Progressioni geometriche

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1 Progressioi geometriche Comicimo co due esempi: Esempio Cosiderimo l successioe di umeri:, 6,, 4, 48, 96 L successioe è tle che si pss d u termie l successivo moltiplicdo il precedete per. Si dice che che l successioe precedete è u progressioe geometric. è il primo termie dell progressioe, 96 è l ultimo termie e (il umero che moltiplic u termie per vere il successivo) si chim rgioe dell progressioe. Ioltre, visto che i termii umeto sempre, l progressioe cosidert è crescete. Esempio Cosiderimo l successioe di umeri: 6, 4,, 6 L successioe è tle che si pss d u termie l successivo moltiplicdo il precedete per ½. L successioe precedete è u progressioe geometri-c di rgioe ½. I termii dell successioe dimiuiscoo sempre e l pro-gressioe cosidert è decrescete. Possimo geerlizzre uto visto egli esempi co l seguete defiizioe: U progressioe geometric é u successioe di umeri reli tli che il rpporto tr due termii cosecutivi dell successioe è costte. Quest costte si chim rgioe dell progressioe stess: se l rgioe è positiv e mggiore di, l successioe è crescete; se l rgioe è compres tr zero e ( esclu-so), l succesioe è decrescete; se l rgioe è ugule l successioe é costte (tutti i suoi termii soo uguli); se l rgioe é egtiv l successioe é oscillte (i suoi termii soo ltertivmete positivi e egtivi). Simbolicmete, idicdo co il termie -simo dell successioe e co l su r-gioe, possimo scrivere: = = = = 4 = = =... = - = - = - dove l ultim espressioe: ½ ½ ½ R. SANTORO: Progressioi geometriche

2 () forisce u relzioe geerle per clcolre il termie di posto ( ) di u progressioe geometric di cui si coosce il primo termie ( ) e l rgioe (). Esempio Clcolre il uito termie di u progressioe geometric per cui il primo termie vle e l rgioe vle ¾. Applicdo l formul precedete, bbimo subito: Esempio 4 Clcolimo l iteresse composto di u cpitle C 0 depositto i bc per i co u iteresse percetule uo ugule i. All fie di ogi o bbimo l seguete situzioe: Ao Cpitle C 0 + i C 0 = C 0 (+i) = C C + i C = C 0 (+i)+i C 0 (+i) = C 0 (+i)(+i) = C 0 (+i) = C C + i C = C 0 (+i) +i C 0 (+i) = C 0 (+i) (+i) = C 0 (+i) = C C 0 (+i) = C Possimo llor otre che l successioe: C 0, C, C, C,..., C é u progressioe geometric il cui primo termie é C 0 e l cui rgioe é + i; il cpitle C ll fie dell -simo o di deposito é dto d C C i 0 Allor se C 0 = ML (u milioe di lire) e i = 7%, dopo 0 i il cpitle srà ugule : C ML. ML, 00 cioè usi rddoppito (m certmete svlutto!). L relzioe () può essere utilizzt per clcolre uo uluue degli elemeti preseti prtire dgli ltri. così possimo scrivere che le relzioi: R. SANTORO: Progressioi geometriche

3 () log () (4) Esempio 5 Clcolre l rgioe di u progressioe geometric di cui si coosce il primo termie ugule 4 ed il uito termie ugule 8. Applicdo l formul () precedete, bbimo subito: Esempio 6 Di u progressioe geometric si s che il primo termie vle 7, che il suo termie -simo vle e che l rgioe vle 8/7. Clcolre. Applicdo l formul (4) precedete, bbimo subito: 5 7 log log 4 log Esempio 7 Di u progressioe geometric si s che = e 8 = 7. Clcolre: ) l rgioe ; ) il primo termie. Applicdo l formul () precedete due volte, bbimo: Esempio 8 Dti due umeri, 4 e 5, determire ltri due umeri (compresi tr i due dti), i modo d otteere uttro umeri i progressioe geometric. Per risolvere il problem, bst teer coto del ftto che, dei sei umeri i R. SANTORO: Progressioi geometriche

4 4 progressioe geometric, = 4 e 4 = 4 e = 4. Applichimo llor l formul () precedete ed bbimo: I due umeri richiesti soo llor:, Clcolimo l somm S dei primi termii di u progressioe geometric. Possimo scrivere: S K S K e, sottredo membro membro: S S S ( ) ( ) ifie, S (6) Esempio 9 Clcolre l somm dei primi 0 termii di u progressioe geometric spedo che = e = ½). Applicdo l formul (6) precedete, bbimo subito: S Cosiderimo le poteze successive di due umeri miori di, d esempio /0 e /: R. SANTORO: Progressioi geometriche

5 Possimo otre che m mo che l espoete umet, il vlore dell potez divet sempre più piccolo; l limite, udo l espoete divet grdissimo, l potez divet piccolissim. I termii mtemtici più precisi, scrivimo: lim 0 (d leggere: se il vlore ssoluto di é miore di, llor il limite per che tede ll ifiito di é ugule zero). L cosiderzioe precedete é importte per clcolre l somm di ifiiti termii di u successioe geometric l cui rgioe (i vlore ssoluto) é miore di. Abbimo subito: lim S lim. (7) L (7) é, tr l ltro, utile per clcolre l frzioe geertrice di u umero decimle pe-riodico come egli esempi che seguoo. Esempio 0 Clcolre l frzioe geertrice del umero 7. _. Abbimo: _ L espressioe i pretesi puó essere cosidert come l somm degli ifiiti termii di u progressioe geometric co primo termie ugule e co rgioe ugule /0. Essedo l rgioe miore di, possimo pplicre l formul (7) precedete ed bbimo: 0 7. _ Queste cosiderzioi sul limite di u successioe soo molto ituitive. Lo studete vrà occsioe di studire, i termii molto più precisi, il limite di u successioe. R. SANTORO: Progressioi geometriche

6 6 Esempio Clcolre l frzioe geertrice del umero.. Abbimo: dove l espressioe i pretesi idic l somm degli ifiiti termii di u progressioe geometric (primo termie ugule, rgioe ugule /00) e l ultim ugugliz richim l regol empiric di scrittur dell frzioe geertrice di u umero decimle periodico. Not storic Zeoe (496.C C.) to Ele, città dell Itli meridiole, ci h lscito lcui prdossi celebri che lui utilizzv per dimostrre che i metodi dell logic ero isufficieti per reder coto che di ftti molto bli (e sosteere, i tl modo, le idee del filosofo, suo mestro, Prmeide). Il più celebre dei suoi prdossi é uello di Achille e l Trtrug. Il piè veloce Achille, pur corredo d u velocità 0 volte superiore uell dell Trtrug, o potrà mi rggiugerl che se uest h u solo stdio di vtggio su di lui. Iftti, metre Achille percorre lo stdio di svtggio, l Trtrug percorre /0 di stdio; metre Achille percorre il decimo di stdio che gli rest, l Trtrug percorre /00 di stdio e così vi, ll ifiito: Achille o rggiugerà mi l Trtrug. Fiumi di ichiostro soo stti cosumti su uesto prdosso (e su ltri loghi), per cercre di dimostrre dov er l igo el rgiometo. Oggi sppimo risolvere il prdosso co l usilio delle progressioi geometriche e co il pssggio l limite utilizzto per dimostrre l formul (7). Iftti, se poimo ugule il tempo che Achille impieg percorrere uo stdio, bbimo che il tempo che impieg rggiugere l Trtrug é: 0 t.... (fiito) I reltà, che l dimostrzioe dell formul (7) h delle difficoltà logiche scoste e solo recetemete (egli ultimi decei) é stt trovt u soluzioe più soddisfcete co l teori dell lisi o-stdrd (vedi l rticolo di Willim I. McLughli i Scietific Americ, November 994: Resolvig Zeo s Prdoxes) R. SANTORO: Progressioi geometriche

7 7 Esercizi Scrivere i primi sei termii di u progressioe geometric il cui primo termie è ugule e l cui rgioe è ugule /. Clcolre il vetesimo termie dell progressioe geometric dello esercizio. U progressioe geometric è tle che 7 = 8 e = /. Clcolre e 5. Clcolre il umero dei termii di u progressioe geometric di rgioe, spedo che = 8 e =. Per l esercizio precedete, clcolre S (somm dei primi termii dell progressioe). Di u progressioe geometric si coosce 5 = 6 e = -/. Clcolre: ) ; b) S ; c) S 5. Tr i umeri 4 e 5 iserire 5 umeri (compresi tr i due dti), i modo d otteere u progressioe geometric: ) crescete; b) decrescete. Di u progressioe geometric si s che = e 9 = 96. Clcolre: ) l rgioe ; b) il primo termie ; c) S 4. Clcolre x i modo che i umeri x +, x +, 4x - sio termii cosecutivi di u progressioe geometric. Scrivere che i tre umeri i progressioe. Determire l frzioe geertrice di. 7 e di 7.. U cpitle di 0 ML viee depositto i bc co u iteresse composto uo del 9%. Determire l evoluzioe ule del cpitle fio ll fie dei primi sette i di deposito. Determire dopo uti i rddoppi u cpitle C, depositto i bc co u iteresse composto uo del 9%. U cpitle di 0 ML viee depositto i bc co u iteresse uo del 0%. Clcolre il cpitle ll fie del secodo o di deposito se R. SANTORO: Progressioi geometriche

8 8 gli iteressi vegoo clcolti (e cpitlizzti): ) ulmete; b) ogi mesi; c) mesilmete; d) ogi settim A prtire dl990, Frcesc deposit i bc, il primo geio di ciscu o, 5 ML, co u iteresse composto uo del 9%. Clcolre l somm di cui disporrà Frcesc l dicembre dell o 000. Determire ciue umeri i progressioe geometric tli che l somm dei primi tre é ugule 0 e l somm degli ultimi tre é ugule 0. U plli viee lscit cdere d u ltezz di u metro ed esegue u serie di rimblzi fio / dell ltezz precedete. Clcolre lo spzio complessivo percorso dll plli dopo ciue rimblzi. I primi due termii di u progressioe geometric soo e 8. Clcolre: ) l rgioe; b) il sesto termie; c) l somm dei primi sei termii; d) il prodotto dei primi sei termii. Si dispoe di u sccchier 88. Prtedo dl primo udrtio i lto siistr e proseguedo verso destr e poi verso il bsso, si poe u chicco di gro el primo udrtio, due chicchi el secodo udrtio, otto el terzo e così vi, fio l sesstuttresimo udrtio. Clcolre il umero dei chicchi di gro posti (!) sull sccchier. R. SANTORO: Progressioi geometriche