L INTEGRALE DEFINITO b f (x) d x a 1

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1 L INTEGRALE DEFINITO ( ) d

2 ARGOMENTI. Il Trpezoide re del Trpezoide. L itegrle deiito de. Di Riem. Proprietà dell itegrle deiito teorem dell medi. L uzioe itegrle teorem di Torricelli-Brrow e corollrio 5. Regole d itegrzioe per prti e per sostituzioe 6. Clcolo di ree di domii pii teorem di Archimede 7. Volumi di igure di rotzioe 8. Volumi: Metodo delle Fette 9. Itegrli impropri o geerlizzti. Appliczioi del clcolo itegrle ll isic

3 IL TRAPEZOIDE Si () u uzioe cotiu ell itervllo [;], co <, e suppoimo che ivi si o egtiv. Deiizioe: Trpezoide è il qudriltero mistilieo ABCD delimitto dll curv γ di equzioe y (), dll sse delle e dlle prllele AD e BC ll sse delle y.

4 L AREA DEL TRAPEZOIDE Scompoimo l itervllo [;] i itervllii przili qulsisi, che solo per comodità espositiv ssumimo uguli, e idichimo co h l mpiezz di questi itervlli. Sio m i e M i, rispettivmete, il miimo e il mssimo dei vlori di () ell i esimo itervllio (m i e M i esistoo per il teorem di Weierstrss), e cosiderimo le segueti due somme: s m h i i S M h i i

5 s m h i i S M h i i s prede il ome di plurirettgolo iscritto el trpezoide, ed è l somm delle ree degli rettgoli veti per si gli itervllii i cui è stto diviso l itervllo [;] e per ltezze le ordite miime m i dell curv i tli itervllii; S prede il ome di plurirettgolo circoscritto l trpezoide, ed è Evidetemete s S, quluque si. Il vlore delle somme s e S dipede, evidetemete, dll scomposizioe dottt per [;]: s e S soo due uzioi reli dell vriile turle, soo cioè due successioi. Teorem. Se () è u uzioe cotiu e o egtiv i [;], le due successioi s e S soo covergeti e covergoo verso lo stesso umero, cioè mmettoo lo stesso limite iito per + e risult: Deiizioe: lim m h i + i + M h Chimsi re del trpezoide ABCD, delimitto dll curv di equzioe y (), co (), dll sse delle e dlle prllele AD e BC ll sse delle y, il umero che rppreset il limite comue per + delle somme s e S. lim i i 5

6 L INTEGRALE DEFINITO Deiizioe di itegrle deiito secodo Riem: Dt l uzioe (), cotiu i [ ; ], co <, il vlore comue del limite delle successioi s ed S si chim itegrle deiito dell uzioe cotiu () esteso ll itervllo [ ; ], e si idic co l scrittur: ( ) d lim s lim S Si legge: itegrle deiito d di () d. I umeri e si dicoo estremi dell itegrle: - estremo ieriore, - estremo superiore. L uzioe () si chim uzioe itegrd, l vriile si chim vriile d itegrzioe. N.B. I quest deiizioe o viee tt l ipotesi che () si o egtiv i [ ; ]. 6

7 Se per ogi [, ] l uzioe () è o egtiv e itegrile, llor rppreset l're dell'isieme: {(, y) :, y ()}. π π si d, itti Are metre Are π si d, 7

8 FUNZIONI INTEGRABILI Teorem Codizioe suiciete iché () si itegrile ell itervllo [; ] è che si cotiu i [; ]. Clssi di uzioi itegrili: Ogi uzioe : [, ] R cotiu è itegrile; Ogi uzioe : [, ] R limitt e mooto è itegrile; Ogi uzioe : [, ] R limitt co u umero iito o umerile di puti di discotiuità di prim o terz specie è itegrile. 8

9 PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO Deiizioi:. se < si poe:. se Teoremi: proprietà dditiv 6. ( ) d ( ) d 9

10 7. Teorem dell medi Si () u uzioe cotiu sull'itervllo [, ], llor esiste lmeo u puto c [, ] tle che (*) Il vlore (c) si chim vlor medio dell uzioe ell itervllo [ ; ]. Dimostrzioe: Idicti co m ed M il miimo e il mssimo di () i [ ; ], co <, si h: ( ) ( ) d M ( ) m L espressioe ( ) d m ( ) d M è u umero compreso r il miimo m e il mssimo M dell uzioe; per il teorem dei vlori itermedi, esiste lmeo u puto c [, ] i cui l () ssume tle vlore, i cui cioè si veriic l (*).

11 Iterpretzioe geometric del teorem dell medi. Il vlore dell uzioe i c, (c), è il vlore medio dell uzioe reltivmete ll itervllo cosiderto. Not l logi co l deiizioe di medi ritmetic podert. I prticolre, se l () è o egtiv i [ ; ], l itegrle deiito rppreset l re del trpezoide e il vlore dell uzioe i c, (c), è l ltezz del rettgolo vete per se l itervllo [;] ed equivlete come re l trpezoide.

12 FUNZIONE INTEGRALE Fissto [, ], per uzioe itegrle si itede l uzioe F () deiit sull'itervllo [, ]: Si osservi che l vriile dell uzioe F() è l'estremo superiore dell'itervllo di itegrzioe.

13 TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE (Torricelli-Brrow) Dt u uzioe () cotiu sull'itervllo [, ], l uzioe itegrle F ( ) ( t)dt è derivile [, ], e si h: F'() () e F(). Dimostrzioe: predo due puti qulsisi di [;], e + h, quidi cosidero il rpporto icremetle dell F(): F ( + h) F( ) h + h ( t) dt ( t) h dt ( per l proprietà dditiv) + h ( t) dt + ( t) dt ( t) h dt + h ( t) h dt ( per il teorem dell medi) ( c) co c [ ; + h].

14 Clcolo il limite del rpporto icremetle per h : ( + h) F ( ) F lim lim h h h ( c ) ( c) ( ) per l' ipotesi di cotiuità dell ( ). Quidi ho dimostrto l prim prte dell tesi: l F() è derivile e risult F () (). L secod prte dell tesi si dimostr immeditmete essedo: F ( ) ( ) d per l deiizioe N. Osservzioe : F ( ) ( )d

15 Corollrio del Teorem odmetle del clcolo itegrle Dt l uzioe () cotiu sull'itervllo [, ], φ() si u primitiv di (), llor si h: ( ) d ϕ ( ) ϕ( ) [ ϕ( ) ] Dimostrzioe: Le uzioi F() e φ() soo due primitive di (), quidi dieriscoo per u costte k, cioè ( ) ( ) φ() F() + k φ() t dt + k, quidi, poiché t dt, si h: Regol: ϕ ϕ ( ) k ( ) ( t) dt + k ( t) dt ϕ( ) ϕ( ). L itegrle deiito tr e dell (), cotiu i [;], è dto dll dierez dei vlori ssuti d u primitiv φ(), rispettivmete, ell estremo superiore e ell estremo ieriore dell itegrle stesso. 5

16 6 ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 d d d... per... d 6. l π l rctg... (per prti)... rctg d d. l l l lcos π lcos lcos tgd. e e d e. d. : Esempi π π

17 7. Dt l uzioe F() determi, servedoti del teorem di si (t)dt, Torricelli Brrow, gli itervlli i cui ess volge l cocvità verso l'lto. Rispost : F() è derivile, quidi l codizioe ecessri e suiciete per l cocvità verso l'lto è che F ''(). F '() si (), F ''() sicos ; π F ''() ; sicos ; si per kπ + kπ e per tli vlori di, l cocvità dell F() è verso l'lto. 8. Determi Rispost : l'equzioe poichè dell F() y - F() m( -) m F '() rett t + t tgete y - e l F '() + grico dell si h : ( ); y., uzioe F() t + t dt el puto di sciss. 7

18 REGOLE DI INTEGRAZIONE. Itegrzioe per prti Sio e g due uzioi cotiue co le derivte ' e g' cotiue ell'itervllo [, ], llor vle: g() si dice ttore iito '()d si dice ttore dierezile Per gli itegrli ideiiti si ottiee l seguete relzioe: 8

19 . Itegrzioe per sostituzioe Si : [, ] R u uzioe cotiu, si φ : [α, β] [, ] u uzioe cotiu e derivile co cotiuità. Si ioltreφ: ([α, β] ) [, ], llor, preso u qulsisi itervllo [c, d] [, ], esistoo due vlori γ, δ tli che c φ(γ), d φ(δ) e vle l ormul: Si osservi che l'itervllo [γ, δ] o è uivocmete determito. Se l uzioe φ è ivertiile llor l'itervllo [γ, δ] è uivocmete determito, i tl cso si può scrivere: Per gli itegrli ideiiti si ottiee l seguete relzioe: 9

20 Altro esempio (itegrzioe per sostituzioe) Si () u uzioe rele di vriile rele, cotiu su tutto l sse rele, tle che: () ( ) d e () ( ) d 5. Di ciscuo dei segueti itegrli:. d ;. d ;. d ;. ( ) d, dire se le codizioi ssegte soo suicieti per clcolre il vlore e, i cso di rispost ermtiv, qul è questo. Risoluzioe. Per il primo itegrle le codizioi o soo suicieti, per gli ltri si, itti: per gli itegrli,,, poimo / t, cioè t, d dt e gli estremi d itegrzioe diveto t ; t /; t, quidi

21 . d le codizioi ( t) dt? o soo suicieti per clcolre il vlore!. d ( t) dt per l'itegrle ().. d per l proprietà dditiv e ( t) dt ( t) dt + ( t) dt ( - - 5) per gli itegrli () e (). -. ( ) d poimo t, cioè co estremi t/, d'itegrzioe d dt/, t, t ) ( t) dt 5 - per l'itegrle ().

22 CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI Deiizioe di domiio pio ormle: dte due uzioi () e g() cotiue i [ ; ], tli che g() () [ ; ], si chim domiio pio ormle rispetto ll sse l isieme T dei puti P(;y) del pio così deiito: T {( ; y) e g() y ()}. Are: l re del domiio T è dt d: Are(T) [ () g() ] d, itti si h : Are(T) Are(ABKH)- Are(DCKH) () d g() d [ () g() ]d L ormul per l re vle comuque sio disposti i grici delle uzioi () e g(), purché si g() ().

23 Esempi. Are del segmeto prolico e teorem di Archimede. Dt l uzioe () k, co k >, clcolimo l re del segmeto prolico AA VA, come i igur: Are(AA'VA) Are(rettgolo AA'H'H) k d k k k k k. Osserv che Are(segm.pr. AA'VA) Are(rettgolo AA'H'H) k k, quidi : Teorem di Archimede. L re del segmeto prolico AA VA è / dell re del rettgolo AA H H.

24 Osservzioe sul teorem di Archimede. Il teorem di Archimede vle che el cso i cui l cord AA o si perpedicolre ll sse dell prol. I tle cso, trccit l rett t tgete ll prol e prllel ll rett AA, l re del segmeto prolico AA VA è ugule i / dell re del rettgolo vete se AA e ltezz ugule ll distz AH tr l rett t e l rett AA. Esempio: Determi l re del segmeto prolico T, limitto dll prol y - e dll rett t : y - +. Determio l'equzioe dell tgete t : ' () - -, ' () cioè il puto di tg. è O(;), Poichè AA' 5 Are(segmeto pr.) e AH 5 AH AA', quidi, llor t : y Oppure : Are ( [ ( + ) ( ] - )d 8 8 ) d

25 . Clcolre l re dell regioe pi compres tr le due prole di equzioi: y e y. Le equzioi λ : y Are(T) esplicite e degli δ : y d, rchi quidi di prol 6 soo :. y. Clcolre l re dell regioe pi limitt dll ellisse di equzioe di equzioe: +. A(T) ( set ; t rcse ; d costdt) rcse + d π. 5

26 VOLUMI DI FIGURE DI ROTAZIONE Cosiderimo l uzioe y () di grico γ, cotiu ell itervllo [; ] e o egtiv, e il trpezoide esteso ll itervllo [; ]. Se ccimo ruotre il trpezoide ttoro ll sse di u giro completo, ossi di 6, otteimo l igur di rotzioe (solido di rotzioe) F. Clcolimo il volume di tle igur. Dividimo l itervllo [; ] i prti uguli di lughezz h (-) / e cosiderimo i plurirettgoli S M i i h s m i i h che pprossimo il trpezoide per eccesso e per dietto. D u rotzioe complet dei plurirettgoli ttoro ll sse, si ottegoo due pluricilidri, che pprossimo per eccesso e per dietto l igur di rotzioe F. 6

27 7 Ogi cilidro h per se il cerchio di rggio M i (ppross. per eccesso) o m i (ppross. per dietto) e per ltezz h, quidi i pluricilidri ho volume:. h m v h M i i i i V π π

28 Si può dimostrre che qudo + le due successioi tedoo llo stesso limite e tle limite è il volume dell igur di rotzioe F : V F lim + π M h lim i i + π m i i h π ()d. Esempi. Volume del coo, dt l uzioe y m: π V π (m) d πm m ( rggio di se m, ltezz,... ed ecco l ormul ot ). Volume dell ellissoide geerto dll rotzioe dell ellisse di equzioe ) ttoro ll sse : y ( ), V π ( )d π π y + π. 8

29 ) ttoro ll sse y : ( y ), V π ( y )dy π y y π π. I prticolre, se, l ellissoide si riduce d u ser di rggio e volume : V π.. Determire il volume del solido geerto dl domiio pio T delimitto dll prol P: y e dll rett r : y 5 i u rotzioe complet ttoro d r. Operimo l le equzioi trslzioe dell del prol rierimeto P e dell rett che port r el O( ; ) uovo i O rierimeto ( ; 5) : y y diveto: P : y - r : + 5, y qudi

30 Puti el Clcolo del volume : V π uovo 5 π ( + 6 5) d 5 [ ] π 5 d'itersezioe 5 rierimeto : + 6 rett - prol A(;), B(5;) d 5 5 π.. Dto il domiio pio T, delimitto dgli ssi crtesii, dll rett y e dl grico di y l, determi il volume del solido otteuto d u rotzioe complet di T ttoro: ) ll sse, ) ll sse y. ) V V(cilidro (*) clcolimo e l d πe - π l d πe - π per prti : l d l l d e [ l l + ] e - e + e - e -. C' B'BC) - V(AB'B) e ( e - ) l π. (*) [ l ] + c, quidi

31 ) y y l e, quidi V π e y dy π e y π ( e ).

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