2 Sistemi di equazioni lineari.

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1 Sistemi di equzioi lieri. efiizioe. Si dice equzioe liere elle icogite equzioe dell form () = o che (') i= i i = ove,,..., R si chimo coefficieti e R termie oto.,,..., ogi efiizioe. Si dice soluzioe dell'equzioe suddett ogi -pl ( ),,..., R tle che =. Idicto co S l'isieme delle soluzioi dell'equzioe (), cioè S = può ccdere che {(,,..., ) = 0}, ) S =, llor si dice che l () è icomptiile ovvero o mmette soluzioi; ) S = R, llor si dice che l () è u idetità ovvero ogi -pl di umeri reli è soluzioe di (); 3) S e S R e i tl cso lmeo uo dei coefficieti i è diverso d zero. Se, per esempio, è 0 dll () si ottiee = Pertto per ogi (-)-pl di vlori di, 3,...,, si h u vlore per, sicché, questo, isieme i vlori fissti i precedez, forisce u soluzioe dell (). t l'ritrrietà dell scelt di,...,, si ottegoo ifiiti vlori di e, 3 quidi ifiite soluzioi che dipedoo dgli - vlori fissti ritrrimete. Si dice llor che l () mmette soluzioi. efiizioe 3. Si dice che due equzioi lieri soo equivleti se l'isieme delle soluzioi dell'u è ugule quello dell'ltr. efiizioe 4. U'equzioe liere i icogite si dice omogee se il termie oto è ullo, cioè l equzioe è del tipo = 0 Più i geerle,,...,, possoo essere elemeti di u cmpo K. 9

2 o che i= = 0. i i Per u'equzioe liere omogee (i icogite) sussiste l Proposizioe. ) U equzioe liere omogee i icogite mmette sempre l soluzioe ( 0,0,..., 0), dett soluzioe ull o soluzioe le; ) se (,,..., ) è u soluzioe o le di ess, l -pl ( h,h,... ) è soluzioe dell'equzioe comuque si cosideri h R ; h 3) se (,,..., ) e (, z,..., z ) etrme o ulle) dell'equzioe l -pl ( + z, + z,..., + ) z soo due soluzioi idipedeti (e quidi z è soluzioe dell'equzioe. efiizioe 5. Si dice sistem liere di m equzioi i icogite u sistem del tipo + + K+ = + + K+ = (). + + K+ efiizioe 6. Si dice soluzioe di u sistem di equzioi lieri ogi -pl di umeri reli (,,..., ) che si cotemporemete soluzioe di ciscu equzioe dei sistem. Osservzioe defiizioe dt vle, i geere, per ogi tipo di sistem. efiizioe 7. U sistem di equzioi lieri (o più semplicemete sistem liere) si dice comptiile se mmette lmeo u soluzioe, ltrimeti si dice icomptiile. efiizioe 8. Cosiderto il sistem (), si dice mtrice dei coefficieti o mtrice icomplet del sistem o più semplicemete l mtrice del sistem, l mtrice = 0

3 A = m m m e mtrice dei coefficieti e termii oti o mtrice complet, l mtrice A' = m m m m più siteticmete per l mtrice A' si può scrivere ell form A' = A m. Itroducedo le mtrici colo X = e B = il sistem si può che scrivere ell form mtricile A X = B. efiizioe 9. ue sistemi lieri elle stesse icogite si dicoo equivleti se tutte le soluzioi dell'uo soo che tutte le soluzioi dell'ltro. efiizioe 0. Si dice che u'equzioe liere dei tipo c + c c = d dipede liermete dl sistem liere () se esiste u m-pl di umeri reli ( h,h,..., hm ) tele che c = h + h h dove i =,,...,. i d = h i i m mi + h hmm

4 Proposizioe. ue sistemi lieri elle stesse icogite soo equivleti se e solo se ogi equzioe dell'uo dipede liermete dll'ltro e vicevers. to u sistem liere, è possiile stilire se è comptiile o icomptiile utilizzdo l seguete Proposizioe 3. U sistem liere è comptiile se e solo se l mtrice icomplet e l mtrice complet del sistem ho lo stesso rgo. Per stilire, poi, qute soluzioi mmette u sistem liere comptiile si pplic l seguete Proposizioe 4. (Teorem di Rouchè Cpelli). Se p è il rgo (ugule) delle due mtrici del sistem liere di m equzioi i icogite può ccdere che I) p si ugule : i sistem mmette u e u sol soluzioe; II) p p è miore di : il sistem mmette soluzioi. Si omette l dimostrzioe. Allo scopo di forire u metodo risoluzioe dei sistemi lieri comptiili si dà l seguete. efiizioe. U sistem liere di m equzioi i icogite si dice sistem di Krmer se m = e l mtrice dl sistem h rgo. I tl cso il determite dell mtrice del sistem si dice determite del sistem (che ovvimete risult o ullo). Osservzioe. Per il teorem di Rouchè - Cpelli u sistem di Krmer è sempre comptiile. Si h, ioltre, l seguete Proposizioe 4. U sistem di Krmer del tipo j = mmette u e u sol soluzioe dt d j j = ove = deta (essedo A = ij ij j = i co i =,,..., j =,,..., colo j-m co quell del termii oti,,...,. I. ) e il determite otteuto d sostituedo l j

5 Il sistem () si può scrivere, come s'è già detto, ell form mtricile A X = B. Cosidert l mtrice ivers A - (che certmete esiste), si h A - A X = A - B d cui (3) X = A - B. Idicdo co il cofttore di ell mtrice A, i virtù dell proposizioe 3.3, si h co i,j =,,,. Pertto l (3) divet ij ij A - = ji = = d cui = j + j j j j = =. (j =,,,) I geerle per risolvere u sistem liere di m equzioi i icogite comptiile si procede come segue: si A X = B p il sistem co A = ij co i =,,..., m e j =,,..., p p e si p il rgo di A. Se è u miore fodmetle di A, esso si dice determite crtteristico del sistem. e equzioi corrispodeti lle p righe di pricipli e le icogite corrispodeti lle p coloe di si dicoo equzioi icogite pricipli. e restti equzioi e le restti icogite si dicoo rispettivmete equzioi secodrie e icogite secodrie. Si cosider, llor, il sistem (equivlete l dto) delle p equzioi pricipli elle p icogite pricipli scelte che è u sistem di Krmer, essedo il suo determite 3

6 il determite crtteristico del sistem. Pertto esso mmette u e u sol soluzioe. p. Se p =, l'uic soluzioe del suddetto sistem è che l'uic soluzioe del sistem dto;. se p <, l' uic soluzioe del sistem otteuto dipede dlle -p icogite secodrie lle quli si possoo ttriuire vlori ritrri. Ordido i p vlori dell suddett soluzioe e gli -p delle icogite secodrie, si ottiee u p soluzioe del sistem dto. e soluzioi di quest'ultimo si ottegoo l vrire degli -p vlori ritrri delle icogite secodrie. efiizioe. U sistem liere di m equzioi i icogite si dice ormle se il rgo dell mtrice icomplet è ugule l umero delle sue equzioi. Osservzioe 3. U sistem liere di m equzioi i icogite ormle co m è sempre comptiile. Ioltre. se m = esso mmette u e u sol soluzioe, i quto è u sistem di Krmer; m. se m < mmette soluzioi per il teorem di Rouchè Cpelli. efiizioe 3. U sistem liere del tipo o che j = si dice sistem liere omogeeo. ij j = 0 i =,,..., A X = 0 E evidete che per u sistem liere omogeeo l mtrice icomplet e l mtrice ho sempre lo stesso rgo i quto l mtrice B = 0 ; quidi è sempre comptiile mmette lmeo l soluzioe ( 0,0,..., 0), dett soluzioe ull o le. E' iteresste stilire se u tle sistem mmette soluzioi diverse d quell le. A tl proposito si h l seguete Proposizioe 5. U sistem liere omogeeo di m equzioi i icogite A X = 0 mmette soluzioi diverse d quell le se e solo se il rgo dell mtrice A è miore di. I. Segue pplicdo il teorem di Rouchè Cpelli. 4

7 ,,..., e z,z,..., z soo soluzioi di u sistem liere omogeeo i icogite, esse si dicoo liermete dipedeti se esiste u umero rele h (o ullo) tle che i = h zi ( i =,,...,), ltrimeti si dicoo liermete idipedeti. efiizioe 4. Se ( ) ( ) efiizioe 5. Se (,,..., ) co s =,,..., r s s s soo r soluzioi di u sistem liere omogeeo i icogite, esse si dicoo liermete dipedeti se lmeo u è comizioe liere delle rimeti, cioè, per esempio, esistoo r- umeri reli h, h,..., h r tli che = h + h h r r r = h = h + h + h h h ltrimeti si dicoo liermete idipedeti. Sussistoo,pertto, le segueti Proposizioe 6. Se u sistem liere omogeeo di m equzioi i icogite p mmette soluzioi (essedo p il rgo del sistem) tutte e sole le soluzioi soo dte dll comizioe liere -p soluzioi ote liermete idipedeti. Proposizioe 7. Se u sistem liere omogeeo h m equzioi e m+ icogite ed ormle, llor esso mmette soluzioi diverse dll le e precismete ; u prticolre soluzioe è l (m+) - pl costituit di miori (j =,,,m,m+) otteuti dll mtrice del sistem sopprimedo vi vi le coloe e presi co segi lteri, cioè,-, 3,- 4,,(-) m. r r r ( r ) ( r ) ( r ) m+ j 5