Metodi d integrazione di Montecarlo

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1 Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe, cioè di riproduzioe dell reltà. L simulzioe è u isieme di metodi e di criteri prticolri per mezzo dei quli si può costruire e studire u modello che poss rppresetre uo o più spetti di u feomeo oto. L uso del computer è di otevole iuto ll ricerc scietific e risult utile i lcui cmpi dell simulzioe. L simulzioe si può distigue i: simulzioe logic simulzioe umeric L simulzioe logic cosiste ell costruzioe rtificile di modelli di u dto sistem che verro studiti i relzioe u determito crttere d esempio: 1. costruzioe di modelli di erei d sottoporre prticolri esperimeti di reodimic 2. costruzioe di modelli utomoilistici d sottoporre crsh test 3. costruzioe di modelli cocreti di fricti sottoposti prticolri test di scosse telluriche ecc Si prl di simulzioe umeric qudo il modello preso i esme viee rppresetto d elemeti umerici e d operzioi sugli stessi. Questo tipo di simulzioe risult molto utile i quto cosete di relizzre modelli rtificili m cocreti, che soo cioè immgie dell reltà m che possoo essere riprodotti ifiite volte. Tr i procedimeti di simulzioe più fmosi ricordimo: l metodi di Motecrlo, il Pert, il C.P.M. Trtteremo per or solmete i metodi di Motecrlo. Si trtt di procedimeti co i quli si costruiscoo modelli proilistici di processi mtemtici sui qulisi eseguoo esperimeti di cmpiometo. metodi di Motecrlo si ppoggio su sequeze di umeri pseudo-csuli A tle scopo si possoo utilizzre pposite tvole di umeri csuli, oppure vvlersi di u qulsisi procedimeto che produc umeri letori. Come prim ppliczioe geerlmete si cit il clcolo del umero π fodto sull esperimeto ideto dl turlist G.L.Buffo (1773) che prevede di trccire su u foglio u fscio di rette prllele equidistti, dove è l distz tr due di esse, e di lcire su di esso u go di lughezz l ; co tle esperimeto Buffo h potuto stimre il umero π determido l proilità che l go cdedo sul foglio icotri u rett. Altri esempi di ppliczioi soo el cmpo dell lisi umeric e i prticolre oi ci occuperemo dell pprossimzioe del vlore di u itegrle defiito. Dispes di lortorio.s. 2006/07 doceti Cerisol Nicolett, De poli More

2 All presetzioe dei metodi d itegrzioe premettimo il seguete importte teorem, che permette di ricvre l fuzioe di desità di u v.c. Y trsformt medite u fuzioe mooto dell v.c. X dell qule soo ote cmpo di vrizioe e fuzioe di desità: Teorem Si X u v.c. cotiu defiit i [;] e co fuzioe di desità coosciut f(x) e si g(x) u fuzioe di trsformzioe mooto ttrverso l qule si costruisce l v.c. trsformt Y g(x). L fuzioe di desità dell v.c. trsformt Y è dt dll formul: f ( Y ) f ( X ) Dimostrzioe Assumimo che g(x) si u fuzioe mooto crescete i [;], duque il cmpo di vrizioe dell v.c. Y è: [g();g()] e può essere rppresetto grficmete i u sistem di ssi crtesii i cui i sciss si poe il cmpo di vrizioe di X ed i ordit, ivece, il cmpo di vrizioe di Y: Y g() y g(x) g() x X Poiché l fuzioe è mooto, esiste l su fuzioe ivers, che idichimo co g -1 (x), e che permette, cooscedo il vlore di Y, di ritorre l corrispodete vlore di X. Allor, clcolre l proilità dell eveto Y y equivle clcolre l proilità dell eveto X x, dove x è l determizioe dell v.c. X che h immgie ttrverso l fuzioe g(x) el vlore y, cioè xg -1 ( e duque vle l seguete cte di uguglize: (1) P(Y F(Y P(X x) P(< X x) P(< X g -1 () F(X g -1 () F(X) sitesi: (2) F(Y F(X g -1 () F(X) Dove, ovvimete, F(Y, F(X x) ho sigificto rispettivmete di fuzioe di riprtizioe dell v.c. Y e dell v.c. X. Derivimo rispetto y l ugugliz (2): Dispes di lortorio.s. 2006/07 doceti Cerisol Nicolett, De poli More

3 1 df ( Y X g ( ) X ) quest derivt l ultimo ddedo di destr: df ( X ) è ullo perché F(X) è u costte umeric, metre il termie di siistr df ( Y è l fuzioe di desità dell v.c. Y. Rime duque d derivre l qutità F(X g -1 (), che è u fuzioe compost e come si s l derivt di fuzioi composte è ugule l prodotto delle derivte: Y f ( Y 1 X x) dg ( * X x) * f ( X x) * Se g(x) è mooto decrescete, llor il cmpo di vrizioe dell v.c. Y è ivertito rispetto quello di X ed è: [g();g()] come mostr il seguete grfico Y g() y g(x) g() X x e duque: (3) P(Y F(Y P(X x) P(x< X ) P(g -1 (< X ) F(X ) F(X g -1 () Co pssggi loghi quelli precedeti si ottiee l ugugliz: Y f ( Y 1 X x) dg ( * X x) * f ( X x) * e poiché l fuzioe g(x) è mooto decrescete, llor l derivt prim di X rispetto y srà egtiv e duque tutto il prodotto risulterà positivo. geerle llor : Dispes di lortorio.s. 2006/07 doceti Cerisol Nicolett, De poli More

4 f ( Y f ( X x) * e co questo il teorem è dimostrto. L METODO DEL VALOR MEDO Se f ( x) o può essere clcolto co metodi diretti, llor, rifcedosi l teorem del vlor medio, si h: c [,] f(c) f ( x) d cui si ottiee f ( x) (-) f(c) dove 1 f(c) viee detto vlor medio di f(x) i [,]. U dell crtteristiche che deve vere u geertore di umeri pseudocsuli per essere cosiderto uoo è che restituisc vlori uiformemete distriuiti. Si llor X u vriile csule uiforme i [,] co desità di proilità f(x) 1 x 0 ltrove Se Yg(X) è u fuzioe cotiu, mooto e derivile llor l su fuzioe di desità di proilità è: f ( Y ) f ( X ) e il vlor medio (o sperz mtemtic) di Y o di g(x) risult essere: M(Y) M( g(x) ) g ( X ) f ( X ) g( X ) 1 1 g( X ) 1 oltre, poiché l medi cmpiori è uo stimtore corretto dell medi dell popolzioe, cosiderto u cmpioe di umeri pseudocsuli x 1, x 2,..., x uiformemete distriuiti i [;], si h M( g(x) ) i1 g( xi) e quidi (-) i1 g( xi) (1) e lim ( ) * + i 1 g( xi). l vlore dell itegrle è e pprossimto dll re di u rettgolo che h come se l itervllo d itegrzioe e come ltezz il vlore medio empirico di u successioe di vlori di ordit di puti sull curv g(x) clcolti prtire d u sequez di umeri pseudocsuli uiformemete distriuiti i [;]. Dispes di lortorio.s. 2006/07 doceti Cerisol Nicolett, De poli More

5 PROCEDMENTO RSOLUTVO Si dt l fuzioe g(x) di cui si oto g ( x) per poter effetture u cofroto tr il vlore effettivi dell itegrle e il vlore pprossimto; si geerio cmpioi csuli vi vi sempre più umerosi di umeri uiformemete distriuiti i [;] e, si vluti l (1) per ciscu cmpioe, verificdo poi che tle vlore tede ll umetre dell umerosità del cmpioe. Se L METODO DEL RETTANGOLO O N / OUT g ( x) o può essere clcolto co metodo diretti, llor, detto M il mssimo dell fuzioe f(x) ell itervllo [,], è possiile pprossimre medite il seguete metodo: Y y M g(x) X Si X u v.c. uiforme ell itervllo [,] e Y u v.c. uiforme ell itervllo [0,M], co Mmx[g(x)] i [;]. Si geero coppie ordite (xi,yi) che rppreseto le coordite di puti pprteeti l rettgolo dell figur. Degli puti, k vro ordit miore od ugule g(xi); il umero di questi puti (k) rpportto l umero totle di puti geerti () è l proilità frequetist dell eveto N il puto coordite pseudocsuli (xi,yi) cde ell porzioe di pio sottes dll curv g(x). ftti d ogi puto si può ssocire u prov dicotomic che h come esiti possiili l eveto N ed il suo complemetre e l prov, i virtù dell proprietà d idipedez dei geertori di umeri pseudocsuli, viee ripetut sempre elle medesime codizioi iizili per volte. k P f(n) L proilità teoric dell eveto A è dt ivece dl rpporto delle due ree rispettivmete: umertore l re sottes dll curv g(x) e deomitore l re del rettgolo ABCD circoscritto d, cioè: P(N) ( ) M e quidi Dispes di lortorio.s. 2006/07 doceti Cerisol Nicolett, De poli More

6 P f(n) D cui si ricv u pprossimzioe di : k ( ) M P(N) ( ) M * risult evidete che tle pprossimzioe miglior ll umetre di. CONFRONTO CON METOD MATEMATC due metodi di Motecrlo pplicti possoo essere cofrotti co i metodi mtemtici dei rettgoli, dei trpezi e delle prole. Fissti: y f(x) l fuzioe d itegrre; [,] l itervllo di itegrzioe; il umero di puti geerti (ei metodi di Motecrlo) il umero di prti i cui dividere [,] (ei metodi mtemtici) si dovrà cofrotre co i vlori pprossimti otteuti co i 5 metodi. k Dispes di lortorio.s. 2006/07 doceti Cerisol Nicolett, De poli More