DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

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1 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto secondo Riemnn 0 2. Serie numeriche 2.. Serie termini non negtivi Serie lternte 5 3. Appendice: Alfbeto greco 7 Indice nlitico 8 Riferimenti bibliogrfici 9. Integrle di Riemnn Definizione.. Un prtizione dell intervllo chiuso e limitto [, b] è un insieme ordinto P = {x 0,..., x n } costituito d n+ punti tli che x 0 = < x <... x n < x n = b. Definizione.2. Si f : [, b] R un funzione limitt. Definimo somm inferiore di f reltiv ll prtizione P ( s(f, P ) = k= inf f [x k,x k ] ) (x k x k ) Dte: Mggio, 200.

2 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 2 Definimo somm superiore di f reltiv ll prtizione P ( ) S(f, P ) = sup f (x k x k ) [x k,x k ] k= Se l funzione f è positiv in [, b] il significto geometrico di s(f, P ) e di S(f, P ) è quello di somm delle ree dei rettngoli inscritti e circoscritti nel sottogrfico di f, rispettivmente. Osservimo che per ogni prtizione P di [, b] vle sempre s(f, P ) S(f, P ). Inoltre è intuitivo riconoscere che umentndo i punti dell prtizione l somm inferiore ument e l somm superiore diminuisce. prtizione di [, b], si h s(f, P ) s(f, R) S(f, R) S(f, P ) Più in generle llor vle il seguente risultto Pertnto, se P R con R Lemm.. Per ogni P, Q prtizioni di [, b], posto R = P Q, si h ( ) ( ) inf f [,b] (b ) s(f, P ) s(f, R) S(f, R) S(f, Q) sup f [,b] (b ). Pertnto gli insiemi {s(f, P ), P prtizione di [, b]} e {S(f, P ), P prtizione di [, b]} sono seprti. Inoltre sono inferiormente e superiormente limitti. Definizione.3. Definimo integrle inferiore di f su [, b] il numero rele s(f) = sup{s(f, P ), P prtizione di [, b]} Definimo integrle superiore di f su [, b] il numero rele In generle vle sempre S(f) = inf{s(f, P ), P prtizione di [, b]} s(f) S(f).

3 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 3 Definizione.4. Dicimo che l funzione limitt f è integrbile secondo Riemnn su [, b] se s(f) = S(f) e in tl cso chimimo questo numero rele integrle di estremi e b di f e scrivimo f(x)dx = S(f) = s(f) Indichimo con R([, b]) l insieme delle funzioni integrbili secondo Riemnn sull intervllo [, b]. Il seguente teorem fornisce un crtterizzzione delle funzioni integrbili secondo Riemnn su un intervllo [, b]. Teorem.. f R([, b]) se e solo se ɛ > 0 esiste un prtizione P tle che S(f, P ) s(f, P ) < ɛ Dimostrzione. Si f R([, b]). Per definizione S(f) = s(f). Inoltre per l crtterizzzione dell estremo superiore e dell estremo inferiore si h che per ogni ɛ > 0 esistono due prtizioni P e P 2 tli che s(f) ɛ/2 < s(f, P ), S(f) + ɛ/2 > S(f, P 2 ). Si or P = P P 2 si h 0 S(f, P ) s(f, P ) S(f, P 2 ) s(f, P ) < S(f) + ɛ/2 (s(f) ɛ/2) = ɛ. Vicevers, se ɛ > 0 esiste un prtizione P tle che S(f, P ) s(f, P ) < ɛ llor 0 S(f) s(f) S(f, P ) s(f, P ) < ɛ e d questo segue che S(f) = s(f). Inftti, se S(f) > s(f) potremmo scegliere ɛ = S(f) s(f) 2 ottenendo un ssurdo nell disuguglinz precedente.

4 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 4 Corollrio.. Si P n = {x k = + k (b ), k = 0,,..., n} l prtizione di [, b] n costituit d n + punti di ugul distnz x k x k = b. Allor f R([, b]) se n e solo se lim (S(f, P b n) s(f, P n )) = lim n n n ( k= sup f [x k,x k ] inf f [x k,x k ] Vedimo or lcune condizioni sufficienti perchè un funzione limitt si integrbile secondo Riemnn sull intervllo [, b]. ) = 0 Proposizione.. Se f è monoton e limitt su [, b] llor f R([, b]) Dimostrzione. Supponimo f monoton crescente, llor b lim n n ( k= sup f [x k,x k ] inf f [x k,x k ] Anlogmente, se f monoton decrescente, llor b lim n n ( k= sup f [x k,x k ] inf f [x k,x k ] ) ) = lim n b n (f(x k ) f(x k )) k= = lim n b n (f(x n) f(x 0 )) = 0 = lim n b n (f(x k ) f(x k )) k= = lim n b n (f(x 0) f(x n )) = 0 Proposizione.2. Se f C([, b]) llor f R([, b]) Dimostrzione. Per il Teorem di Cntor (che qui non dimostrimo) vle l seguente condizione di uniforme continuità per f C([, b]) : ɛ > 0 esiste un δ > 0 tle che x, y [, b], tli che x y < δ si h f(x) f(y) < ɛ.

5 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 5 M llor scelgo n tle che b < δ ed ottengo n ( ) b sup f inf n f [x k,x k ] [x k,x k ] b n k= b n k= sup [x k,x k ] ɛ = (b )ɛ k= f inf f [x k,x k ] Definizione.5. Dicimo che f è continu trtti su [, b] se h l più un numero finito di discontinuità di prim specie. Proposizione.3. Se f è limitt e continu trtti su [, b] llor f R([, b]).. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn. Elenchimo or lcune proprietà elementri dell integrle di Riemnn che si dimostrno utilizzndo l definizione. Proposizione.4 (Additività rispetto ll intervllo). Si f R([, b]). Allor per ogni c [, b] f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx Proposizione.5 (linerità). Sino f, g R([, b]). Allor f + g R([, b]) e per ogni c R, cf R([, b]). Inoltre (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx, Se < b, convenimo di porre d cui segue f(x)dx = b f(x)dx = 0 f(x)dx, (cf)(x)dx = c f(x)dx Proposizione.6 (Teoremi del confronto). Sino f, g R([, b]). Se f 0 llor f(x)dx 0.

6 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 6 Se f g llor f(x)dx g(x)dx. Se f R([, b]), poichè f f f si h sempre f(x)dx f(x) dx..2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive. Il risultto che segue srà utile nell prov del teorem fondmentle del clcolo integrle Teorem.2 (Teorem dell medi integrle). Si f C([, b]). Allor esiste c [, b] tle che f(c) = f(x)dx b Il termine destr dell uguglinz si chim medi integrle di f ed è l nlogo nel continuo dell medi ritmetic. Dimostrzione. f R([, b]) pertnto si λ = R b f(x)dx b. Per il Teorem di Weierstss m = min [,b] f f(x) mx [,b] f = M e per il precedente Teorem del confronto m = min [,b] f λ mx [,b] f = M. Per il teorem dei vlori intermedi per le funzioni continue possimo concludere che esiste un c [, b] tle che f(c) = λ [m, M]. Il seguente teorem ci fornisce un metodo diretto per il clcolo esplicito di integrli di funzioni continue. Teorem.3 (Teorem fondmentle del clcolo integrle). Si f C([, b]). Allor l funzione integrle () F (x) = x f(t)dt è derivbile in ogni punto di [, b] e F (x) = f(x) per ogni x [, b]

7 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 7 Dimostrzione. Fccimo il rpporto incrementle per l funzione integrle F nel punto x e usimo l ddittività dell integrle rispetto ll intervllo e il teorem dell medi integrle F (x + h) F (x) h = = x+h x+h x f(t)dt x f(t)dt h f(t)dt h = f(x h ) per un opportuno x h [x, x + h]. Si h lim h 0 x h = x e siccome f è continu lim h 0 f(x h ) = f(x). M llor pssndo l limite per h 0 nell precedente uguglinz si ottiene che esiste F (x) = f(x) per ogni x [, b]. Definizione.6. Un funzione G si dice un primitiv di f se G è derivbile in [, b] e se G (x) = f(x) per ogni x [, b]. Osservzione.. L funzione integrle definit in () è un primitiv di f C([, b]). Inoltre, se G è un ltr primitiv di f llor esiste un costnte c R tle che G(x) = F (x) + c per ogni x [, b]. Inftti deve essere G (x) F (x) 0 e pertnto l funzione F G deve essere costnte su [.b] Abbimo llor l seguente formul Teorem.4 (Formul fondmentle del clcolo integrle). Si f C([, b]) e si G un primitiv di f in [, b]. Allor f(x)dx = [G(x)] b := G(b) G() Dimostrzione. Si F l funzione integrle definit in (). Si h f(t)dt = F (b) F ().

8 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 8 Si or G un ltr primitiv di f. Per l osservzione. esiste un costnte c R tle che F (x) = G(x) + c per ogni x [, b]. Allor f(t)dt = F (b) F () = (G(b) + c) (G() + c) = G(b) G(). Dll formul fondmentle del clcolo integrle segue che, se conosco G un primitiv di f llor posso clcolre l integrle di f semplicemente vlutndo G gli estremi dell intervllo. Vedimo or lcuni metodi che sono utili nel clcolo di integrli di funzioni di cui non si conosce un primitiv. Teorem.5 (Integrzione per prti). Sino f, g C ([, b]). Allor f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] b f(x)g (x)dx Dimostrzione. Dll formul di derivzione di un prodotto (fg) = f g + g f e dl teorem fondmentle del clcolo integrle segue che [fg] b = (fg) (x)dx = f (x)g(x)dx + g (x)f(x)dx. Esempio.. Il teorem di integrzione per prti è utile per clcolre integrli del seguente tipo: p(x) cos xdx, p(x) sin xdx, p(x) exp xdx, dove p(x) è un polinomio in x, perchè permette di bbssre il grdo del polinomio p. È inoltre utile nel clcolo di integrli notevoli del tipo cos 2 xdx, sin 2 xdx.

9 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 9 Ad esempio A = cos 2 xdx = =[cos x sin x] b =[cos x sin x] b + =[cos x sin x] b + =[cos x sin x + x] b A cos x(sin x) dx (cos x) sin xdx sin 2 xdx ( cos 2 x)dx d cui ottenimo 2A = [cos x sin x + x] b e pertnto A = 2 [cos x sin x + x]b Teorem.6 (Del cmbimento di vribile). Si f C([, b]) e si φ : [α, β] [, b] un funzione iniettiv, suriettiv, di clsse C e tle che φ 0. Allor f(x)dx = φ (b) φ () f(φ(t))φ (t)dt Dimostrzione. Si F un primitiv di f. Allor F = f, e per l formul di derivzione dell composizione, F φ è un primitiv di (f φ)φ perchè (F φ) (t) = F (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ (t). Pertnto per l formul fondmentle del clcolo integrle φ (b) φ () f(φ(t))φ (t)dt = [F (φ(t)] φ (b) φ () = F (b) F () = f(x)dx. Esempio.2. Il teorem del cmbimento di vribile è utile nel clcolo di integrli del tipo + λ 2 x 2 dx,

10 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 0 con λ 0. Inftti posto λx = t, x = φ(t) = t λ, φ (t) = λ + λ 2 x dx = λb 2 λ λ + t dt = [rctn 2 t]λb λ λ..3. Integrle generlizzto secondo Riemnn. In quest sezione considerimo funzioni definite su un intervllo illimitto del tipo [, + [ oppure funzioni non limitte definite su un intervllo limitto del tipo [, b]. Definizione.7. Si f : [, + [ R. Dicimo che f è integrbile in senso generlizzto secondo Riemnn sull intervllo [, + [ se f R([, M]) per ogni M > e se esiste, finito o infinito, il limite seguente In tl cso ponimo Esempio.3. + x dx = Si or p > rele + Se invece p < rele perchè p > M lim M + x dx = p x dx = p M lim f(x)dx. M + f(x)dx = x dx = lim M + M lim f(x)dx. M + lim [ln M + x ]M = lim ln M = + M + M M p = lim M + p lim M + M M p = lim M + p [ ] x p M x dx = lim p M + p = p [ ] x p M x dx = lim p M + p = +

11 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA Definizione.8. Si f : [0, b] non limitt in 0. Dicimo che f è integrbile in senso generlizzto secondo Riemnn sull intervllo [0, b] se f R([ε, b]) per ogni 0 < ε < b e se esiste, finito o infinito, il limite seguente In tl cso ponimo 0 lim ε 0 + ε f(x)dx = lim ε 0 + f(x)dx. ε f(x)dx. Esempio.4. dx = lim dx = lim 0 x ε 0 + ε x ε 0 +[ln x ] ε = lim ln ε = + ε 0 + Si or p > rele Se invece p < rele perchè p > [ ] x p dx = lim dx = lim xp ε 0 + ε xp ε 0 + p ε ε p = lim = + ε 0 + p dx = lim xp ε 0 + ε = lim ε 0 + ε p p [ ] x p dx = lim xp ε 0 + p ε = p 2. Serie numeriche Definizione 2.. Si ( n ) n N un successione di numeri reli. Definimo l successione delle somme przili n-esime S n = k = n. k= Se esiste, finito o infinito, il limite dell successione S n, ponimo lim S n = n. n n=

12 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 2 Dicimo che l serie n= n è convergente se lim n S n = s R e in tl cso dicimo che s è l somm dell serie. Dicimo che l serie n= n è divergente se lim n S n = + (oppure lim n S n = ). In tl cso scriveremo n= n = + (rispettivmente n= n = ). Dicimo che l serie n= n è irregolre se non esiste lim n S n. Esempio 2.. L serie n= ( )n è irregolre perchè S 2n = 0, S 2n+ = e pertnto non esiste lim n S n. Teorem 2. (Condizione necessri per l convergenz di un serie). Se l serie n= n è convergente, llor lim n = 0. n Dimostrzione. Si lim n S n = s. Siccome per definizione S n = S n + n bbimo che n = S n S n n s s = 0 Osservzione 2.. L condizione necessri del Teorem precedente non è sufficiente, come mostr l esempio 2.3 L unic serie di cui si riesce clcolre fcilmente l somm è l serie geometric, ed è molto importnte perchè interviene in molti settori, d esempio in sttistic, in probbilità, in mtemtic finnziri, ecc. Esempio 2.2 (serie geometric). L serie geometric di rgione x R è x n. Se x = bbimo che S n = n + + e pertnto n=0 xn = +. n=0 Se x, moltiplichimo S n per ( x) e ottenimo ( x)s n = ( x)( + x + + x n ) = + x + + x n (x + + x n+ ) = x n+.

13 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 3 Pertnto S n = xn+ x e pssndo l limite per n ottenimo i seguenti csi, se x < n=0 x n = x. se x > x n = +. n=0 se x l serie n=0 xn è irregolre 2.. Serie termini non negtivi. In quest sezione considerimo serie termini non negtivi, precismente n 0 per ogni n N. Teorem 2.2. Un serie termini non negtivi è divergente o convergente. Dimostrzione. L successione delle somme przili S n = S n + n S n è monoton crescente e pertnto h limite, finito o infinito. Per stbilire se un serie termini non negtivi è convergente o divergente è utile il seguente teorem del confronto Teorem 2.3. Teorem del confronto per le serie Si 0 n b n per ogni n N. Se n= n = + llor n= b n = +. Se n= b n < + llor n= n < +. Dimostrzione. Segue dl teorem del confronto per le successioni delle somme przili

14 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 4 Esempio 2.3 (Serie Armonic). L serie n= n delle somme przili diverge, inftti S n = k = k k= k+ k= k k+ k= k dx = x dx = k= k n+ è divergente perchè l successione k+ k dx x dx n + Esempio 2.4 (Serie Armonic generlizzt). L serie n= p >, perchè l successione delle somme przili converge, inftti S n = k = + k k dx = + p k p k dx p k= + k=2 k k k=2 k x p dx = + k=2 n k x p dx n + n p + è convergente per dx < + xp Confrontndo un serie numeric termini non negtivi con l serie geometric è possibile dimostrre i seguenti criteri Teorem 2.4 (Criterio del rpporto). Si n 0. Se esiste n+ lim n n = l R {+ } se l <, l serie n= n è convergente se l >, l serie n= n è divergente se l =, il criterio è inefficce Teorem 2.5 (Criterio dell rdice). Si n 0. Se esiste lim n /n = l R {+ } n se l <, l serie n= n è convergente se l >, l serie n= n è divergente se l =, il criterio è inefficce Confrontndo un serie numeric termini non negtivi con l serie rmonic e con l serie rmonic generlizzt è possibile dimostrre il seguente criterio

15 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 5 Teorem 2.6 (Criterio degli infinitesimi). Si n 0. Se esiste lim n np n = l R {+ } se p >, e l < +, l serie n= n è convergente se p, e l 0, l serie n= n è divergente 2.2. Serie lternte. Per le serie segno lterno i criteri dell precedente sezione sono inefficci. Vle invece il seguente Teorem 2.7 (Criterio di Leibnitz). Se n 0 è un successione monoton decrescente, tle che lim n 0 n = 0, llor ( ) n n < +. n= Dimostrzione. Si S n l successione delle somme przili. Per l monotoni di n si h S 2n+ = S 2n + 2n 2n+ S 2n, S 2n = S 2n 2 + 2n 2n S 2n 2 e siccome n 0 S S 2n S 2n+ = S 2n 2n+ S 2n S 2n 2 S 2 Pertnto S 2n è un successione monoton decrescente inferiormente limitt, e quindi esiste lim n S 2n = s, S 2n+ è un successione monoton crescente superiormente limitt, e quindi esiste lim n S 2n+ = σ. Inoltre deve essere s = σ perchè σ s = lim n (S 2n+ S 2n ) = lim n 2n+ = 0 Pertnto esiste finito il lim n S n e dunque l serie n= ( )n n è convergente. Esempio 2.5. Per ogni p > 0 l serie ( ) n n p n= è convergente perchè l successione n = n p per n. è monoton decrescente e tende zero

16 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 6 Teorem 2.8 (Convergenz ssolut). Se n= n < + llor n < +. n= Dimostrzione. Siccome 0 n + n 2 n per ogni n N, per il criterio del confronto n + n < + n= Si llor n= ( n + n ) = α e indichimo con β = n= n. Si h k = ( k + k ) k n α β. k= k= Osservzione 2.2. L serie dell esempio 2.5 con p = è convergente, m non è ssolutmente convergente. Pertnto non vle il vicevers del Teorem 2.8. k=

17 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 7 3. Appendice: Alfbeto greco α lph β bet γ gmm, Γ Gmm δ delt, Delt ɛ ε epsilon ζ zet η et θ ϑ thet, Θ Thet ι iot κ kpp λ lmbd, Λ Lmbd µ mu ν nu ξ xi, Ξ Xi o o π pi, Π Pi ρ ϱ rho σ ς sigm, Σ Sigm τ tu υ upsilon, Υ Upsilon φ ϕ phi, Φ Phi χ chi ψ psi, Ψ Psi ω omeg, Ω Omeg

18 Indice nlitico prtizione somm inferiore somm superiore 2 integrle inferiore 2 integrle superiore 2 funzione integrbile 3 Teorem dell medi integrle 6 Teorem fondmentle del clcolo integrle 6 Teorem fondmentle del clcolo integrle 6 funzione integrle 6 funzione primitiv 7 Formul fondmentle del clcolo integrle 7 Teorem di integrzione per prti 8 Teorem del cmbimento di vribile 9 funzione integrbile in senso generlizzto secondo Riemnn 0 funzione integrbile in senso generlizzto secondo Riemnn Serie numeriche successione delle somme przili serie convergente 2 serie divergente 2 serie irregolre 2 Condizione necessri per l convergenz di un serie 2 serie geometric 2 Serie termini non negtivi 3 teorem del confronto per le serie 3 criterio del rpporto per le serie 4 criterio dell rdice per le serie 4 criterio degli infinitesimi per le serie 5 criterio di Leibnitz per le serie 5 convergenz ssolut per le serie 5 8

19 DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA 9 Riferimenti bibliogrfici [] E. Lnconelli. Lezioni di nlisi mtemtic. Bologn. Pitgor Editrice, 994. [2] P. Mrcellini, C. Sbordone. Elementi di nlisi mtemtic uno. Npoli. Liguori Editore, [3] P. Mrcellini, C. Sbordone. Esercitzioni di mtemtic, Vol, prte prim e second. Npoli. Liguori Editore, 995.