Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 10 - Integrazione numerica

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1 Complementi di Mtemtic e Clcolo Numerico A.A Lbortorio 10 - Integrzione numeric Dtunfunzionef vlorireliperclcolre b fornisce l funzione predefinit qud Sintssi: q=qud(f,,b,tol) input: f funzione integrnd, b estremi di integrzione f(x)dx, Mtlb tol tollernz per l errore ( defult : 1e 6) output: q pprossimzione dell integrle Esercizio 1 Approssimre l integrle x 2 dx con l funzione qud di Mtlb: prim con l precisione di defult poi richiedendo un precisione di 1e-10; in ogni cso clcolre l errore ssoluto e verificre che corrispond ll ordine di precisione impost.

2 Formule dei rettngoli sinistr e destr composite Per pprossimre b f(x)dx con le formule dei rettngoli sinistr e destr composite, si considerno i punti di coordinte (x k,y k ), x 1 = x 2 x m+1 = b, y k = f(x k ) e si clcolno rispettivmente le quntità: IRs c = h k f(x k ), IRd c = h k f(x k+1 ) dove h k = (x k+1 x k ), k = 1,...m Esempio Assegnt per punti l seguente funzione x y utilizzndo Mtlb pprossimimo l integrle definito tr 5 e 6 con i metodi dei rettngoli sinistr e destr: >> x=[ ]; >> y=[ ] >> H=diff(x); >> IRS=sum(H.*y(1:end-1)); >> IRD=sum(H.*y(2:end)); 2

3 Formul dei trpezi composit Per pprossimre b f(x)dx con l formul dei trpezi composit, si considerno ncor i punti di coordinte (x k,y k ), x 1 = x 2 x m+1 = b, y k = f(x k ) e si clcol l quntità: IT c h k = 2 (f(x k)+f(x k+1 )) dove h k = (x k+1 x k ), k = 1,...m Mtlb fornisce l funzione di libreri trpz che implement tle metodo. Sintssi: int=trpz(x,y) input: x nodi di qudrtur y = f(x) funzione integrnd nei nodi di qudrtur output: int pprossimzione dell integrle Esercizio 2 Si pprossimino i seguenti integrli (tr prentesi i vlori estti): π/2 0 sin(x) dx (= 1) cos(x)esin(x) dx (= e sin(10) e sin(10) ) 2( 1 1 x +ex) dx (= log(2)+e 2 e) x 2 dx (= rctn(5)) 3

4 A tl scopo si consideri un suddivisione dell intervllo di integrzione [,b] in m sottontervlli di ugule mpiezz H = b m e si utilizzino i metodi dei rettngoli sinistr e destr e dei trpezi compositi per diversi vlori di m = 10,100,1000, Si clcoli l errore ssoluto e si compili per ciscun metodo l seguente tbell m Errore ssoluto Si verifichi che l errore è O(H) per i rettngoli e O(H 2 ) per i trpezi. Esercizio 3 Per pprossimre I = b f(x)dx si scriv un function che clcoli ripetutmente l integrle pprossimto con l formul dei trpezi composit utilizzndo suddivisioni dell intervllo di integrzione in sottointervlli di ugule mpiezz sempre più fitte. Più precismente prtire d m = 1 suddivisioni di [,b] (e quindi prtire dll formul semplice) si rddoppi itertivmente il numero di sottointervlli (m 2m) si clcoli l pprossimzione I 2m di I con il metodo dei trpezi composito su 2m sottointervlli, fintnto che l errore stimto err I 2m I m non si sceso l di sotto di un tollernz fisst toll=1e-6. Si testi il codice sull ultimo integr- 4

5 le dell esercizio precedente e si verifichi che l errore risulti inferiore ll precisione richiest. Formul del punto medio composito Per pprossimre b f(x)dx con l formul del punto medio composit, possimo suddividere l intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = b m individuti di punti x k = +(k 1)H, k = 1,...,m+1 e clcolre l quntità: IPM c = H f(x k + H 2 ), (Si osservi che l funzione integrnd v vlutt nei punti medi dei sottointervlli di mpiezz H). Esercizio Si scriv un funzione che, ricevuti in ingresso l funzione f, gli estremi di integrzione,b, e il numero di sottointervlli m 1, pprossimi b f(x)dx con l formul del punto medio composito Metodo di Simpson composito Per pprossimre b f(x)dx con l formul di Cvlieri-Simpson composit, possimo suddividere l intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = b m individuti di puntix k = +(k 1)H, k = 1,...,m+1eclcolrelquntità: [ ] ISIM c = H f(x 1 )+2 f(x k )+4 f(x k + H 6 2 )+f(x m+1) k=2 5

6 (Si osservi che l funzione integrnd v vlutt si negli estremi che nei punti medi dei sottointervlli di mpiezz H). Esercizio Si scriv un funzione che, ricevuti in ingresso l funzione f, gli estermi di integrzione,b, e il numero di sottointervlli m 1, pprossimi b f(x)dx con l formul di Simpson composito. Esercizio 4 Si pprossimino gli integrli nell Esercizio 2 ripetendo qunto richiesto m con i codici sviluppti per i metodi del punto medio e di Simpson compositi. Si clcoli il vlore ssoluto dell errore commesso e si compili l seguente tbell m Errore ssoluto Si verifichi che l errore è O(H 2 ) per il metodo del punto medio e che l errore è O(H 4 ) per il metodo di Simpson, con H = b m. Esercizio 5 Assegnti i seguenti integrli: 5 2 7x 5, dx; 5 2 5x 2 3x+8dx; x 3 2x 2 +5x 1dx

7 scegliere in mnier pproprit un tr le seguenti formule di qudrtur semlici: rettngoli, punto medio, trpezi e Simpson e clcolre gli integrli indicti. Confrontre il risultto con l soluzione estt clcolt utilizzndo il comndo polyint. 7