1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

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1 Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste il ite (1) esso viene denominto integrle improprio di f in [,[ e denotto con il simolo :=. Se il ite (1) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente. Se il ite (1) è (risp. ), si dice che l integrle improprio di f è divergente positivmente (risp. negtivmente). Definizione 1.2. Si f :], ] R un funzione continu. Se esiste il ite x x. Ovvero (2) esso viene denominto integrle improprio di f in ], ] e denotto con il simolo := x x.. Ovvero Se il ite (2) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente. Se il ite (7) è infinito, si dice che l integrle improprio di f è divergente. In questo prgrfo si trtt sempre con l integrzione in un intorno di. I risultti si ottengono prllelmente per funzioni definite in un intorno di. Cominndo le proprietà elementri dei iti con le proprietà elementri dell integrle definito, imo le seguenti proprietà di se degli integrli generlizzti, ovvero l linerità, l monotoni e l dditività. 1 Dispens ggiornt l 26 Mggio 2008

2 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 2 Proposizione Se f : [,[ R e g : [,[ R sono funzioni continue integrili in senso improprio in [,[, llor l somm f + g è nch ess integrile in senso improprio in [,[ e si h (f + g)(t)dt = + g(t)dt. (3) 2. Se f : [,[ R e g : [,[ R sono funzioni continue integrili in senso improprio in [,[, e se per ogni x si h f(x) g(x), llor si h nche g(t)dt. (4) 3. Si f : [,[ R un funzione continu integrile in senso improprio in [,[. Si > llor f è integrile in senso improprio in [, [ e risult =. (5) Accennimo l cso di funzioni definite su tutto R. Definizione 1.3. Se f : R R è un funzione continu, si dirà poi che ess è integrile in senso improprio in R se esistono e sono finiti entrmi gli integrli generlizzti c, c dove c R è fissto ritrrimente. Se uno dei due iti tende ± e l ltro d un numero rele, oppure se tendono entrmi o, si dice che l integrle improprio di f è divergente (positivmente o negtivmente). Utilizzndo (5), si dimostr che quest definizione è en post, ovvero che non dipende dll scelt di c. Osservzione. Se esiste l integrle improprio di f su R può essere clcolto nche considerndo il ite Vicevers l esistenz del ite x x =. x non comport in generle che f si integrile in senso improprio in tutto R. Se esite il ite precedente viene chimto integrle vlor principle dell funzione f.

3 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 3 Esempio 1.1. Si consider l funzione f(x) = 2x x eppure l integrle vlor principle esiste e risult ess NON è integrile su tutto R perchè 2t t = lg(x2 + 1) = x 2t t = 0. Tornimo discutere l integrilità delle funzioni in un intorno di. Il cso più semplice è quello di funzioni segno costnte. In tl cso è evidente il significto dell integrle generlizzto su intervlli ilitti: si trtt dell re rcchius tr l funzione f e l rett delle scisse e l rett verticle x =. Si osserv che l funzione integrle F : x (6) è sempre crescente se f 0 (essendo F = f) e sempre decrescente se f 0. Quindi esiste il ite Rissumendo si h l seguente proposizione.. Proposizione 1.2. Si f : [, [ R un funzione continu. Se f 0 llor l integrle improprio converge o diverge positivmente. Se f 0 llor l integrle improprio converge o diverge negtivmente. L Proposizione 1.2 e l proprietà di monotoni (5) ci consentono di dimostrre il primo importnte criterio di convergenz per gli integrli impropri. Teorem 1.3. Criterio del confronto per funzioni segno costnte. Sino f : [,[ R e g : [,[ R funzioni continue tli che per ogni x [,[ risulti 0 f(x) g(x). 1. Se 2. Se g(t)dt < llor = llor < e risult g(t)dt =. g(t)dt. Osservzione. Vl l pen di osservre che, usndo l dditività dell integrle, l ipotesi f(x) g(x) per ogni x potree essere indeolit richiedendo f(x) g(x) per ogni x con >.

4 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 4 Teorem 1.4. Criterio del confronto sintotico. Sino f : [,[ R e g : [,[ R funzioni continue strettmente positive tli che esist f(t) t g(t) = l. 1. Si l > 0. L funzione f è integrile in senso improprio in [,[ se e solo se lo è g. 2. Si l = 0. Se l funzione g è integrile in senso improprio in [,[ llor lo è nche f. Se = llor g(t)dt =. 3. Si l =. Se l funzione f è integrile in senso improprio in [,[ llor lo è nche g. Se g(t)dt = llor =. Dimostrzione. 1. Si l > 0. In corrispondenz di ε = l/2 > 0, per l definizione di ite, esiste N > 0 tle che per ogni t > N risult l 2 < f(t). Essendo g > 0 si deduce che g(t) < 3l 2 l 3l g(t) < f(t) < 2 2 g(t). Per ottenere l tesi st pplicre il criterio del confronto e l osservzione precedente. 2. In corrispondenz di ε = 1, per l definizione di ite, esiste N > 0 tle che per ogni t > N risult f(t) g(t) < 1 e quindi f(t) < g(t). Medinte il criterio del confronto e l osservzione precedente, dlle informzioni sull integrilità di g possimo dedurre informzioni sull integrilità di f. Vicevers dll divergenz dell integrle improprio per f si deduce l divergenz dell integrle improprio per g. 3. Si l =. Bst utilizzre il punto precedente scmindo i ruoli di f e di g. Esempio 1.2. Per α R l funzione f(t) = t α definit in [1 + [ è continu in tle intervllo Tle funzione risult integrile in senso improprio in [1, [ se e solo se α > 1. In figur con trtto continuo è rppresentt l curv f(t) = t 1, è trtteggit un curv f(t) = t α con α > 1 ed è punti un curv f(t) = t α con α < 1. Dimostrimo che è finit solo l re sottostnte l curv trtteggit. Inftti 1 Quindi 1 1 { lnx se α = 1 t α dt = x 1 α 1 1 α se α 1 { se α 1 t α dt = 1 α 1 se α > 1

5 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 5 Utilizzndo l funzione f(t) = t α nel criterio del confronto sintotico, si ottiene il seguente. Corollrio 1.5. Si f : [,[ R un funzione continu strettmente positiv tli che esist t tα f(t) = l α. 1. Si l α > 0. L integrle improprio di f su [,[ converge se e solo se α > Si l α = 0. Se α > 1 llor l integrle improprio di f su [,[ converge. 3. Se l α = e α 1 llor l integrle improprio di f su [,[ diverge. 1.1 Assolut integrilità Definizione 1.4. Se f : [,[ R è un funzione continu, si dice che f è ssolutmente integrile in senso improprio in [,[ se l funzione f è integrile in senso improprio in [,[. Inoltre, si dice che l integrle improprio di f è ssolutmente divergente se l integrle improprio di f è divergente positivmente. Dll Proposizione 1.2 segue che ogni funzione nelle precedenti ipotesi, verific lterntivmente un delle due precedenti definizioni. Le nozioni di ssolut integrilità in senso improprio e di integrilità in senso improprio sono equivlenti se l funzione è positiv. Provimo che in generle l ssolut integrilità è un condizione più forte dell integrilità. Teorem 1.6. Se f : [, [ R è un funzione continu, ssolutmente integrile in un intorno di llor f è integrile in un intorno di e vle l seguente relzione f(t) dt. Dimostrzione. Definimo f + := mx{0, f} ed f := mx{0, f}. Risult f + f = f; f + + f = f ; 0 f + f ; 0 f f. Per il teorem di confronto si h che f + ed f sono integrili in senso generlizzto. Ne segue che nche f è integrile in senso generlizzto. Dlle proprietà degli integrli definiti sppimo che f(t) dt. Essendo il vlore ssoluto un funzione continu, ed esistendo tutti i iti coinvolti, possimo pssre l ite per x e dedurre l disuguglinz richiest.

6 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 6 Corollrio 1.7. Criterio del confronto per funzioni segno qulunque. Sino f : [, [ R e g : [, [ R funzioni continue tli che per ogni x [, [ risulti f(x) g(x). 1. Se g è integrile in un intorno di llor f è ssolutmente integrile e quindi integrile in un intorno di. 2. Se l integrle improprio di f su [, ) è ssolutmente divergente llor nche l integrle improprio di g diverge positivmente. Per ottenere il precedente corollrio st utilizzre il Teorem 1.6 e il criterio di confronto 1.3. Esempio 1.3. Esempio di funzione integrile m non ssolutmente integrile. In [3] dimostreremo che π sint dt <, t π sint t dt =. Questo intuitivmente corrisponde d un compenszione di ree positive e negtive qundo non vi è il vlore ssoluto dell funzione Integrli generlizzti di funzioni non itte Considerimo or funzioni non itte l cui ilittezz è dovut solo l comportmento dell funzione nell intorno del punto, destr di esso. Definizione 2.1. Si f :], ] R un funzione continu. Se esiste il ite x + x (7) esso viene denominto integrle improprio di f in [, ] e denotto con il simolo := x + x. Se il ite (7) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente in. Se il ite (7) è (risp. ), si dice che l integrle improprio di f è divergente positivmente (risp. negtivmente) in.. Ovvero Come l solito, l definizione si può dttre l cso di funzioni che sino definite in un intervllo e ilitte vicino l secondo estremo di esso.

7 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 7 Definizione 2.2. Si f : [, [ R un funzione continu. Se esiste il ite x (8) esso viene denominto integrle improprio di f in [, ] e denotto con il simolo := x. Se il ite (8) è un numero rele si dice che f è integrile in senso improprio un intorno di e l integrle improprio di f è convergente. Se il ite (8) è infinito, si dice che l integrle improprio di f è divergente. Richiede invece un po di ttenzione il cso di un funzione definit in un intervllo e che può presentre ilittezz vicino d entrmi gli estremi.. Ovvero Definizione 2.3. Se f :], [ R è un funzione continu, si dirà poi che ess è integrile in senso improprio in [, ] se esistono e sono finiti entrmi gli integrli c, dove c ], [ è fissto ritrrimente. Si pone c (9) = c + c Se uno dei due integrli generlizzti in (9) diverge si dice che l integrle improprio di f è divergente. Medinte l proprietà di dditività dell integrle, si dimostr che quest definizione è en post, ovvero che non dipende dll scelt di c. Quest definizione h senso nche se si consider = oppure = e si interpretno gli integrli genrlizzti in (9) nel senso delle Definizioni 1.1, 1.2. Anche in questo cso possimo ripetere gli rgomenti trttti nel precedente prgrfo. Li riscrivimo solo per funzioni ilitte nel primo estremo dell intervllo. Tutto continu vlere nel cso di funzioni ilitte nel secondo estremo. In prticolre imo l nlogo dell Proposizione 1.2.

8 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 8 Proposizione 2.1. Si f :], ] R un funzione continu. Se f 0 llor l integrle improprio Se f 0 llor l integrle improprio converge o diverge positivmente. converge o diverge negtivmente. Vlgono nche in questo cso i criteri di confronto e di confronto sintotico Teorem 2.2. Criterio del confronto per funzioni segno costnte. Sino f :], ] R e g :], ] R sono funzioni continue tli che per ogni x ], ] risulti f(x) g(x). 1. Se 2. Se g(t)dt < llor = llor < e risult g(t)dt =. g(t)dt. Teorem 2.3. Criterio del confronto sintotico. Sino f :], ] R e g :], ] R funzioni continue strettmente positive tli che esist f(t) t g(t) = l. 1. Si l > 0. L funzione f è integrile in senso improprio in ], ] se e solo se lo è g. 2. Si l = 0. Se l funzione g è integrile in senso improprio in ], ] llor lo è nche f. 3. Si l =. Se g(t)dt = llor = Se volessimo però riscrivere il Corollrio 1.5 dovremmo prim trovre degli integrli impropri cmpione per l situzione che stimo studindo Esempio 2.1. Si t 0 R e α R. Dimostrimo che l funzione f(t) = (t t 0 ) α continu in (t 0, T] con T > t 0, risult integrile in senso improprio in (t 0, T] se e solo se α < 1. In figur con trtto continuo è rppresentt un curv f(t) = t 1, è punti l curv f(t) = t α con α < 1 ed è trtteggit un curv f(t) = t α con α > 1. Dimostrimo che è finit solo l re sottostnte l curv punti. Inftti Quindi T x { lnt ln(x (t t 0 ) α t0 ) se α = 1 dt = T 1 α (x t 0 ) 1 α 1 α se α 1 { se α 1 (t t 0 ) α dt = T 1 α t 0 1 α se α < 1 T Quindi dl criterio di confronto sintotico e dl precedente esempio, segue il seguente criterio. 1

9 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 9 Teorem 2.4. Si f :], ] R e g :], ] R un funzione continu strettmente positiv tle che esist (t t )α f(t) = l α. 1. Si l α > 0. L integrle improprio di f su ], ] converge se e solo se α < Si l α = 0. Se α < 1 llor l integrle improprio di f su ], ] converge. 3. Se l α = e α 1 llor l integrle improprio di f su ], ] diverge. Infine nche per questo tipo di integrli h senso definire l ssolut convergenz che risulterà ncor un volt un condizione più forte dell convergenz. Definizione 2.4. Se f :], ] R è un funzione continu, si dice che f è ssolutmente integrile in senso improprio in [, ] se l funzione f è integrile in senso improprio in [, ]. Inoltre, si dice che l integrle improprio di f è ssolutmente divergente se l integrle improprio di f è divergente. Teorem 2.5. Se f :], ] R è un funzione continu, ssolutmente integrile in un intorno di llor f è integrile in un intorno di e vle l seguente relzione f(t) dt. Corollrio 2.6. Criterio del confronto per funzioni segno qulunque. Sino f :], ] R e g :], ] R sono funzioni continue tli che per ogni x ], ] risulti f(x) g(x). 1. Se g è integrile in [, ] llor f è ssolutmente integrile e quindi integrile in [, ]. 2. Se l integrle improprio di f su [, ] è ssolutmente divergente llor nche l integrle improprio di g diverge positivmente. 3 Generlizzzioni Definizione 3.1. Considerimo infine il cso di un funzione continu in [, ] \ {c} ilitt in c punto interno d [, ]. Un sifftt funzione f si dirà improprimente integrile in [, ] \ {c} se f è improprimente integrile in [, c] e in [c, ]. In tl cso si pone = c + c Anche in questo cso però non possimo dedurre l convergenz dei due integrli dll convergenz dell somm dei iti c + c = ǫ 0 c+ǫ + che potreero nscondere forme indeterminte del tipo [ ]. c ǫ

10 Integrli generlizzti in su intervlli ilitti 10 Dimo or un più generle definizione di funzione integrile in senso improprio. c Definizione 3.2. Si I un intervllo di R ed f : I R un funzione generlmente continu. Ovvero esistono 0, 1,..., n+1 ˆR tli che 0 I oppure 0 = ; 1 <... < n I; n+1 I oppure n+1 = ; e l restrizione di f d I \ { 0, 1,..., n } si continu. Si dice che f è integrile in senso improprio (o generlizzto) in I se f è integrile in senso improprio in ciscun intervllo ] i, i+1 [, in ccordo con le Definizioni 1.1, 1.2, 2.3. Si chim integrle improprio o generlizzto, il numero rele n i+1 =. I i=0 Osservzione. Nei precedenti prgrfi imo ssunto che le funzioni di cui clcolre gli integrli impropri fossero funzioni continue. Quest ipotesi può essere sostituit dll condizione che le funzioni in oggetto sino integrili in ogni sottointervllo [, ] I essendo I l intervllo sul qule si st considerndo l integrli improprio. L unic differenz nell trttzione è nell dimostrzione dell integrilità in senso improprio delle funzioni segno costnte, ovvero le Proposizioni 1.2, 2.1. In tl cso l monotoni dell funzione integrle (6) segue dll dditività dell integrle rispetto ll intervllo di integrzione e non dl segno dell derivt dell funzione integrle. Ad esempio per un funzione grdini definit in tutto [,[ l definizione di integrle improprio in un intorno di si dtt senz lcun prolem e ci consente di dimostrre il criterio dell integrle per le serie numeriche (si ved [3]) Riferimenti iliogrfici [1] Aceri E., Buttzzo G., Primo corso di Anlisi Mtemtic, 1997 Pitgor Editore. [2] Cmpiti M., Anlisi Mtemtic I, Lezioni ed esercizi, 1995 Liguori Editore. [F] Fiorito G., Anlisi Mtemtic 1, 2007 Spzio Liri Editore [3] Lucente S., Appunti integrtivi sulle serie numeriche AA0607, lucente. [4] Pvone M., Integrli impropri e funzioni integrli, 1992 Arcne Editrice. i