, ache la successioe (b ) é ifiitesima; duque, ache la successioe c := max{a, b } é ifiitesima, e per questa successioe si ha c = sup f (x) f(x). x [a,b] La covergeza uiforme i [a, b] discede allora da ( ) e dall osservazioe successiva. Vediamo ora u primo teorema, i cui si evidezia l importaza della covergeza uiforme ai fii di dedurre proprieta sulla fuzioe limite. Teorema 5.3 Suppoiamo che (f ) sia ua successioe di fuzioi, defiite su u itervallo A (chiuso o o, limitato o o), e cotiue i u puto c A. Se la successioe coverge uiformemete i A, allora ache la fuzioe limite é cotiua i c. Dimostrazioe. Sia f la fuzioe limite, e fissiamo ε >. Dobbiamo dimostrare che esiste u δ > tale che f(x) f(c)) < ε o appea x c < δ. Per la covergeza uiforme, esiste certamete u N itero tale che f N (x) f(x) ε per ogi x A. Ioltre, per la 3 cotiuita di f N, esiste sicuramete u δ > tale che f N (x) f N (c) < ε o appea 3 x c < δ. Allora, per qualsiasi x A, co x c < δ, risulta f(x) f(c) f(x) f N (x) + f N (x) f N (c) + f N (c) f(c) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Duque, abbiamo trovato il δ che cercavamo, e la dimostrazioe é completa. I particolare, il teorema 5.3 comporta che, el caso di ua successioe di fuzioi cotiue su tutto A, la covergeza uiforme implica che il limite é ua fuzioe cotiua su tutto A. Ioltre, questo teorema forisce ua codizioe ecessaria per la covergeza 25

26 uiforme: se siamo i preseza di ua successioe di fuzioi cotiue, covergeti putualmete ad ua fuzioe f, e questa o é cotiua i qualche puto, allora certamete la covergeza o puo essere uiforme (si riveda l esempio iiziale: f (x) = x i [, ]). Tuttavia, puo ache accadere che ua successioe di fuzioi cotiue coverga ad ua fuzioe cotiua, seza che si abbia covergeza uiforme. U esempio é gia stato icotrato, co la successioe h (x) = x defiita per x IR; u altro esempio utile é dato dalla successioe: f (x) = x ( x), defiita i [, ]; ache i questo caso, le fuzioi soo cotiue e covergoo a i tutto [, ], duque la fuzioe limite é cotiua. Tuttavia, la covergeza o é uiforme. A tale scopo, bastera far vedere che i termii a := max{f (x) : x [, ]} = max{ f (x) f(x) : x [, ]} o costituiscoo ua successioe ifiitesima. Ifatti, studiado la fuzioe x x ( x), si vede facilmete che essa ammette massimo per x = ( + + ). Limiti otevoli be oti ci dicoo ora che a tede a e quidi o é ifiitesima. +, e quidi a = ( + )( + ) = quado +, e Altri teoremi, che o dimostreremo, soo utili per ricavare la covergeza uiforme. Ne euciamo alcui. Teorema 5.4 (Dii) Sia (f ) ua successioe di fuzioi cotiue, defiite i u itervallo compatto A, e ivi covergeti ad ua fuzioe cotiua f. Se la successioe data é mootoa (o o-crescete o o-decrescete), allora la covergeza é uiforme. Il prossimo teorema richiede u cocetto particolare, che riguarda famiglie di fuzioi cotiue. Defiizioe 5.5 Data ua famiglia {f i } di fuzioi cotiue, defiite i u itervallo A, diremo che essa é equicotiua i u puto c A se accade quato segue: per ogi ε > esiste u δ > tale che, quado x c δ, si ha sup i f i (x) f i (c) < ε. Se la cosa accade per ogi puto c di A, allora la famiglia f i si dira equicotiua i A. Se ioltre A é compatto (e quidi cotiuita implica ache cotiuita uiforme) si parla ache di equicotiuita uiforme: cio accade se, per ogi ε > esiste u δ > tale che si abbia sup i f i (x ) f i (x 2 ) < ε ogiqualvolta x x 2 < δ. 26

27 Ua situazioe tipica i cui delle fuzioi soo equi-uiformemete cotiue si ha quado esse soo Lipschitziae, co la stessa costate di Lipschitz. Euciamo ora il teorema riguardate l equicotiuita. Teorema 5.6 Sia data ua successioe di fuzioi cotiue f : A IR. Se tale successioe coverge uiformemete i A, allora essa é equicotiua i A. Viceversa, se la successioe é equicotiua i A e coverge putualmete, allora la fuzioe limite é cotiua. Cocludiamo co u importate risultato, che garatisce i qualche modo la covergeza uiforme di ua successioe di fuzioi seza emmeo supporre la covergeza putuale. Il teorema va sotto il ome di Lemma di Ascoli-Arzela, e ha grade utilita el dimostrare l esisteza di soluzioi per equazioi differeziali. I tale teorema, oltre al cocetto di equicotiuita, iterviee ache quello di equilimitatezza per delle fuzioi f : tale codizioe vuol dire che tutti i valori f (x) soo miori o uguali ad ua quatita fiita K per ogi e ogi x. Teorema 5.7 Sia data ua successioe di fuzioi f : [a, b] IR. Se tali fuzioi soo equilimitate ed equi-uiformemete cotiue, allora esiste ua sotto-successioe (f k ) k che coverge uiformemete i [a, b] a ua fuzioe cotiua. 5.2 Teoremi di passaggio al limite U problema tipico riguardate le successioi di fuzioi é il cosiddetto passaggio al limite sotto il sego di itegrale: i parole semplici, se e quado l itegrale del limite di ua successioe di fuzioi (itegrabili) f esista e sia uguale al limite degli itegrali delle f. I formule, possiamo scrivere lim A f (x)dx = A ( lim f (t))dt? Per esempio, cosideriamo le segueti due situazioi, tutte ambietate i [, ]: f (x) = x ( x), g = f (x), 27

28 per IN. I etrambi i casi il limite putuale é, ma il limite o é uiforme. Ifatti, el primo caso (come abbiamo gia visto i precedeza), il massimo della fuzioe f é ( + + ), e sappiamo che tale successioe o tede a ma a ; el secodo caso, e e evidete che il limite dei massimi é addirittura ifiito. Ora, el primo caso, si ha f (x)dx = = ( + )( + 2), e quidi il limite degli itegrali coicide co l itegrale del limite (che é ). Nel secodo caso, si ha ivece g (x)dx = 2 ( + )( + 2), e stavolta il limite degli itegrali é, quidi diverso dall itegrale del limite. Duque, el primo caso si ha passaggio a limite, el secodo o. Duque, la covergeza putuale o assicura, i geerale, il passaggio al limite. Le cose vao meglio co la covergeza uiforme, come afferma il prossimo teorema. Teorema 5.8 Sia data ua successioe di fuzioi (f ), defiite su [a, b] e ivi itegrabili. Se la successioe coverge uiformemete ad ua fuzioe f, allora f é itegrabile e si ha lim b a f (x)dx = b a f(x)dx. Dimostrazioe. Riporteremo solo ua dimostrazioe parziale: o proveremo che la fuzioe limite é itegrabile, e ci limiteremo solo a far vedere che, se la covergeza é uiforme, vale la formula del passaggio al limite. Duque, si fissi ε >. Allora esiste u itero N tale che sup x [a,b] f (x) f(x) ε per ogi N. Allora, per N si ha ache b a f (x)dx b a f(x)dx b a f (x) f(x) dx b a εdx = (b a)ε. Cio basta per cocludere che la successioe b a f (x)dx coverge a b a f(x)dx. Nel caso di covergeza putuale, si puo ivece usare u altro teorema (la cui dimostrazioe verra omessa), che pero ha grade utilita. Teorema 5.9 Sia (f ) ua successioe di fuzioi itegrabili, covergeti putualmete ad ua fuzioe itegrabile f. Se le fuzioi f soo equilimitate, allora si ha il passaggio a limite sotto il sego di itegrale. 28

29 Se toriamo a cosiderare i primi due esempi di questo paragrafo, possiamo costatare che la prima successioe é effettivamete equilimitata (ifatti, i massimi delle f costituiscoo ua successioe covergete, e quidi soo limitati superiormete), metre la secoda ovviamete o lo é. Osserviamo ache che l ipotesi di equilimitatezza é solo ua codizioe sufficiete: potrebbe accadere che il passaggio a limite sussista ache se tale ipotesi o é verificata. Esempio 5. Per esempio, cosideriamo la successioe f, dove f (x) = xe x, per x [, ]. E chiaro che f () = per ogi e che lim f (x) = per ogi x >, a causa dell ordie di ifiitesimo di e x. Ora, se cosideriamo la fuzioe h (x) = xe x, vediamo che h (x) = e x xe x = e x ( x): da cio si deduce facilmete che il massimo valore di h si ha i corrispodeza a x =, e tale massimo é e ; duque, il massimo valore di f é e, valore che tede a ifiito per che diverge. Allora, la successioe f o é equilimitata. Tuttavia, calcolado gli itegrali: h (x)dx = [ x e x ] + possiamo comuque cocludere che lim e x dx = e 2 [e x ] = e e, f (x)dx = lim ( e e ) = = lim f (x)dx. Ua semplice applicazioe dei precedeti teoremi si ha quado le fuzioi f, pur essedo cotiue, o hao primitive di tipo elemetare, ma covergoo a ua fuzioe il cui itegrale si possa calcolare facilmete co teciche usuali. Esempio 5. Per esempio, suppoiamo di voler calcolare il seguete limite: lim π si x x + 2 dx. Il calcolo diretto dell itegrale a secodo membro é molto difficoltoso, ma é facile cotrollare che le fuzioi itegrade tedoo a per che diverge, e la covergeza é ache uiforme: ifatti, si ha per ogi x. Duque il limite richiesto é. si x x + 2 si x x 29

30 U altra importate cosegueza é il passaggio a limite sotto il sego di derivata, ache se le ipotesi da assumere possoo apparire poco aturali. I effetti, l ipotesi di covergeza uiforme delle fuzioi f (sia pure di classe C ) o garatisce che le derivate delle f siao covergeti: per esempio, la successioe f (x) = si(x) coverge uiformemete a i [, π], ma le derivate soo le fuzioi f (x) = cos(x), e si vede facilmete che queste o covergoo el puto x = π (e si potrebbe provare che l uico puto i cui esse covergoo é ). Vediamo duque com é formulato il teorema. Teorema 5.2 Sia (f ) ua successioe di fuzioi di classe C i u itervallo [a, b], e suppoiamo che le segueti ipotesi siao soddisfatte: i) esiste fiito il limite lim f (c), per almeo u puto c [a, b]; ii) la successioe delle derivate (f ) coverga uiformemete i [a, b] ad ua fuzioe g (ovviamete cotiua). Allora ache la successioe (f ) coverge uiformemete i [a, b] ad ua fuzioe f, che risulta di classe C e ammette come derivata la fuzioe g limite delle f. Come si puo otare, duque, i tale teorema o si richiede la covergeza delle f se o i u sigolo puto, ma si richiede come ipotesi la covergeza uiforme delle derivate: solo i tali ipotesi si puo dedurre che la derivata del limite delle f coicide co il limite delle derivate f. Vediamo la dimostrazioe. Dimostrazioe. Deotiamo co l il limite (fiito) di f (c). Poiché le f soo di classe C, per la formula fodametale del calcolo itegrale, si ha f (x) = f (c) + x c f (t)dt. Ora, i due addedi a secodo membro covergoo etrambi: il primo a l, direttamete per ipotesi; il secodo a x g(t)dt a causa del passaggio a limite sotto il sego di itegrale, i c quato le f covergoo uiformemete a g. Si ha duque, per ogi x: lim f (x) = l + x c g(t)dt := f(x). 3

31 Questo permette ache di dedurre subito, grazie al teorema di Torricelli-Barrow, che il limite f é derivabile e ha come derivata proprio la g. Resta solo da provare la covergeza uiforme delle f. Ma ache questo é molto semplice: essedo sup f (x) f(x) = sup x [a,b] x [a,b] x c (f (t) g(t))dt b a f (t) g(t) dt, dalla covergeza uiforme delle f segue subito che l ultima quatita tede a per che diverge. Vale la pea di osservare che, elle ipotesi del teorema precedete, la codizioe i) o si puo elimiare: sembra che i fodo essa richieda molto poco, ma quel poco é fodametale, perché co la sola covergeza delle derivate o si puo garatire la covergeza delle f. Basti pesare alla successioe di costati, f (x) =, per ogi x e ogi. Le derivate soo tutte ulle, e quidi baalmete covergeti a uiformemete, ma le fuzioi f vao a ifiito per ogi x! U iteressate applicazioe del teorema 5.2 si ha ella ricerca dei puti fissi di fuzioi cotiue (che a sua volta é u metodo per risolvere equazioi). f : [a, b] [a, b] sia ua fuzioe cotiua. Suppoiamo che Sappiamo gia, dai teoremi sulle fuzioi cotiue, che ua fuzioe del geere ammette sempre almeo u puto fisso x, cioé u elemeto x [a, b] tale che f(x) = x. Ora, se si vuole determiare x (sia pure i maiera approssimata) u metodo che a volte fuzioa cosiste ell iterare la f idefiitamete: si parte da u qualsiasi puto, per esempio a, e si fa f(a), poi f(f(a)), e cosi via. I questo modo si costruisce ua successioe (x ) i [a, b], che parte da x = a e soddisfa la relazioe di ricorreza x + = f(x ) per ogi. Se questa successioe coverge, per la cotiuita di f, il limite x é proprio u puto fisso di f: ifatti, essedo x = lim x, si ha f(x) = lim f(x ) = lim x + = x. Tuttavia, o é detto che la successioe (x ) sia covergete. U ipotesi che sicuramete comporta la covergeza é che la fuzioe f sia derivabile i [a, b], co derivata cotiua e sempre i modulo miore di. Se quest ipotesi é verificata, oi possiamo defiire ua successioe di fuzioi f i questo modo: f = f, e f + = f f per ogi. I altre parole, si itera la f idefiitamete. Ora, bisoga vedere se soo soddisfatte le ipotesi del teorema 5.2! Certamete, siccome f ha almeo u puto fisso c (ache se o lo coosciamo!), avremo sempre f (c) = c e quidi c e 3

32 almeo u puto i cui la successioe f é covergete (ipotesi i)). Il discorso riguardate le derivate f é piu delicato. Itato, possiamo osservare che la derivata f ha massimo e miimo, e questi soo, per ipotesi, strettamete compresi fra e. Duque, si ha sup x [a,b] f (x) := s <. Ora, studiamo f 2: poiche f 2 é ua fuzioe composta, si ha, per la regola della catea: e quidi f 2(x) = f (f(x))f (x), f 2(x) = f (f(x)) f (x) s 2, per quato detto poc azi su f. Ragioado i maiera simile, si deduce poi che f 3(x) s 3 per ogi x, e cosi via, avremo che sup x f (x) s per ogi, e allora la successioe (f ) coverge a uiformemete, dato che s <! I coclusioe, abbiamo dimostrato che tutte le ipotesi del teorema 5.2 soo verificate, e quidi le fuzioi iterate f covergoo uiformemete ad ua fuzioe h, la cui derivata é il limite delle f : ma questo limite é! E allora la fuzioe h é costate; e tale costate o puo che essere il valore c, puto fisso di f: ifatti, abbiamo gia osservato che le f (c) soo tutte uguali a c, e quidi ache il loro limite (cioé h) vale c el puto c. Percio, se h e costate, e h(c) = c, tale costate é proprio c. E spesso importate sapere se vale il passaggio al limite sotto il sego di itegrale geeralizzato: si tratta dello stesso problema visto fiora, ma per successioi di fuzioi che rietrio elle tipologie (studiate i precedeza) di itegrazioe i seso geeralizzato. Daremo solo qualche euciato, seza dimostrazioe, e u esempio che possa illustrare le differeze esisteti rispetto ai casi classici. Quello che si puo subito osservare é che, i geerale, o basta emmeo la covergeza uiforme a garatire il passaggio a limite i seso geeralizzato. Per esempio, cosideriamo le fuzioi f : [, + [ IR defiite da f (x) =, x, x >. Baalmete, ogi f é itegrabile i s.g. i [, + [, e il suo itegrale é. Altrettato facilmete si vede che le f covergoo a uiformemete i [, + [, dato che sup x f (x) =. 32

33 Ma chiaramete l itegrale del limite é, diverso dal limite degli itegrali! Quello che accade di egativo i questo esempio é che, al crescere di, sputao via via delle zoe sempre diverse dove f diveta positiva e il corrispodete itegrale o decresce. Duque, o é tato u tipo di covergeza piu o meo forte a garatire il passaggio a limite egli itegrali geeralizzati. Nei due teoremi che ora euceremo, l ipotesi cruciale (oltre a quella di covergeza putuale) sara ua codizioe di domiazioe: se questa ipotesi é verificata, si puo dedurre che le fuzioi della ostra successioe vegoo ad avere tutte itegrale molto piccolo su isiemi abbastaza piccoli, o su semirette co origie molto grade i valore assoluto. Teorema 5.3 Siao f : [a, b[ IR fuzioi illimitate solo i prossimita di b, itegrabili i seso classico i ogi itervallo del tipo [a, b ε[, e covergeti putualmete i ]a, b[ ad ua fuzioe f co aaloghe caratteristiche. Suppoiamo poi che esista ua fuzioe g : [a, b[ IR +, illimitata solo i prossimita di b e itegrabile i seso geeralizzato i [a, b[, tale che f (x) g(x), per ogi e ogi x ]a, b[. Allora sia f che tutte le f soo itegrabili i s.g. e si ha b a f(x)dx = lim b a f (x)dx. Teorema 5.4 Siao f : [a, + [ IR fuzioi localmete itegrabili, e covergeti putualmete i ]a, + [ ad ua fuzioe f co aaloghe caratteristiche. Suppoiamo poi che esista ua fuzioe g : [a, + [ IR +, itegrabile i s.g. e tale che f (x) g(x), per ogi e ogi x ]a, + [. Allora sia f che tutte le f soo itegrabili i s.g. e si ha a f(x)dx = lim a f (x)dx. La fuzioe g che figura ei due teoremi precedeti si chiama fuzioe domiate o domiazioe per le fuzioi f, e l ipotesi f (x) g(x), valida per ogi e ogi x, viee detta ipotesi di domiazioe. Se tale ipotesi e verificata, tutti gli itegrali delle fuzioi f, 33

34 calcolati elle varie zoe dell itervallo o semiretta di defiizioe, soo costretti a rispettare l adameto dell itegrale di g su tali zoe: se g ha itegrale molto piccolo i u certo itervallio o ua certa semiretta, lo stesso deve accadere per gli itegrali di tutte le f (limite compreso). Ua cosegueza dell ultimo teorema qui euciato riguarda l esempio 4.. I quell esempio, abbiamo dedotto che hx si x e dx = C arcta x, x e abbiamo poi ricavato la costate C osservado che, al tedere di h a +, l itegrada tede a. I quella situazioe, sostituedo la variabile h co, si puo ravvisare proprio u problema di passaggio a limite sotto itegrale geeralizzato: le fuzioi f soo date da f (x) = e x si x x, e il loro limite putuale é i tutta la semiretta ], + [. La possibilita di passare a limite sotto il sego d itegrale é data qui proprio dal teorema 5.4: basta solo trovare ua domiazioe g. E qui si puo scegliere come domiazioe la fuzioe f : ifatti, per x > si ha sempre e x e x quado. Duque, passado al limite sotto il sego di itegrale (e sostituedo h co ), troveremo lim (C arcta ) = da cui facilmete C = π 2. Vedremo i seguito ulteriori importati cosegueze. covergeza di serie di fuzioi. Passiamo ora a esamiare la 5.3 Serie di Fuzioi Dal puto di vista tecico, abbiamo gia esamiato serie di fuzioi ache el corso di Aalisi Matematica I: tutte le volte che ua serie umerica dipede da u parametro reale x, questa puo essere vista come ua serie di fuzioi. Per esempio, la serie x (serie geometrica) puo essere cosiderata come ua serie di fuzioi: le fuzioi x x, defiite (per fissar le idee) su [, ], dao luogo a tale serie, e le somme parziali soo defiite da s, ove s = j= xj per ogi. Possiamo allora itrodurre i segueti cocetti. 34

35 Defiizioe 5.5 Data ua serie di fuzioi f (x), defiite per x [a, b], si dice putualmete covergete i [a, b] se la successioe delle somme parziali s (x) := i= f i(x) risulta putualmete covergete a ua fuzioe f(x), per x [a, b]. Potrebbe ache accadere che si ha covergeza i u sottoisieme proprio A [a, b] (per esempio, potrebbe essere A =]a, b[): i tal caso si dice che c é covergeza i A. I effetti, la serie x, defiita per x [, ], risulta covergete solo per x ], [, come be sappiamo. Defiizioe 5.6 Data la serie di fuzioi f (x), defiite i u isieme A IR, si dice che essa é uiformemete covergete i A se la successioe (s ) delle somme parziali coverge uiformemete i A. Per esempio, la serie geometrica x, defiita per x [, [, é ivi putualmete covergete, co somma S pari a. Tuttavia, o si ha covergeza uiforme, i quato x sappiamo che s = x+ x, e s (x) S(x) = x+. Semplici cosiderazioi sulla derivata x mostrao che la fuzioe s S é crescete, e quidi il suo estremo superiore (qualuque sia ) é il suo limite per x che tede a, ossia +. Ivece coverge uiformemete i [, ] la serie + x = : ifatti, per ogi valore di x [, ], tale serie é a segi alteri, e verifica il Criterio di Leibiz. Ioltre, sempre grazie allo stesso Criterio, possiamo osservare che si ha S + (x) S(x) x per ogi e ogi x, (ove S deota la somma parziale della serie e S(x) la somma totale). E poiché x, é evidete che la covergeza della serie é uiforme. Di solito, o é facile verificare la covergeza uiforme di ua serie, perché o si coosce l espressioe delle sue somme parziali. Vedremo presto ua codizioe sufficiete abbastaza facile da verificare (se é soddisfatta). A tale scopo, coviee premettere ua formulazioe del criterio di Cauchy, valido per la covergeza di serie di fuzioi. semplicita, riporteremo solo l euciato. Teorema 5.7 Sia data ua serie di fuzioi f (x), defiita i u itervallo [a, b]. La serie data coverge putualmete se e solo se per ogi ε > e ogi x [a, b] esiste u itero positivo N = N(ε, x) tale che si abbia f N (x) +...f N+p (x) ε 35 Per

36 per ogi p IN. La serie assegata coverge uiformemete i [a, b] se e solo se per ogi ε > esiste u itero positivo N = N(ε) tale che si abbia f N (x) +...f N+p (x) ε per ogi x [a, b] e per ogi p IN. Come per le serie umeriche, da questo criterio si deduce facilmete che: Codizioe ecessaria (ma o sufficiete) affiché ua serie di fuzioi f (x) coverga putualmete (risp. uiformemete) i [a, b] é che risulti lim f (x) = putualmete (risp. uiformemete) i [a, b]. Veiamo ora alla codizioe sufficiete cui acceavamo poc azi. Defiizioe 5.8 Sia data ua serie di fuzioi f (x), defiita i u itervallo [a, b]. Diremo che tale serie coverge totalmete i [a, b] se esiste ua successioe umerica L a termii positivi, tale che (i) f (x) L IN, x [a, b] (ii) L coverge. Per esempio, la serie si( 2 x) 2 + é covergete totalmete i qualsiasi itervallo, i quato si puo scegliere L =, e, come be sappiamo, la serie 2 + é covergete. 2 + Ora proveremo che la covergeza totale comporta ache quella uiforme. Teorema 5.9 Sia f (x) ua serie di fuzioi, covergete totalmete i u itervallo [a, b]. Allora essa coverge uiformemete e assolutamete i tale itervallo. Dimostrazioe. Bastera sfruttare il criterio 5.7. Poiché la serie assegata coverge totalmete, esiste ua serie umerica a termii positivi, L, covergete e tale che f (x) L per ogi e ogi x. Allora, fissato ε >, per la covergeza della serie L, esiste u N IN tale che L N + L N L N+p = L N + L N L N+p ε 36

37 per ogi p IN. Allora, avremo ache f N (x) + f N+ (x) f N+p (x) (L N + L N L N+p ) ε per ogi x e ogi p. Duque la codizioe espressa dal teorema 5.7 (relativamete alla covergeza uiforme) é verificata, e quidi la serie di fuzioi f (x) coverge uiformemete. La covergeza assoluta é ovvia. Come dicevamo, duque, la covergeza totale puo spesso essere molto utile per dedurre la covergeza uiforme di ua serie, e questo é molto importate, quado si pesi che la covergeza uiforme cosete spesso di otteere il passaggio a limite sotto il sego di itegrale, la cotiuita della fuzioe limite (cioe, della somma della serie), e (i certi casi) il passaggio a limite ache sotto derivata. Tuttavia, o dimetichiamo che la covergeza totale é solo ua codizioe sufficiete per quella uiforme: puo beissimo accadere che ua serie di fuzioi coverga uiformemete i u certo itervallo, ma o totalmete. Per esempio, la serie + x =, vista precedetemete, coverge uiformemete i [, ], ma o totalmete. Ifatti, i tale itervallo, il miimo valore di L che si puo scegliere é (é questo ifatti il sup di x [, ]), ma chiaramete la serie o é covergete! i 5.4 Serie di poteze Questo é u argometo importate ella teoria dell approssimazioe: le serie di poteze soo uo strumeto spesso molto utile per approssimare fuzioi regolari, ma ache per costruire fuzioi uove, soddisfaceti a determiate richieste. I realta, abbiamo gia trattato le serie di poteze quado abbiamo studiato gli sviluppi i serie di Taylor: e ifatti ua serie di poteze (laddove coverga) o é altro che la serie di Taylor della sua fuzioe somma. I ultima aalisi, lo scopo di questo paragrafo é proprio quello di provare quest ultima affermazioe e vedere alcue cosegueze. Per motivi di maggiore geeralita, le serie di poteze soo trattate el campo complesso; tuttavia, oi studieremo piu direttamete le implicazioi solo el caso reale. 37

38 Defiizioe 5.2 Sia z u fissato umero complesso, e sia (a ) ua geerica successioe di umeri complessi. Diremo serie di poteze l espressioe a (z z ), dove z é da itedere come ua variabile complessa. Ovviamete, la serie di poteze a (z z ) coverge per z = z (e la somma é a ). Il puto z é detto cetro della serie. Chiaramete, per studiare serie di poteze i geerale, si puo assumere direttamete z = : co il cambio variabile u = z z si ottiee ifatti a (z z ) = a u. L isieme dei puti z per cui la serie a (z z ) coverge é detto isieme di covergeza: vedremo presto che, i geere, tale isieme é di forma circolare. Tuttavia puo ache accadere che esso si riduca al solo puto z (questo accade per esempio se a =! per ogi ) oppure che coicida co tutto C (e questo accade per esempio quado a =! per ogi ): tra poco chiariremo meglio queste ultime affermazioi. Diamo subito u primo teorema che chiarisce molto bee quale puo essere il comportameto di ua serie di poteze. Come gia aticipato poc azi, d ora i poi assumeremo direttamete che z =, per semplicita. Teorema 5.2 Sia data la serie di poteze a z, e suppoiamo che tale serie coverga i u puto z. Allora si ha quato segue: i) la serie coverge assolutamete i ogi puto z tale che z < z. ii) per qualsiasi umero positivo r < z, la serie coverge totalmete el disco B r := {z : z r}. Dimostrazioe. solo quest ultima. Chiaramete, la proprieta i) é vera se lo e la ii), per cui proveremo Poiche la serie a z é covergete, ecessariamete si deve avere lim a z =. Questo comporta ache che la successioe (a z ) é limitata, ossia esiste u umero reale k > tale che a z = a z k per ogi. Ora, scegliamo u qualsiasi umero positivo r < z, e fissiamo z el disco B r : avremo allora a z a r = a z ( r z ) k( r z ). 38

39 Ora, poedo L = k( r z ), si ha a z L per ogi e ogi z B r, e ioltre la serie r L é covergete i quato serie geometrica di ragioe z strettamete miore di : questo prova la covergeza totale, e coclude la dimostrazioe. Questo teorema ha ache ua cosegueza i chiave egativa, ma comuque utile, come vedremo. Corollario 5.22 Data ua serie di poteze a z, se esiste el campo complesso u puto w tale che a w o coverge, allora la serie a z o puo covergere se z > w. Dimostrazioe. Per assurdo, suppoiamo che a z sia covergete per qualche z co z > w. Ma allora, per il teorema precedete, parte i), dovrebbe covergere ache la serie a w, cotro le ipotesi. Cosegueza immediata del teorema 5.2 é che l isieme di covergeza ha forma circolare; piu precisamete, si da la seguete defiizioe. Defiizioe 5.23 Data ua serie di poteze a z, diremo raggio di covergeza di tale serie il umero r := sup{ z : a z coverge}. I geerale, si poe r = se la serie coverge solo el suo cetro, e r = + se essa coverge i tutto C. Cosegueza diretta del teorema 5.2, del corollario 5.22 e della defiizioe 5.23 é che, se ua serie di poteze ha raggio di covergeza r ], [, l isieme di covergeza di ua serie di poteze cotiee l itero del disco B r ed é coteuto i B r. Osserviamo pero che, ei puti di frotiera di B r (cioé quelli il cui modulo é uguale a r), i geere o si puo dire ulla. Vediamo alcui esempi, limitatamete al caso reale. La serie z (serie geometrica) ha certamete raggio di covergeza, per quato gia sappiamo sulle serie geometriche. Tuttavia, se z = ache z = per ogi, e quidi 39

40 o puo essere lim z = : viee duque a cadere ua be ota codizioe ecessaria per la covergeza. Pertato, la serie geometrica coverge solo all itero del disco B. La serie z ha acora raggio di covergeza. Ifatti, essedo z z, si vede subito per cofroto che il raggio é almeo uguale a ; d altra parte, se z >, si ha di uovo lim z = +, e quidi o si puo avere covergeza. Ora, se z = la serie z si riduce alla serie armoica classica, e quidi diverge. Se ivece z =, la serie di poteze si riduce alla serie armoica a segi alteri, che coverge grazie al criterio di Leibiz. Quidi, la serie z ha raggio di covergeza, e l isieme di covergeza cotiee il puto z = ma o il puto z = (i campo complesso, si puo dimostrare che il puto z = é l uico di modulo el quale o si abbia covergeza). A questo puto, sorge spotaea la domada: come si fa a calcolare il raggio di covergeza di ua serie di poteze? U primo metodo, piuttosto utile operativamete ma o molto geerale, si rifa al criterio del rapporto per le serie a termii positivi. Teorema 5.24 Sia (a ) ua successioe di umeri, reali o complessi, mai ulli. esiste i [, + ] il limite r := lim a a +, allora r é il raggio di covergeza della serie di poteze a z. Se Dimostrazioe. Suppoiamo dapprima che r sia strettamete positivo, e sia z u qualsiasi umero complesso co modulo miore di r. Allora, applicado il criterio del rapporto alla serie a z, avremo lim a + z + a z = lim a + z a = z r <, (ovviamete il limite sarebbe se fosse r = + ), e quidi si ha covergeza. Se ivece z > r, co gli stessi passaggi si ottiee che lim a + z + a z > e quidi o si ha covergeza. Pertato, r é proprio l estremo superiore dei moduli di quei umeri z ei quali si ha covergeza. 4

41 A questo puto, rimae solo da predere i esame il caso i cui il limite r é ullo: per provare che il raggio é proprio, bastera far vedere che o si ha mai covergeza, per qualsiasi valore z. E ifatti, scegliedo z e impostado di uovo il criterio del rapporto come sopra, avremo che lim a + z + a z = +. La dimostrazioe é cosi coclusa. A proposito del teorema precedete, dobbiamo osservare che esso, pur implicado calcoli abbastaza semplici, o é sempre applicabile i maiera diretta. Per esempio, la serie z2 ha i termii di posto dispari tutti ulli, e quidi il rapporto a a + o sempre ha seso. D altra parte, o é difficile ricooscere i tale serie ua serie geometrica, di ragioe z 2, e quidi il raggio di covergeza i tal caso é. Questa osservazioe (e altre aaloghe) portao a u criterio piu geerale, che puo essere applicato i tutti i casi: esso prede il ome di Criterio di Cauchy-Hadamard. No riportiamo la dimostrazioe, ma osserviamo soltato che essa procede i u certo seso come quella del teorema 5.24, co la differeza che, aziche appoggiarsi al criterio del rapporto, si appoggia a quello della radice, e la possibilita che il limite da fare o esista viee superata facedo riferimeto al cocetto di massimo limite. Teorema 5.25 Sia (a ) ua successioe di umeri reali o complessi, e deotiamo co l la quatita (fiita o + ): l = max lim ( a ) /. Allora, il raggio di covergeza della serie a z é dato da: r = l (itededo che = + e + = ). Seza dimostrare ulla, precisiamo, riguardo a questo teorema, che il massimo limite di ua successioe di umeri reali (b ) é defiito come segue: max lim b = if sup b. IN m Il seso di questa formula é il seguete: se la successioe (b ) ha limite (ache + oppure ) allora esso é ache il massimo limite; se ivece il limite o esiste, il massimo limite 4

42 é il piu grade dei limiti delle sottosuccessioi di (b ) che ammettoo limite. Se, ella formula precedete, scambiamo l ordie tra if e sup, si ottiee ivece il miimo limite, che coicide co il massimo limite se e solo se la successioe (b ) ammette limite; altrimeti, il miimo limite é il piu piccolo dei limiti delle sottosuccessioi di (b ) che ammettoo limite. Vediamo ora alcui esempi, per predere dimestichezza co questi criteri. Esempio 5.26 La serie + (z ) 2 é cetrata el puto, e ha raggio di covergeza 2: ifatti si ha a = + 2 e a = 2 + a : si vede subito che il limite del rapporto é 2, e questo é il raggio di covergeza, grazie a Se poi vogliamo esamiare cosa accade ei puti i cui z = 2 (cioe sul bordo del cerchio di covergeza), possiamo osservare che, i tali puti, si ha + 2 (z ) = = +, e quidi il termie geerale della serie o tede a. Duque, l isieme di covergeza é il disco aperto di cetro e raggio 2. Esempio 5.27 Qual é il raggio di covergeza della serie 3 z2? Se vogliamo usare il criterio del rapporto, dobbiamo effettuare u cambio di variabili, e porre z 2 = u: la serie diveta allora 3 u, e facilmete si trova che il raggio di covergeza (relativamete a u) é. Ma, essedo 3 u = z 2, e quidi u = z 2, il raggio di covergeza rispetto alla variabile z é

43 Voledo usare qui il criterio di Cauchy-Hadamard, si deve esprimere (co attezioe!) il termie a : ifatti, per dispari avremo a =, e per pari, diciamo = 2h, si ha a = a 2h = 3h h (é questo ifatti il coefficiete di z2h ). Duque, il massimo limite prede i cosiderazioe solo gli pari, e per tali valori di troveremo (a ) / = ( 3h h )/(2h) = e 2h l( 3h h ) = e 2h (h l 3 l h) = e l 3 2 e l h 2h = 3e l h 2h. Ora, per h che diverge, l ultima quatita ad espoete tede a, e quidi si puo cocludere che e quidi r = 3 = 3 3. max lim (a ) / = lim h ( 3h h )/2h = 3 Esempio 5.28 Cerchiamo l isieme di covergeza della serie di poteze ( + ) z, per valori complessi di z. Il raggio di covergeza si trova facilmete, grazie al criterio di Cauchy-Hadamard: poiche a / = +, si vede subito che il raggio di covergeza é. Percio l isieme di covergeza cotiee sez altro il disco aperto di cetro e raggio, e o cotiee alcu puto di modulo strettamete maggiore di. Vediamo ora se si ha covergeza i qualche puto z di modulo : ma possiamo otare subito che, se z =, allora a z = ( + ), e (per u fodametale limite otevole) tale quatita tede a e quado tede a ifiito. Duque, se z =, la ostra serie o puo covergere, i quato il suo termie geerale o tede a. I coclusioe, l isieme di covergeza si riduce al solo disco aperto di cetro e raggio. Esempio 5.29 Suppoiamo che, i ua serie di poteze a z, i termii a defiiti per ricorreza, come segue: siao a =, a =, e a +2 = a + + a, per = 2, 3,... (Come be oto, i termii a costituiscoo la cosiddetta successioe di Fiboacci). Qual é il raggio di covergeza di questa serie di poteze? 43

44 Possiamo servirci del criterio del rapporto. Utilizzado la regola ricorsiva, troviamo ifatti a + a = a + a a Duque, se poiamo b = a a, troviamo che = + a a b 2 = 2, e b + = + b per > 2. Abbiamo gia icotrato ua successioe simile, tra quelle defiite per ricorreza, i Aalisi I. Tale successioe ha per limite la soluzioe dell equazioe x = + x, e l uica soluzioe accettabile é x = + 5. Poiche b 2 = a, il raggio di covergeza é il reciproco del umero x precedetemete trovato, ossia r = = 5 2. Le serie di poteze, per come soo defiite, compredoo ache le be ote serie di Taylor, che abbiamo studiato el corso dell Aalisi I. I effetti, vedremo ora che, purche il raggio di covergeza o sia ullo, ogi serie di poteze é ua serie di Taylor (quella della sua fuzioe somma). A tale scopo, premettiamo ua defiizioe e alcui semplici risultati. Defiizioe 5.3 Data ua serie di poteze a (z z ), diremo serie derivata la seguete serie di poteze: a a (z z ), otteuta derivado termie a termie la serie iiziale. Ci propoiamo ora di studiare la covergeza della serie derivata, e di cofrotare la sua somma co quella della serie iiziale: l idea é di verificare se la derivata della somma iiziale (el suo isieme di covergeza) coicide co la somma della serie derivata. Teorema 5.3 Data ua serie di poteze a z, la sua serie derivata ha lo stesso raggio di covergeza della serie iiziale. Dimostrazioe: Applichiamo il criterio di Cauchy-Hadamard: si ha lim sup(a ) / = (lim / )(lim sup a / ) = lim sup a /, 44

45 i quato si vede facilmete (per es. passado a logaritmo) che lim / =. Cio coclude la dimostrazioe, Teorema 5.32 Sia a (z z ) ua serie di poteze, avete raggio di covergeza r >. Allora, detta S(z) la somma di tale serie el disco aperto B := {z : z z < r}, la fuzioe S é derivabile i ogi puto di B, e la derivata S (z) coicide co la somma della serie derivata a (z z ) el disco aperto B. Dimostrazioe. Ci limiteremo al caso reale, e quidi supporremo che tutti i coefficieti a siao umeri reali, e cosi i puti z ez. Pertato, il disco aperto B si riduce all itervallo aperto ]z r, z +r[. I tale itervallo, per il teorema precedete, la serie derivata coverge putualmete ad ua somma T. Ora, fissiamo arbitrariamete z B e mostriamo che S é derivabile i z e S (z) = T (z): cio cocludera la dimostrazioe. Poiché r := z z < r, l itervallo chiuso B := [z r, z + r ] é coteuto i B e cotiee z. Ioltre, i virtu del teorema 5.2, parte ii), si ha sez altro covergeza totale i B. Duque la serie derivata coverge (ache) uiformemete i B. Allora, dato che ache la serie iiziale coverge ei puti di B, soo soddisfatte (i B ) tutte le ipotesi del teorema 5.2 (relativamete alle successioi delle somme parziali delle due serie), e quidi la derivata di S ei puti di B esiste e coicide co la somma T della serie derivata, da cui, essedo z B, S (z) = T (z), come volevasi dimostrare. Duque, i virtu dei teoremi precedeti, possiamo affermare quato segue: se ua serie di poteze a (z z ) ha raggio di covergeza r >, allora essa coverge ell itervallo ]z r, z + r[ ad ua fuzioe S, che é derivabile, e la cui derivata é la somma della serie derivata a (z z ). Ma ache la serie derivata é ua serie di poteze, e ha lo stesso raggio r di covergeza. Per cui la somma di tale serie, S, é a sua volta derivabile i ]z r, z +r[ e S sara la somma di u altra serie di poteze (la serie derivata secoda), cioé ( )a (z z ) 2...Si puo cotiuare cosi per la derivata terza, la quarta, etc.: si vede ora chiaramete che la somma S della serie iiziale é derivabile ifiite volte, e ogi sua derivata é la somma di ua serie di poteze, sempre i ]z r, z + r[. Il prossimo passo sara dimostrare che, se 45

46 ua serie di poteze a (z z ) ha raggio di covergeza r >, allora la sua somma S ammette sviluppo di Taylor, e la sua serie di Taylor o é altro che la serie di poteze iiziale. Teorema 5.33 Sia a (z z ) ua serie di poteze co raggio di covergeza r >. Allora la somma S di tale serie i ]z r, z + r[ é sviluppabile i serie di Taylor attoro al puto z, e tale serie di Taylor é proprio la serie a (z z ). Dimostrazioe. Bisoga solo dimostrare che si ha a = S() (z ),! per ogi. Itato, per = si vede subito che S(z ) = a + = a (z z ) = a. Per quato riguarda le altre derivate, avremo S (z ) = + = a (z z ) = a, S (z ) = S (z ) = + =3 + =2 ( )a (z z ) 2 = 2a 2, ( )( 2)a (z z ) 3 = 3!a 3, etc.: isomma, per ogi risulta S () (z ) =!a, che é esattamete quato richiesto. 5.5 Serie di Fourier Le serie di Fourier soo u altro metodo potete per approssimare fuzioi cotiue mediate serie di fuzioi piu elemetari. Il pricipio di base é isito ella possibilita di decomporre u suoo (o u qualsiasi segale) elle sue compoeti armoiche: qui, per armoica si itede ua fuzioe del tipo a k cos kx oppure b k si kx, co a k e b k costati e k itero aturale. I teoremi che permettoo di fare cio o soo elemetari, e e ometteremo la dimostrazioe. Daremo solo alcue formulazioi, allo scopo di applicarle i svariati esercizi. Premettiamo il cocetto di coefficiete di Fourier. 46

47 Defiizioe 5.34 Data ua fuzioe f : [a, b] IR, itegrabile i s.g., chiameremo coefficieti di Fourier della f le quatita a, a, a 2,..., b, b 2,... di seguito defiite: a := 2 b a b := 2 b a b a b a f(x) cos 2πx dx, =,,... b a f(x) si 2πx dx, =,... b a I particolare, la quatita a coicide co il doppio della media itegrale di f i [a, b]. Chiaramete, se b a = 2π, allora le fuzioi itegrade assumoo la forma f(x) cos x e f(x) si x, per itero. U primo teorema si puo formulare per il caso di fuzioi periodiche, defiite i [ π, π]: qui, periodiche sigifica semplicemete che tali fuzioi assumoo lo stesso valore ai due estremi. Vedremo poi delle geeralizzazioi ache i itervalli diversi e per fuzioi o ecessariamete periodiche. Teorema 5.35 Sia f : [ π, π] IR ua fuzioe che soddisfa alle segueti codizioi: dove i) f( π) = f(π); ii) f e f siao cotiue a tratti i [ π, π], co discotiuita solo di I specie. Allora, i ogi puto di cotiuita di f si ha f(x) = a (a cos(x) + b si(x)), (5.) a = π b = π π π π π = f(x) cos(x)dx, =,,... f(x) si(x)dx, =,,... Negli evetuali puti t di discotiuita di f la somma della serie i (5.2) esiste acora, e coicide co f(t+)+f(t ) 2. Ua formulazioe piu geerale si ha el seguete teorema. 47

48 Teorema 5.36 Sia f : [a, b] IR ua fuzioe che soddisfa alle segueti codizioi: ii) f e f siao cotiue a tratti i [a, b], co discotiuita solo di I specie. Allora, i ogi puto di cotiuita di f, diverso dagli estremi, si ha dove (vedi sopra): f(x) = a (a cos 2πx b a + b si 2πx ), (5.2) b a = Nei puti di discotiuita della f si ha lo stesso risultato descritto el teorema precedete. a := 2 b a b := 2 b a b a b a f(x) cos 2πx dx, =,,... b a f(x) si 2πx dx, =,... b a Nei puti estremi a e b il limite della serie é lo stesso e coicide co f(a)+f(b) Esempi vari Esempio 5.37 Si cosideri la seguete successioe di fuzioi: f (x) = si x x ( e x/ ), co x [, H], e H > arbitrario. Si studi covergeza putale ed uiforme, e si esamii se possibile il limite H lim f (x)dx. I virtu di u limite otevole, si ha lim f (x) = si x, putualmete i [, H]. Ifatti, il limite otevole i oggetto é: e t lim t t =. Tale circostaza cosete azi di dedurre la covergeza uiforme i [, H]: fissato ε > esiste u δ > tale che t < δ implichi et t < ε. Scelto ifatti, 48

49 allora > δ H, si ha x < δ, per ogi x [, H] e >. Posto duque t = x, se e ricava f (x) si x ε si x ε per ogi > e ogi x [, H]. Questo coferma la covergeza uiforme. Si puo pertato passare a limite sotto il sego d itegrale, e dedurre H lim f (x)dx = H si xdx = cos H. Esempio 5.38 Si cosideri la seguete successioe di fuzioi: f (x) = x e x, per x [, ]. Si studi la covergeza putuale ed uiforme, ed il passaggio a limite sotto il sego d itegrale. La successioe data coverge chiaramete a, per ogi x <. Tuttavia, si ha lim f () =. La fuzioe limite duque ha ua discotiuita el puto e, e quidi o si puo avere covergeza uiforme. Essedo comuque f (x) per ogi e ogi x, si ha certamete il passaggio a limite sotto il sego d itegrale: lim x e x dx =. Ora, possiamo sfruttare tale risultato el modo seguete: deotiamo co a il valore del itegrale di f i [, ] per ciascu IN. Avremo facilmete: a = e, a = 2 e, e i geerale a + = ( + )a e, per ogi. Da cio si puo ricavare l espressioe seguete di a : a =!( s e ), ove s = j= j! 49

50 é la somma parziale della serie espoeziale (che coverge a e). Dal fatto che a coverge a, ricaviamo ua stima circa l ordie di ifiitesimo della successioe (e s ): abbiamo ifatti e s = e a! e quidi il resto e s é ifiitesimo di ordie superiore rispetto a! (che é gia molto forte): i pratica, se si vuole approssimare il umero e fio alla sesta cifra decimale, basta sommare i primi termii della serie espoeziale: poiché! supera 3 milioi, e s é iferiore a 6. Esempio 5.39 Si cosideri la successioe f (x) = log x x + /, per x [, e]. Si valuti covergeza putuale, covergeza uiforme e passaggio a limite sotto il sego d itegrale. E facile verificare che si ha lim f (x) = log x x, putualmete i [, e]. Quato alla covergeza uiforme, si ha log x x + / log x log x x = x(x + /) log x, per ogi x [, e] e ogi itero >. Cio chiaramete implica la covergeza uiforme e il passaggio a limite sotto il sego d itegrale. Si ha pertato e log x e lim x + / dx = log x x dx = 2. Esempio 5.4 Si defiisca la seguete successioe di fuzioi, per x [, ]: f (x) = cos x, f + (x) = cos(f (x)), 5

51 per. Si dimostri che la successioe data coverge uiformemete ad ua costate. Quale? Itato, possiamo osservare che, per x [, ], si ha cos x [cos, ] [, ] (ovviamete qui gli agoli soo espressi i radiati). Questo mostra che la successioe e be defiita. Ioltre, tutte le f soo cotiue e derivabili. Grazie al teorema di puto fisso (corollario del teorema degli zeri), possiamo dedurre che esiste u puto x [, ] tale che cos x = x. Pertato f (x ) = x per ogi, e quidi Duque, se dimostriamo che le f lim f (x ) = x. costate o potra essere altro che x. Cosideriamo ora le derivate delle varie fuzioi f. D(cos x) = si x, e quidi max x [,] f (x) = si. per ogi x [, ], e, i geerale per ogi e ogi x. covergoo uiformemete ad ua costate, tale f 2(x) = si x si (cos x) A 2 f (x) A Si ha, aturalmete, Posto A := si, si ha poi Poiche A <, e segue che lim f (x) = uiformemete. Allora, grazie al teorema di passaggio al limite sotto derivata, si puo cocludere che la successioe (f ) coverge uiformemete ad ua costate. Ifie, tale costate o puo che essere x per quato detto prima. Da cio si puo dedurre direttamete ache che, ell itervallo cosiderato, o esistoo altri puti fissi per la fuzioe f ua costate uguale sia a x Esempio 5.4 Cosiderata la serie (altrimeti il limite uiforme delle (f ) dovrebbe essere sia a qualsiasi altro puto fisso). = ( ) x2+2 +, si determii l isieme di covergeza i IR, e la somma. 5

52 Il raggio di covergeza, valutato tramite Cauchy-Hadamard, risulta uguale a. Per x = ±, la serie si riduce alla serie armoica a segi alteri, per cui coverge. Si ha duque covergeza i [, ]. Facilmete si vede poi che S() =, cioé la somma della serie data vale i. Per ricavare la somma i geerale, studiamo la serie derivata: S (x) = ( ) = 2 x 2+ = 2x ( x 2 ) = = 2x x 2 +, almeo i ], [. Pertato, la serie data coverge, ell itervallo ], [, a quella primitiva della fuzioe S (x) = primitiva é la fuzioe S(x) = l(x 2 + ). 2x, che si aulli per x = : tale x 2 + Avedosi covergeza ache i e -, deduciamo poi, per cotiuitá: log 2 = = ( ) +. Esempio 5.42 Cosiderata la serie = ( ) x 2+ (2 + )2 2+, si determii l isieme di covergeza e la somma. Coviee scrivere la serie el modo seguete: = ( ) x 2+ (2 + )2 2+ = x 2 = ( ) 2 + (x2 /4) : i tal modo, si vede facilmete che il raggio di covergeza é, relativamete a x2, e quidi r = 2 relativamete a x. Se x = ±2 la serie coverge per Leibiz, 4 duque si ha covergeza i [ 2, 2]. derivata: S (x) = ( ) x2 2 = 2+ 2 = Per valutare la somma, cosideriamo la serie ( ) (x 2 /4) = 2 + x 2 /4. = 52

53 Poiché quest ultima fuzioe é la derivata di g(x) = arcta (x/2), e poiché la serie data coverge baalmete a per x =, deduciamo che, almeo i ] 2, 2[, risulta S(x) = arcta x 2. Avedosi poi covergeza ache agli estremi, otteiamo ioltre π 4 = arcta = ( ) (2 + ). = Esempio 5.43 Assegata la serie di poteze () + = ( ) 2 (2 + )! x2 si determii l isieme di covergeza. Si determii poi ua serie, la cui somma sia ua primitiva della somma della serie (). Ifie, si deduca la somma della serie assegata. Tramite il criterio del rapporto, si vede facilmete che la serie assegata ha raggio di covergeza ifiito, e quidi coverge i tutto IR. Itegrado termie a termie, si ottiee la serie (2) + = ( ) (2 + )! x2 = x + = ( ) (2 + )! x2+. A parte il termie, l ultima serie scritta é la serie di McLauri della fuzioe x si x, e quidi G(x) = si x x oti teoremi sulle serie di poteze). é ua primitiva della somma della serie cercata (per Pertato la somma della serie () é S(x) = x cos x si x x 2. Esempio 5.44 Data la serie di poteze + k= ( ) k (k + )x k+, si determii l isieme di covergeza e la fuzioe somma, S(x). Si esamii ifie la possibilita di itegrare per serie la fuzioe S(x) ell itervallo [, ]. 2 53

54 La serie data ha raggio di covergeza, come facilmete si vede ad esempio mediate il criterio del rapporto. Ioltre, se x =, il termie geerale della serie assoluta diviee (k+), e quidi o tede a. Pertato si ha covergeza solo per x <. Per quato riguarda la somma, osserviamo che la serie data si puo scrivere e quidi risulta S(x) = x d dx + k= ( + ) ( ) k x k+ k= ovviamete per x <. Ne segue duque ( ) k x(k + )x k, ( = x d + ) ( x) k+ = x d ( ) x, dx dx + x k= S(x) = x ( + x) 2. Poiché si ha covergeza totale i [, ], la fuzioe somma é itegrabile i 2 tale itervallo e si ha /2 S(x)dx = + ( ) k (k + ) /2 k= x k+ dx da cui, svolgedo l itegrale a primo e a secodo membro: log = + k= k + k (k+2). Esempio 5.45 Adoperiamo ora le serie di poteze per risolvere u problema di ua certa importaza elle applicazioi: ricerchiamo quelle fuzioi f(x), che verifichio, el loro campo di defiizioe, la codizioe (equazioe fuzioale) f(2x) = 2f(x) + e x x Suppoedo che la soluzioe abbia uo sviluppo i serie di poteze, scriviamo: f(x) = + = a x, 54

55 da cui f(2x) = + a 2 x, e 2f(x) + e x x = 2a + + 2a x + + = =2 (2a +! )x (avedo adoperato lo sviluppo di Mc-Lauri di e x ). Ora, se f(2x) e 2f(x) + e x x devoo essere uguali, la loro differeza deve essere ulla, e quidi lo sviluppo di tale differeza deve avere tutti i coefficieti ulli. Ma lo sviluppo della differeza f(2x) (2f(x) + e x x) é la differeza dei due sviluppi sigoli, per cui avremo: a =, = a 2 (2a +! ) per ogi itero 2, metre a resta arbitrario: se e ricava subito a =!(2 2) 2 e quidi i defiitiva le fuzioi per f(x) = + a x + =2 x!(2 2), otteute al variare di di a IR, soo tutte soluzioi dell equazioe fuzioale assegata (la serie di poteze ha raggio di covergeza ifiito, duque ogi f cosi otteuta é defiita e regolare i tutto IR). Esempio 5.46 Modifichiamo ora il problema precedete itroducedo ua codizioe che coivolge ache la derivata di f: ricerchiamo cioé quella fuzioe f(x), che verifichi, el 55

56 suo campo di defiizioe, la codizioe (equazioe differeziale co argometo fuzioale) f (2x) = 2f(x) e che soddisfi ioltre alla richiesta: f() =. Suppoiamo come sopra che la soluzioe cercata sia la somma di ua serie di poteze: f(x) = a x, =o e valutiamo la derivata: Ora, avremo e f (x) = a x = = f (2x) = 2f(x) = (m + )a m+ x m. m= a m x m, m= (m + )a m+ 2 m x m. Osserviamo ora che, dovedo essere f() =, risulta ecessariamete a m= =. Ioltre, voledo otteere 2f(x) f (2x) =, dovremo aullare tutti i coefficieti della serie relativa a 2f(x) f (2x), ossia imporremo: a =, a m+ = a m (m + )2 m, per m. U procedimeto d iduzioe prova poi che il termie geerale a m puo essere scritto come segue: per m, e i defiitiva f(x) = a m = 2(3m m2 )/2 m! m= 2 (3m m2 )/2 (serie di poteze co raggio ifiito). Duque, la fuzioe cercata é defiita e regolare i m! x m, tutto IR. Di seguito si puo vedere u grafico di tale fuzioe. 56

57 Esempio 5.47 U altra variate si preseta ell equazioe: f(3x) = 2(f(x) si x ), dove la fuzioe ota o é derivabile, e quidi o é sviluppabile i serie di Taylor. Per risolvere tale problema, si puo comuque utilizzare ua serie di fuzioi; posto g(x) = j= si(3 j x) 2 j, si vede facilmete che i termii della serie soo fuzioi cotiue, e che la serie coverge totalmete i ogi itervallo limitato di IR: duque la fuzioe somma, g(x), é sez altro cotiua. Verifichiamo l equazioe: g(3x) = j= si(3 j+ x) 2 j = j= si(3 j x) 2 j = 2 j= si(3 j x) 2 j. Poiché il termie co j = é esattamete si x, si vede subito che g(3x) = 2(g(x) si x, e quidi la fuzioe g verifica l equazioe data. Dal grafico si vede che questa fuzioe o é molto regolare (rietra i quella categoria di fuzioi che soo cotiue i ogi puto ma o derivabili i essu puto!). Tuttavia essa risolve i pieo l equazioe data. 57

58 5.7 Esempi di Serie di Fourier Riporteremo qui alcui sviluppi i serie di Fourier, e e dedurremo come casi particolari la somma di certe serie umeriche. Esempio 5.48 Sviluppo di x, i ] π, π[: Si deduce, per x = π 2 : x = 2(si x si 2x 2 + si 3x + si x...) = 2 ( ) 3. = π 4 = La figura seguete mostra l adameto della serie di Fourier della fuzioe x, arrestata al 45 termie. Esempio 5.49 Sviluppo di x, i [ π, π]: da cui x = π 2 4 3x (cos x + π 3 + 5x ) 2 + = cos(2 )x = π2 (2 ) 2 8 π x. (5.3) 4 58

59 I particolare, per x = si ha Poedo S := + =, si ottiee 2 + = (2 ) 2 = π2 8. S = π = π S 4, = da cui ifie S = π2 6. Esempio 5.5 Sviluppo di x 2, i [ π, π]: x 2 = π2 3 4(cos x cos 2x 4 cos 3x +...) = π cos(x) ( ). 2 = Utilizzado lo sviluppo di x, precedetemete trovato, possiamo dedurre x 2 = π2 3 4(cos x + cos 3x 9 + cos 5x...) + 4(cos(2x) + cos(4x) = π2 3 4(π2 8 π x ) + 4(cos(2x) + cos(4x) Da cio deduciamo facilmete che x 2 π2 3 + π2 π x = 4(cos(2x) + cos(4x) cos(6x)...) cos(6x)...) 36 + cos(6x)...) = 36 59

60 e quidi cos(2x) 4 + cos(4x) 6 Sommado le relazioi (5.3) e (5.4), otteiamo ifie + cos(6x)... = x π π2 x (5.4) + = cos(x) 2 = x2 4 π π2 x + 2 6, (valida aturalmete per x [ π, π]). La figura che segue mostra u cofroto fra la fuzioe x x 2 e la sua serie di Fourier, i colore scuro, arrestata al decimo addedo. 6

61 Cotets 3 Itegrali geeralizzati, parte I 2 4 Itegrali geeralizzati, parte II 4. Esempi Successioi e serie di fuzioi Covergeza putuale e covergeza uiforme Teoremi di passaggio al limite Serie di Fuzioi Serie di poteze Serie di Fourier Esempi vari Esempi di Serie di Fourier