NECESSITÀ DEI LOGARITMI

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1 NECESSITÀ DEI LOGARITMI Nelle equzioi espoezili he imo risolto sior er sempre possiile ridursi equzioi i ui si vev l stess se, l equzioe divetv lgeri sempliemete uguglido gli espoeti. M o tutte le equzioi soo espoezili soo riduiili, ei si o riduiili è eessrio itrodurre il oetto di ritmo. U semplie esempio di equzioe o riduiile è il seguete: Cos possimo dire dell soluzioe di quest equzioe? o è u potez dirett di, però dto he < < Quidi vremo possimo dire he srà,... < < e quidi he < < i ui oosimo lmeo l prte iter. Nell figur qui sotto si vede ome idividure grfimete il vlore di Dll figur si vede he è u sol soluzioe ll equzioe e he < <, Co u loltrie sietifi è possiile lolre il vlore di sio 0 ifre, o l loltrie di u PC si ottiee:, Nei loli mtemtii si itrodue u uov operzioe: il ritmo proprio per rppresetre i modo estto tle vlore. Si die quidi he: IL LOGARITMO IN BASE DI È QUEL NUMERO TALE CHE equivle I questo esempio l se del ritmo è, l rgometo del ritmo è. Si può geerlizzre il rgiometo ftto itroduedo u se quluque e u rgometo quluque, os he port ll defiizioe più geerle di ritmo dt ell pgi seguete. I ritmi prte prim pg. di

2 DEFINIZIONE DI LOGARITMO IL LOGARITMO IN BASE È QUEL NUMERO TALE CHE DI equivle L se deve soddisfre lle odizioi 0 < < > L rgometo deve soddisfre l odizioe > 0 Dll defiizioe dt dovree essere hiro he il ritmo è u espoete. Alui ritmi possoo essere lolti sempliemete pssdo dll equzioe ritmi quell espoezile. Esempi: Possimo quidi dire he, dto he Quidi, dto he Quidi 6 6, dto he 6 6 Eserizi per lo studete diligete: sul liro di testo pg. 7 o umeri o umeri o umeri I ritmi prte prim pg. di

3 PRIME PROPRIETÀ DEI LOGARITMI Dll defiizioe di ritmo seguoo immeditmete le proprietà segueti, d riordre memori. PROPRIETÀ DEI LOGARITMI ossi 0 QED PROPRIETÀ DEI LOGARITMI ossi QED PROPRIETÀ DEI LOGARITMI ossi QED Quod Ert Demostrdum I ritmi prte prim pg. di

4 ALTRE PROPRIETÀ DEI LOGARITMI I ritmi ho ltre proprietà importti (he vo memorizzte). 4 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI LOGARITMO DI UN PRODOTTO + Il ritmo di u prodotto è ugule ll somm dei ritmi dei sigoli fttori. Poimo: e Allor vremo: e Quidi: QED PROPRIETÀ DEI LOGARITMI LOGARITMO DI UN RAPPORTO Il ritmo di u prodotto è ugule ll differez dei ritmi dei sigoli fttori. Poimo: e Allor vremo: e Quidi: QED Le proprietà 4 e esprimoo le proprietà delle poteze el so del prodotto e del rpporto. Riorddo he i ritmi soo degli espoeti, quelle soo pputo le proprietà degli espoeti. Esempi: + I ritmi prte seod pg. di

5 6 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI LOGARITMO DI UNA POTENZA Il ritmo di u potez è ugule ll espoete dell potez moltiplito per il ritmo dell se Poimo: Allor vremo: Elevimo d etrmi i memri: ( ) Mettedo i form ritmi vremo: QED 7 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI LOGARITMO DI UNA RADICE Il ritmo di u rdie è ugule ll iverso dell idie dell rdie moltiplito per il ritmo Poimo: Allor vremo: Elevimo etrmi i memri: ( ) Mettedo i form ritmi vremo: QED 8 PROPRIETÀ DEI LOGARITMI mimeto di se Poimo: e Allor vremo: e Quidi: ( ) ossi i form ritmi: QED I ritmi prte seod pg. di

6 QUADRO RIASSUNTIVO PROPRIETÀ DEI LOGARITMI 0 PRODOTTO + RAPPORTO POTENZA DI ESPONENTE RADICE DI INDICE CAMBIAMENTO DI BASE

7 EQUAZIONI LOGARITMICHE Le equzioi ritmihe soo equzioi i ui l iogit si trov ell rgometo (o ell se) di uo o più ritmi. U primo metodo per risolvere u equzioe ritmi è quello di erre di riodurl ll form: f ( ) g( ) I quest form le espressioi d espoete f ( ) e ( ) (poliomi, frzioi, umeri ) g soo espressioi lgerihe i Notre he i quest equzioe l se del ritmo è l stess i etrmi i memri dell equzioe; dto he i ritmi ho lo stesso vlore ed ho ugule se devoo vere he ugule rgometo. L equzioe si risolverà quidi uguglido gli espoeti f ( ) g( ) ( ) g( f ) L equzioe osì otteut è lgeri e quidi si risolve o i metodi già oti. Per otteere u uio ritmo si siistr he destr dell ugule si utilizzo i modo opportuo le proprietà dei ritmi. Le soluzioi otteute vo poi otrollte. Se u di esse rede egtivo l rgometo o l se di lmeo uo dei ritmi el testo iizile llor tle soluzioe o è ettile. NB: D qui i poi il termie sez esprimere l se idi il ritmo i se 0: 0.. esempio ( ) + ( + 6) ( + ) pplido l proprietà del prodotto l equzioe divet: ( )( + 6) ( or possimo uguglire gli rgometi : ( )( + 6) ( + ) quidi: o l formul ridott: Cotrollo delle soluzioi, ± + 7 ± + ) 4. iserit el primo ritmo del testo forise ( ) o rgometo egtivo, quidi o è ettile ome soluzioe.. iserit ei tre ritmi del testo forise tutti rgometi positivi, quidi è ettile. Cè quidi u sol soluzioe:.. Equzioi ritmihe pg. + 4

8 esempio ( 6 + 0) ( 6 ) ( 4 ) Coviee spostre d prte oppost dell ugule i ritmi o sego meo dvti, i modo d verli poi ol sego più e poter pplire l proprietà del prodotto: ( 6 + 0) + ( 4 ) + ( 6 ) pplido l proprietà del prodotto l equzioe divet: ( 6 + 0) ( 4 )( 6 or possimo uguglire gli rgometi : ( 6 + 0) ( 4 )( 6 ) quidi: ) o l formul ridott Cotrollo delle soluzioi, ± + 6 ± + 8. iserit ei ritmi del testo forise tutti gli rgometi positivi, quidi è ettile.. +8 iserit i ( forise o rgometo egtivo, quidi o è ettile. C è u sol soluzioe: 4 ) ( 4).. esempio ( 8 + ) ( + 6) ( 4 ) + Coviee spostre d prte oppost dell ugule i ritmi o sego meo dvti, i modo d verli poi ol sego più e poter pplire l proprietà del prodotto: ( 8 + ) ( 4 + ) + ( + 6) pplido l proprietà del prodotto l equzioe divet: ( 8 + ) ( 4 + )( 6) or possimo uguglire gli rgometi : ( 8 + ) ( 4 + )( + 6) + quidi: o l formul ridott Cotrollo delle soluzioi.., ± 6 60 ± 8 8 iserit ei tre ritmi del testo forise tutti gli rgometi positivi, quidi è ettile. 4 iserit ei tre ritmi del testo forise tutti gli rgometi positivi, quidi è ettile. Ci soo quidi due soluzioi: e Equzioi ritmihe pg.

9 esempio 4 ( ) ( 4 ) ( 8 ) Coviee spostre d prte oppost dell ugule i ritmi o sego meo dvti, i modo d verli poi ol sego più e poter pplire l proprietà del prodotto: ( ) ( 8 ) + ( 4 ) pplido siistr l proprietà dell espoete e destr l proprietà del prodotto l equzioe divet: ( ) ( 8 )( 4 ) or possimo uguglire gli rgometi : ( ) ( 8 )( 4 ) quidi: o l formul ridott Cotrollo delle soluzioi.., ± 6 66 ± iserit ei ritmi del testo forise tutti gli rgometi uguli, quidi è ettile. iserit i ( ) forise o rgometo egtivo, quidi o è 8 7 ettile. C è u sol soluzioe:.. ESERCIZI PER LO STUDENTE DILIGENTE Co gli stessi metodi degli esempi - 4 risolvere gli eserizi del liro di testo pg. 78 umeri ULTERIORI ESERCIZI: pg. 78 umeri 07.. Equzioi ritmihe pg.

10 ALTRI TIPI DI EQUAZIONI LOGARITMICHE Le equzioi ritmihe soo poi risolviili, seod dei si, o diversi ltri metodi. Vedimo lui esempi he si possoo presetre. Eserizio 0 pg. 78 ( 6 + ) ( 6 + ) + il umero v trsformto h esso i ritmo, ome fre? Utilizzdo l proprietà: possimo trsformrlo osì: otteedo: ( 6 + ) + ( 6 + ) + 4 pplido l proprietà del prodotto l equzioe divet: ( 6 + ) 4 or possimo uguglire gli rgometi : ( 6 + ) 4 quidi: Cotrollo delle soluzioi., ± ± 7 8 iserit ei ritmi del testo forise tutti rgometi positivi, quidi è ettile.. 4 iserit ei ritmi del testo forise tutti rgometi positivi, quidi è ettile. Due soluzioi: e 4.. CAMBIAMENTO DI VARIABILE eserizio pg osì fedo l equzioe divet lgeri: + ( )( + ) oviee porre: (*) + + mm + ( )( + ) ( )( + ) ( + ) 0 4 equzioe frtt C.E. 0 e ettili Or doimo torre l mimeto di vriile (*) per determire i vlori di so: so: Altri tipi di equzioi ritmihe pg.

11 CAMBIAMENTO DI BASE es. pg Riduimo i ritmi ell stess se. Siome le tre si soo poteze di, usimo ome se omue proprio e usimo l formul del mimeto di se dei ritmi. 4 e 8 quidi l equzioe divet: mm es. pg. 7 ( ) ( ) 7 Trsformimo i ritmo se : ( ) quidi l equzioe divet: ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 7 ( ) ( ) 7 mm ( ) ( ) es. 0 pg Riduimo i ritmi ell stess se. Usimo ome se omue proprio e usimo l formul del mimeto di se dei ritmi. 8 quidi l equzioe divet: mm +.. Altri tipi di equzioi ritmihe pg.