Dispense di Analisi Matematica II

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1 Dispese di Aalisi Matematica II Domeico Cadeloro (Prima Parte) Itroduzioe Queste dispese trattao la prima parte del corso di Aalisi Matematica II. Nel primo capitolo si discutoo gli itegrali geeralizzati (detti a volte impropri), e si foriscoo gli strumeti che servirao per affrotare ache gli aspetti piu pratici di questi argometi. Nel secodo capitolo tratteremo ivece successioi e serie di fuzioi, esamiado e cofrotado i diversi tipi di covergeza, e mettedo i evideza il particolare comportameto delle serie di poteze e delle serie di Fourier. Alla fie di ogi capitolo verra presetata ua carrellata di esempi: di solito essi soo formulati come esercizi e se e da ache la risoluzioe; ma i molti casi si tratta di quesiti o baali, che illustrao svariate e importati applicazioi dei cocetti studiati. Lo studete duque o li deve iterpretare come reali strumeti di verifica, besi come u modo diverso di itrodurre strumeti piu avazati di calcolo: si acceera a fuzioi speciali quali la Gamma e la Beta, a vere e proprie trasformate di Laplace (sia pure mascherate), e a metodi risolutivi di alcue equazioi fuzioali, ache queste presetate alla buoa e seza alcua pretesa di sistematicita o completezza. Meo ambiziose, ma pur sempre impegative, sarao alcue applicazioi delle serie di poteze e di Fourier, specialmete quelle idirizzate verso il calcolo della somma, il che, com é be oto, spesso preseta otevoli difficolta e tuttavia coduce a volte a risultati assai iteressati.

2 Chapter 3 Itegrali geeralizzati, parte I Le applicazioi del calcolo itegrale spesso vao al di la delle situazioi che si possoo affrotare co l itegrale di Riema: per esempio, i Probabilita e i Teoria degli Errori é spesso fodametale poter calcolare l area di regioi piae illimitate (area che spesso é fiita), e itegrali di fuzioi ache illimitate e/o defiite su domiii illimitati. Le stesse serie umeriche, gia trattate i Aalisi I, si possoo facilmete iterpretare come itegrali di fuzioi a gradiata defiite sulla semiretta [, + [ : e spesso proprio questa iterpretazioe di ua serie permette di calcolare la somma o almeo di determiare il comportameto. Duque, é importate defiire (e poi evetualmete calcolare) itegrali di fuzioi illimitate e itegrali di fuzioi defiite su itervalli illimitati. Iizieremo co il trattare le fuzioi defiite su itervalli limitati [a, b], illimitate i prossimita di u puto, i base alla seguete defiizioe. Defiizioe 3. Sia [a, b] u itervallo limitato della retta reale, e sia data ua fuzioe f : [a, b[ IR (o preciseremo se f sia defiita o o su b). Diciamo che f é illimitata solo i prossimita di b se risulta sup{ f(x), x [b r, b[ } = + e sup{ f(x), x [a, b r[ } < + per ogi r i ], b a[. Isomma, f dev essere limitata i ogi itervallo [a, b r] che escluda u itoro di b, e dev essere illimitata i ogi itoro (siistro) di b. Per esempio, la fuzioe f(x) =, defiita su [, [, é illimitata solo i prossimita di. Acora, la x fuzioe g(x) = l( x), ello stesso itervallo, é illimitata solo i prossimita di. 2

3 Ora, data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata solo i prossimita di b, diremo che f é localmete itegrabile alla Riema se essa é itegrabile alla Riema i ogi itervallo [a, b r], co r ], b a[. Per esempio, le due fuzioi defiite poc azi hao questa proprieta, i quato soo cotiue i [, [. Ifie, data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata solo i prossimita di b e localmete itegrabile alla Riema, diremo che f é itegrabile i seso geeralizzato (abbreviato i s.g.) se esiste fiito il limite b r lim f(x)dx. r a I tal caso, questo limite é detto l itegrale geeralizzato di f i [a, b], e scriveremo b a b r f(x)dx = lim f(x)dx. r a Solitamete, se f : [a, b[ IR é ua fuzioe cotiua, l itegrabilita i seso geeralizzato equivale alla possibilita di applicare la formula fodametale: f(x)dx = b a F (b) F (a), sostituedo evetualmete F (b) co il limite della primitiva F per x che tede a b. Ifatti, b r a f(x)dx = F (b r) F (a) e quidi l esisteza del limite (fiito) di F (x) per x che tede a b (qui, x = b r) equivale all esisteza dell itegrale geeralizzato di f. Per esempio, la fuzioe f(x) =, defiita e cotiua su [, [, o é itegrabile i x s.g. perche la fuzioe F (x) = l( x) (primitiva di f) o ha limite fiito per x che tede a. I altri termii, l area della regioe di piao compresa fra l asse x e il grafico della f, e le rette x = e x =, é ifiita. Ivece risulta itegrabile i s.g. itervallo. la fuzioe g(x) = l( x), sempre ello stesso Ifatti, ua sua primitiva é G(x) = (x ) l( x) x, e tale fuzioe ammette limite per x. I defiitiva l( x) = G() =. (L itegrale qui é egativo poiché l itegrada é egativa, i quato x é compreso fra e.) 3

4 I maiera del tutto aaloga si defiisce l itegrabilita i s.g. per ua fuzioe che sia defiita i ]a, b], illimitata solo i prossimita di a, e localmete itegrabile alla Riema (ossia itegrabile i ogi itervallo del tipo [a + r, b], per < r < b). Per esempio, la fuzioe h(x) =, cotiua i ], ] e illimitata solo i prossimita di, x o é itegrabile i s.g., i quato ua sua primitiva é H(x) = l x, e questa o ha limite fiito i ; ivece, la fuzioe f(x) = 2, co caratteristiche aaloghe i ], ], risulta x itegrabile i seso geeralizzato. Ifatti si ha lim r + r 2 dx = lim x r +( r) =. Ache i questo caso possiamo be costatare che la fuzioe F (x) = x, primitiva della fuzioe data, ammette limite fiito i (ache se, come si vede i questo esempio, tale limite o coicide co l itegrale geeralizzato). Per maggiore varieta, e per successive applicazioi, mostriamo ora ua famiglia di fuzioi, dipedeti da u parametro positivo α, e vediamo quali di queste soo itegrabili i s.g. e quali o. Ci riferiremo ora alla situazioe i cui le fuzioi siao illimitate solo i prossimita di a, ma aaloghe deduzioi si possoo facilmete trovare elle altre situazioi. Iiziamo co le fuzioi f α, defiite per x ], ] dalla legge f α (x) = x α, co α >. E evidete che tali fuzioi soo cotiue i ], ], positive e illimitate i prossimita di. Gia sappiamo, ioltre, che f o é itegrabile i s.g. Se α, ua primitiva di f α é data da F α (x) = ( α)x α. Ora, le fuzioi F α ammettoo limite fiito per x se solo se α < : ifatti i tal caso l espoete a deomiatore é egativo, e il limite si aulla. Se ivece α > il limite é. Di cosegueza, per quato visto i precedeza, f α é itegrabile i s.g. se solo se α <. I termii piu ituitivi, le fuzioi itegrabili i s.g., tra le f α, soo quelle che, pur adado a ifiito per x, rimagoo piu basse rispetto a x. 4

5 segue: Aalogamete, se cosideriamo le fuzioi h α :]a, b] IR, defiite per α > come f α (x) = (x a) α, possiamo facilmete vedere che la situazioe é perfettamete aaloga al caso precedete (voledo, ci si puo ricodurre direttamete tramite la sostituzioe t = x a), e quidi ache i questo caso avremo itegrabilita i s.g. se e solo se α <. E acora, tra le fuzioi g α, defiite da x (b x) α i [a, b[, soo itegrabili soltato quelle co α < (ache qui, basta la sostituzioe t = b x). Per esempio, la fuzioe x x é itegrabile i [, [: qui α = 2. Acora si ha itegrabilita per la fuzioe x 3 x 2 i ], ]: qui la sigolarita é presete all estremo siistro, co α = 2, e quidi l itegrale i s.g. esiste; ifatti ua primitiva é 3 x 3x /3, e tale fuzioe ammette limite ullo i, per cui Toriamo ora a u discorso piu geerale. 3 dx = 3. x 2 Ovviamete, qualora f risulti illimitata sia i prossimita di b che i prossimita di a, si dira che essa é itegrabile i s.g. se essa é localmete itegrabile (ossia itegrabile alla Riema i ogi itervallo del tipo [a + r, b r] co r >, e se esistoo fiiti etrambi i limiti a+b lim 2 f(x)dx, r + a+r b r lim f(x)dx. r + a+b 2 (Notiamo che a+b 2 é il puto medio tra a e b). I tal caso, l itegrale geeralizzato di f sara la somma dei due limiti. Cosideriamo per esempio la fuzioe g(x) = x x, defiita e cotiua i ], [, e illimitata solo i prossimita dei due estremi. Ua sua primitiva é la fuzioe G(x) = 2 arcsi x, e tale fuzioe ammette limite fiito sia i che i. Si ha pertato x x dx = 2 arcsi 2 arcsi = 2 arcsi = π. b r Attezioe!!! I geerale o basta che esista fiito il limite lim r f(x)dx. Per a+r esempio, la fuzioe h(x) = ta x, defiita e cotiua i ] π, π [, o é itegrabile i s.g

6 ei due sottoitervalli ] π, ] e [, π [: ifatti ua sua primitiva é H(x) = l cos x, e tale 2 2 fuzioe ha limite ifiito sia a π che a π. Tuttavia, poiche h é ua fuzioe dispari, 2 2 ovviamete risulta π 2 r π +r h(x)dx = per ogi r. Duque, beche la fuzioe h o sia 2 itegrabile i s.g. i ] π, π [, si ha baalmete 2 2 π 2 r lim h(x)dx =. r + π 2 +r Acora u po piu i geerale, formuliamo qualche altra defiizioe. Defiizioe 3.2 Sia f : [a, b] IR ua fuzioe che risulti illimitata i prossimita di u umero fiito di puti, c, c 2,..., c k iteri ad [a, b] (e o i altri puti di [a, b]). Questo vuol dire che, per ogi r > e per ciascu puto c i (ma o per altri puti) si ha sup{ f(x) : x [c i r, c i + r] [a, b]} =. Diremo che ua tale fuzioe é localmete itegrabile se essa e itegrabile i ogi itervallo [α, β] [a, b] el quale essa sia limitata. Ora, se f é ua fuzioe illimitata solo i prossimita dei puti c,..., c k iteri ad [a, b], c < c 2 <... < c k, e se f é localmete itegrabile, diremo che f é itegrabile i s.g. i [a, b] se essa lo é i ogi itervallo del tipo [a, c ], [c, c 2 ],...[c k, b]. Ovviamete, se questo é il caso, l itegrale di f i [a, b] e la somma di tutti gli itegrali ei precedeti itervalli. Vediamo ora delle codizioi che assicurio l itegrabilita i s.g. ache quado o si possa utilizzare la formula fodametale, per esempio i quei casi i cui o si coosce u espressioe elemetare delle primitive. La prima codizioe esprime u criterio del tipo di Cauchy, che o dimostreremo. Essa verra formulata solo el caso di fuzioe illimitata i prossimita del puto b: si lascia al lettore il compito, se vuole, di trovare formulazioi egli altri casi di illimitatezza. Teorema 3.3 Sia data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata soltato i prossimita di b, e localmete itegrabile. La fuzioe f é itegrabile i s.g. i [a, b] se e solo se per ogi ε > esiste u δ > tale che per ogi scelta di b, b i [b δ, b[. b b f(x)dx ε 6

7 Ua prima cosegueza di questo teorema é ua codizioe sufficiete per l itegrabilita, espressa i termii di cofroto. Teorema 3.4 Sia data ua fuzioe f : [a, b[ IR, illimitata soltato i prossimita di b, e localmete itegrabile. Sia poi g : [a, b[ IR +, ach essa illimitata i prossimita di b e localmete itegrabile. Se g é itegrabile i s.g. e se f(x) g(x) i [a, b[, allora ache f é itegrabile i s.g. Dimostrazioe. Bastera usare il teorema 3.3: si fissi ε > ; allora, per l itegrabilita di g esiste u δ > tale che b b g(x)dx ε per ogi scelta di b, b i [b δ, b[. Ora, per tali scelte di b e b si ha ache b b f(x)dx g(x)dx ε. b b Applicado ora alla f la codizioe sufficiete del teorema 3.3, si ottiee l asserto. Vediamo ora ache u risultato di o itegrabilita. Teorema 3.5 Sia g : [a, b[ IR + ua fuzioe illimitata solo i prossimita di b, e localmete itegrabile, ma o itegrabile i s.g.. Ora, sia f : [a, b[ IR + u altra fuzioe illimitata solo i prossimita di b e localmete itegrabile; se f(x) g(x) i [a, b[ allora ache la fuzioe f o é itegrabile i s.g. i [a, b[. Ache allo scopo di dimostrare quest ultimo teorema, osserviamo che, el caso di fuzioi o-egative, l itegrale tra a e b r va crescedo col decrescere di r, pertato il limite lim r + b r a f(x)dx esiste certamete, fiito o ifiito: duque, i tal caso, f risulta itegrabile i s.g. se e solo se tale limite e fiito. E chiaro pertato che, ella situazioe descritta el teorema 3.5, tale limite o puo che essere ifiito per la f, se esso lo é per la g. Vediamo qualche esempio. La fuzioe f(x) = si π 2 x x é defiita e cotiua i [, [, ed é illimitata solo i viciaza di. No é facile trovare primitive per tale fuzioe, e quidi o possiamo usare la defiizioe 7

8 per decidere se essa é itegrabile i s.g. oppure o. Tuttavia, essa é o egativa, e miore di g(x) = x, fuzioe di cui abbiamo gia dimostrato l itegrabilita. Allora, grazie al teorema 3.4, possiamo cocludere che ache f é itegrabile. ello stesso itervallo, la fuzioe h(x) = e quest ultima é positiva e o itegrabile, come gia visto. No é ivece itegrabile, l (e+x) x i quato tale fuzioe é maggiore di x, U altro esempio sigificativo é la fuzioe ϕ(x) = x, defiita i ], [. Qui, le x sigolarita soo due, ei due estremi. Nell itervallo [, [ la ostra fuzioe é itegrabile 2 i s.g., i quato positiva e miore di 2 x, e quest ultima é itegrabile i s.g. per quato gia visto. Ivece, ell itervallo ], ], la fuzioe ϕ o é itegrabile, i quato positiva 2 e maggiore di, che, come gia sappiamo, o é itegrabile i seso geeralizzato. D altra x parte, ua primitiva della fuzioe ϕ e F (x) = l x +, e F ammette limite fiito (ullo, x ifatti) per x che tede a ma ha limite per x che tede a. fuzioe ϕ o é itegrabile i s.g. i ], [. I coclusioe, la Come abbiamo gia visto per lo studio delle serie, il criterio stabilito tramite cofroto, ossia il Teorema 3.4, puo essere perfezioato e reso piu duttile se formulato i termii asitotici. Noi stabiliremo solo alcue formulazioi, i termii di ordie di ifiito. Teorema 3.6 Sia f : [a, b[ IR ua fuzioe illimitata solo i prossimita di b e localmete itegrabile. Suppoiamo poi che si abbia lim f(x) = +, x b e che l ordie di tale ifiito sia α >. Allora, se α < f é itegrabile i s.g., e se α f o é itegrabile. Dimostrazioe. Poiche il limite é +, possiamo dedurre che f(x) é strettamete positiva almeo i u itervallo del tipo [b r, b[, per qualche r >. Se l ordie d ifiito é α, vuol dire che esiste fiito e strettamete positivo il limite L := lim x b f(x)(b x)α. Per la defiizioe di limite (applicata scegliedo ε = L ), cio vuol dire che esiste u δ > 2 tale che f(x)(b x) α L < L 2 per ogi x > b δ, x < b. Da qui, dividedo tutto per 8

9 (b x) α : f(x) L (b x) L α 2 (b x), α sempre per x > b δ. Ora, se α < possiamo dedurre che, per x > b δ si ha f(x) 3L 2 (b x) α : di qui, l itegrabilita per cofroto, dato che la fuzioe a secodo membro é itegrabile i s.g. Se ivece α >, si deduce, sempre per b δ < x < b: f(x) L 2 (b x) α, e di qui la o itegrabilita di f, sempre per cofroto. Vediamo alcui esempi: la fuzioe f(x) = x, defiita per x ], π], é itegrabile i si x s.g.: ifatti essa é cotiua, é illimitata solo i prossimita di, ove ammette limite ifiito, ma l ordie di tale ifiito é 2 (come si vede facilmete, cofrotado il umeratore, che é ifiitesimo di ordie, co il deomiatore, che é di ordie ). 2 La fuzioe g(x) = 2x π cos 2 x, defiita e cotiua i [, π 2 [, preseta u ifiito i π 2 : ifatti si ha (2x π)( π lim x) 2 x π cos 2 x 2 = 2 lim (2x π) 2 x π cos 2 x 2 2 = lim x π cos 2 x si 2 x = 2, 2 di ordie avedo applicato due volte la Regola di L Hospital. Duque la fuzioe g o é itegrabile i s.g.. U altro esempio iteressate é il seguete: f(x) = (l x) x, defiita per x ], ]. Qui l uico puto sigolare é, e i tale puto si ha u ifiito (egativo), perché la fuzioe x vice el cotrasto co il logaritmo; si tratta ovviamete di u ifiito di ordie miore di, a causa del logaritmo, ma questo ifiito o ha ordie, 2 i seso stretto. Tuttavia, proprio perche questa fuzioe é, presa i valore assoluto, piu bassa di x, e quest ultima é itegrabile, e segue l itegrabilita ache per f grazie al teorema

10 Ivece, o é itegrabile i s.g. la fuzioe h(x) =, defiita per x ], ]. Qui x l x 2 gli ordii di ifiito o ci aiutao, perché la ostra fuzioe é (i modulo) miore di x, ma quest ultima o é itegrabile i s.g., e quidi o si puo applicare 3.4, e 3.5. I questo caso, si puo procedere itegrado direttamete: ua primitiva é l l x (logaritmo iterato), e chiaramete i questa o ha limite fiito, duque h o é itegrabile i s.g.

11 Chapter 4 Itegrali geeralizzati, parte II Passiamo ora a esamiare (quado sia possibile) l itegrabilita di fuzioi defiite su itervalli illimitati, ossia su semirette o su tutto IR. Tratteremo i dettaglio solo fuzioi defiite su semirette del tipo [a, + [, i quato gli altri casi soo aaloghi. Defiizioe 4. Sia duque f : [a, + [ IR ua fuzioe quasiasi, e suppoiamo che i ogi itervallo [a, b], co b > a, essa sia itegrabile i seso classico o i seso geeralizzato (secodo le defiizioi precedeti). I tal caso, diremo che f é localmete itegrabile. Allora, posto F (x) = x f(t)dt per ogi x > a, diremo che f é itegrabile i s.g. i [a, + [ se a esiste fiito il limite lim F (x) = x + lim x + x a f(t)dt. Ache i questo caso, se f : [a, + [ IR é cotiua, l itegrabilita i s.g. dipede dal limite di ua sua qualsiasi primitiva: detta F ua primitiva di f, si ha ifatti x lim x + a f(t)dt = lim (F (x) F (a)), x + purché uo dei due limiti esista. Per esempio, la fuzioe x e x, defiita i [, + [, é itegrabile i s.g. poiche ua sua primitiva é x e x, e quidi e x dx = lim ( x + e x ) =.

12 Altro esempio: la fuzioe x 2 x [, b], co b >, e ifatti si ha b di questi itegrali é ifiito. Pertato, la fuzioe x 2 x é itegrabile i s.g. i ogi itervallo del tipo 2 dx = b, ma chiaramete, se b tede a +, il limite x o é itegrabile i s.g. i [, + [. Viceversa, la fuzioe x x 2 o é itegrabile i ], ], i quato l ifiito che essa preseta i é di ordie maggiore di. Tuttavia, tale fuzioe é itegrabile i [c, + [ per ogi c > : ifatti, ua sua primitiva é x, e quidi si ha x c dx = lim x ( 2 x c x ) = c. Ma comuque, ache i questo caso o si ha itegrabilita i tutto [, + [. Prima di passare a cosiderazioi piu geerali, facciamo otare u fatto semplice, ma spesso sottovalutato: le fuzioi costati o soo itegrabili su itervalli illimitati, a meo che o siao ulle. Ache per questo tipo di itegrale geeralizzato possiamo facilmete osservare che, data la famiglia di fuzioi f α, defiite su [, + [ co la legge f α (x) = x α, si ha itegrabilita i s.g. su [, + [ se e solo se α >. Ifatti, per α = ua primitiva é x l x, e chiaramete questa ha limite ifiito a + ; poi, per α, ua primitiva é x ( α)x α (come abbiamo gia visto), e stavolta il limite, per x +, é fiito se e solo se α >. I modo u po drastico, possiamo cocludere che essua delle fuzioi f α é itegrabile i s.g. su [, + [: quelle co α > o soo itegrabili i ], [, quelle co α < o soo itegrabili i [, + [, e quella co α = o lo é e i ], ] é i [, + [. Ora, é evidete come defiire l itegrabilita di ua fuzioe f defiita su ua semiretta del tipo ], b], co b IR: bastera verificare che la fuzioe f lo sia i [ b, + [, ove f (x) = f( x), o equivaletemete che esista fiito il limite b lim x x f(t)dt. Nel caso piu geerale di fuzioi defiite su tutto IR, esse si dirao localmete itegrabili se soo itegrabili, i seso classico o geeralizzato, i ogi itervallo del tipo [ N, N], co N >. Defiizioe 4.2 Se f : IR IR é localmete itegrabile, diremo che essa é itegrabile i seso geeralizzato su IR se essa lo é sia su [, + [ sia su ], ]. 2

13 Ache qui, bisoga fare molta attezioe a valutare l itegrabilita separatamete elle due semirette. Per esempio, se cosideriamo la fuzioe f(x) = si x i tutto IR, essa é cotiua e quidi localmete itegrabile. Si ha poi N N si xdx = per ogi N >, i quato la fuzioe si é dispari. Duque, (baalmete) esiste ed é ullo il limite di tali itegrali per N che tede a + : ma la fuzioe si o é itegrabile i tutto IR, perché o lo é i essua delle due semirette ], ] e [, + [, i quato la primitiva (x cos x) o ha limite a + é a. Ora, come gia abbiamo fatto i precedeza, stabiliamo alcue codizioi sufficieti affiche ua fuzioe f : [a, + [ IR, localmete itegrabile, sia itegrabile i s.g.. No riporteremo le dimostrazioi. Teorema 4.3 Siao f e g due fuzioi defiite su [a, + [ e localmete itegrabili, e suppoiamo che g(x) per ogi x i [a, + [. ) Se f(x) g(x) i tutto [a, + [ e se g é itegrabile i s.g. allora lo é ache f. 2) Se f(x) g(x) per ogi x [a, + [ e se g o é itegrabile i s.g., allora eache f lo é. (Risultati aaloghi valgoo per fuzioi defiite su semirette siistre o su tutto IR.) Il teorema precedete si puo affiare, ache i questo caso, attraverso il comportameto all ifiito della fuzioe itegrada. Teorema 4.4 Sia f : [a, + [ IR ua fuzioe localmete itegrabile, e suppoiamo che lim x + f(x) =. Se l ordie di ifiitesimo é maggiore di, allora f é itegrabile i s.g.. Se f é o-egativa, e l ordie di ifiitesimo é miore o uguale a, allora f o é itegrabile i s.g. Isomma, se f é cotiua e o-egativa, la sua itegrabilita dipede da quato essa sia schiacciata verso il basso ma mao che x va a ifiito. Tuttavia si tega presete che i questo teorema si dao solo codizioi sufficieti. Ua fuzioe potrebbe beissimo 3

14 essere itegrabile i s.g. ache se essa o ha limite a + : basti pesare alla fuzioe che vale su ogi umero itero, e su tutti gli altri umeri reali; per tale fuzioe, che ovviamete o ha limite all ifiito, ogi itegrale su itervalli limitati é ullo, e quidi ache l itegrale geeralizzato esiste ed é ullo. Osserviamo ache, pero, che se il limite all ifiito esiste e o e zero, l itegrabilita é esclusa, per semplice cofroto diretto: ifatti, se il limite lim x + f(x) fosse u umero a >, grazie al teorema della permaeza del sego si potrebbe dedurre che f(x) > a 2 per ogi x maggiore di u qualche m >, e quidi f sarebbe maggiorate di ua fuzioe positiva e o itegrabile (cioe la costate a ), almeo tra m e +. (E u ragioameto 2 simile si puo fare se il limite all ifiito fosse egativo, ovviamete). D altra parte, se f é di sego variabile, la secoda parte del teorema 4.4 o si puo applicare i geerale. Vedremo i seguito degli esempi per chiarire questa cosa. 4. Esempi Discuteremo ora u certo umero di esempi di fuzioi, studiadoe l itegrabilita geeralizzata. Beche siao formulati come esercizi, alcui di questi esempi o soo proprio elemetari, i quato riguardao applicazioi della teoria i svariate situazioi, e spesso coducoo a risultati difficlmete otteibili co teciche usuali. Lo studete puo provare a risolvere da solo ciascu quesito, cofrotado poi la propria soluzioe co quella forita el testo. Esempio 4.5 Si dimostri che, per ogi t >, esiste l itegrale geeralizzato Γ(t) = x t e x dx. L itegrada é defiita e cotiua almeo i ], + [ per ogi t >. Comiciamo co l osservare che a + la fuzioe preseta u ifiitesimo di ordie superiore a qualsiasi α positivo, e duque l itegrabilita i [, + [ é cosegueza del teorema 4.4. Chiaramete poi, per t, i o c é essua sigolarita, e quidi ache i [, ] l itegrabilita é ovvia. Ma ache el caso t < la 4

15 fuzioe itegrada preseta i u ifiito di ordie miore di (l ordie é t) e quidi risulta itegrabile i s.g. ache i [, ]. Duque, per ogi t > la quatita Γ(t) esiste fiita. Tale fuzioe ha delle particolarita molto iteressati. Itato, possiamo facilmete calcolare alcui valori di Γ: Γ() = e t dt =, Γ(2) = xe x dx = il secodo itegrale essedo calcolato per parti. Sempre procededo per parti, si ha ache Γ(t + ) = x t e x dx = M lim M + ( Me M + e x dx) =, M lim ( M t e M + tx t e x dx) = tγ(t). M + Questa proprieta richiama molto quella be ota per il fattoriale: e ifatti, grazie ache ai primi valori calcolati per Γ, possiamo dedurre che Γ() = ( )! per ogi itero >. Isomma risulta per ogi. seguito), si puo ache dedurre che x e x dx =! Ioltre, grazie a u particolare itegrale di Gauss (che studieremo i Γ( 2 ) = x e x dx = π. Duque, da qui si possoo ricavare ache i valori Γ( + ), Γ( + 2), ecc.: 2 2 Γ( 3 2 ) = π 2 Γ( 2 ) = 2, Γ(5 2 ) = 3 2 Γ(3 2 ) = 3 7 π, Γ( ) = 5 3 π, Questi soo, i geerale, i valori di Γ sui cosiddetti semi-iteri: formula valida per ogi itero. Γ( + 2 ) = (2)!!4 π, Esempio 4.6 Cosiderata la fuzioe f(x) = e x2, per x IR, stabilire l itegrabilita e calcolare l itegrale i tutto IR. 5

16 La fuzioe data é pari, cotiua e mai egativa. i [, + [. Bastera studiarla duque Poiche f é ifiitesima, per x +, di ordie superiore a qualsiasi poteza di x, sicuramete essa é itegrabile i s.g. f(x)dx = 2 e x2 dx. IR Avremo allora Operado la sostituzioe x 2 = t, da cui x = t, dx = 2 dt, avremo poi t f(x)dx = 2 e x2 dx = t /2 e t dt = Γ( 2 ) = π. IR La fuzioe qui esamiata prede il ome di fuzioe gaussiaa, e l itegrale calcolato é di utilita fodametale i teoria degli errori. Notiamo che, i questa situazioe, o sarebbe stato possibile determiare ua primitiva i termii elemetari, e abbiamo ricavato il risultato sulla base di proprieta della fuzioe Γ. Si studiera i seguito u altro metodo per otteere piu direttamete lo stesso risultato. Esempio 4.7 U altra importate fuzioe, legata alla fuzioe Γ, é la Beta: essa si deota co Be, ed é defiita al variare di due quatita positive, α e β, come segue: Be(α, β) = x α ( x) β dx. Sembra u itegrale facile, ma, teedo coto del fatto che α e β possoo essere umeri o iteri, e eache razioali, il calcolo i geerale o é affatto elemetare. Ioltre, per α e/o β miori di, la fuzioe itegrada é illimitata i prossimita di uo degli estremi, (o di etrambi). Si tratta pero di ifiiti di ordie miore di, e quidi l itegrabilita é garatita dal teorema 3.6. U importate formula, difficile da dimostrare, é la seguete: Be(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). (4.) Per esempio, se si dovesse calcolare l itegrale x9 ( x) 5 dx, sarebbe molto piu facile adoperare la fuzioe Beta, piuttosto che sviluppare la poteza e calcolare tutti gli itegrali dei umerosi addedi risultati. Ifatti, si ha x 9 ( x) 5 dx = Be(, 6) = Γ()Γ(6) Γ(26) 6 = 9!5! 25! = ( ). 9

17 U importate applicazioe della fuzioe Beta si ha el calcolo di itegrali del tipo co h e k iteri positivi. π 2 si h x cos k xdx, I teoria, é sempre possibile esprimere le poteze di si x e cos x i termii delle fuzioi si mx e cos x, co m e iteri miori o uguali ad h e k rispettivamete. Ma questo diveta piuttosto complicato se h e k soo molto gradi. Ivece, operado la sostituzioe si 2 x = u, (co u che varia tra e ), da cui x = arcsi u e dx = 2 u u du, si perviee a π 2 = 2 si h x cos k xdx = u h/2 ( u) k/2 2 du = u u u h/2 /2 ( u) k/2 /2 du = 2 Be(h +, k ). A questo puto, usado la formula (4.) e i valori di Γ sugli iteri e i semi-iteri, il calcolo dell itegrale é presto cocluso. Per fare u esempio cocreto, valutiamo l itegrale π 2 si7 x cos xdx: co la formula trovata poc azi, e adoperado poi (4.), abbiamo π 2 si 7 x cos xdx = Be(4, 2 2 ) = 2 Adoperado ora le formule per la fuzioe Γ, troveremo: Γ(4)Γ(5 + /2). Γ(9 + /2) π 2 si 7 x cos xdx = 2 3!!9!4 9 π 5!4 5 8! π = 3!9!44 5!8! = 6 255, dopo varie semplificazioi. Esempio 4.8 Si cosideri la fuzioe x = f(x) = si x, x, x per x IR, e si verifichi che f é itegrabile i s.g. (Questa é ua fuzioe molto importate elle applicazioi, ma le sue primitive o si possoo esprimere i termii elemetari). 7 Itato possiamo osservare

18 che f é cotiua e pari: basta studiare l itegrabilita i [, + [. questo comporta che f é localmete itegrabile, e Purtroppo, oostate f teda a per x, o si puo stabilire u ordie di ifiitesimo, e quidi o possiamo applicare direttamete il teorema 4.4. l esisteza del limite procededo per parti. x lim x + f(t)dt, Itato, osserviamo che x f(t)dt = f(t)dt + x f(t)dt, Tuttavia, é possibile dedurre e ovviamete sara sufficiete esamiare il limite del secodo addedo, per x. Abbiamo allora, per x > : x x [ ] x si t cos t f(t)dt = dt = t t Chiaramete, lim x + cos x x x cos t t 2 dt = cos cos x x x cos t t dt. 2 =, quidi l itegrabilita di f i [, + [ equivale a quella dell ultima fuzioe itegrada, x cos x x 2, i [, + [: ma questa volta possiamo applicare i teoremi di cofroto, i quato si ha cos x x 2 x 2, e la fuzioe x x 2 é itegrabile i s.g. i [, + [. I coclusioe, f é itegrabile i s.g. su tutto IR. (Vedremo successivamete qualé il valore dell itegrale). Esempio 4.9 Si dimostri che la fuzioe hx si x x e x x é itegrabile i seso geeralizzato su [, + [, qualuque sia h >. La fuzioe data preseta ua sigolarita i, ed ioltre é defiita i u itervallo illimitato. Tuttavia, poiché il fattore e hx ha limite i, la sigolarita i dipede solo dal secodo fattore, che ifatti tede a +. Ma l ordie d ifiito é 2 duque la fuzioe data risulta itegrabile i seso geeralizzato almeo i ogi itervallo del tipo [, A], co A >. L itegrabilita ell itera semiretta [, + [ dipede ivece dal primo fattore, che é ifiitesimo di ordie superiore rispetto a qualuque poteza di x. é itegrabile ella semiretta [, + [. 8 Duque la fuzioe assegata

19 L itegrale dell esempio precedete o puo essere calcolato i termii elemetari. U discorso diverso si puo fare ell esempio seguete. Esempio 4. Si cosideri, per ogi h >, la fuzioe f(x) = e hx si x x. Si dimostri che tale fuzioe e itegrabile i s.g. i [, + [ e, deotato co F (h) l itegrale risultate, si calcoli la derivata F (h), ricavadoe ifie u espressioe esplicita per l itegrale F (h). L itegrabilita di f si deduce come ell esempio precedete, azi i questo caso o c é eache la sigolarita i. ua cosa semplice, ma si puo osservare che F (h) = hx si x xe x dx = Il calcolo dell itegrale o é si xe hx dx, avedo svolto il calcolo di derivata sotto il sego d itegrale (la validita teorica di tale procedimeto sara studiata i seguito). si puo svolgere co teciche usuali: [ ] + si xe hx dx = si xe hx h Ora, si ha [ e e hx hx cos x cos xdx = h Pertato si xe hx dx = h ( h h Si deduce ora facilmete che ] + h e hx cos xdx = h e hx si xdx = h h L ultimo itegrale e hx cos xdx. e hx si xdx. e hx si xdx) = h + e hx si xdx. 2 h 2 e hx si xdx = + h 2, e quidi F (h) = + h 2. Da cio si puo subito ricavare che F (h) = C arcta h, per opportua costate C. D altra parte, se h tede a + l itegrada f tede a, e quidi l itegrale F (h) tede a (ache questo verra chiarito meglio i seguito, v. 5.4 e osservazioi segueti): da cio si deduce che C = π 2 hx si x e x dx = π arcta h, 2 9 teorema e i defiitiva

20 per h. Otteiamo quidi, come caso particolare per h =, si x x dx = π 2, e si x dx = π. x Esempio 4. Si cosideri la fuzioe f := x x log a x (co a > fissato), per x. Si cerchio i valori di a per cui tale fuzioe é itegrabile i [, + [, e per tali valori si calcoli l itegrale. La fuzioe data preseta illimitatezza i prossimita di (co limite + ), e ioltre va esamiata ache per x +. due itegrali: I = e f(x)dx, I 2 = e Trattiamo allora separatamete f(x)dx. Ua primitiva di f é la fuzioe log a x, se a a F (x) = log( log x ), a =. Per cotrollare l itegrabilita di f i [, e], basta effettuare il limite lim F (x) : x + se tale limite esiste fiito, f é itegrabile, altrimeti o. chiaramete che lim x + F (x) = + se a =. se a <, e + se a >. lim x + log a x = Ora, si vede Per gli altri casi, otiamo che Duque, I esiste se e solo se a <, e i tal caso si ha I = a. Per quato riguarda I 2, l esisteza dell itegrale dipede dal limite di F (x) per x +. Di uovo si vede subito che tale limite é ifiito per a =. Ioltre, risulta lim F (x) = x + 2

21 se e solo se a >, e + per a <. Duque I 2 esiste se e solo se a >, e i tal caso si ha I 2 = a. I defiitiva, si deve cocludere che la fuzioe data o é itegrabile i [, + [ per alcu valore di a >. Esempio 4.2 Si studi l itegrabilita della fuzioe f(x) = si xt x t i [, + [, a secoda dei valori del parametro t 2. Essedo lim x f(x) =, la fuzioe data o preseta sigolarita i. Pertato, basta studiare l itegrabilita per es. i [, + [. Nel caso t >, la fuzioe data é maggiorata dalla fuzioe itegrabile itegrabile sez altro. I geerale, poedo x t = u, si ottiee f(x)dx = t Nel caso estremo t =, si otterrebbe 2 f(x)dx = 2 si u du. u2 /t si udu x t, e quidi risulta e l itegrale i questioe o esiste. Nel caso t > /2, la quatita k := 2 /t risulta maggiore di, e l itegrale geeralizzato esiste. si u u du = [ cos u k u k ]+ k e stavolta l itegrale esiste, per maggiorazioe. cos u du, uk+ Si ha ifatti 2

22 Chapter 5 Successioi e serie di fuzioi I questo capitolo studieremo alcui importati tipi di covergeza per successioi o serie di fuzioi, al fie di idetificare il limite, se esiste, e stabilire quado possibile alcue sue proprieta. D ora i poi deoteremo co A u geerico itervallo (limitato o o) della retta reale, e supporremo che (f ) sia ua geerica successioe di fuzioi, defiite su A e a valori i IR. 5. Covergeza putuale e covergeza uiforme Defiizioe 5. Diremo che la successioe f é putualmete covergete i A se esiste fiito il limite lim f (x) := f(x) + per ogi x A. E chiaro che, se cio accade, il limite f é ach essa ua fuzioe reale defiita su A. Tale fuzioe viee detta ache il limite putuale della successioe (f ). La defiizioe ora data puo essere formulata equivaletemete ache i termii piu tecici: la successioe (f ) é putualmete covergete ad ua fuzioe f su A se accade quato segue: (*) Per ogi ε > e per ogi x A esiste u N IN, co N dipedete da ε e da x, 22

23 tale che f (x) f(x) < ε per ogi N. Puo ache accadere che ua successioe di fuzioi cotiue, defiite su u itervallo compatto, coverga putualmete ad ua fuzioe discotiua: per esempio, la successioe f (x) = x, defiita i A = [, ], risulta covergete putualmete alla fuzioe, x [, [ f(x) =, x =. I questo esempio possiamo facilmete verificare che la defiizioe ( ) data prima é soddisfatta: ifatti, fissato ε >, se scegliamo x = oppure x = basta predere N = perche risulti (baalmete) f (x) f(x) ε per ogi N. Se ivece scegliamo x ], [ la relazioe f (x) f(x) ε diveta f (x) ε ossia x ε: passado a logaritmo, e teedo presete che x e ε soo miori di, l ultima disequazioe diveta l x > l ε e quidi l ε l ε. Duque, per x ], [ la quatita N é la parte itera di aumetata di. l x l x (Si oti che l ε l x é rapporto di due quatita egative, e quidi e u umero positivo). Qui si vede bee che, ma mao che x si avvicia a, la quatita N cresce e tede a ifiito, ache lasciado ε costate. Questo vuol dire che, pur avedosi covergeza i tutto [, ], fissato ε la quatita N dev essere scelta molto grade quato il puto x e molto vicio a (ma diverso da ). U altro esempio simile si icotra ella successioe g (x) = x, defiita su tutto IR per >. Ache qui, si vede facilmete che il limite putuale é, e stavolta é ua fuzioe cotiua. Tuttavia, ache i questo caso possiamo costatare che, pur teedo ε fissato, bisoga scegliere N molto grade quado x é molto grade. Si ha ifatti g (x) ε se e solo se x x ε ossia >. ε Questo comportameto di N i dipedeza della x puo sembrare poco iteressate, al mometo, ma vedremo presto che spesso é importate che la quatita N o teda a ifiito al variare di x (co qualsiasi ε fissato). Per esempio, se cosideriamo la successioe f, co f (x) = cos(x), defiita su tutto IR, stavolta il limite putuale é (basta 23

24 ricordare i primi teoremi sui limiti, studiati a suo tempo). Ora, se si fissa ε >, e si vuole che f (x) sia miore di ε, basta scegliere > : ifatti, se si prede maggiore di si ε ε trova f (x) ε, idipedetemete da x. I questo caso, la quatita N puo essere scelta come la parte itera di aumetata di, e puo tedere a ifiito solo se si fa variare ε ε, avviciadolo a. Si ha cosi la seguete defiizioe. Defiizioe 5.2 Data ua successioe di fuzioi (f ), defiite su A e a valori reali, diremo che essa coverge uiformemete a ua fuzioe f su A se accade quato segue: (**) Per ogi ε > esiste u N IN, co N dipedete solo da ε e o da x, tale che f (x) f(x) < ε per ogi N e ogi x A. Alterativamete, la codizioe di uiforme covergeza puo essere riformulata i questo modo: (***) Per ogi ε > esiste u N IN tale che si abbia per ogi N. sup f (x) f(x) ε x A A sua volta, questa codizioe equivale a richiedere che sia ifiitesima la successioe umerica a, dove a := sup x A f (x) f(x), IN. Notiamo subito che la codizioe di covergeza uiforme é legata molto strettamete all isieme A el quale si sta studiado la successioe. Per esempio, se cosideriamo la successioe x, abbiamo visto che essa o é uiformemete covergete i [, ]: ifatti la dipedeza di N da x costrige N a divetare sempre piu grade quato piu x si avvicia a. Ivece, se ci limitiamo a scegliere A = [, 2 ], é evidete che, i quel caso, 3 il massimo valore per N é la parte itera di l ε l 2 3 ovviamete. +, e questa quatita o dipede da x, Ache l altro esempio, i cui f (x) = x, puo dare luogo a covergeza uiforme se si restrige l isieme A ad u qualuque itervallo limitato, per es. [ 3, 3]. I tale itervallo, possiamo scegliere N come la parte itera di 3 ε +. 24

25 Ovviamete, la covergeza uiforme i u itervallo [a, b] implica ache la covergeza putuale i [a, b]. Ioltre, se ua successioe (f ) coverge putualmete i [a, b] ad u limite f, e la covergeza é uiforme i ]a, b[, allora essa é uiforme ache i [a, b]. Ifatti, possiamo porre, per ogi itero : a = sup f (x) f(x), b = max{ f (a) f(a), f (b) f(b) }. x ]a,b[ Per l ipotesi di covergeza uiforme i ]a, b[, la successioe a é ifiitesima (v. ( ) e ota successiva); ioltre, per l ipotesi di covergeza putuale, ache la successioe (b ) é ifiitesima; duque, ache la successioe c := max{a, b } é ifiitesima, e per questa successioe si ha c = sup f (x) f(x). x [a,b] La covergeza uiforme i [a, b] discede allora da ( ) e dall osservazioe successiva. Vediamo ora u primo teorema, i cui si evidezia l importaza della covergeza uiforme ai fii di dedurre proprieta sulla fuzioe limite. Teorema 5.3 Suppoiamo che (f ) sia ua successioe di fuzioi, defiite su u itervallo A (chiuso o o, limitato o o), e cotiue i u puto c A. Se la successioe coverge uiformemete i A, allora ache la fuzioe limite é cotiua i c. Dimostrazioe. Sia f la fuzioe limite, e fissiamo ε >. Dobbiamo dimostrare che esiste u δ > tale che f(x) f(c)) < ε o appea x c < δ. Per la covergeza uiforme, esiste certamete u N itero tale che f N (x) f(x) ε per ogi x A. Ioltre, per la 3 cotiuita di f N, esiste sicuramete u δ > tale che f N (x) f N (c) < ε o appea 3 x c < δ. Allora, per qualsiasi x A, co x c < δ, risulta f(x) f(c) f(x) f N (x) + f N (x) f N (c) + f N (c) f(c) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Duque, abbiamo trovato il δ che cercavamo, e la dimostrazioe é completa. I particolare, il teorema 5.3 comporta che, el caso di ua successioe di fuzioi cotiue su tutto A, la covergeza uiforme implica che il limite é ua fuzioe cotiua su tutto A. Ioltre, questo teorema forisce ua codizioe ecessaria per la covergeza 25

26 uiforme: se siamo i preseza di ua successioe di fuzioi cotiue, covergeti putualmete ad ua fuzioe f, e questa o é cotiua i qualche puto, allora certamete la covergeza o puo essere uiforme (si riveda l esempio iiziale: f (x) = x i [, ]). Tuttavia, puo ache accadere che ua successioe di fuzioi cotiue coverga ad ua fuzioe cotiua, seza che si abbia covergeza uiforme. U esempio é gia stato icotrato, co la successioe h (x) = x defiita per x IR; u altro esempio utile é dato dalla successioe: f (x) = x ( x), defiita i [, ]; ache i questo caso, le fuzioi soo cotiue e covergoo a i tutto [, ], duque la fuzioe limite é cotiua. Tuttavia, la covergeza o é uiforme. A tale scopo, bastera far vedere che i termii a := max{f (x) : x [, ]} = max{ f (x) f(x) : x [, ]} o costituiscoo ua successioe ifiitesima. Ifatti, studiado la fuzioe x x ( x), si vede facilmete che essa ammette massimo per x = ( + + ). Limiti otevoli be oti ci dicoo ora che a tede a e quidi o é ifiitesima. +, e quidi a = ( + )( + ) = quado +, e Altri teoremi, che o dimostreremo, soo utili per ricavare la covergeza uiforme. Ne euciamo alcui. Teorema 5.4 (Dii) Sia (f ) ua successioe di fuzioi cotiue, defiite i u itervallo compatto A, e ivi covergeti ad ua fuzioe cotiua f. Se la successioe data é mootoa (o o-crescete o o-decrescete), allora la covergeza é uiforme. Il prossimo teorema richiede u cocetto particolare, che riguarda famiglie di fuzioi cotiue. Defiizioe 5.5 Data ua famiglia {f i } di fuzioi cotiue, defiite i u itervallo A, diremo che essa é equicotiua i u puto c A se accade quato segue: per ogi ε > esiste u δ > tale che, quado x c δ, si ha sup i f i (x) f i (c) < ε. Se la cosa accade per ogi puto c di A, allora la famiglia f i si dira equicotiua i A. Se ioltre A é compatto (e quidi cotiuita implica ache cotiuita uiforme) si parla ache di equicotiuita uiforme: cio accade se, per ogi ε > esiste u δ > tale che si abbia sup i f i (x ) f i (x 2 ) < ε ogiqualvolta x x 2 < δ. 26

27 Ua situazioe tipica i cui delle fuzioi soo equi-uiformemete cotiue si ha quado esse soo Lipschitziae, co la stessa costate di Lipschitz. Euciamo ora il teorema riguardate l equicotiuita. Teorema 5.6 Sia data ua successioe di fuzioi cotiue f : A IR. Se tale successioe coverge uiformemete i A, allora essa é equicotiua i A. Viceversa, se la successioe é equicotiua i A e coverge putualmete, allora la fuzioe limite é cotiua. Cocludiamo co u importate risultato, che garatisce i qualche modo la covergeza uiforme di ua successioe di fuzioi seza emmeo supporre la covergeza putuale. Il teorema va sotto il ome di Lemma di Ascoli-Arzela, e ha grade utilita el dimostrare l esisteza di soluzioi per equazioi differeziali. I tale teorema, oltre al cocetto di equicotiuita, iterviee ache quello di equilimitatezza per delle fuzioi f : tale codizioe vuol dire che tutti i valori f (x) soo miori o uguali ad ua quatita fiita K per ogi e ogi x. Teorema 5.7 Sia data ua successioe di fuzioi f : [a, b] IR. Se tali fuzioi soo equilimitate ed equi-uiformemete cotiue, allora esiste ua sotto-successioe (f k ) k che coverge uiformemete i [a, b] a ua fuzioe cotiua. 5.2 Teoremi di passaggio al limite U problema tipico riguardate le successioi di fuzioi é il cosiddetto passaggio al limite sotto il sego di itegrale: i parole semplici, se e quado l itegrale del limite di ua successioe di fuzioi (itegrabili) f esista e sia uguale al limite degli itegrali delle f. I formule, possiamo scrivere lim A f (x)dx = A ( lim f (t))dt? Per esempio, cosideriamo le segueti due situazioi, tutte ambietate i [, ]: f (x) = x ( x), g = f (x), 27

28 per IN. I etrambi i casi il limite putuale é, ma il limite o é uiforme. Ifatti, el primo caso (come abbiamo gia visto i precedeza), il massimo della fuzioe f é ( + + ), e sappiamo che tale successioe o tede a ma a ; el secodo caso, e e evidete che il limite dei massimi é addirittura ifiito. Ora, el primo caso, si ha f (x)dx = = ( + )( + 2), e quidi il limite degli itegrali coicide co l itegrale del limite (che é ). Nel secodo caso, si ha ivece g (x)dx = 2 ( + )( + 2), e stavolta il limite degli itegrali é, quidi diverso dall itegrale del limite. Duque, el primo caso si ha passaggio a limite, el secodo o. Duque, la covergeza putuale o assicura, i geerale, il passaggio al limite. Le cose vao meglio co la covergeza uiforme, come afferma il prossimo teorema. Teorema 5.8 Sia data ua successioe di fuzioi (f ), defiite su [a, b] e ivi itegrabili. Se la successioe coverge uiformemete ad ua fuzioe f, allora f é itegrabile e si ha lim b a f (x)dx = b a f(x)dx. Dimostrazioe. Riporteremo solo ua dimostrazioe parziale: o proveremo che la fuzioe limite é itegrabile, e ci limiteremo solo a far vedere che, se la covergeza é uiforme, vale la formula del passaggio al limite. Duque, si fissi ε >. Allora esiste u itero N tale che sup x [a,b] f (x) f(x) ε per ogi N. Allora, per N si ha ache b a f (x)dx b a f(x)dx b a f (x) f(x) dx b a εdx = (b a)ε. Cio basta per cocludere che la successioe b a f (x)dx coverge a b a f(x)dx. Nel caso di covergeza putuale, si puo ivece usare u altro teorema (la cui dimostrazioe verra omessa), che pero ha grade utilita. Teorema 5.9 Sia (f ) ua successioe di fuzioi itegrabili, covergeti putualmete ad ua fuzioe itegrabile f. Se le fuzioi f soo equilimitate, allora si ha il passaggio a limite sotto il sego di itegrale. 28

29 Se toriamo a cosiderare i primi due esempi di questo paragrafo, possiamo costatare che la prima successioe é effettivamete equilimitata (ifatti, i massimi delle f costituiscoo ua successioe covergete, e quidi soo limitati superiormete), metre la secoda ovviamete o lo é. Osserviamo ache che l ipotesi di equilimitatezza é solo ua codizioe sufficiete: potrebbe accadere che il passaggio a limite sussista ache se tale ipotesi o é verificata. Esempio 5. Per esempio, cosideriamo la successioe f, dove f (x) = xe x, per x [, ]. E chiaro che f () = per ogi e che lim f (x) = per ogi x >, a causa dell ordie di ifiitesimo di e x. Ora, se cosideriamo la fuzioe h (x) = xe x, vediamo che h (x) = e x xe x = e x ( x): da cio si deduce facilmete che il massimo valore di h si ha i corrispodeza a x =, e tale massimo é e ; duque, il massimo valore di f é e, valore che tede a ifiito per che diverge. Allora, la successioe f o é equilimitata. Tuttavia, calcolado gli itegrali: h (x)dx = [ x e x ] + possiamo comuque cocludere che lim e x dx = e 2 [e x ] = e e, f (x)dx = lim ( e e ) = = lim f (x)dx. Ua semplice applicazioe dei precedeti teoremi si ha quado le fuzioi f, pur essedo cotiue, o hao primitive di tipo elemetare, ma covergoo a ua fuzioe il cui itegrale si possa calcolare facilmete co teciche usuali. Esempio 5. Per esempio, suppoiamo di voler calcolare il seguete limite: lim π si x x + 2 dx. Il calcolo diretto dell itegrale a secodo membro é molto difficoltoso, ma é facile cotrollare che le fuzioi itegrade tedoo a per che diverge, e la covergeza é ache uiforme: ifatti, si ha per ogi x. Duque il limite richiesto é. si x x + 2 si x x 29

30 U altra importate cosegueza é il passaggio a limite sotto il sego di derivata, ache se le ipotesi da assumere possoo apparire poco aturali. I effetti, l ipotesi di covergeza uiforme delle fuzioi f (sia pure di classe C ) o garatisce che le derivate delle f siao covergeti: per esempio, la successioe f (x) = si(x) coverge uiformemete a i [, π], ma le derivate soo le fuzioi f (x) = cos(x), e si vede facilmete che queste o covergoo el puto x = π (e si potrebbe provare che l uico puto i cui esse covergoo é ). Vediamo duque com é formulato il teorema. Teorema 5.2 Sia (f ) ua successioe di fuzioi di classe C i u itervallo [a, b], e suppoiamo che le segueti ipotesi siao soddisfatte: i) esiste fiito il limite lim f (c), per almeo u puto c [a, b]; ii) la successioe delle derivate (f ) coverga uiformemete i [a, b] ad ua fuzioe g (ovviamete cotiua). Allora ache la successioe (f ) coverge uiformemete i [a, b] ad ua fuzioe f, che risulta di classe C e ammette come derivata la fuzioe g limite delle f. Come si puo otare, duque, i tale teorema o si richiede la covergeza delle f se o i u sigolo puto, ma si richiede come ipotesi la covergeza uiforme delle derivate: solo i tali ipotesi si puo dedurre che la derivata del limite delle f coicide co il limite delle derivate f. Vediamo la dimostrazioe. Dimostrazioe. Deotiamo co l il limite (fiito) di f (c). Poiché le f soo di classe C, per la formula fodametale del calcolo itegrale, si ha f (x) = f (c) + x c f (t)dt. Ora, i due addedi a secodo membro covergoo etrambi: il primo a l, direttamete per ipotesi; il secodo a x g(t)dt a causa del passaggio a limite sotto il sego di itegrale, i c quato le f covergoo uiformemete a g. Si ha duque, per ogi x: lim f (x) = l + x c g(t)dt := f(x). 3

31 Questo permette ache di dedurre subito, grazie al teorema di Torricelli-Barrow, che il limite f é derivabile e ha come derivata proprio la g. Resta solo da provare la covergeza uiforme delle f. Ma ache questo é molto semplice: essedo sup f (x) f(x) = sup x [a,b] x [a,b] x c (f (t) g(t))dt b a f (t) g(t) dt, dalla covergeza uiforme delle f segue subito che l ultima quatita tede a per che diverge. Vale la pea di osservare che, elle ipotesi del teorema precedete, la codizioe i) o si puo elimiare: sembra che i fodo essa richieda molto poco, ma quel poco é fodametale, perché co la sola covergeza delle derivate o si puo garatire la covergeza delle f. Basti pesare alla successioe di costati, f (x) =, per ogi x e ogi. Le derivate soo tutte ulle, e quidi baalmete covergeti a uiformemete, ma le fuzioi f vao a ifiito per ogi x! U iteressate applicazioe del teorema 5.2 si ha ella ricerca dei puti fissi di fuzioi cotiue (che a sua volta é u metodo per risolvere equazioi). f : [a, b] [a, b] sia ua fuzioe cotiua. Suppoiamo che Sappiamo gia, dai teoremi sulle fuzioi cotiue, che ua fuzioe del geere ammette sempre almeo u puto fisso x, cioé u elemeto x [a, b] tale che f(x) = x. Ora, se si vuole determiare x (sia pure i maiera approssimata) u metodo che a volte fuzioa cosiste ell iterare la f idefiitamete: si parte da u qualsiasi puto, per esempio a, e si fa f(a), poi f(f(a)), e cosi via. I questo modo si costruisce ua successioe (x ) i [a, b], che parte da x = a e soddisfa la relazioe di ricorreza x + = f(x ) per ogi. Se questa successioe coverge, per la cotiuita di f, il limite x é proprio u puto fisso di f: ifatti, essedo x = lim x, si ha f(x) = lim f(x ) = lim x + = x. Tuttavia, o é detto che la successioe (x ) sia covergete. U ipotesi che sicuramete comporta la covergeza é che la fuzioe f sia derivabile i [a, b], co derivata cotiua e sempre i modulo miore di. Se quest ipotesi é verificata, oi possiamo defiire ua successioe di fuzioi f i questo modo: f = f, e f + = f f per ogi. I altre parole, si itera la f idefiitamete. Ora, bisoga vedere se soo soddisfatte le ipotesi del teorema 5.2! Certamete, siccome f ha almeo u puto fisso c (ache se o lo coosciamo!), avremo sempre f (c) = c e quidi c e 3

32 almeo u puto i cui la successioe f é covergete (ipotesi i)). Il discorso riguardate le derivate f é piu delicato. Itato, possiamo osservare che la derivata f ha massimo e miimo, e questi soo, per ipotesi, strettamete compresi fra e. Duque, si ha sup x [a,b] f (x) := s <. Ora, studiamo f 2: poiche f 2 é ua fuzioe composta, si ha, per la regola della catea: e quidi f 2(x) = f (f(x))f (x), f 2(x) = f (f(x)) f (x) s 2, per quato detto poc azi su f. Ragioado i maiera simile, si deduce poi che f 3(x) s 3 per ogi x, e cosi via, avremo che sup x f (x) s per ogi, e allora la successioe (f ) coverge a uiformemete, dato che s <! I coclusioe, abbiamo dimostrato che tutte le ipotesi del teorema 5.2 soo verificate, e quidi le fuzioi iterate f covergoo uiformemete ad ua fuzioe h, la cui derivata é il limite delle f : ma questo limite é! E allora la fuzioe h é costate; e tale costate o puo che essere il valore c, puto fisso di f: ifatti, abbiamo gia osservato che le f (c) soo tutte uguali a c, e quidi ache il loro limite (cioé h) vale c el puto c. Percio, se h e costate, e h(c) = c, tale costate é proprio c. E spesso importate sapere se vale il passaggio al limite sotto il sego di itegrale geeralizzato: si tratta dello stesso problema visto fiora, ma per successioi di fuzioi che rietrio elle tipologie (studiate i precedeza) di itegrazioe i seso geeralizzato. Daremo solo qualche euciato, seza dimostrazioe, e u esempio che possa illustrare le differeze esisteti rispetto ai casi classici. Quello che si puo subito osservare é che, i geerale, o basta emmeo la covergeza uiforme a garatire il passaggio a limite i seso geeralizzato. Per esempio, cosideriamo le fuzioi f : [, + [ IR defiite da f (x) =, x, x >. Baalmete, ogi f é itegrabile i s.g. i [, + [, e il suo itegrale é. Altrettato facilmete si vede che le f covergoo a uiformemete i [, + [, dato che sup x f (x) =. 32