Calcolo combinatorio. Definizione

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1 Clcolo comitorio Lortorio di Bioiformtic Corso A 5-6 Defiizioe Il Clcolo Comitorio è l isieme delle teciche che permettoo di cotre efficietemete il umero di possiili scelte, comizioi, lliemeti etc. di oggetti scelti d isiemi co u umero fiito di elemeti. Esempio: cotre qute diverse coloe del totoclcio si possoo giocre.

2 Pricipi del coteggio regole del gioco) Pricipio: Addizioe Se u oggetto può essere scelto i p modi d u isieme A e i q modi d u isieme B, B disgiuto d A, llor esso può essere scelto i pq modi diversi I ltre prole: se A cotiee p elemeti e B e cotiee q e Allor A B A B cotiee pq elemeti

3 Esempio Si A l isieme delle vocli e B l isieme delle cosoti dell lfeto itlio. A cotiee 5 elemeti e B e cotiee 6. Se scelgo u quluque letter dell lfeto ho possiilità di scelt. Pricipio: Moltipliczioe versioe semplifict) Se A è u isieme di p oggetti e B u isieme di q oggetti, llor l isieme delle coppie ordite,), co A e B, cotiee p x q elemeti. Esempio: Qute coppie ordite di possoo formte dgli isiemi AB{x,y,z}? x,x) x,y) x,z) y,x) y,y) y,z) z,x) z,y) z,z) p q, p x q 9

4 Complichimo l esempio Prolem: Qute prole di lettere si possoo scrivere utilizzdo solo le 4 lettere,, c, d? Soluzioe: scrivimole tutte e poi le cotimo. A AA AB AC AD AAA AAB AAC AAD ABA ABB ABC ABD ACA ACB ACC ACD ADA ADB ADC ADD B C BA BB BC BD CA CB CC CD BAA BAB BAC BAD BBA BBB BBC BBD BCA BCB BCC BCD BDA BDB BDC BDD 64x44 CAA CAB CAC CAD CBA CBB CBC CBD CCA CCB CCC CCD CDA CDB CDC CDD 644 D DA DB DC DD DAA DAB DAC DAD DBA DBB DBC DBD DCA DCB DCC DCD DDA DDB DDC DDD 4

5 Pricipio dell Moltipliczioe Se u oggetto si form fcedo u successioe di scelte tli che ci sio possiilità per l prim scelt, per l secod,.., e per l -esim scelt, llor il umero complessivo di oggetti che si possoo formre è dto dl prodotto x x x Esercizio I u ristorte c è u meu prezzo fisso composto d tipsto, primo, secodo dolce. Il meu propoe l cliete l scelt tr tipsti, primi, secodi e 4 dolci. Quti przi diversi si possoo scegliere co questo meu? xxx4 5

6 Esercizio Qute prole di 4 lettere si possoo formre co le lettere dell lfeto itlio i modo che l prol si formt d cosote-vocle-cosote-vocle? 6x5x6x5 E se o voglimo che l stess letter compi due volte? 6x5x5x4 Esercizio Clcolre qute coloe differeti si possoo giocre l totoclcio. Per ogu delle prtite possimo scegliere u risultto tr i possiili {,,X}. # coloe x x x 594. volte 6

7 Disposizioi co ripetizioe Si S u isieme co elemeti distiguiili). U disposizioe co ripetizioe di lughezz di elemeti di S è u scelt ordit di elemeti di S o ecessrimete distiti). -uple ordite d elemeti Esempio: u colo del totoclcio è u disposizioe di lughezz di elemeti dell isieme {,,X} Disposizioi co ripetizioe Qute disposizioi di lughezz si possoo otteere d u isieme di elemeti? DR x x x volte 7

8 Isieme delle prti Voglimo rispodere quest domd: quti sottoisiemi h u isieme co elemeti? Esempio: S {,,X} Sottoisiemi: Ø, {}, {}, {X}, {,}, {,X}, {,X}, {,,X} L isieme delle prti di S h 8 elemeti Rppresetzioe di u sottoisieme ) Si No No No Si No No Si No No Rppreset il sottoisieme {,5,8} # sottoisiemi di S umero di disposizioi co ripetizioi di lughezz dell isieme {Si, No} 8

9 Esercizio Qute soo le prole di 7 lettere costruiili utilizzdo tutte le lettere dell'lfeto itlio, m sez ripetizioe cioè col vicolo di o utilizzre più di u volt u stess letter i u prol? Es: iuole OK iuol NO Rispost: x x 9 x 8 x 7 x 6 x5 Disposizioe semplice S è u isieme co elemeti distiguiili). U disposizioe semplice di lughezz, ) di elemeti di S è u scelt ordit di elemeti di S ell qule o si possoo vere ripetizioi di uo stesso oggetto. disposizioe semplice di elemeti su posti 9

10 Disposizioi semplici Il umero di disposizioi semplice di oggetti scelti tr e e dto d D x -) x x x -) volte Esercizio Qute ciquie si possoo estrrre el gioco del lotto? Soo disposizioi sez ripetizioe: # ciquie 9 x 89 x 88 x 87 x

11 Permutzioi U permutzioe di u isieme di oggetti è u qulsisi ordimeto dei suoi elemeti oguo cosiderto u ed u sol volt. Ad esempio le permutzioi degli elemeti dell'isieme {,,c} c, c, c, c, c, c I ltre prole u permutzioe è u disposizioe sez ripetizioe di tr oggetti. Esempio Suppoimo che 6 corridori greggio sui metri. Quli soo i possiili ordii di rrivo? S{Atoio, Bruo, Crlo, Dvide, Erico, Filippo} A,B,C,D,E,F), A,B,C,D,F,E), D,E,F,C,B,A), Soo tutte le permutzioi di 6 oggetti.

12 Permutzioi Qute soo le permutzioi di u isieme co oggetti? P x -) x.x x Questo umero si chim fttorile di e si idic co il simolo! Fttorile Si {,,, } N U {}. Si defiisce fttorile e si idic!) il umero!! x -) x.x x Ad esempio: :!,! x,! x x 6! 688,!,4 x 47

13 Osservzioi sul fttorile! -)!!) )!!)! Iftti!) 6, )! 9! 688,!)! 7 Per >! ) K )! !! Osservzioe importte Il umero di disposizioi semplici si può scrivere: D ) K )! )!

14 Comizioi U comizioe semplice di clsse degli elemeti di u isieme S è u quluque sottoisieme di S formto d elemeti. elemeti presi IDEA BASE: Disposizioi: l ordie è importte Comizioi: l ordie o è importte Esempio Si S{,,, 4, 5} e si. Le tere ordite,, ) e,,) soo due disposizioi diverse, metre i sottoisiemi {,,} e {,,} soo l stess comizioe. 4

15 Comizioi Il umero di comizioi semplici di oggetti presi cioè le comizioi di clsse di oggetti) è C D ) K )!!!! )! Questi umeri vegoo detti coefficieti iomili idicti co il simolo!! )! Esercizio 4 Co i 9 umeri del lotto quti teri posso costruire? Rispost: C 9 9!!87! !

16 6 Il coefficiete iomile Proprietà!!! )!!! )!!! Perché si chim coefficiete iomile? Voglimo clcolre l potez di u iomio: ) ) ) ) ) K C C K K C è il umero di modi ei quli posso scegliere volte tr fttori C

17 7 Formul file ) ) ) Alcue Alcue verifiche verifiche ) Acor sull isieme delle prti Per cotre i sottoisiemi di u isieme composto d elemeti potremmo sommre il umero di sottoisieme co,,,, -, elemeti. # sottoisiemi )

18 8 Proprietà importte Dim. )! )!! )!!! [ ] )! )!! ) ) )! )! )! )! )!! ) Trigolo di Trtgli 5 4 6, ,

19 Costruimo il trigolo Disposizioi co elemeti uguli Dti elemeti dei quli uguli tr loro, uguli tr loro,, uguli tr loro, gli ordimeti di questi oggetti soo!!! K! 9

20 Esercizio 5 Quti soo gli grmmi dell prol Rispost MATEMATICA?,,,!!!! 5 Esercizio 6 Se lcio u moet 7 volte i quti modi posso otteere 5 croci e teste? Equivle cotre gli grmmi dell prol TTCCCCC Rispost 7!!5!