Successioni e serie. Ermanno Travaglino

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1 Successioi e serie Ermo Trvglio U successioe è u sequez ordit di umeri o di ltre grdezze, e u serie è l somm dei termii di tle sequez. U successioe si rppreset co l'espressioe,,,, ell qule è u itero positivo, e i termii possoo essere o meo distiti; è il primo termie, il secodo, e così vi. Se l'espressioe h u ultimo termie, l successioe si dice fiit o, i ltre prole, è compost d u umero fiito di termii; el cso cotrrio, ess si dice ifiit. U successioe è defiit solo se esiste u regol che permette di determire l'-esimo termie per ogi umero itero positivo. Ad esempio, tutti i umeri iteri positivi, el loro ordie turle, costituiscoo u successioe ifiit defiit dll relzioe. L formul determi ivece l successioe, 4, 9, 6,, cioè l sequez dei qudrti dei umeri turli. Se si ssego i vlori, i primi due termii e poi si cotiu i modo che ogi termie si l somm dei due termii precedeti, si ottiee l successioe,,,,, 5, 8,,, ot come successioe di Fibocci. Tr le successioi otevoli vi soo le successioi ritmetiche (dette che progressioi ritmetiche), i cui è costte l differez tr due termii cosecutivi, e le successioi geometriche (o progressioi geometriche), i cui ivece è costte il rpporto tr due termii cosecutivi. Come esempio, si cosideri l'ivestimeto di u dt somm di dero P. Se l'iteresse dell'ivestimeto è semplice, ed è dell'8%, dopo u umero di i pri il cpitle iizile P divet P (,8)P. Le qutità ue formo llor u progressioe ritmetic, l cui rgioe (l differez costte tr due termii successivi) è (,8)P. Se ivece l'iteresse dell'ivestimeto è composto, dopo u certo umero di i le somme ue predoo l form di u progressioe geometric il cui termie geerle è g P (,8). I etrmbi i csi è chiro che e g soo destiti crescere idefiitmete ll'umetre di. I geerle, tuttvi, i termii di u successioe o ecessrimete crescoo sez limite. Ad esempio, l crescere di l successioe / si vvici l vlore limite, e b A B/ si vvici sempre più l vlore A. I ciscuo di questi csi esiste quidi u umero fiito L tle che, fissto u quluque itervllo di tollerz e, i termii dell successioe, d u certo puto i poi, soo destiti cdere etro l'itervllo e d L. Ad esempio, el cso dell successioe (-) /, L. Ache se ssumessimo per e u vlore piccolissimo, come /., si potrebbe dimostrre che per tutti gli mggiori di 5, i termii di quest successioe o differiscoo d per più del vlore e. Il umero L è chimto il limite dell successioe, dl mometo che che se i suoi sigoli termii possoo essere miori o mggiori di L, ll fie si ccumulo itoro l vlore che esso ssume. Qudo l successioe mmette il vlore limite L, si dice che ess è covergete e che coverge L. Allor se l successioe geeric, coverge L, si scrive: lim L, e si legge "il limite di per che tede ifiito è ugule L". Il termie serie idic ivece l somm, o dei termii di u successioe. U serie può essere fiit o ifiit, secod che il umero di termii dell successioe corrispodete si fiito o ifiito.

2 L successioe s, s, s, s,, è dett successioe delle somme przili dell serie. L serie coverge o diverge se e solo se coverge o diverge l successioe delle somme przili. U serie si dice umeric se i suoi termii soo umeri; ivece, se ogi termie è u fuzioe di u o più vribili, l serie è u serie di fuzioi. I prticolre, u serie di poteze è u prticolre serie di fuzioi, dt d ( - c) ( - c) ( - c), i cui c e i termii i soo costti. Per le serie di poteze, determire l covergez o meo dell serie vuol dire trovre, se esiste, l'isieme dei vlori di i corrispodez dei quli si verific l covergez. Se esiste u per il qule l serie coverge, llor l'isieme cercto è lmeo quello degli miori i vlore ssoluto di quello trovto. L teori dell covergez delle serie, elbort dl mtemtico frcese Augusti-Louis Cuchy itoro l 8 h grde importz prticmete i ogi rmo dell mtemtic pur e pplict. Successioi di umeri reli Si f u fuzioe di u vribile, defiit per ogi umero turle positivo e ssumete sempre vlori reli; si defiisce successioe di ifiiti umeri reli (simbolo { }) l'isieme ordito di umeri f(), f(),.. f(),. Se: lim l (vlore fiito) successioe covergete lim ± successioe divergete (positivmete o egtivmete) lim o esiste successioe idetermit successioe limitt se esiste u umero positivo M tle che per ogi risult M: successioe superiormete limitt se esiste u umero A tle che per ogi si A successioe iferiormete limitt se esiste u umero A tle che per ogi si A Se per ogi risult: ) < successioe crescete i seso stretto b) successioe crescete i seso lto successioi c) > successioe decrescete i seso stretto mootoe d) successioe decrescete i seso lto Successioe di Cuchy ε> δ> : r,s>δ r s < ε Teorem: u successioe di umeri reli è covergete se e solo se è u successioe di Cuchy Rppresetzioe grfic di u successioe di umeri reli: f() isieme di ifiiti puti isolti di coordite (; )

3 Progressioe ritmetic Sequez di umeri tle che ciscuo di essi si mggiore o miore del precedete di u qutità costte dett rgioe. Ad esempio, i umeri turli,,, 4 formo u progressioe ritmetic l cui rgioe è, metre l sequez, 9, 6,,, 7 è progressioe ritmetic di rgioe -. Per determire l somm di u progressioe limitt, cioè costituit d u umero fiito di termii, è sufficiete moltiplicre l somm del primo e dell'ultimo termie, per il umero totle di termii, diviso per due. Così, l somm dei primi dieci umeri turli è ( ) ( ) 55.,,, 4,... k,..., d, d, d,..., (k )d,... ( )d termie: k (k )d k (k )d rgioe: d ( k )/(k ) posto: k [( k )/d] k s (k s)d d d d Proprietà di u progressioe ritmetic co u umero fiito di termii: l somm dei termii equidistti dgli estremi è costte ed è ugule ll somm degli estremi; i prticolre, se è dispri, il termie medio è ugule ll semisomm degli estremi. ( d)( d) ( d)( d)... Somm dei termii S k k prop. commuttiv S... - S -... sommo membro membro: S ( ) ( - )...(- ) ( ) ( ) (per l prop. precedete) S [( ) / ] * Progressioe geometric Sequez di umeri tle che il rpporto tr ciscu termie (escluso il primo) e quello precedete bbi u vlore costte, detto rgioe. Ad esempio, l sequez di umeri, 4, 8, 6,, 64, 8, è u progressioe geometric di rgioe, metre i umeri, /, /9, /7, /8, costituiscoo u progressioe geometric di rgioe /. I geerle, u progressioe geometric è uivocmete defiit dl suo termie iizile, che si idic co, e dll su rgioe q.,,,... k,..., q, q,..., q k-,..., q -

4 k /q k- k * q k- q k- k / k lg q ( k / ) * q k s * q k-s Somm dei termii S k k S... - moltiplico tutto per q S * q 4... * q sottrggo membro membro: S S *q * q * q - * q * q S ( q) ( q ) S * [( q )/( q)] S lim S se q > /( q) se q < Le serie geometriche e le progressioi geometriche trovo umerose ppliczioi ell'mbito delle scieze fisiche, biologiche e socili, come pure elle scieze bcrie. Molti problemi sugli iteressi composti e sulle ulità vegoo fcilmete risolti ricorredo questi cocetti. Serie di umeri reli Serie umeric: successioe di somme przili costruite prtire d u dt successioe s s... s... s, s, s,..., s somme przili o ridotte dell serie Crttere di u serie Se: lim s lim k k S serie covergete (S vlore o somm) lim s ± serie divergete (positivmete o egtivmete) lim s o esiste serie idetermit o oscillte Resto -esimo dell serie... serie otteut sopprimedo i primi termii dell 4

5 Serie di Megoli * * * 4 ( ) Poiché > S ( ) lim S... > lim serie covergete vete per somm Serie di Wllis ( ) s s s... s per dispri o esiste lim s serie oscillte per pri Serie geometric q q... q... lim s per q > serie divergete lim s /( q) per q < serie covergete per q s * lim s serie divergete csi prticolri: per pri per q s serie oscillte per dispri Criterio di Cuchy per l covergez di u serie Teorem: Se u serie è covergete llor il suo termie geerle tede zero per, cioè lim Quest è u codizioe ecessri, m o sufficiete. Criterio di Cuchy (o criterio geerle di covergez): u serie è covergete se, e solo se, fissto d rbitrio u umero positivo ε, è possibile determire u idice η tle che, per ogi > η e per ogi umero turle k, si bbi: r,k... k < ε Serie rmoic ½ /... /... 5

6 Pur essedo lim, l serie o è covergete; iftti per ogi e per k risult: * r, r, ½ e o r, < ε Resto -esimo di u serie: R S S... Per le serie covergeti può essere cosiderto come differez tr l somm S dell serie stess e l su ridott -esim. U serie e il suo resto -esimo ho lo stesso crttere. Serie termii positivi ) Criterio del cofroto (o di Guss) Criteri di covergez Se per ogi risult b serie miorte b b b serie mggiorte U serie è covergete se mmette u mggiorte covergete divergete se mmette u miorte divergete ) Secodo criterio del cofroto (o criterio del cofroto sitotico) Dte le due serie termii positivi e b, si suppog che esist il lim /b l ) se l serie b è covergete e il limite l è fiito (l ), llor che è covergete; b) se l serie b è divergete e il limite l è o ullo (fiito o ifiito), llor che è divergete. ) Criterio del rpporto (o di D Alembert)) Se per u serie termii positivi si h: per k < serie covergete lim / k per k > serie divergete per k o si può stbilire il crttere dell serie 4) Criterio dell rdice (o di Cuchy) Se per u serie termii positivi si h: per k < serie covergete lim k per k > serie divergete per k o si può stbilire il crttere dell serie 6

7 Serie termii di sego quluque U serie termii di sego quluque si dice ssolutmete covergete qudo coverge l serie dei vlori ssoluti dei suoi termii. ) Criterio geerle U serie ssolutmete covergete è che covergete (m o vicevers) ) Criterio di Leibiz U serie co segi lteri è sicurmete covergete se: e lim I u serie covergete di somm S il resto -esimo R è R S S e si h che lim R Per u serie sego ltero che soddisfi il criterio di Leibiz si h R < cioè, sostituedo S il vlore S l errore che si commette o super, i vlore ssoluto, il primo termie trscurto. Serie otevoli Serie di Megoli Σ /() serie covergete S Serie di Wllis Σ ( ) serie idetermit q < covergete Serie geometric Σ q q > e q divergete q idetermit o oscillte Serie rmoic Σ / serie divergete Serie rmoic geerlizzt (o serie di Riem) Σ / α α serie rmoic divergete α divergete < α < divergete (perché mggiorte dell serie rmoic) α > covergete (perché miorte di u serie geom. co q < ) 7

8 Serie di fuzioi Dt l successioe di ifiite fuzioi dell vribile rele f (), f (),..., f (),... tutte defiite i uo stesso isieme D, si dice serie di fuzioi il simbolo Σ f () f () f ()... f ()... (Se ll vribile si ttribuisce u vlore umerico, si ottiee u serie umeric che può essere o o essere covergete) L isieme D si dice isieme di defiizioe (o domiio) dell serie. Per ogi serie di fuzioi è possibile determire u isieme di covergez C, che è l isieme dei vlori di per i quli l serie coverge (C D). Attribuedo ll vlori pprteeti ll isieme C si ottegoo diversi vlori dell serie, che dipedoo dl prticolre vlore scelto per l ; si h quidi f () f () f ()... f ()... e dicimo che l serie Σ f () coverge ll fuzioe f(). Si coclude che è possibile pssre d u serie di fuzioi d u uic fuzioe f(), iversmete u fuzioe può essere scritt come somm di ifiite fuzioi, metodo oto come sviluppo i serie. Esempio: Le ifiite fuzioi f () /; f () / ; f () / ;... f () / ;... Soo tutte defiite per ogi vlore di diverso d zero; l reltiv serie è:... Per si ottiee l serie umeric divergete: /... Per si ottiee l serie umeric oscillte: Per si ottiee l serie covergete: /( )... l cui somm è ½

9 Serie di poteze Σ ( vri d ) Teorem di Abel: Per le serie di poteze vlgoo le segueti proprietà: Prim proprietà: se u serie di poteze coverge el puto >, llor ess coverge ssolutmete per ogi < Secod proprietà: se u serie di poteze o coverge el puto >, llor ess o coverge per ogi tle che > Per ogi serie di poteze è possibile idividure u itervllo ( R, R), co R >, tle che l serie coverg ssolutmete per ogi itero ll itervllo stesso, metre o coverg per vlori esteri ll itervllo. L itervllo ( R, R) è detto itervllo di covergez, R rggio di covergez. Cosiderzioi: ) l itervllo di covergez h sempre cetro el puto ) il comportmeto dell serie gli estremi v lizzto cso per cso Csi prticolri: ) se R l itervllo di covergez si riduce l puto ) se R l itervllo di covergez si estede l cmpo rele Determizioe del rggio di covergez di u serie di poteze Dt u serie di poteze Σ ( vri d ), se risult: lim co l umero fiito o ullo R / l se lim R se lim R Serie di poteze di ( ) U serie di poteze dell form Σ ( ) ( vri d ) si dice serie di poteze dell vribile, o che serie di poteze di puto iizile Poedo X si h Σ X ( vri d ) Se quest ultim serie h rggio di covergez R, si h che l serie di prtez coverge per R < < R R < < R Cosiderzioi: ) l itervllo ( R, R) h come puto medio ) vlgoo le stesse proprietà già viste 9

10 Serie di Tylor e serie di Mc Luri Si f() u fuzioe defiit i u isieme D ed ivi idefiitmete derivbile. Serie di Tylor f ( ) (! ) f '( f ''( ( ) f ( ) ( ) ( )... ( )...! )! ) f ( ) (! ) Per si h l Serie di Mc Luri ( ) f ()! f () f '()! f ''()!... f ) ()! (... Sviluppo i serie di Mc Luri di lcue fuzioi elemetri Fuzioi e ed e Dt l fuzioe f() e si h f () () e per ogi f() f () f () f () () e......!!!!! Per f() e si h: e!!!... ( )!... ( )! Fuzioi se e cos Per f() se si h: f () cos f () se f () cos f () se che si ripetoo periodicmete ogi quttro derivzioi, ssumedo i, ltertivmete i quttro vlori - se!! 5 5! 7 7!... ( ) ( )! ( ) ( )! Per f() cos si h: cos! 4 4! 6 6!... ( ) ()! ( ) ()!

11 Sviluppo i serie di Fourier Metodo utilizzto per rppresetre u fuzioe dott di prticolri crtteristiche di cotiuità e periodicità come l somm di u serie di termii trigoometrici pesti d opportui coefficieti. Fu sviluppto dl mtemtico frcese Je-Bptiste-Joseph Fourier, d cui prede il ome, ell mbito dei suoi studi sull lisi rmoic, e trov umerose ppliczioi si i mtemtic si i fisic. Ad esempio, i mtemtic viee usto per sfruttre il metodo di itegrzioe per serie delle fuzioi; i fisic è u importte strumeto per lo studio dei feomei periodici. Dt u fuzioe f(), periodic di periodo, si dicoo coefficieti di Fourier dell fuzioe f() gli itegrli, defiiti ell itervllo (-, ): b f( ) d f ( ) cos( ) d f ( ) si( ) d per tutti i umeri turli,,... Se tli itegrli esistoo, l serie trigoometric S cos bsi ( ) ( ( ) ( )) si dice serie di Fourier ssocit ll fuzioe f(). Nel cso prticolre i cui l somm S() dell serie si fiit (serie covergete) e coicid co l fuzioe f(), quest ultim si dice sviluppbile i serie di Fourier, e si può scrivere f cos bsi ( ) ( ( ) ( )) I geerle, ffiché u fuzioe periodic f() mmett lo sviluppo i serie di Fourier, è ecessrio che ess si cotiu ll itero dell itervllo di periodicità, tre l più i u umero fiito di puti, i corrispodez dei quli deve comuque essere limitt, cioè può ssumere solo vlori fiiti. Qudo queste codizioi soo soddisftte, l serie di Fourier coverge esttmete l vlore dell fuzioe f() ei puti di cotiuità. I ciscuo degli

12 evetuli puti di discotiuità ivece, l serie coverge u vlore fiito, dto dll medi tr il limite destro e il limite siistro dell fuzioe i quel puto. I geerle o è ecessrio che l fuzioe f() si periodic: quluque fuzioe che preseti ell itervllo compreso tr e le crtteristiche di cotiuità e limittezz sopr preciste, può essere ridefiit i modo d essere estes per periodicità tutto l sse rele, e quidi sviluppt i serie di Fourier come fuzioe periodic. Le fuzioi simmetriche rispetto ll sse delle y (fuzioi pri) mmettoo uo sviluppo i serie di Fourier che cotiee termii di soli cosei; le fuzioi simmetriche rispetto ll origie degli ssi ivece (fuzioi dispri), preseto uo sviluppo i serie di soli sei. Si cosideri, d esempio, l fuzioe f() ristrett ll itervllo compreso tr - e, e l si ested per periodicità tutto l sse rele. Così defiit, tle fuzioe preset tutte le crtteristiche ecessrie per mmettere lo sviluppo i serie di Fourier. Essedo u fuzioe dispri, i suoi coefficieti di Fourier soo solo cosei: d cos( ) d b si( ) d ( ) Risult llor ( ) ( ) si si S si( ) si... e vle S() f() per tutti gli diversi d ; i tutti i puti di discotiuità, l serie di Fourier ssume u vlore dto dll medi ritmetic tr limite destro e limite siistro dell fuzioe e cioè, i questo cso, S().

13 Serie di Fourier i form compless I virtù delle formule di Eulero, che permettoo di scrivere si e cos i form di espoezili complessi, lo sviluppo i serie di Fourier di u fuzioe f() si può scrivere equivletemete ell form: i i i f c ce c e ce ( ) ( ) dove c c c ib ib