CALCOLO NUMERICO. Francesca Mazzia. a.a. 2008/2009. Integrazione. Dipartimento Interuniversitario di Matematica. Università di Bari

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1 CALCOLO NUMERICO Frncesc Mzzi Diprtimento Interuniversitrio di Mtemtic Università di Bri /2009 Integrzione () 29 mggio / 18

2 Integrzione Problem: pprossimre integrli definiti del tipo: f (x)dx, Sceglimo n + 1 punti nell intervllo [,b] in modo tle che risulti x 0 < x 1 <... < x n. Considerimo il polinomio interpoltore di Lgrnge nei punti x i per pprossimre l f : f (x) = n f (x i )l i (x) + R n (x) i=0 dove R n (x) è l errore commesso nell interpolzione e {l i (x)} n i=0 determinno l bse di Lgrnge. () 29 mggio / 18

3 Integrzione Sostituendo in si h: f (x)dx = = n f (x i ) i=0 = ( n ) f (x i )l i (x) + R n (x) dx i=0 l i (x)dx + n A i f (x i ) + E n (f ), i=0 R n (x)dx () 29 mggio / 18

4 A i = l i (x)dx, per i = 0,1,...,n. I punti x i sono i nodi dell formul. Il termine E n (f ) è detto errore dell formul di integrzione. Un formul è dett di grdo d se risult estt per tutti i polinomi di grdo minore od ugule d, cioè se E n (f ) = 0 f P d. Un prim distinzione tr le vrie formule rigurd l scelt dei nodi x i. Essi possono essere fissti priori oppure essere scelti in mnier d minimizzre l errore E n (f ). In ogni cso è comunque possibile costruire, utilizzndo n + 1 nodi, formule di grdo n. () 29 mggio / 18

5 Teorem Dti n+1 punti distinti {x i } n i=0, è possibile determinre i coefficienti A i, per i = 0,1,...,n, in modo tle che E n (f ) = 0 per tutti i polinomi f di grdo minore od ugule n. Dimostrzione. Sppimo che l errore R n (x) è dto d: R n (x) = (x x 0 )... (x x n )f [x 0,x 1,...,x n,x]. Se f è un polinomio di grdo minore od ugule n, llor f [x 0,...,x n,x] = 0. Quindi E n (f ) = 0 e l formul di qudrtur risult estt. I coefficienti A i sono univocmente determinti d A i = l i (x)dx, per i = 0,1,...,n. () 29 mggio / 18

6 Formule di Newton-Cotes Queste formule si ottengono scegliendo i nodi equidistnti, cioè: x i = + (i 1)h per i = 0,2,...,n, con h = b n. Per clcolre gli A i dobbimo vlutre gli integrli che dipendono dl numero di nodi n + 1. Le formule di Newton-Cotes più uste si ottengono ponendo n = 1 ed n = 2. () 29 mggio / 18

7 Formul dei trpezi (n = 1). In questo cso h = b e quindi x 0 = e x 1 = b. Essendo si h: e quindi: l 0 (x) = x b b, l 0 (x)dx = l 1(x) = x b l 1 (x)dx = b 2 f (x)dx = b 2 [f () + f (b)] + E 1(f ). Si può dimostrre che se f C 2 [,b] llor E 1 (f ) = h3 12 f (ξ), dove ξ [,b]. () 29 mggio / 18

8 Formul di Simpson (n = 3). In questo cso h = b e quindi x 0 e x 2 coincidono con gli estremi 2 dell intervllo mentre x 1 è il punto medio. Si h che d cui: l 0 (x)dx = f (x)dx = h 3 l 2 (x)dx = h 3 [ f () + 4f e ( ) + b 2 l 1 (x)dx = 4 3 h, ] + f (b) + E 2 (f ). Si può dimostrre che se f C 4 [,b], llor: E 2 (f ) = h5 90 f IV (ξ) dove ξ [,b]. Quest formul è quindi precis nche per polinomi di grdo 3. () 29 mggio / 18

9 Utilizzndo le formul dei Trpezi e di Simpson, determinimo un pprossimzione per il seguente integrle: I = 12 0 [ e x ] sin(x) + 2x + 6 dx. Indichimo con I 1 l integrle ottenuto dll formul dei Trpezi e con I 2 quello ottenuto dll formul di Simpson. Poichè f () = 6, f (b) = e f ( ) +b 2 = si h: I 1 = , e I 2 = , mentre I = I 1 è l re del trpezio di vertici (,0), (,f ()), (b,0) e (b,f (b)). Poichè invece l formul di Simpson clcol esttmente l integrle di polinomi di grdo due, I 2 risult essere l re nell intervllo [, b] definit dll prbol pssnte per (, f ()), ( +b 2, f ( )) +b 2, e (b, f (b)). () 29 mggio / 18

10 Formule composte Le formule precedenti usno un unico polinomio interpoltore su tutto l intervllo [,b]. Ciò present tlvolt degli inconvenienti dovuti essenzilmente l ftto che per n grnde il polinomio può presentre delle oscillzioni. Inoltre l formul divent costos. Le formule composte sono ottenute dividendo l intervllo [,b] in un certo numero N di sottointervlli uguli, ed pplicndo in ognuno di questi un formul di qudrtur di grdo bsso. Fissto h = b N, e x i = + ih, per i = 0,1,...,N, si h: f (x)dx = N 1 i=0 xi+1 x i f (x)dx, () 29 mggio / 18

11 Formul dei Trpezi compost Se nel sottointervllo [x i,x i+1 ] si us l formul dei trpezi, si h: N 1 f (x)dx = x i+1 x i = (f (x i ) + f (x i+1 )) + E(f ) 2 i=0 ( ) = b N 1 f () + 2 f (x i ) + f (b) 2N i=1 Nel cso in cui f (x) si continu in [,b], si ottiene: + E(f ). (b )3 E(f ) = 12N 2 f (ξ), ξ [,b]. () 29 mggio / 18

12 Formul di Simpson compost Se nel sottointervllo [x i,x i+1 ] si us l formul di Simpson si ottiene, nel cso in cui f (IV) (x) si continu in [,b], f (x)dx = = b 6N N 1 ( ( ) ) xi + x i+1 f (x i ) + 4f + f (x i+1 ) + E(f ) 2 i=0 = b (f () + 6N N 1 N 1 ( ) ) xi + x i+1 2 f (x i ) + f (b) + 4 f 2 i=1 (b )5 180N 4 f (IV) (ξ). i=0 () 29 mggio / 18

13 Esempio Risolvimo il problem precedente suddividendo l intervllo [0,12] in N sottointervlli di mpiezz ugule. Utilizzndo l formul dei Trpezi e l formul di Simpson: N Trpezi N Simpson Convenendo di considerre come costo del metodo il numero di vlutzioni dell funzione, il confronto tr i due metodi deve essere ftto prità di costo. Se N è il numero di sottointervlli, il costo del metodo di Simpson è 2N 1, mentre quello dei trpezi è N + 1. Quindi si devono confrontre formule in cui N usto dll formul dei Trpezi si il doppio del corrispondente vlore usto dll formul di Simpson. () 29 mggio / 18

14 Esercizio Clcolre i seguenti integrli con il metodo dei Trpezi e quello di Simpson: 1 0 π 0 1 x 2 dx, sin(x)dx. Il primo integrle clcol l re del semicerchio di centro 0 e rggio 1 che è ugule π 2. () 29 mggio / 18

15 Stime dell errore Si I N l integrle pprossimto utilizzndo l formul dei Trpezi compost utilizzndo N sottointervlli, h N = (b )/N e si I 2N l integrle pprossimto utilizzndo 2N sottointervlli, h 2N = (b )/N = h N /2. Allor posto si h e I = f (x)dx I I N = h2 N 12 (b )f (ξ N ) I I 2N = h2 2N 12 (b )f (ξ 2N ) = h2 N 4 12 (b )f (ξ 2N ) () 29 mggio / 18

16 Se f (x) è qusi costnte in [,b] llor f (ξ N ) f (ξ 2N ) e quindi I I N I I 2N 4 I I N 4 I 2N = I 2N (I 2N I N ) Utilizzndo le pprossimzioni I N e I 2N ottenimo un stim dell errore, che può essere utilizzt per verificre se bbimo clcolto l integrle con l precisione desidert. () 29 mggio / 18

17 Formule Adtttive L funzione di cui voglimo clcolre l integrle può vere comportmenti diversi ll interno dell intervllo [,b], m se utilizzimo le formule composte il numero di suddicisioni dipende dll intervllo in cui l funzione vri rpidmente. Un lgoritmo efficiente si bs sull dttre le formule utilizzte ll funzione. ) Applichimo un formul di qudrtur per clcolre l integrle su tutto l intervllo [,b], se l errore stimto è inferiore ll tollernz richiest τ l lgoritmo termin. b) Se l errore stimto è mggiore dell tollernz τ l intervllo viene diviso in due prti uguli su cui si pplic il procedimento descritto in ), utilizzndo come tollernz τ/2. () 29 mggio / 18

18 Condizionmento Problem I = f (x)dx perturbimo l funzione e clcolimo l integrle sui dti perturbti I + δi = (f (x) + δf (x))dx quindi e δi = δf (x)dx δf (x) dx δi (b ) δf () 29 mggio / 18