k=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se

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1 Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k(). Diremo che la serie (0.) coverge putualmete i 0 I se esiste il lim s ( 0 ) R La serie (0.) coverge putualmete ad f i J I se la successioe s coverge putualmete ad f i J, cioè se lim s () = f() per ogi J. Si dirà che la serie (0.) coverge uiformemete ad f i J I se la successioe s coverge uiformemete ad f i J, cioè se lim J s () f() = 0. La fuzioe f è detta a secoda che la covergeza sia putuale o uiforme somma putuale o uiforme della serie (0.). Si dice che la serie (0.) coverge putualmete (o uiformemete) assolutamete se la serie k=0 f k() coverge putualmete (o uiformemete). Osservazioe Come el caso delle successioi di fuzioi la covergeza uiforme implica quella putuale. Ioltre la covergeza assoluta putuale (o uiforme) implica covergeza putuale (o uiforme). U altro tipo di covergeza per le serie è la covergeza totale e si dice che la serie (0.) coverge totalmete i J I se k=0 J f k () coverge. Spesso utilizzeremo la otazioe f k J al posto di J f k (). Com è facile osservare la covergeza totale implica quella uiforme e quella assoluta. U modo per stabilire che ua serie coverge totalmete è forito dal seguete criterio. Criterio di Weierstrass La serie (0.) coverge totalmete i J I se esiste (M k ) k successioe umerica tale che f k () M k per ogi J e k N e k=0 M k è covergete. A differeza della covergeza totale, o ci soo molti criteri per stabilire la covergeza uiforme di ua serie; tuttavia se si ha ua serie a termii tutti positivi (o tutti egativi), ua strategia possibile cosiste ello studiare la covergeza totale ache se questo o garatisce di trovare tutti i sottoisiemi di R i cui si ha covergeza uiforme. Se ivece la serie è a segi alteri si può utilizzare il criterio di Leibiz. Qui di seguito uo schema dei diversi topi di covergeze e le relative implicazioi: Covergeza assoluta putuale Covergeza putuale Covergeza assoluta uiforme Covergeza uiforme Covergeza totale

2 Esercizio 0.. Si studi la serie + 2 f () = Le fuzioi f soo defiite i tutto R. Per ogi R si ha = e è il termie esimo di ua serie covergete, per cui la serie coverge assolutamete putualmete i R. Verifichiamo la covergeza totale e calcoliamo f R. La derivata f () = ( ) 2 si aulla i = 2 e 2 = 3 2 per cui { } f R = ma{ f( ), f( 2 ), lim f (), lim f () } = ma 2 2, 6 2, 0, 0 = 2 2 che è il termie di ua serie covergete e quidi la serie coverge totalmete. Duque vi è ache covergeza uiforme i R. Esercizio 0.2. Studiare covergeza putuale assoluta e determiare evetuali sottoisiemi di R, i cui si ha covergeza uiforme. (0.2) = La serie è defiita per valori di tali che 2 0 cioè per [, ]. Ioltre per ogi N risulta 2 ( ) 3 3 e la serie ( ) =0 3 coverge perché serie geometrica di ragioe 3 quidi per il criterio di Weierstrass, la serie data coverge totalmete i [, ] e di cosegueza assolutamete e uiformemete i [, ]. Esercizio 0.3. Studiare covergeza putuale, uiforme e totale della serie. (0.3) ( ) Per stabilire la covergeza putuale, fissiamo R e osserviamo che f () = ( ) è ua successioe umerica a segi alteri. Verifichiamo che si possa applicare il teorema di Leibiz o equivaletemete che la successioe (f ()) sia ifiitesima e decrescete. Poiché (i) lim = 0 (ii) 2 (+)

3 e segue che la serie data coverge putualmete ad ua fuzioe f(), R. Dal teorema di Leibiz si riesce ache a stimare il resto della serie umerica. Ifatti fissato R, risulta ( ) k 2 + k k 2 = ( ) k 2 + k k 2 ( ) k 2 + k k ( + ) ( + ) 2 k=+ k= k= Per stabilire la covergeza assoluta, osserviamo che ( ) 2 + = e 2 + = 2 per, pertato la serie 2 + ha lo stesso carattere della serie 2 armoica che diverge. La serie data o coverge assolutamete i R e eppure totalmete i R, é i alcu sottoisieme di R. Vediamo se la serie data coverge uiformemete. Cosideriamo itervalli [a, b] R, risulta lim f() s () = lim ( ) k 2 + k lim k=+ 2 + ( + ) ( + ) 2 k 2 ma{a 2, b 2 } + + lim ( + ) 2 = 0 pertato la serie data coverge uiformemete egli itervalli chiusi e limitati di R. Esercizio 0.4. Studiare la seguete serie di fuzioi (0.4) si, R Fissiamo R, il termie geerale della serie tede a zero per valori di tali che si < cioè per π 2 + kπ, k Z. Osserviamo che se = kπ, k Z, si = 0, la serie è a termii ulli e coverge baalmete a zero. La serie si = si coverge assolutamete putualmete per π 2 + kπ, k Z. La serie coverge totalmete i itervalli del tipo [ π 2 + kπ + ε, 3 2π + kπ ε], k Z. =0 Esercizio 0.. Studiare la seguete serie di fuzioi (0.) ( + 2 ) Fissato R si ha ( + 2 ) = 2 3

4 e dato che 2 coverge, la serie data coverge assolutamete putualmete i R. Vediamo se c è covergeza totale i R cioè se ( + 2 ) coverge i R. R Cosideriamo la successioe f () = (+ 2 ). Si osservi che lim ± f () = 0, ioltre f () = 0 se e soltato se = ± pertato R f () = f ( ) = 2. Dal mometo che coverge, la serie data coverge totalmete i R. 3/2 Esercizio 0.6. Studiare covergeza putuale e uiforme della serie (0.6) e, R Osserviamo che per < 0, la serie o coverge perché il termie geerale o è ifiitesimo. Per 0 il termie geerale tede a 0 per e la serie si comporta putualmete come la serie umerica e che coverge. Pertato la serie data coverge putualmete per 0. Per stabilire se si ha covergeza totale studiamo la serie umerica 0 e Risulta che f () = e è ua successioe crescete per, quidi 0 e = e 2 e la serie e coverge. Cocludiamo allora che la serie data coverge totalmete i 2 [0, + ) e quidi ivi ache uiformemete. Esercizio 0.7. Studiare covergeza putuale, uiforme e totale della serie (0.7) ( ) log( + 2 ) R La serie o coverge assolutamete putualmete perché fissato R ( ) log( + 2 ) = log e la serie log o coverge i essu sottoisieme di R. Pertato la serie data o coverge totalmete. La serie coverge putualmete ad ua fuzioe f per il teorema di Leibiz, ifatti fissato R (i) log(+ 2 ) 0 per ogi N 4

5 (ii) lim log(+ 2 ) = 0 (iii) ( log(+ 2 ) ) decrescete È possibile ioltre stimare il resto -esimo ( ) k log(k + 2 ) log( ) pertato k=+ 0 lim R s () f() = lim R k=+ R, N ( ) k log(k + 2 ) lim log( ) = 0 da cui si deduce la covergeza uiforme i R della serie data. Esercizio 0.8. Studiare la seguete serie di fuzioi (0.8) 2 cos( 2 ) 3 + Verifichiamo la covergeza putuale; fissato R risulta 2 cos( 2 ) / 2 2 pertato, poiché la serie 2 coverge la serie coverge assolutamete putualmete. Ioltre dato che R f () = + (ifatti lim f () = ), la serie o coverge totalmete i R. La serie data o coverge eppure uiformemete i R ifatti essedo R f () = +, il resto della serie o può covergere. D altra parte se R f () o è ifiitesimo per allora la serie o può coverge uiformemete, ifatti f () = f k () k= k=+ f k () f k () + k= k=+ f k (k) Se la serie coverge uiformemete R k= f k() deve tedere a zero per e quidi ache R f (). Per [ a, a] risulta 2 cos( 2 ) 3 + a2 3 + e [ a,a] f () a 2 quidi si ha covergeza totale ei compatti di R. 3 +

6 Esercizio 0.9. Studiare covergeza putuale uiforme e totale della serie (0.9) Fissato R, osserviamo che per > lim f () =, metre per <, applicado il criterio della radice si ha lim = lim ( ) = essedo lim α = per ogi α R, pertato per < la serie data coverge assolutamete putualmete. Per = la serie diveta che diverge, metre per = la serie diveta ( ) che coverge per Leibiz. La serie o coverge totalmete i [, ) ifatti [,) f () f () =, ioltre poiché f o è ifiitesimo la serie o coverge uiformemete. Fissato a < si ha f () = ma{ [,a], 0, a a } = ma / o è il termie geerale di ua serie covergete. Se ci restrigiamo ulteriormete f () = a a [ a,a] e a a è il termie geerale di ua serie covergete, pertato la serie data coverge totalmete i itervalli del tipo [ a, a] co 0 < a < Esercizio 0.0 (Traccia d esame (3 Luglio 2007)). Determiare l isieme di covergeza putuale e totale della serie (0.0) 2 + (2) Fisso R, affiché il termie geerale della serie sia ifiitesimo per è ecessario restrigere il domiio a valori tali che { 2 < 2 < che è soddisfatto per ( /2, /2). miorata da ua serie divergete, ifatti Osserviamo che per = 2, la serie può essere ( 4 ) + quidi la serie data o coverge i 2. Ivece per = 2, la serie diveta > ( 4 ) + ( ). 6

7 che coverge perché somma di due serie covergeti. Tuttavia la serie data o coverge assolutamete putualmete per = 2 ifatti il termie geerale 4 + ( ) { + 4 = pari dispari 4 e per sufficietemete grade ± 4 2 quidi 4 + ( ) 2 pertato la serie data o coverge assolutamete i 2. Ioltre per ( /2, /2) la serie può essere scritta come somma di due serie di poteze covergeti putualmete pertato la serie data coverge putualmete i ( /2, /2). La covergeza è totale (quidi uiforme) ei compatti coteuti i ( /2, /2) ifatti se [a, b] ( /2, /2) 2 + (2) ( 2 + (2) ) = 2 + (2) <. Esercizio 0. (Traccia d esame (7 Novembre 2008)). Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie (0.) Fisso > 0, dal mometo che + 3 = + 3, > 0. ( (ma{, 3}) si ha che se 3, allora ma{, 3} = 3 e la serie ( 3) o coverge se 3 <, allora ma{, 3} = e la serie ( ) o coverge. Si potrebbe ache osservare che per 0 la successioe ifiitesima per tedete all ifiito i quato ( ) + ( 3 ) +3 = ( ) +( 3 ) o è ) 2 e ( ) +( ) 3 2. Ifie se > la serie data coverge putualmete perché si comporta come la serie geometrica di ragioe miore di. No si ha covergeza totale perché f () = lim f () = > = + (3/) e la serie +3 o coverge perché il termie geerale o va a zero. Ioltre poiché > f () o tede a zero per o si ha eppure covergeza uiforme i (, + ). Se si fissa a > la serie coverge totalmete i [a, + ), ifatti f () = f (a) = a a + 3 7

8 e la serie a +3 coverge perché a +3 < ( ) ( a e a) coverge. Pertato la serie data coverge totalmete e quidi ache uiformemete i [a, + ) per a >. Esercizio 0.2 (Traccia d esame (7 Aprile 2007)). Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale della serie (0.2) + (3), 0. Fisso 0, il termie geerale della serie coverge a zero per 3 >, cioè per > 3, ioltre dato che ( ) + (3) 3 e la serie ( 3) coverge per > /3, la serie data coverge putualmete per (/3, + ). Vediamo se si può stabilire la covergeza totale. Calcoliamo >/3 f (), osserviamo che lim + f () = 0 e f () è ua fuzioe decrescete, pertato f () = lim f () = >/3 /3 + 2 e la serie 2 o coverge, quidi la serie data o coverge totalmete i (/3, + ) e eppure uiformemete dal mometo che >/3 f () o tede a zero per. Fissiamo a > /3 e osserviamo che +(3a) f () = f (a) = a + (3a). La serie coverge perché è possibile stimare il suo termie geerale co il termie geerale di ua serie covergete, ifatti +(3a) (. 3a) La serie data coverge totalmete i itervalli del tipo [a, + ) co a > /3. Esercizio 0.3 (Traccia d esame ( Febbraio 2007)). Studiare la covergeza putuale, uiforme e totale delle serie (0.3) cos()e, R. Per = 0 si ha f () = per cui la serie diverge. Per ogi R \ {0} possiamo stimare il termie della serie el seguete modo cos()e e per cui la serie coverge assolutamete putualmete i R \ {0}. Abbiamo poi f R\{0} = per cui o vi è covergeza totale. La covergeza o è emmeo uiforme i quato codizioe ecessaria per la covergeza uiforme è che si abbia lim f = 0. Però egli itervalli del tipo I = (, a] [a, + ) co a > 0 abbiamo f I e a che è il termie di ua serie covergete. Per cui c è covergeza totale egli itervalli di tipo I. 8

9 Esercizio 0.4 (Traccia d esame (9 Settembre 2008)). Studiare la covergeza putuale ed uiforme della serie (0.4) Per > il termie geerale della serie o è ifiitesimo, per cui la serie o coverge. Se < abbiamo che 2 < e quidi (0.) che è il termie di ua serie covergete. Per = la serie diveta ( ) + che è ua serie a segi alteri, ioltre 2 lim + = 0 e la successioe 2 + è decrescete; per il criterio di Leibiz la serie 2 coverge. La serie o coverge assolutamete i quato ( ) + /. 2 Per = la serie o coverge. La serie duque coverge putualmete i [, [ e assolutamete putualmete i ], [. La serie coverge totalmete egli itervalli di tipo I = [ a, a] co 0 < a < i quato f I a 2. Si lascia per esercizio lo studio della covergeza uiforme i [, a] co 0 < a <. 9