Le operazioni fondamentali in N Basic Arithmetic Operations in N

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1 Operzioi fodetli i - 1 Le operzioi fodetli i Bsic Arithetic Opertios i I geerle u operzioe è u procedieto che due o più ueri, dti i u certo ordie e detti terii dell'operzioe, e ssoci u ltro, detto risultto dell'operzioe.. (;b) c co (; b; c) Quello che cbi d operzioe d operzioe è il procedieto. Ogi divers operzioe è cotrddistit d u proprio sibolo. Soo itere ll isiee dei ueri turli le operzioi il cui risultto è cor u uero turle. Si dice, ioltre, che l isiee è chiuso per queste operzioi. Tvol rissutiv dell oecltur utilizzt. (;b) (c;d) terii risultto proprietà sibol o ddizioe + ddedi so totle sottrzioe - iuedo sottredo oltipliczioe x fttori (oltiplicdo *, oltiplictore) divisioe : / eleveto ^ potez ** estrzioe di rdice logrito log l dividedo divisore bse espoete idice rdicdo bse potez differez resto prodotto quoto quoziete potez rdicle (bse cerct) logrito (espoete cercto) couttiv ssocitiv dissocitiv ivritiv couttiv ssocitiv dissocitiv distributiv ivritiv distributiv o soo qui riportte per problei di spzio le proprietà di queste operzioi.

2 Operzioi fodetli i - 2 Le quttro operzioi fodetli Addizioe L'ddizioe è l'operzioe che dti due ueri qulsisi, detti ddedi, e ssoci u terzo, detto so o totle, otteuto cotdo dopo l prio ddedo tte uità qute soo quelle del secodo. L'ddizioe è iter! L'isiee è chiuso rispetto ll'ddizioe. (3+2) (5+8) Sottrzioe L sottrzioe è l'operzioe che dti due ueri qulsisi i u dto ordie (iuedo > sottredo; ltrieti Z), detti iuedo e sottredo, e ssoci u terzo, detto differez o resto, otteuto togliedo l iuedo tte uità qute soo quelle del sottredo. L sottrzioe o è iter! L'isiee o è chiuso rispetto ll (5-2) sottrzioe (Z). (2-5) Sottrzioe co risultto i Z. Per eseguire l sottrzioe co il iuedo iore del sottredo, si esegue l differez dei due ueri (ggiore - iore) e si ttribuisce l risultto il sego egtivo. (+) 3 + (-) 8 = 3-8 = -5 (perché 8-3=5) Moltipliczioe L oltipliczioe è l'operzioe che dti due ueri qulsisi, detti fttori (o oltiplicdo e oltiplictore), e ssoci u terzo, detto prodotto, otteuto ddiziodo tte volte le uità del prio qute soo le uità del secodo x3 = volte = L oltipliczioe è iter! L'isiee è chiuso rispetto ll oltipliczioe. (3x2) (5x8) Divisioe L divisioe è l'operzioe che dti due ueri qulsisi i u dto ordie, detti dividedo e divisore, e ssoci u terzo, detto quoto o quoziete (risultto i e Q), otteuto rggruppdo i tte prti qute e richiede il divisore oppure cotdo qute prti si possoo otteere, coposte d tte uità qute e idic il divisore. L divisioe o è iter! L'isiee o è chiuso rispetto ll divisioe (8 2) (Q). (5 2) Se u uero è ultiplo di u uero b, diverso d 0, si dice quoto o quoziete estto quel uero q che oltiplicto per b d coe risultto. L divisioe o dà resto! Quidi: = b x q (12:3=4 quidi 12=3x4) Se i due ueri soo tli che o si ultiplo di b, si dice quoziete o quoziete pprossito quel uero che oltiplicto per b dà u prodotto iore di. I questo cso l divisioe dà u resto r diverso d zero! Quidi: = b x q + r (11:5=2 resto 1 quidi 11=2x5+1)

3 Proprietà delle quttro operzioi fodetli Addizioe couttiv I u ddizioe cbido l'ordie degli ddedi l so o cbi. + b = b + (, b) Operzioi fodetli i = Addizioe ssocitiv Sostituedo due o più ddedi l loro so il risultto dell ddizioe o cbi ( + b ) + c = + (b + c) (, b) = = = Addizioe dissocitiv I u ddizioe sostituedo u ddedo due o più ddedi l cui so si l ddedo sostituito il risultto (l so) o cbi + b = + c + d dove b = c + d = Moltipliczioe couttiv I u oltipliczioe cbido l'ordie dei fttori il prodotto o cbi. b = b (, b) 2 x 3 = 3 x 2 Moltipliczioe ssocitiv Sostituedo due o più fttori il loro prodotto il risultto dell oltipliczioe o cbi. ( b) c = (b c) 2 x 5 x 7 = 10 x 7 = 2 x 35 = 14 x 5 Moltipliczioe dissocitiv I u oltipliczioe sostituedo u fttore due o più fttori il cui prodotto si il fttore sostituito il risultto (il prodotto) o cbi. b = c d dove b = c d 24 x 8 = 6 x 4 x 8 Moltipliczioe distributiv Per oltiplicre u uero per i terii di u ddizioe (o di u sottrzioe) è possibile clcolre il prodotto del fttore dto per ogi sigolo terie dell'ddizioe (o sottrzioe) e poi sorli (o sottrrli). (b ± c) = (b ± c) = ( b) ± ( c) 5 (3 + 2) = (3 + 2) 5 = (5 3) + (5 2) = = 25 7 (4-2) = (4-2) 7 = (7 4) - (7 2) = = 14 Sottrzioe ivritiv Sodo o sottredo uo stesso uero i due terii di u sottrzioe il risultto o cbi. - b = ( ± c) - (b ± c) (8-5) = (8 + 5) - (5 + 5) = = 3 (8-5)= (8-5) - (5-5) = 3-0 = 3 Divisioe ivritiv Dividedo o oltiplicdo per uo stesso uero i due terii di u divisioe il risultto o cbi b = ( c) (b c) = ( c) (b c) Divisioe distributiv Per dividere i terii di u ddizioe (o sottrzioe) per u uero è possibile eseguire l divisioe di ogi sigolo terie dell'ddizioe (o sottrzioe) per il divisore dto e poi sorli (o sottrrli) ( ± b) c = ( c) ± ( b c)

4 Operzioi fodetli i - 4 Operzioe di eleveto potez L'eleveto potez è l'operzioe che dti due ueri qulsisi, i u dto ordie e detti bse ed espoete, e ssoci u terzo detto potez, che si ottiee oltiplicdo l bse per sé stess tte volte qudo idic l'espoete. Il clcolo dell potez di u uero (bse) si esegue coe prodotto di tti fttori uguli ll bse quti e idic l'espoete. I geerle: = b = (... ) -volte co (;) L'eleveto potez è iter! L'isiee è chiuso rispetto ll'eleveto potez. Proprietà delle poteze Il prodotto di poteze veti l stess bse é u potez che h per bse l stess bse e per espoete l so degli espoeti: x y = x+y Esepio: = = 3 6 perché = = 3 6 Il quoziete di poteze veti l stess bse é u potez che h per bse l stess bse e per espoete l differez degli espoeti: x y = x-y Esepio: 3 4 :3 2 = = 3 2 perché 3 4 :3 2 = ( ):(3 3)= 3 2 L potez di u potez é u potez che h per bse l stess bse e per espoete il prodotto degli espoeti: ( x ) y = xy Esepio: (5 2 ) 3 = = 5 6 perché (5 5) 3 = (5 5) (5 5) (5 5)= 5 6 Il prodotto di poteze co lo stesso espoete é u potez che h per espoete lo stesso espoete e per bse il prodotto delle bsi: x b x = ( b) x Il quoziete di poteze co lo stesso espoete é u potez che h per espoete lo stesso espoete e per bse il quoziete delle bsi: x b x = ( b) x Qulsisi potez co espoete 1 è l bse. b 1 = b e quidi b = b 1 Qulsisi potez co espoete 0 è pri 1. 0 = 1 L 0 0 potez è priv di sigificto! 0 0 => priv di sigificto Qulsisi potez co bse 1 è 1. 1 = 1 Qulsisi potez co bse 0 ed espoete diverso d zero è = 0 ( )

5 Operzioi fodetli i - 5 Estrzioe di rdice E' dett rdice ritetic eesi (, che, di idice ) di u uero rele, u secodo uero rele (se esiste), b, tle che l potez eesi di questo si ugule d. Si scrive = b che equivle b = e che può essere posto sotto l for b = 1/ = = b Il uero che copre sotto il sego di rdice è detto rdicdo Esepio: 2 3 = 8 x 3 = 8 d dove 3 8 = 2 L rdice o è iter! L'isiee o è chiuso rispetto ll rdice (I). Proprietà b c = b c b = = b = b ( ) = = = + b Logrito Dicesi logrito di u uero, i u dt bse, l'espoete cui si deve elevre l bse per otteere il uero dto. Se fr tre ueri >1, b>0 e x itercede u relzioe espoezile del tipo: x =b x è detto logrito i bse di b, e si scrive: log b = x Esepio: 2 3 = 8 2 x = 8 d dove log 2 8 = 3 Il logrito o è iter! L'isiee o è chiuso rispetto l logrito. Proprietà log ( b c...) = log + log b + log c +... log ( b) = log - log b log = log log = 1 log

6 Operzioi fodetli i - 6 Legge di Hkel Perché 0 = 1? Per l legge di Hkel ed u po' di buo seso tetico. H. Hkel ( ) stbilì il pricipio di perez delle regole del clcolo. Se ell tetic si vuole geerlizzre u cocetto l di là dell su origiri defiizioe, bisog scegliere, tr tutti i odi possibili, quello che perette di coservre iutte le regole del clcolo el più esteso uero dei csi. Poteze di 10 Prticolre iportz ssuoo le poteze del uero 10, poiché perettoo di seplificre l scrittur di ueri grdissii e piccolissii. Trdurre u potez di dieci i uero iftti è seplice: escludedo l'espoete zero del prio uero 10 0, si può verificre che il uero delle uità di ogi espoete è ugule l uero di zeri del risultto! 10 6 = I ueri possoo essere scritti quidi i for polioile secodo quest regol: = 2 x x x x 10 0 Prefissi iterzioli TERA T GIGA G MEGA M (MIRIA CHILO k ETTO h DECA d uità DECI d ,1 CETI c ,01 MILLI ,001 MICRO µ , AO , PICO p , FEMTO f , ATTO , Vedi il docueto sulle poteze di 10 dispoibile su

7 Operzioi fodetli i - 7 Frequetly Asked Questios i Mthetics The Sci.Mth FAQ Te AMES OF LARGE UMBERS ig for 10**k: k Aeric Europe SI--Prefix -24 Yocto -21 Zepto -18 QUITILLIOTH Atto -15 QUADRILLIOTH Feto -12 TRILLIOTH Pico -9 BILLIOTH o -6 MILLIOTH Micro -3 THOUSADTH Milli -2 HUDREDTH Ceti -1 TETH Deci 1 TE Dec 2 HUDRED Hecto 3 THOUSAD Kilo 4 Myri (?) 6 Millio Millio Meg 9 Billio Millird Gig I itly (Thousd Millirds) 12 Trillio Billio Ter 15 Qudrillio Billird Pet 18 Quitillio Trillio Ex 21 Sextillio Trillird Zett 24 Septillio Qudrillio Yott 27 Octillio Qudrillird 30 oillio Quitillio (ovetillio) 33 Decillio Quitillird 36 UDECILLIO Sextillio 39 DUODECILLIO Sextillird 42 tredecillio Septillio 45 quttuordecillio Septillird 48 quidecillio Octillio 51 sexdecillio Octillird 54 septedecillio oillio (ovetillio) 57 octodecillio oillird (ovetillird) 60 ovedecillio Decillio 63 VIGITILLIO Decillird 6* (2-1)-illio -illio 6*+3 (2)-illio -illird 100 Googol Googol 303 CETILLIO 600 CETILLIO 10^100 Googolplex Googolplex The Aeric syste is used i: US,... The Europe syste is used i: Austri, Belgiu, Chile, Gery, the etherlds, Itly (see exceptio) Scdivi

8 Operzioi fodetli i - 8 Lo zero e l'uo Lo zero e l'uo soo due ueri prticolri che ssuoo coporteti diversi elle operzioi e che occorre vere be chiri. Lo zero ddizioe eleeto eutro + 0 = 0 + = sottrzioe eleeto eutro destr - 0 = oltipliczioe eleeto ssorbete x 0 = 0 x = divisioe se dividedo dà 0 0 = 0 perché x 0 = 0 10 : 2 = 5 sigific che 5 *2 = 10 6 : 3 = 2 sigific che 2 *3 = 6 0 : 9 = x sigific x * 9 = 0 divisioe se divisore errore 0 = Ipossibile -> perché o esiste essu uero che per zero di u uero 10 : 2 = 5 sigific che 5 *2 = 10 6 : 3 = 2 sigific che 2 *3 = 6 7 : 0 = x sigific x * 0 = 5???? divisioe se dividedo e divisore 0 0 = ideterit elev. potez Bse 0 = 0 co 0 elev. potez Espoete 0 = 1 co 0 elev. potez bse e espoete 0 0 o h seso rdice Rdicdo 0 = 0 L'uo ddizioe Successivo + 1 > sottrzioe Precedete - 1 < oltipliczioe eleeto eutro x 1= 1 x = divisioe eutro destr 1 = perché x 1 = divisioe iverso siistr 1 = 1/ elev. potez Bse 1 = 1 elev. potez Espoete 1 = quidi = 1 rdice Rdicdo 1 = 1 perché 1 =1 logrito potez = 1 log 1 = 0 logrito bse = potez log = 1 Cosult per i csi più iteressti thforu.org/dr.th/fq/fq.divideby0.htl (Ask Dr. Mth) (Ripsso tetic) www2.polito.it/didttic/polyth/htls/rgoet/apputi/testi/feb_03/apputi.htm (PolyMth)

9 Ricerc terii icogiti Operzioi fodetli i - 9 Eseguire u operzioe sigific cercre il risultto. E' couque possibile rislire l vlore "icogito" di uo dei terii dell'operzioe qudo si coosce il risultto e gli ltri terii. Quest deterizioe si f utilizzdo u procedieto "iverso" rispetto quello usule. Usulete si idic il terie icogito (icogit) co u delle segueti lettere iuscole: x, y o z. per tture questo si scrive l'egugliz reltiv ll'operzioe idicdo il terie icogito co l x. Esepio: x + 3 = 5 Quidi usdo le operzioi iverse o ricoducedole csi siili si risolve.