1 Integrale delle funzioni a scala

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1 INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b] tle che =, n = b e j 1 < j per ogni j = 1,..., n (n 2). Si dicono intervlli dell suddivisione o subintervlli gli n intervlli perti ] j 1, j [. (1.2) Definizione Un funzione f : [, b] R si dice funzione scl (o costnte trtti) se esiste un suddivisione di [, b] tle che f è costnte su ogni subintervllo dell suddivisione, ovvero se esistono c 1,..., c n R tli che f() = c k su ] k 1, k [, k = 1,..., n. (1.3) Definizione Se f : [, b] R è un funzione scl, si chim integrle di f il numero rele b n f() d = f() d := c k ( k k 1 ). [,b] Si verific fcilmente che l integrle così definito non dipende dll suddivisione scelt. Inoltre, l vribile di integrzione è un vribile mut che serve solmente porre in rislto l vribile d cui dipende l funzione f. Per questo tlvolt si us nche indicre l integrle semplicemente con b f o f. (1.4) Osservzione Se f e g sono due funzioni scl su [, b], esse possono essere rppresentte usndo l medesim suddivisione. Inftti se f è costnte trtti rispetto ll suddivisione S = {,..., n } e g è costnte trtti rispetto ll suddivisione T = {y,..., y n }, è sufficiente considerre l suddivisione i cui elementi sono i punti di S T. 1 [,b] k=1

2 (1.5) Lemm (confronto) Se f e g sono funzioni scl su [, b] e f g, llor f() d g() d [,b] Dimostrzione. Grzie ll osservzione precedente, possimo supporre che f e g sino scl rispetto ll medesim suddivisione S = {,..., n }. Se i vlori di f e g sul subintervllo ] k 1, k [ sono le costnti c k e d k rispettivmente, si h (essendo c k d k ) [,b] f() d = [,b] n c k ( k k 1 ) k=1 n d k ( k k 1 ) = k=1 [,b] g() d 2 Integrle delle funzioni limitte Ricordimo che f : A R si dice limitt in A se esiste M tle che f() M per ogni A. Denotimo con S l insieme di tutte le funzioni scl su [, b] e definimo, se f è limitt, { } I (f) := g : g S, g f, { I (f) := [,b] [,b] h : h S, h f Osservimo che se α = [,b] g I (f) e β = [,b] h I (f), llor g h e, per il lemm precedente, α β. In definitiv, per ogni α I (f) e per ogni β I (f) si h α β. Ne segue che sup I (f) inf I (f). }. 2

3 (2.1) Definizione Se f : [, b] R limitt, f si dice integrbile (secondo Riemnn) su [, b] se sup I (f) = inf I (f). Tle numero si dice integrle di f in [, b] e viene denotto ncor con i simboli b f() d o [,b] f() d. (2.2) Osservzione Un condizione necessri e sufficiente perchè f si integrbile è che per ogni ε > esistno due funzioni scl g e h tli che g f h e h() g() < ε. [,b] [,b] 3 Proprietà dell integrle (3.1) Teorem (Linerità) Sino f e g integrbili su [, b] e c R un costnte. Allor sono integrbili su [, b] nche f + g e cf, e si h (f + g)() d = f() d + g() d, [,b] [,b] [,b] cf() d = c [,b] [,b] f() d. (3.2) Teorem (Additività) Se c R con < c < b, llor f : [, b] R è integrbile su [, b] se e solo se f è integrbile su [, c] e su [c, b]. Si h in tl cso f() d = f() d + f() d. [,b] [,c] (3.3) Teorem (Confronto) Sino f e g integrbili su [, b] con f g. [c,b] 3

4 Allor f() d [,b] [,b] g() d. Dimostrzione. Per il teorem di linerità, f g è integrbile e g f. Per definizione (essendo l costnte funzione scl) g() d f() d = (g f)() d. [,b] [,b] [,b] 4 Clssi di funzioni integrbili Ricordimo che f : A R si dice monotòn crescente se f si dice monotòn decrescente se, y A : < y f() f(y);, y A : < y f() f(y). (4.1) Teorem Si f : [, b] R monoton. Allor f è integrbile. (4.2) Corollrio Se f è limitt e monoton trtti (ossi esiste un suddivisione di [, b] tle che f è monoton su ogni intervllo dell suddivisione), llor f è integrbile. Dimostrzione. Bst pplicre il teorem di dditività. (4.3) Teorem Si f : [, b] R continu. Allor f è integrbile. Vle nche il seguente corollrio: (4.4) Corollrio Si f : [, b] R limitt e discontinu l più in un numero finito di punti. Allor f è integrbile. (4.5) Teorem Sino f, g integrbili su [, b]. Allor sono integrbili f +, f, f, f n (n 2) e fg. 4

5 Inoltre b b f() d f() d. 5 Integrle per intervlli orientti Fino d or bbimo sempre considerto il cso < b. Se > b e f è integrbile su [b, ], si definisce Inoltre, se = b si pone b f() d = b f() d =. f() d. Il teorem di linerità continu vlere. Inoltre il teorem di dditività può essere rienuncito nell seguente form: (5.1) Teorem Si I un intervllo e f : I R un funzione integrbile in ogni intervllo chiuso e limitto contenuto in I. Allor per ogni, b, c I si h b f() d = c f() d + b c f() d. Dimostrzione. Si trtt di un semplice verific. Se d esempio c < < b l tesi divent f() d = f() d + f() d, [,b] [c,] [c,b] ovvero f() d = f() d + f() d, [c,b] [c,] [,b] che è vero per il vecchio teorem dell dditività. (5.2) Osservzione Attenzione: se b < il teorem del confronto divent f g b f() d b g() d. 5

6 6 Il teorem dell medi (6.1) Definizione Si f integrbile su [, b]. Si chim medi di f su [, b] l quntità Ponimo inoltre 1 b f() d. b inf f = inf{f() : [,b] sup f = sup{f() : [,b] [, b]}, [, b]}. (6.2) Teorem Si f integrbile su [, b]. Allor si h inf f 1 b [,b] b f() d sup f. [,b] Dimostrzione. Sino m = inf [,b] f e M = sup [,b] f. Allor m f M e quindi (confronto) m(b ) = b b Dividendo per b si ottiene l tesi. m d b M d = M(b ). f() d Per funzioni continue il teorem dell medi può essere migliorto : (6.3) Teorem Si f : [, b] R un funzione continu. Allor esiste c [, b] tle che 1 b f() d = f(c). b Dimostrzione. Per il teorem dell medi, l medi di f pprtiene ll intervllo [inf f, sup f]. Dto che f è continu, f([, b]) = [min f, m f] = [inf f, sup f]. 6

7 7 L funzione integrle (7.1) Definizione Si f : [, b] R integrbile e si c [, b]. L funzione F : [, b] R definit d F () := c f(t) dt si dice funzione integrle di f reltiv l punto c. (7.2) Osservzione Se F 1 e F 2 sono due funzioni integrli di f reltive c, c [, b], si h F 1 () F 2 () = = c f(t) dt + c c f(t) dt f(t) dt = c f(t) dt = c c f(t) dt. Quest ultim quntità non dipende d e quindi F 1 e F 2 differiscono per un costnte. (7.3) Osservzione Per ogni, y [, b] si h (indipendente d c). F (y) F () = y f(t) dt. (7.4) Teorem Si f : [, b] R un funzione integrbile e F un su funzione integrle. Allor (i) se f, F è monoton crescente; (ii) F h rpporto incrementle limitto (in prticolre, F è continu). 7

8 Dimostrzione. Se f si h < y F (y) F () = y d cui F () F (y) e l (i) è dimostrt. Si d esempio y >, per cui y = y. Essendo f limitt, si h f M, d cui y y F (y) F () = f(t) dt y d cui segue subito l (ii). f(t) dt f(t) dt M dt = M(y ) = M y, 8 Primo teorem fondmentle del clcolo (8.1) Teorem Si f : [, b] R un funzione continu e si c [, b]. Allor l funzione integrle F () = è di clsse C 1 ([, b]) e si h c f(t) dt F () = f(), [, b]. Dimostrzione. Si [, b]. Risult per (d es. > ): F () F ( ) = 1 f(t) dt. Per il teorem dell medi (per funzioni continue) esiste ξ fr e tle che F () F ( ) = f(ξ). 8

9 Se segue ξ e quindi f(ξ) f( ) per l continuità di f. Pertnto F () F ( ) lim = f( ), ossi F è derivbile in e F ( ) = f( ). 9 Secondo teorem fondmentle del clcolo (9.1) Teorem Si f C 1 ([, b]). Allor b f (t) dt = f(b) f(). Dimostrzione. Considerimo l funzione g() = f (t) dt f(). Per il primo teor. fond. g è un funzione derivbile in [, b] e si h g = f f =, quindi g è costnte. Dto che g() = f(), si h nche g(b) = f(), ossi b d cui segue subito l tesi. f (t) dt f(b) = f() NOTAZIONE: si us bbrevire le notzioni ponendo [f()] b := f(b) f(). Con quest notzione l tesi del teorem divent b f (t) dt = [f()] b. È evidente l importnz del teorem per il clcolo degli integrli: dovendo clcolre b f() d 9

10 il primo psso consiste nel trovre un funzione F tle che F = f, e pplicre tle F il secondo teorem fondmentle, ottenendo: b f(t) dt = [F ()] b = F (b) F (). 1 Primitive e integrli indefiniti (1.1) Definizione Si f : [, b] R un funzione. Si chim primitiv dell funzione f un funzione F : [, b] R derivbile in [, b] tle che F = f. Per il primo teor. fond., ogni funzione integrle di un funzione continu f è un primitiv di f. (1.2) Definizione Si f : [, b] R un funzione continu. L insieme di tutte le primitive di f viene chimto integrle indefinito di f e viene denotto con f(t) dt. (1.3) Esempio d = = {f : [, b] R : C R : f() = C}. (1.4) Osservzione Due primitive F 1 e F 2 di un stess funzione f differiscono per un costnte. Per questo si us spesso l notzione (impropri) bbrevit f() d = F () + C, dove F è un qulsisi primitiv di f. Osservimo che il secondo teor. fond. or si può prfrsre: l integrle di un funzione continu fr e b ugule ll differenz dei vlori di un su qulsisi primitiv tr b e. 1

11 11 Integrzione per prti e per sostituzione (11.1) Teorem (Integrzione per prti) Sino I un intervllo in R, f, g C 1 (I) e, b I. Allor b f (t)g(t) dt = [ ] b f()g() b Dimostrzione. Si ottiene subito l tesi dlle relzioni b [ ] b (fg) (t) dt = f()g() b (fg) (t) dt = b f (t)g(t) dt + b f(t)g (t) dt., f(t)g (t) dt. (11.2) Teorem (Integrzione per sostituzione) Sino I e J intervlli in R, f C (I), ϕ C 1 (J) e ϕ : J I. Allor per ogni α, β J si h ϕ(β) ϕ(α) f() d = β Inoltre, se ϕ biettiv, per ogni, b I si h b f() d = α ϕ 1 (b) ϕ 1 () f(ϕ(t))ϕ (t) dt. f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Dimostrzione. Si F un primitiv di f. Allor D ltronde ϕ(β) ϕ(α) f() d = [ ] ϕ(β) F () = F (ϕ(β)) F (ϕ(α)). ϕ(α) D(F (ϕ(t)) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t) (ossi F ϕ un primitiv di (f ϕ)ϕ ), e quindi nche 11

12 β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt= [ ] β (F ϕ)(t) =F (ϕ(β)) F (ϕ(α)). α (11.3) Esempio Clcolre l integrle te t dt. Integrimo per prti: ponimo e t = D(e t ), per cui te t dt = = [ te t] td(e t ) dt = [ te t] e t Dt dt = e t 1 dt = [ te t e t] = e e + 1. Quest integrzione prov che l funzione F () = e e +1 è un primitiv di f() = e (verificre che F = f), ovvero che e d = e e + C. (11.4) Esempio Clcolre l integrle d. Volendo eliminre l rdice, si pone t = + 1. Questo vuole dire scegliere nel teorem di integrzione per sostituzione l funzione ϕ(t) = t 2 1, definit su [, + [ e con immgine [ 1, + [, di modo che ne esist l invers, e ppunto ϕ 1 () = + 1. Si h ϕ (t) = 2t. Si ottiene = ϕ 1 (3) d = + 1 ϕ 1 () t 2 1 t 2t dt ϕ(t) ϕ(t) + 1 ϕ (t) dt = ( ) ϕ 1 () = 1, ϕ 1 (3) = 2 12 =

13 2 [ t = 2(t 2 3 1) dt = 2 1 Allo stesso modo per trovre un primitiv di 3 t ] 2 1 = (...) = 8 3. t [ t 3 ] dt = 2 t t 1 +1 si può clcolre l integrle +1 Verificre che si ottiene d = ( 2) C.. 13