Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1)

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1 Registro delle lezioni del corso di Anlisi Mtemtic 2 Università di Firenze - Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure in Ingegneri Meccnic M Z.. 20/202 - Prof. M.Ptrizi Per Prim prte (Argomenti di Anlisi Mtemtic ) settimn - inizio lezioni Testi di riferimento : - Anichini G. Conti G., Anlisi Mtemtic, Person Eduction, Anichini G. Conti G., Anlisi Mtemtic 2, Person Eduction, 200. Testi consigliti per consultzione : - Bertsch M. Dl Psso R. Gicomelli L., Anlisi Mtemtic, McGrw Hill, Milno Giquint M. Modic G., Note di Anlisi Mtemtic. Funzioni di un vribile, Pitgor Editrice, Bologn Giquint M. Modic G., Note di Anlisi Mtemtic. Funzioni di più vribili, Pitgor Editrice, Bologn Testo consiglito per i prerequisiti: - Anichini G. Crbone A. Chirelli P. Conti G., Precorso di Mtemtic, Person Eduction, 200. Testi consigliti per esercizi: - Benevieri P., Esercizi di Anlisi Mtemtic, Ed. De Agostini, Mrcellini P. Sbordone C., Esercitzioni di Mtemtic, Liguori Editore. - Mrcellini P. Sbordone C., Esercitzioni di Mtemtic 2, Liguori Editore. - Sls S. Squellti A., Esercizi di Anlisi Mtemtic, Znichelli, Sls S. Squellti A., Esercizi di Anlisi Mtemtic 2, Znichelli, 20. Versione del 24 prile 202

2 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Complementi sull teori dei iti Ricordimo che un funzione si dice infinitesim per x α (dove α può essere x 0 R o uno dei simboli x 0, x+ 0, +, ) se tende zero per x α. Anlogmente, diremo che un funzione è infinit per x α se tende ll infinito (per x α). I teoremi di de l Hôpitl sono utili strumenti per il clcolo del ite del rpporto di due funzioni entrmbe infinitesime o infinite per x α. In ltre prole, rppresentno un rtificio (nche se non l unico) per determinre il ite delle cosiddette forme indeterminte 0/0 e /. Si possono nche usre (con opportune trsformzioni) per risolvere forme indeterminte del tipo 0, 0 0,, 0. Teorem. (di de l Hôpitl) Sino f e g due funzioni infinitesime o infinite per x α e derivbili in un intorno forto di α. Supponimo che in tle intorno si bbi g (x) 0. Allor, se esiste il ite (finito o infinito) per x α di f (x)/g (x), risult f(x) x α g(x) = f (x) x α g (x). Per dre un ide del significto del teorem considerimo il cso prticolre in cui f e g sino derivbili con continuità d esempio in un intervllo (x 0 δ, x 0 + δ) e sino tli che f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 e g (x 0 ) 0. In tl cso, ricordndo l equivlenz tr derivbilità e differenzibilità per funzioni di un vribile si ottiene, in un opportuno intorno forto di x 0, f(x) g(x) = f(x 0) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ɛ (x x 0 ) = = (x x 0)(f (x 0 ) + ɛ(x x 0 )) (x x 0 )(g (x 0 ) + ɛ (x x 0 )) = f (x 0 ) + ɛ(x x 0 ) g (x 0 ) + ɛ (x x 0 ), dove ɛ e ɛ sono funzioni infinitesime e continue in x 0. Pssndo l ite per x x 0 si ottiene f(x) x x 0 g(x) = f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x) x x 0 g (x). Osservzione. L condizione espress dl Teorem di de l Hôpitl è solo sufficiente. Ad esempio inftti tende 2/3 per x +, m f(x) g(x) = 2x + cos x 3x + sen x f (x) g (x) = 2 sen x 3 + cos x Versione del 24 prile 202 2

3 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per non mmette ite per x +. Esempio. E utile l ppliczione del Teorem di de l Hôpitl per provre i seguenti iti: x n x + e x = 0 ; log x x + x = 0 ; Ad esempio, per qunto rigurd il primo ite, se pplichimo n volte il teorem di de l Hôpitl ci riducimo clcolre n! x + e x che ovvimente vle 0 (ricordimo che, dto n N, n, il numero n!, che si legge n fttorile, è così definito n! = n (n ) (n 2) 3 2 ). Esempio. Il Teorem di de L Hôpitl si può pplicre nche in lcuni csi in cui il rpporto f(x)/g(x) non è immeditmente riconoscibile. Per esempio, si può provre che x 0 x log x = 0 con de L Hôpitl scrivendo x log x = log x /x. Più in generle, con lo stesso metodo, si ottiene che Anlogmente x 0 xα ( log x ) β = 0, (α > 0, β > 0). x 0 xx = si può clcolre scrivendo x x = e x log x (cioè medinte l definizione di potenz in cmpo rele) e riconducendosi l cso precedente. Osservzione. In lcuni csi l uso del Teorem di de l Hôpitl non port d lcun risultto. Ad esempio, sino f(x) = x 2 +, g(x) = x e, quindi, f (x) = x, x 2 + g (x) =. Applicndo il Teorem di de l Hôpitl si ottiene f (x) x + g (x) = x + x x 2 +, che è il ite dell funzione reciproc di quell di prtenz. D ltr prte, d un clcolo diretto, si h subito f(x) x x + g(x) = 2 + =. x + x Versione del 24 prile 202 3

4 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservzione. Nell pplicre il Teorem di de l Hôpitl si deve fre ttenzione che le ipotesi sino rispettte; per esempio che il ite di un rpporto f(x)/g(x) si un form indetermint. Se inftti lo pplicssimo l rpporto x/(x + ) per x 0, che non è un form indetermint, otterremmo che ovvimente è flso. Clcolo di x α f(x) g(x). x 0 x x + =, Considerimo il ite per x α di un funzione del tipo f(x) g(x), dove f(x) > 0. Poiché ogni numero positivo c può essere scritto nell form e log c, si h f(x) g(x) = e log f(x)g(x) = e g(x) log f(x). È importnte quindi studire il ite per x α dell funzione g(x) log f(x). Per semplicità di linguggio, in ciò che segue, fccimo le seguenti convenzioni: e = 0, e + = +, log 0 =, log(+ ) = +. Supponimo che, per x α, f(x) e g(x) b, dove e b pprtengono i reli estesi. Nel cso che b log non si un form indetermint, in bse lle convenzioni ftte sopr possimo ffermre che x α f(x)g(x) = e g(x) log f(x) = e x α g(x) log f(x) = e b log. x α Ovvimente, nei pssggi precedenti si è tenuto conto dell continuità delle funzioni e x e log x. Anlizzimo or in quli csi l form b log risult indetermint. Si hnno solo due possibilità: ) b = 0 e log = ; 2) b = e log = 0. Il primo cso dà luogo due sottocsi: = 0 e = +. Il cso 2) può cpitre solo se =. L form b log risult quindi indetermint nelle seguenti tre situzioni: ) = 0 e b = 0 (form indetermint 0 0 ); b) = + e b = 0 (form indetermint 0 ); c) = e b = (form indetermint ). Esempi di forme indeterminte delle potenze: (0 0 ) x 0 x x = x 0 e x log x = e x 0 x log x = e 0 = ; ( 0 ) x + x /x = x + e log x/x = e x + log x/x = e 0 = ; Versione del 24 prile 202 4

5 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ( ) x 0 ( + x) /x = e x 0 (/x) log(+x) = e = e. Per i primi due iti simo ricondotti x 0 x log x e x + log x/x che, come bbimo visto, si clcolno immeditmente pplicndo il Teorem di de l Hôpitl. Il terzo ite dipende dl ite notevole x 0 log( + x)/x =. Si potrebbe pensre di clcolre in modo più semplice x 0 log(+x)/x pplicndo il Teorem di de l Hôpitl invece di ricorrere ll dimostrzione più complict di tle ite notevole ftt in precedenz. Bst però osservre che tle ite notevole non è ltro che il ite del rpporto incrementle dell funzione x log( + x) in x 0 = 0 (cioè è l derivt di x log( + x) in x 0 = 0) e quindi non vrebbe senso usre l derivt di x log(+x) (cos che si frebbe pplicndo il Teorem di de l Hôpitl) per clcolre l derivt di x log( + x). Infinitesimi e infiniti Definizione. Sino f, g due infinitesimi [infiniti] per x α, dove con α indicheremo x 0 R oppure uno dei simboli +,, x + 0, x 0. Supponimo g(x) 0 in un intorno forto di α. Si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine se il rpporto f(x)/g(x) tende d un numero finito e diverso d zero (per x α). Si dice che f e g sono due infinitesimi [infiniti] equivlenti (per x α), e si scrive f(x) = g(x) per x α, se f(x)/g(x) per x α. Si osservi che se due infinitesimi [infiniti] sono equivlenti, llor sono nche dello stesso ordine (m in generle non è vero il vicevers). Si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore [infinito di ordine inferiore ] g(x) se il rpporto f(x)/g(x) tende zero per x α. Si dice che due infinitesimi [infiniti] sono non confrontbili se il rpporto f(x)/g(x) non mmette ite per x α. Tlvolt, qundo si fferm che un cert funzione f(x) è infinitesim [infinit] per x α, risult superflu l preciszione per x α, qundo è evidente dl contesto o dll ntur di f(x) qule si il punto α cui deve tendere l vribile ffinché f(x) risulti infinitesim [infinit]. Ad esempio, se si fferm che x 2 è un infinitesimo, è inutile ggiungere che lo è per x 0, in qunto x = 0 è l unico possibile punto cui può tendere x in modo che x 2 si un infinitesimo. Esempi di infinitesimi per x 0 : x, sen x, x, x + x 2, cos x, x, x 2 /( + cos x), 2x, x 2 x, tng(πx) x 2 sen(/x). Tenendo presente le regole di clcolo dei iti, osservimo che (per x 0) x = sen x, che cos x è di ordine superiore d x, che cos x è dello stesso ordine di x 2 (m non equivlente), che x è di ordine superiore x, che cos x = x 2 /2 = x 2 /(+cos x), che 2x e x 2 x sono dello stesso ordine, che tng(πx) = πx, che x 2 sen(/x) è di ordine superiore x m non è confrontbile con x 2. Versione del 24 prile 202 5

6 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempi di infinitesimi per x + : /x, /x 2, / x, /(x + x 2 ), sen x/(x cos x), / x, 2/x + /x 3, x/( + x x 2 ), sen(/x), sen(/x) + /x 2. Osservimo che (per x + ) /x 2 è di ordine superiore /x, che /(x + x 2 ) è equivlente /x 2 ; che /x è dello stesso ordine di 2/x + /x 3, che x/( + x x 2 ) e sen(/x) + /x 2 sono dello stesso ordine. Ulteriori esempi di infinitesimi: sen x per x π; sen x/x per x ± ; 2 x per x 2; 2 x per x 2 ; 2 x per x 2; 2 x per x 2 + ; /x per x ; /x per x ± ; x + x 2 per x ; x x 2 per x + ; tng x per x π. Esempi di infiniti per x + o per x : x, x, x + x 2, x, x ( > ), log x x 3 /( + rctng x), 3x 2, x 2 x, x 2 sen(/x), x 2 (3 + sen x). Tenendo presente le regole di clcolo dei iti, osservimo che (per x ± ) x+ x 2 è dello stesso ordine di x 2 m è di ordine superiore d x, che x 3 /(+rctng x) è dello stesso ordine di x 3 (m non equivlente), che x è di ordine superiore x, che 3x 2 e x 2 x sono dello stesso ordine, che x 2 sen(/x) è dello stesso ordine di x, che x 2 (3 + sen x) è di ordine superiore x, m non è confrontbile con x 2. Esempi di infiniti per x 0 : /x, /x 2, / x, /(x + x 2 ), / x, 2/x + /x 3, x/(x x 2 ). Osservimo, d esempio, che /(x + x 2 ) è dello stesso ordine di /x mentre è di ordine inferiore /x 2 e che 2/x + /x 3 è dello stesso ordine di /x 3 Ulteriori esempi di infiniti: / sen x per x π + ; / sen x per x π ; / 2 x per x 2 ; / 2 x per x 2; / log x per x ; tng x per x π/2 ; tng x per x π/2 +. Definizione. Sino f, g due infinitesimi [infiniti] per x α. Supponimo g(x) 0 in un intorno forto di α. Se esistono k > 0 e l 0 tli che x α f(x) (g(x)) k = l, Versione del 24 prile 202 6

7 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per si dice che f(x) è un infinitesimo [infinito] di ordine k > 0 rispetto ll infinitesimo cmpione g(x). Osservzione. L più semplice funzione infinitesim per x 0 è g(x) = x. Per questo motivo tle funzione viene spesso considert un riferimento per gli ltri infinitesimi per x 0. Si us dire inftti che f(x) è un infinitesimo del primo ordine se è dello stesso ordine di x, che è del secondo se è dello stesso ordine di x 2, che è di ordine superiore l primo se è di ordine superiore d x, e così vi. Più in generle, se x x 0 R si us come infinitesimo cmpione g(x) = x x 0 e, se x ±, si prende g(x) = /x. In mnier nlog, come infinito cmpione se x ± si us g(x) = x, mentre se x x 0 R si prende g(x) = /(x x 0 ). Se k non è un numero nturle, si deve prestre ttenzione l ftto che l infinitesimo [infinito] cmpione g(x) dovrà essere > 0 ffinché (g(x)) k si definito. Ad esempio f(x) = sen( x) è un infinitesimo di ordine /2 per x, cioè rispetto ll infinitesimo cmpione g(x) = x, m non vrebbe senso considerre g(x) = x. Esempio. Osservimo che sen x e tng x sono, per x 0, infinitesimi di ordine rispetto x, che cos x è di ordine 2 rispetto x; che x x 2, per x +, è un infinitesimo di ordine rispetto /x; che x2 x x, per x +, è un infinito di ordine 3/2 rispetto x. Osservzione. Non sempre esiste l ordine di un infinitesimo [infinito]. Ad esempio, usndo il Teorem di de l Hôpitl, bbimo provto che x + x = +, ( > ), xk qulunque si k > 0. Si esprime questo ftto dicendo che x è un infinito di ordine superiore qulunque k > 0. Abbimo nche provto che x 0 xα ( log x ) β ( log x ) β = x 0 /x α = 0, (β > 0), qulunque si α > 0. Si esprime questo ftto dicendo che ( log x ) β è un infinito (per x 0) di ordine inferiore qulunque α > 0. Prte principle di un infinitesimo. Si f(x) un infinitesimo di ordine k > 0 rispetto g(x). Perciò, esiste l 0 tle che x α f(x) (g(x)) k = l. Versione del 24 prile 202 7

8 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Di conseguenz, d cui l funzione f(x) l(g(x)) k x α (g(x)) k = 0, ɛ(x) := f(x) l(g(x))k (g(x)) k, è infinitesim per x α. Perciò, per x pprtenente d un intorno forto di α nel qule g(x) 0, si h f(x) = l (g(x)) k + ɛ(x)(g(x)) k. L infinitesimo l (g(x)) k è detto l prte principle di f(x) (rispetto ll infinitesimo cmpione g(x)). In prticolre, se f(x) un infinitesimo di ordine k rispetto g(x) = x e se l x k è l su prte principle, llor f(x) e l x k sono infinitesimi equivlenti. Notzione. Sino f, g due infinitesimi per x α. Se f(x) è di ordine superiore g(x), cioè se x α f(x)/g(x) = 0, si scrive f(x) = o(g(x)) e si legge f(x) è o-piccolo di g(x) per x tendente d α. Il simbolo o-piccolo è detto simbolo di Lndu. Esempio. L infinitesimo f(x) = sen x 2 è, per x 0, di ordine superiore l primo in qunto x 0 (sen x 2 )/x = 0. Si scrive sen x 2 = o(x). In mnier nlog, cos x = o(x). Con l notzione di Lndu, potremo nche scrivere l uguglinz sopr nel modo seguente: f(x) = l (g(x)) k + o((g(x)) k ). Esempio. Abbimo visto che f(x) = sen x è, per x 0, un infinitesimo di ordine rispetto x poiché (sen x)/x per x 0. Con l notzione di Lndu introdott sopr potremo rccogliere quest informzione nell seguente scrittur: sen x = x + o(x). In mnier nlog potremo scrivere cos x = 2 x2 + o(x 2 ). Osservimo inoltre che l prte principle (rispetto x) di f(x) = sen x è x, mentre quell di f(x) = cos x è (/2) x 2. Versione del 24 prile 202 8

9 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per 2 settimn - dl Esercizio. Determinre l ordine di infinitesimo (per x 0) e l prte principle (rispetto x) dei seguenti infinitesimi : x sen(2x), x 3, x cos(2x), x 2 x 3, 2 4 x. Esercizio. Determinre l ordine di infinitesimo per x + di f(x) = 3 x 5 + rctng x x x 5. Proposizione (Algebr degli 0-piccoli). Sino f e ϕ due infinitesimi per x 0. Sono di fcile verific le seguenti proprietà (k, j > 0):. se f(x) = o(x k ), llor x j f(x) = o(x k+j ); 2. se f(x) = o(x k ), llor cf(x) = o(cx k ) = o(x k ), c 0; 3. se f(x) = o(x k ) e ϕ(x) = o(x j ) llor f(x)ϕ(x) = o(x k+j ); 4. se f(x) = o(x k ) e j < k, llor f(x) = o(x j ); 5. se f(x) = o(x k ) e ϕ(x) = o(x j ) llor f(x) ± ϕ(x) = o(x h ), h = min{k, j}; 6. se f(x) = o(o(x k )), llor f(x) = o(x k ); 7. se f(x) = o(x k + o(x k )), llor f(x) = o(x k ). Dimostrzione. Provimo l 3). Si h Provimo l 4). Si h f(x)ϕ(x) f(x) x 0 x k+j = x 0 x k ϕ(x) x 0 x j = 0. f(x) f(x) x k x 0 x j = x 0 x k x j = f(x) x 0 x k xk j = 0 L dimostrzione delle ltre proprietà è nlog e viene lscit per esercizio. Esempio. Trovre l ordine di infinitesimo per x 0 di f(x)ϕ(x) e di f(x)/ϕ(x) dove f(x) = sen x 2 + x 3 e ϕ(x) = cos x + 3 x 2. Si h f(x)ϕ(x) = (x 2 + o(x 2 ) + x 3 )((/2)x 2 + o(x 2 ) + 3 x 2 ) = (x 2 + o(x 2 ))( 3 x 2 + o( 3 x 2 )) = x 8/3 + o(x 8/3 ) Versione del 24 prile 202 9

10 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per e f(x) ϕ(x) = x 2 + o(x 2 ) + x 3 ((/2)x 2 + o(x 2 ) + 3 x 2 ) = (x 2 + o(x 2 )) ( 3 x 2 + o( 3 x 2 )) = x2 2/3 ( + o(x 2 )/x 2 ) + o ( 3 x 2 )/ 3 x 2 Perciò f(x)ϕ(x) è, per x 0, un infinitesimo di ordine 8/3 rispetto x mentre f(x)/ϕ(x) è di ordine 4/3. Formul di Tylor Abbimo visto che, dt f : I R definit in un intervllo perto I e derivbile in un punto x 0 I, esiste un unico polinomio di primo grdo P (h) = f(x 0 )+f (x 0 )h tle che f(x 0 + h) P (h) = 0. h 0 h In tl cso, potremo scrivere f(x 0 + h) = P (h) + ɛ(h)h, dove l funzione ɛ(h) è continu in zero e null in zero. Proveremo che se f è derivbile n volte in x 0, esiste un unico polinomio P n (h) di grdo n tle che f(x 0 + h) P n (h) h 0 h n = 0. Ricordimo che, dto n N, n, il numero n! (si legge n fttorile) è così definito n! = n (n ) (n 2) 3 2. Esso denot cioè il prodotto di tutti i numeri nturli minori o uguli d n. Pertnto! =, 2! = 2, 3! = 3 2, ecc. È inoltre conveniente definire 0! = (ciò semplific l scrittur di lcune formule). Si h n! = n (n )!. Il numero n! rppresent il numero delle permutzioni (cioè degli ordinmenti) di n oggetti distinti ssegnti. Possimo dunque enuncire il teorem seguente Teorem (Esistenz dell formul di Tylor). Si f : I R un funzione di clsse C n in un intervllo perto I. Allor, fissto x 0 I, si h f(x 0 + h) = f(x 0) 0! + f (x 0 )! h + f (x 0 ) 2! h f (n) (x 0 ) h n + ɛ(h)h n, n! Versione del 24 prile 202 0

11 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dove l funzione ɛ(h) è continu in zero e null in zero e h è mmissibile (ossi, tle che x 0 + h I). Dimostrzione. Definimo f(x 0 + h) f(x 0) 0! f (x 0 )! h f (x 0 ) 2! h 2 f (n) (x 0 ) n! h n ɛ(h) = h n, h 0 0 h = 0 Voglimo provre che ɛ(h) 0 per h 0. È sufficiente verificre che f(x 0 + h) f(x 0) 0! f (x 0 )! h f (x 0 ) 2! h 2 f (n) (x 0 ) n! h n h 0 h n = 0 A questo scopo, pplicndo il teorem di de l Hôpitl, si ottiene f (x 0 + h) f (x 0 )! f (x 0 )h f (n) (x 0 ) n! h n h 0 n h n, che è ncor un form indetermint 0/0. Applicndo ltre n volte il teorem di de l Hôpitl, simo ricondotti clcolre f (n) (x 0 + h) f (n) (x 0 ) h 0 n! che è ugule 0 per l continuità di f (n) in x 0. Il polinomio (di grdo n) P n (h) = n k=0 f (k) (x 0 ) h k = f(x 0) k! 0! + f (x 0 )! h + f (x 0 ) 2! h f (n) (x 0 ) h n n! è detto polinomio di Tylor di ordine n di f in x 0 (o di centro x 0 ). L espressione f(x 0 + h) = P n (h) + ɛ(h)h n è dett formul di Tylor di ordine n di f in x 0 (col resto nell form di Peno). L funzione R n (h) = ɛ(h)h n è chimt resto dell formul. Ovvimente si h R n (h) h 0 h n = 0, Versione del 24 prile 202

12 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per cioè il resto dell formul di Tylor è un infinitesimo di ordine superiore n. Ricordndo il simbolo di Lndu, il resto R n (h) è o(h n ) e l formul di Tylor si può scrivere nche nell form f(x 0 + h) = P n (h) + o(h n ). L formul di Tylor di centro x 0 = 0 si dice nche di formul di McLurin. In tl cso nche il polinomio e il resto si dicono di McLurin (oltre che di Tylor di centro zero). Il polinomio di Tylor di f di ordine n è un polinomio di grdo n. Non è detto inftti che il suo grdo si esttmente n ( meno che f (n) (x 0 ) si divers d 0). Non si deve quindi confondere l ordine di un formul di Tylor col grdo del suo polinomio (che non deve superre l ordine, m può essere nche minore). In ltre prole, l ordine di un formul di Tylor si giudic dl suo resto, e non dl suo polinomio. Ad esempio, come vedremo fcendo lo sviluppo di McLurin di sen x, le uguglinze sen x = x + o(x) e sen x = x + o(x 2 ) sono entrmbe vere. L prim è l formul di McLurin di sen x del prim ordine e l second è del second ordine. Entrmbe hnno lo stesso polinomio di McLurin, m l second, ovvimente, dà più informzioni dell prim. Ad esempio, ci dice che sin x x x 0 x 2 = 0, un ftto non deducibile dll prim. Osservzione. L prte principle di un infinitesimo per x 0 per il qule si poss scrivere l formul di McLurin è il monomio di grdo minimo contenuto in tle formul. N.B. l formul di Tylor di un funzione non è un pprossimzione dell funzione, m un uguglinz. Il polinomio di Tylor, invece, fornisce un pprossimzione dell funzione in un intorno del centro (più piccolo è l intorno e più elevto è il grdo del polinomio, migliore è l pprossimzione). Osservzione. Se f : I R è continu in x 0 I, llor risult f(x 0 + h) = f(x 0 ) + ɛ(h), e tle uguglinz rppresent l formul di Tylor di f di ordine zero in x 0. Osservzione. L formul di Tylor di centro x 0 di f(x) non è ltro che l formul di McLurin dell funzione g(h) := f(x 0 + h). Versione del 24 prile 202 2

13 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esercizio. Scrivere l formul di Mc Lurin di ordine n delle funzioni e x, sen x, cos x, log( + x), rctn x. Esempio. Usndo l formul di Tylor, clcolimo x sen x x 0 x 3. Poiché, per x 0, risult sen x = x x3 6 + o(x3 ), si h x x sen x 3 6 x 0 x 3 = + o(x3 ) x 3 ( 6 x 0 x 3 = + o(x3) ) x 3 x 0 x 3 = 6, ricordndo che, per definizione di o-piccolo, risult o(x 3 ) x 0 x 3 = 0. Esempio. Usndo l formul di Tylor, clcolimo nuovmente cos x x 0 x 2. Poiché, per x 0, risult cos x = x2 2 + o(x2 ), si h x cos x 2 2 x 0 x 2 = + o(x2 ) x 2 ( 2 x 0 x 2 = + o(x2) ) x 2 x 0 x 2 = 2. Teorem (Unicità dell formul di Tylor). Si f : I R un funzione di clsse C n in un intervllo perto I e si x 0 I e supponimo che per ogni h mmissibile (ossi, tle che x 0 + h I) si bbi dove f(x 0 + h) = 0 + h + 2 h n h n + ɛ(h)h n, k R, k = 0,..., n, e l funzione ɛ(h) è continu in zero e null in zero. Allor 0 = f(x 0 ), = f (x 0 )!, 2 = f (x 0 ),..., n = f (n) (x 0 ). 2! n! Dimostrzione. Il teorem di esistenz dell formul di Tylor ci ssicur che f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 )! h + f (x 0 ) 2! h f (n) (x 0 ) h n + ɛ(h)h n, n! Versione del 24 prile 202 3

14 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per per ogni h mmissibile. Quindi, sottrendo le due uguglinze, si h 0 = ( 0 f(x 0 ))+( f (x 0 )! )h+( 2 f (x 0 ) 2! )h 2 + +( n f (n) (x 0 ) )h n +ɛ(h)h n, n! per ogni h mmissibile (osservimo inftti che l differenz di due funzioni ɛ(h) è ncor un funzione del tipo ɛ(h)). Dobbimo dunque dimostrre che se 0 = c 0 + c h + c 2 h c n h n + ɛ(h)h n, h tle che x 0 + h I, llor c 0 = 0, c = 0,..., c n = 0. Poiché tle uguglinz è ver nche per h = 0 (ricordrsi che x 0 I, e quindi h = 0 è mmissibile), si ottiene c 0 = 0. Conseguentemente, cncellndo c 0, si h 0 = c h + c 2 h c n h n + ɛ(h)h n, h tle che x 0 + h I. Pertnto, rccogliendo h, si ottiene 0 = h (c + c 2 h + + c n h n + ɛ(h)h n ), h tle che x 0 + h I. L funzione c + c 2 h + + c n h n + ɛ(h)h n è dunque null per tutti gli h 0 tli che x 0 + h I e, di conseguenz, poiché è continu nel punto h = 0 (essendo somm e prodotto di funzioni continue), possimo concludere che è null nche per h = 0 (ltrimenti si vrebbe un contrddizione con il teorem dell permnenz del segno per funzioni continue). Vle llor l uguglinz 0 = c + c 2 h + + c n h n + ɛ(h)h n, h tle che x 0 + h I. Di conseguenz, ponendo h = 0, si deduce che nche il coefficiente c deve essere nullo. Il risultto si ottiene procedendo llo stesso modo per pssi successivi. Abbimo visto che il teorem di esistenz dell formul di Tylor è utile per trovre le formule di McLurin delle funzioni elementri (cioè quelle non esprimibili combinndone ltre medinte operzioni di somm, prodotto, quoziente e composizione). Per le ltre funzioni è più prtico procedere combinndo tr loro le formule di McLurin delle funzioni elementri. Esempio (di clcolo di un formul di McLurin di un funzione combint). Clcolimo l formul di McLurin di f(x) = e x2. Poiché, per ogni y R si h e y = n k=0 y k k! + o(yn ), Versione del 24 prile 202 4

15 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ponendo y = x 2 e tenendo conto dell unicità dell formul di Tylor, si ottiene n x 2k e x2 = + o(x 2n ). k! k=0 Esempio (di clcolo di un formul di McLurin di un funzione combint). Considerimo l funzione f(x) = x 2 sen 2x e determinimone l formul di Mc Lurin del quinto ordine. Si dovrà scrivere un uguglinz del tipo f(x) = P 5 (x)+ o(x 5 ), dove P 5 (x) è un polinomio di grdo minore o ugule cinque. Grzie ll presenz del termine x 2, è sufficiente determinre l formul di Mc Lurin del terzo ordine di sen 2x, e moltiplicrl poi per x 2. Si osservi inftti che il prodotto di x 2 per P 3 (x) + o(x 3 ), dove P 3 (x) è un polinomio di grdo non superiore tre, divent P 5 (x) + o(x 5 ), dove P 5 (x) è di grdo non superiore cinque. Ricordimo che per sen x si h sen x = x x3 6 + o(x3 ). Poiché tle uguglinz è vlid per ogni numero x, sostituendo 2x l posto di x si ottiene sen 2x = 2x 4 3 x3 + o(x 3 ), e quindi f(x) = x 2 (2x 4 3 x3 + o(x 3 )) = 2x x5 + o(x 5 ). Esempio (di clcolo dell derivt n-esim in un punto medinte l formul di Tylor). Considerimo l funzione f(x) = x 2 sen 2x dell esempio precedente e determinimo le sue derivte qurt e quint nel punto x 0 = 0. Abbimo già provto che f(x) = 2x x5 + ɛ(x)x 5. Il teorem di unicità dell formul di Tylor ci ssicur che f (4) (0)/4! = 0 (inftti, nel polinomio di grdo 5 trovto, non compre il termine con x 4 ) e che f (5) (0)/5! = 4/3. Quindi f (4) (0) = 0 e f (5) (0) = 5!( 4/3) = 60. Esercizio. Usndo gli sviluppi di Tylor clcolre il ite per x 0 delle seguenti funzioni x sen x ( cos x) log( + x), log( + tng x) x 2, ( + sen 2x) sen x +x 2 x rctng x, e sen x3 + x 3 x 4 log(cos x) x 6 (α + x) (α R), (sen 3x 3x) log( + 2 sen x) αx 3 e x (α R). x + sen x Esempio (di clcolo di un formul di McLurin di un funzione combint). Determinimo l formul di McLurin dell ottvo ordine dell funzione f(x) = 2x x 3 cos 2x + x x 8 e x cos x. Versione del 24 prile 202 5

16 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservimo che il termine x x 8 e x cos x è dell form ɛ(x)x 8, con ɛ(x) = x e x cos x. Quindi è sufficiente clcolre l formul di McLurin del quinto ordine di cos 2x (l moltipliczione per x 3 produrrà inftti un resto del tipo ɛ(x)x 8 ). Poiché l uguglinz cos x = x2 2! + x4 4! + ɛ(x)x5 è verifict per ogni numero x, sostituendo il numero 2x l posto di x si ottiene In conclusione, si h cos 2x = 2x x4 + ɛ(x)x 5. f(x) = 2x x 3 + 2x x7 + ɛ(x)x 8. Esercizio. Determinre l derivt quint e l derivt sest nel punto x 0 = 0 dell funzione f(x) dell esempio precedente. Esercizio. Determinre l formul di McLurin del quinto ordine dell funzione e clcolre f (5) (0). f(x) = x x 5 cos x x 2 sen 2x Esempio. Considerimo l funzione f(x) = 3x + 7x 2 x 4 + 5x 6 x 9. Voglimo clcolre il polinomio di Mc Lurin di ordine 5 di f. Poiché l funzione f è già ess stess un polinomio, si h P 5 (x) = 3x + 7x 2 x 4. Notimo che P 5 è un polinomio di grdo 4, cioè di grdo minore di 5. In questo cso, inftti, risult f (5) (0) = 0. Inoltre, essendo f un polinomio di grdo 9, l formul di McLurin di f di ordine n con n 9 è tle che R n (x) = 0 per ogni x R. Di conseguenz, P n (x) = f(x) per n 9. Esercizio. Scrivere l formul di Tylor di ordine 4 e di centro x 0 = 2 del polinomio f(x) = 2 + 4x 2 + 6x 3 x 4. Esempio. Determinimo or un formul di Tylor con centro diverso d zero. Ad esempio, clcolimo l formul del qurto ordine e centro x 0 = di f(x) = 2x + (x + ) 2 cos πx e clcolimo f (4) ( ). sostituzione Poiché il centro x 0 non è zero, conviene effetture l x = x 0 + h = + h. Versione del 24 prile 202 6

17 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per In questo modo è come se si clcolsse l formul di Mc Lurin di g(h) := f( + h). Si h g(h) = f( + h) = 2( + h) + h 2 cos (πh π) = 2 + 2h + h 2 cos (π πh) = 2 + 2h h 2 cos (πh) = 2 + 2h h 2 ( π2 2 h2 + o(h 2 )) = 2 + 2h h 2 + π2 2 h4 + o(h 4 ). Di conseguenz, l formul cerct è f(x) = 2 + 2(x + ) (x + ) 2 + π2 2 (x + )4 + o((x + ) 4 ). Supponimo or di voler clcolre l derivt qurt nel punto x 0 = dell funzione f(x) = 2x + (x + ) 2 cos πx. Dto che di f(x) bbimo già determinto l formul di Tylor del qurto ordine in x 0 =, è sufficiente pplicre il Teorem di unicità dell formul di Tylor, il qule ci ssicur che f (4) ( )/4! coincide col coefficiente π 2 /2 del monomio di qurto grdo di tle formul. Pertnto f (4) ( ) = π2 2 4! = 2π2. Esempio. (di clcolo dell derivt n-esim in un punto medinte l formul di Tylor). Clcolimo l derivt quint nel punto x 0 = 2 dell funzione f(x) = (2 x)6 cos x + (2 x) 5 x 2 + x 7. Allo scopo è sufficiente determinre l formul di Tylor di f(x) del quinto ordine in x 0 = 2. Ponendo x = 2 + h e sostituendolo nell espressione di f(x) si ottiene f(2 + h) = ( h)6 cos(2 + h) + ( h) 5 (2 + h) 2 + (2 + h) 7 = ɛ(h)h 5 h 5 (2 + h) 2 + (2 + h) 7 = ɛ(h)h5 h 5 ( ɛ(h)) = 4 29 h5 + ɛ(h)h 5. Quindi, per l unicità dell formul, risult f (5) (2) = 4 5! = = 60 = 3, Versione del 24 prile 202 7

18 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Voglimo or pplicre il teorem di esistenz dell formul di Tylor per determinre l generic formul di McLurin di ( + x) α, dett formul (di McLurin) binomile. Definizione. Dto un numero rele α ed un numero nturle k, l espressione α(α )(α 2)... (α k + ) k! si chim coefficiente binomile (generlizzto) e si denot col simbolo ( ) α k che si legge α su k (d non confondere con il rpporto α/k). Si verific fcilmente che il coefficiente di x k nell formul di McLurin di (+x) α è proprio ( α k). Per poter scrivere l formul binomile in modo sintetico (cioè utilizzndo il simbolo di sommtori) è conveniente definire α su k nche per k = 0, ponendo ( ) α =. 0 Si h perciò ( + x) α = n k=0 ( ) α x k + o(x n ). k Nel cso prticolre in cui α si un numero nturle n e k si un intero tr 0 e n (estremi inclusi), il coefficiente n su k è un numero nturle (verificrlo per esercizio) e compre nello sviluppo di ( + b) n (chimto Binomio di Newton). I veri coefficienti binomili (non generlizzti) sono proprio quelli che si riferiscono questo cso specile. Essi hnno nche un significto combintorio, utile, tr l ltro, nel clcolo delle probbilità. Esercizio. Scrivere l espressione dell formul di McLurin di ordine n di f(x) = ( + x) α nei csi specili in cui α = /2 e α =. Esercizio. Dedurre, dll esercizio precedente, l formul di McLurin di f(x) = /( x). Esercizio. Un punto mterile di mss ( riposo) m si muove con velocità (sclre) v. L su energi cinetic (reltivistic) T (v) è dt dl prodotto dell incremento di mss m dovuto l movimento per il qudrto dell velocità dell luce: T (v) = m c 2 = (m(v) m(0)) c 2. Spendo che l mss in movimento del punto mterile è m m(v) =, v2 c 2 Versione del 24 prile 202 8

19 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per si determini l formul di McLurin del secondo ordine di T (v). D dett formul si deduc che l prte principle di T (v) è 2 mv2. ( Sugg. Scrivere l formul di McLurin di T (v) = m ======================== Prte fcolttiv (non svolt lezione) ( ) ) ( v2 ) c 2 2 c 2 Uno degli scopi dell formul di Tylor è quello di esprimere il vlore di un funzione f in un punto x trmite informzioni rigurdnti il suo comportmento in un punto inizile x 0 (si osservi inftti il polinomio di Tylor dipende esclusivmente di vlori ssunti d f e dlle sue derivte in x 0 ). In generle non srà possibile vlutre con esttezz il vlore di f in x conoscendo soltnto ciò che ccde in x 0. Tuttvi, in tle formul, tutto ciò che non rigurd il comportmento di f in x 0 è confinto in un solo termine: il resto dell formul. Se nel vlutre f(x) si trscur il resto, si commette un errore, m tle errore, tlvolt, può essere mggiorto fcilmente se si s mggiorre il resto. Il teorem che segue fornisce un espressione del resto dell formul di Tylor che in lcuni csi non è difficile mggiorre. Teorem (Formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge). Si f : I R un funzione di clsse C n+ in un intervllo I e si x 0 I. Allor, esiste x (x 0, x) se x 0 < x oppure x (x, x 0 ) se x < x 0, tle che R n (x x 0 ) = f (n+) ( x) (x x 0) n+ (n + )! Osservzione. Per n = 0, l formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge non è ltro che il teorem di Lgrnge stesso. Osservzione. Ponendo h = x x 0, il resto dell formul di Tylor nell form di Lgrnge si può esprimere nche nel modo seguente: esiste h (0, h) se h > 0 oppure h (h, 0) se h < 0 tle che hn+ R n (h) = f (n+) ( h) (n + )!. Esempio. Clcolre sen 0, 2 con un errore inferiore 0 3. Considerimo lo sviluppo di f(x) = sen x con x 0 = 0 e x = 0, 2. Si trtt di determinre n in modo tle che R n (x) = f(x) P n (x) risulti minore di 0 3. Versione del 24 prile 202 9

20 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Poiché f (n+) (x) per ogni n e x, si ottiene, scrivendo R n (x) nell form di Lgrnge, R n (0, 2) = f (n+) (0, 2)n+ (0, 2)n+ ( x) < 0 3 (n + )! (n + )! L ultimo termine risult minore di 0 3 pur di prendere n 3. Perciò il numero P 3 (0, 2) = 0, 2 (0, 2) 3 /6 pprossim sen(0, 2) meno di 0 3. Esercizio. Usndo l formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge, pprossimre log(0, 8) con un errore inferiore 0 3. Suggerimento. Scrivere lo sviluppo di f(x) = log( + x) con x 0 = 0 e x = 0, 2 e osservre che f (n+) ( x) = ( )n+ n! ( + x) n+. Esercizio. Clcolre un vlore pprossimto del numero e (si sviluppi e x e si clcoli per x = ). Suggerimento. L formul di McLurin di f(x) = e x con il resto nell form di Lgrnge è n e x x k xn+ = + e x k! (n + )! k=0 Clcolre tle formul per x = e mggiorre R n () = e x (n + )! tenendo conto che un mggiornte di e x è, d esempio, il numero 3. Esercizio. Si f : R R derivbile n + volte e tle che f (n+) (x) = 0 per ogni x R. Provre che f è un polinomio di grdo minore o ugule d n (in prticolre, se n = 0, llor f è costnte). Suggerimento. Scrivere l formul di Mc Lurin di ordine n di f col resto di Lgrnge. Fine prte fcolttiv ============================== 3 settimn - dl Integrli indefiniti Definizione. Si X R un intervllo perto o, più in generle, un unione finit di intervlli perti e si f : X R un funzione rele di vribile rele. Si dice Versione del 24 prile

21 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per che un funzione derivbile F : X R è un primitiv di f se F (x) = f(x) per ogni x X. È evidente che se f(x) mmette un primitiv F (x), llor ogni funzione dell form F (x) + c, dove c è un costnte rele, è ncor un primitiv di f(x). Ad esempio, ogni funzione del tipo log x + c è un primitiv di /x, come si verific fcilmente derivndo. Se f è definit in un intervllo, l proprietà precedente si può invertire. Più precismente, si h Teorem. Si f un funzione definit in un intervllo e sino F e G due primitive di f. Allor l loro differenz è costnte. Dimostrzione. Denotimo con I l intervllo in cui è definit f. L funzione differenz H = G F è tle che H (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0, x I. Quindi, per un noto corollrio del Teorem di Lgrnge (vlido per le funzioni definite in un intervllo), H è un funzione costnte. Rissumendo, dt un funzione f(x) definit in un intervllo e dt un su primitiv F (x), ogni ltr primitiv di f(x) si ottiene d F (x) ggiungendo un opportun costnte. Ossi, l insieme delle primitive di f(x) si esprime nell form F (x) + c, con c costnte rbitrri. Tuttvi, tle ffermzione è fls se viene rimoss l ipotesi che il dominio di f(x) si un intervllo. Ad esempio, le due funzioni F (x) = log x e G(x) = log x + x/ x hnno l stess derivt f(x) = /x m ovvimente non differiscono per un costnte (si osservi che inftti il loro dominio non è un intervllo: è R\{0}). Definizione. Si f : I R un funzione definit in un intervllo I R. Col simbolo f(x) dx, detto integrle indefinito di f(x) in dx, si denot l insieme delle primitive di f. Poiché il dominio di f è un intervllo, se F è un primitiv di f, si h f(x) dx = F (x) + c, dove c R è un rbitrri costnte. Se il dominio di un funzione f : X R non è un intervllo (come nel cso di f(x) = /x), col simbolo f(x) dx, si intenderà l insieme delle primitive dell restrizione di f d un qulunque sottointervllo del dominio e, di conseguenz, se F è un di queste primitive, srà Versione del 24 prile 202 2

22 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ncor vlido scrivere f(x) dx = F (x) + c. Ad esempio, scriveremo dx = log x + c, x sottointendendo di vere scelto uno dei due intervlli (, 0) o (0, + ) che compongono il dominio R\{0} dell funzione f(x) = /x. L scelt dipende dllo scopo che si vuole rggiungere (vedremo più vnti cos può servire il clcolo di un primitiv di un funzione). Anlogmente si h cos 2 dx = tng x + c, x sottintendendo di vere scelto uno degli infiniti intervlli che compongono il dominio dell funzione integrnd (o, equivlentemente, di tng x). Esempi di integrli indefiniti elementri: x α dx = xα+ + c (α ), x dx = log x + c, α + sen x dx = cos x + c, cos x dx = sen x + c, e x dx = e x + c, dx = rctng x + c, + x2 senh x dx = cosh x + c, dx = rcsen x + c, x 2 cosh x dx = senh x + c, x 2 + dx = settsenhx + c = log(x + x 2 + ) + c, x 2 dx = settcoshx + c = log(x + x 2 ) + c. Osservzione. L integrle indefinito gode delle seguenti due proprietà: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx ; λf(x) dx = λ f(x) dx (dove λ R). Versione del 24 prile

23 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Presentimo dei metodi per l ricerc delle primitive di lcune clssi di funzioni continue. Il primo metodo v sotto il nome di integrzione per prti ed è bsto sull formul di derivzione del prodotto. Formul di integrzione per prti per l integrle indefinito. Sino f e g due funzioni di clsse C in un intervllo I. Allor gli integrli (indefiniti) delle funzioni f(x)g (x) e g(x)f (x) sono legti dll seguente relzione: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) g(x)f (x) dx. Dimostrzione. Dll regol di derivzione del prodotto di funzioni si h ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Quindi (f (x)g(x) + f(x)g (x) ) dx = f(x)g(x) + c Per l dditività dell integrle indefinito, si ottiene f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx = f(x)g(x) + c Inglobndo l costnte c nel primo integrle, si h infine f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. Notzione (utile per il clcolo degli integrli). Dt un funzione derivbile f, il prodotto f (x) dx dell derivt di f (in x) per il simbolo dx si chim differenzile di f (in x) e si denot col simbolo df(x). Ad esempio, in bse tle notzione, scrivere sen 2 x dx oppure non f lcun differenz. sen x d cos x Versione del 24 prile

24 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservzione. Con i differenzili, l formul di integrzione per prti può essere scritt nel modo seguente: f(x)dg(x) = f(x)g(x) g(x)df(x). I termini f(x) e g(x) si chimno fttori finiti, mentre dg(x) e df(x) sono i cosiddetti fttori differenzili. Osservzione. Nell prtic, se dobbimo clcolre un integrle del tipo h(x)k(x) dx, si può determinre un primitiv di un delle due funzioni h(x) o k(x), per esempio H(x) primitiv di h(x), e poi scrivere, nel cso in cui k si di clsse C, h(x)k(x) dx = H(x)k(x) H(x)k (x) dx. L scelt di integrre h e derivre k (o vicevers) è quell che rende i clcoli più semplici (sempre che entrmbe le scelte sino possibili). In lcuni esempi si può vere h(x) = e si sceglie H(x) = x. Esempio. (x + )e x dx = (x + )e x e x dx = xe x + c. Esempio 2. L funzione log x non sembr scritt in form di prodotto, m lo divent se l pensimo come log x. Allor log x dx = x log x dx = x log x x + c. Se si preferisce, l form differenzile integrnd log x dx, è già scritt come prodotto di un funzione per il differenzile di un ltr: l prim funzione è f(x) = log x e l second è g(x) = x. Quindi log x dx = x log x x d log x = x log x dx = x log x x + c. Esempio 3. sen 2 x dx = ( sen x d cos x = sen x cos x ) cos x d sen x Versione del 24 prile

25 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per = sen x cos x + ( sen 2 x) dx = sen x cos x + x sen 2 x) dx. Quindi sen 2 x dx = (x sen x cos x) + c. 2 Esercizio. I seguenti integrli indefiniti si possono clcolre usndo il metodo di integrzione per prti: x 2 e x dx, x sen x dx, e x cos x dx, x log x dx, cos 2 x dx. È utile, nell ricerc dell primitiv di un funzione, imprre riconoscere qundo l funzione integrnd è l derivt di un funzione compost (o, equivlentemente, qundo l form differenzile integrnd è il differenzile di un funzione compost). Esempio. Studimo Ponendo h(x) = x 2 +, si h oppure, se si preferisce, Si ottiene quindi x x 2 + dx. x x 2 + = h (x) 2 h(x) x x 2 + dx = 2 h(x) dh(x) = d log h(x). 2 x x 2 + dx = h (x) 2 h(x) dx = log h(x) + c = 2 2 log(x2 + ) + c = log x c oppure, se si preferisce, x x 2 + dx = d(x 2 + ) 2 x 2 = d log(x 2 + ) = log(x2 + ) + c. Versione del 24 prile

26 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Considerimo 3x (x 2 + ) 2 dx. Poiché l derivt di /x è /x 2, posto h(x) = /( + x 2 ), si vede che Allor si h oppure, se si vuole, 3x (x 2 + ) 2 dx = 3 2 3x (x 2 + ) 2 = 3 2 h (x)(h(x)) 2. 3x (x 2 + ) 2 dx = 3 2 x c (x 2 + ) 2 d(x 2 + ) = 3 2 (x2 + ) + c Esempio. Considerimo sen x cos 2 x dx. Si h sen x cos 2 x dx = (cos x) 2 d cos x = cos x + c. I tre esempi ppen descritti sono csi prticolri di un metodo per l ricerc delle primitive detto integrzione per sostituzione. Tle metodo è bsto sull formul di derivzione dell funzione compost. Formul di integrzione per sostituzione (o di cmbimento di vribili) per gli integrli indefiniti. Si f un funzione continu definit su un intervllo I e si ϕ: J I un funzione di clsse C in un intervllo J, vlori nel dominio I di f. Allor, se F è un primitiv di f, l funzione G(t) = F (ϕ(t)) è un primitiv di f(ϕ(t))ϕ (t). Vle quindi l relzione f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt (modulo x = ϕ(t)), il cui significto è il seguente: ogni funzione del secondo insieme si ottiene d un del primo con l sostituzione x = ϕ(t). Dimostrzione. Dt un primitiv F di f, per il teorem di derivzione di un funzione compost si h d dt F (ϕ(t)) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t). Versione del 24 prile

27 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Pertnto F (ϕ(t)) è un primitiv di f(ϕ(t))ϕ (t). Nell formul di integrzione per sostituzione il termine ϕ (t) dt rppresent il differenzile di ϕ(t). Si potrà quindi scrivere f(x) dx = f(ϕ(t)) dϕ(t) (modulo x = ϕ(t)), mettendo così in rislto come si poss ricondurre il clcolo di un integrle del secondo tipo d uno del primo: in prtic, per clcolre il secondo integrle, bst trovre un primitiv F (x) di f(x) e sostituire poi ϕ(t) l posto dell vribile x, e per fr ciò l invertibilità di ϕ non è necessri. Più problemtico è invece il clcolo di un integrle del primo tipo riconducendolo d uno del secondo. Il motivo è che, dopo ver effettuto l sostituzione x = ϕ(t) ed ver clcolto un primitiv G(t) di f(ϕ(t))ϕ (t), per trovrne un di f(x) occorre ricvre t in funzione di x dll relzione x = ϕ(t) (che costituisce l equzione del grfico di ϕ). Ciò è possibile (lmeno teoricmente) se si suppone ϕ: J I strettmente monoton e suriettiv. Esempio. Clcolimo l integrle t cos (t 2 ) dt. In bse ll formul di integrzione per sostituzione con x = ϕ(t) = t 2, risult 2t cos (t 2 ) dt = cos x dx = sen x + c (modulo x = t2 ). Di conseguenz t cos (t 2 ) dt = 2 sen (t2 ) + c, com è fcile verificre derivndo il secondo membro. Ovvimente, l scelt dell letter per indicre l vribile indipendente è solo un questione di form, non di sostnz. Quindi nche l integrle x cos(x 2 ) dx si clcol nel seguente modo: x cos(x 2 ) dx = 2 cos(x 2 ) d(x 2 ) = 2 sen(x2 ) + c. Versione del 24 prile

28 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Clcolimo l integrle t log t dt. In bse ll formul di integrzione per sostituzione con x = ϕ(t) = log t, risult log t d log t = dx = log x + c (modulo x = log t). x Perciò dt = log( log t ) + c. t log t Esempio. Clcolimo l integrle e t e t + dt In bse ll formul di integrzione per sostituzione con x = ϕ(t) = e t, risult e t + det = x + dx = log x + + c (modulo x = et ). Perciò e t e t + dt = log(et + ) + c. Esempio. Clcolimo l integrle e x dx + e x In bse ll formul di integrzione per sostituzione, ponendo t = e x = ϕ (x) (e, quindi, x = ϕ(t) = log t), si ottiene e x dx = + e x t + t dt = dt = rctng t+c, (modulo x = log t). + t2 t Perciò e x + e x dx = rctng ex + c. Versione del 24 prile

29 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Clcolimo l integrle x + dx Anche in questo cso, si trtt di trovre un sostituzione opportun. Ponendo t = x = ϕ (x) (e, quindi, x = ϕ(t) = t 2 ) e usndo l formul di sostituzione si ottiene x + dx = 2t ( t + t + t + dt = 2 dt = 2( t + t + dt ) t + dt Perciò = 2t 2 log t + + c, (modulo x = t 2 ). x + dx = 2 x 2 log x + + c. Integrzione delle funzioni rzionli Prendimo or in considerzione l integrle indefinito di un funzione rzionle, cioè di un funzione che è dt dl quoziente di due polinomi. Per semplicità, considereremo solo il cso in cui l denomintore compre un polinomio di grdo 2. Osservzione. Osservimo che possimo sempre ricondurci l cso in cui il grdo del polinomio l numertore si minore del grdo del polinomio l denomintore eventulmente eseguendo l divisione tr il polinomio l numertore e quello l denomintore. Supponimo d esempio di voler clcolre l integrle indefinito dell funzione rzionle f(x) = x3 + 2x + 5 x 2. + Eseguendo l divisione si ottiene Perciò x 3 + 2x + 5 x 2 dx = + x 3 + 2x + 5 = x(x 2 + ) + x + 5. Ci si riconduce pertnto clcolre x + 5 x 2 + dx. x + 5 x2 x + 5 x dx + x 2 dx = x 2 + dx. Versione del 24 prile

30 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Si h x + 5 x 2 + dx = 2 2x x 2 + dx + = 2 log(x2 + ) + 5 rctng x + c. 5 x 2 + dx = In bse ll osservzione precedente simo ricondotti studire il cso in cui l numertore si bbi un polinomio di grdo. I csi significtivi sono i seguenti: A x + A (x + ) 2 e A x Si h A dx = A log x + + c, x + A A dx = (x + ) 2 x + + c, A 2 + x 2 dx = A rctng x + c. I primi due sono immediti. Per qunto rigurd il terzo si h 2 + x 2 = 2 ( + (x/) 2 ). e un primitiv di è ( + (x/) 2 ) rctn x. Tutti gli ltri csi sono riconducibili i tre precedenti, come mostreremo negli esempi che seguono. Esempio (denomintore con due rdici reli e distinte). Clcolimo Si h x + 3 (x + 2)(3x + ) dx. x + 3 (x + 2)(3x + ) = A x A 2 3x +, Versione del 24 prile

31 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per d cui, x + 3 = A (3x + ) + A 2 (x + 2). Per il principio di identità dei polinomi, si ottiene = 3A + A 2, 3 = A + 2A 2, d cui A = /5 e A 2 = 8/5. Di conseguenz, x + (x + 2)(3x + ) dx = 5 x + 2 dx x + dx = 5 log x log 3x + + c. 5 Esempio (denomintore con due rdici coincidenti). Clcolimo Si h x (x + 3) 2 dx. x (x + 3) 2 = A x A 2 (x + 3) 2. Procedendo come nell esempio precedente si ottiene A = e A 2 = 4, d cui x (x + 3) 2 dx = x (x + 3) 2 = log x x c. Osservimo che in questo cso le costnti A e A 2 si possono clcolre nche in mnier più rpid procedendo nel modo seguente: x (x + 3) 2 = x (x + 3) 2 = x + 3 (x + 3) (x + 3) 2 = x (x + 3) 2. Esempio (denomintore senz rdici reli). Clcolimo x 2 + x + dx. Poiché il discriminnte del trinomio denomintore è < 0, completndo il qudrto si ottiene x 2 + x + = (x + 2 )2 + 4 = (x + 2 )2 + 2, Versione del 24 prile 202 3

32 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dove = si ottiene 4. Perciò, operndo l sostituzione t = x + 2 (cioè ϕ(t) = t 2 ), (x + 2 )2 + dx = 4 t dt = rctn t + c = 2 3 rctng 2(x + 2 ) 3 + c. Esempio (denomintore senz rdici reli). Clcolimo x + 2 x 2 x + dx. Rispetto ll esempio precedente, in questo cso il numertore dell funzione integrnd è un polinomio di primo grdo invece che di grdo zero. È possibile però ricondursi l cso di sopr nel modo seguente: d cui x + 2 x 2 x + = 2 2x x 2 x x 2 x +, x + 2 x 2 x + dx = 2 log(x2 x + ) + 5 rctng 2(x 2 ) + c. 3 3 Esercizio. Il seguente integrle si riconduce ll integrzione di un funzione rzionle. Clcolimo sen x cos x dx. Esprimendo sen x e cos x trmite tng(x/2) e operndo l sostituzione t = tng(x/2)) si ottiene 2t + 5 +t 2 2 2t t 2 + t2 + t 2 dt = + t 2 dt. +t 2 A questo punto si può procedere come negli esempi precedenti. Esercizio. Si riconduce ll integrzione di un funzione rzionle nche e 2x e x e 2x + e x + 3 dx. Versione del 24 prile

33 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Inftti, operndo l sostituzione x = log t, si ottiene t 2 t t 2 + t + 3 t dt = t t 2 + t + 3 dt. Integrli definiti Un prtizione di un intervllo itto e chiuso [, b] è un insieme finito P = { 0,,... n } di punti di [, b] con l seguente proprietà: 0 = < < 2 < < n < n = b. Gli intervlli I = [ 0, ], I 2 = [, 2 ],..., I n = [ n, n ] si dicono intervlli (przili) dell prtizione. Un scelt di punti nell prtizione P è un insieme finito S = {x, x 2,... x n } di punti di [, b] tli che x I, x 2 I 2,..., x n I n. Un coppi α = (P, S) costituit d un prtizione P di [, b] e d un scelt S di punti in P si dice un prtizione puntt. Si or ssegnt un funzione f : [, b] R. Ad ogni prtizione puntt α = (P, S) di [, b] possimo ssocire il numero Σ(α) = n f(x i )( x) i, i= dove ( x) i = i i denotno le mpiezze degli intervlli I i dell prtizione P e x i i punti dell scelt S. Si h così un funzione rele (di vribile non rele) Σ: P R definit nell insieme P delle prtizioni puntte di [, b]. Intuitivmente l integrle in [, b] dell funzione f è, qundo esiste, il vlore ite che si ottiene fcendo tendere zero le mpiezze ( x) i degli intervlli delle possibili prtizioni puntte. Più precismente si può dre l seguente definizione. Definizione(di integrle definito non orientto). Si f : [, b] R un funzione rele di vribile rele definit in un intervllo itto e chiuso (se f non è definit in lcuni punti di [, b], l estendimo considerndol null in tli punti, purché questi sino un numero finito). Diremo che il numero l è l integrle di Versione del 24 prile

34 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per f in [, b] se, fissto un errore ɛ > 0, esiste un δ > 0 tle che, comunque si ssegni un prtizione puntt α con intervlli przili di mpiezz minore di δ, l somm Σ(α) sopr definit dist d l meno di ɛ. In ltre prole, denotndo con α l mssim mpiezz degli intervlli dell prtizione puntt α ( α si legge prmetro di finezz di α ), l integrle l di f in [, b] è il ite per α 0 dell sommtori Σ(α). Si scrive α 0 Σ(α) = l e, ripetimo, signific che per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tle che se α < δ llor Σ(α) l < ɛ. Diremo che l funzione f è integrbile (in [, b]) secondo Cuchy-Riemnn qundo tle ite esiste finito (si può fcilmente verificrne l unicità). Esso si denot con uno dei seguenti simboli: f, f(x) dx, [,b] [,b] il primo dei quli si legge integrle in [, b] di f e il secondo integrle in [, b] di f(x) in dx. L f si chim funzione integrnd e l vribile x che ppre nell second delle due notzioni si dice vribile di integrzione. Tle vribile, non intervenendo nell definizione di integrle, potrà nche essere omess (come nell prim delle due notzioni) o essere indict con un qulunque ltr letter. Ad esempio, l integrle in [, b] di f si può scrivere nche f(t) dt oppure f(s) ds. [,b] [,b] Osservzione. Se un funzione f : [, b] R non è itt, llor il Σ(α), α 0 mmesso che esist, non può essere finito e, di conseguenz, f non può essere integrbile. Inftti, fisst un qulunque prtizione P di [, b] si può vrire l scelt S in P in modo d rendere Σ(α) rbitrrimente grnde (ciò implic che Σ(α) può essere grnde qunto si vuole indipendentemente dl prmetro di finezz di α). Osservzione. Verifichimo che l integrle definito in [, b] dell funzione costnte f(x) = c R coincide con l re del rettngolo di bse [, b] e ltezz c, cioè si h c dx = c(b ). [,b] Versione del 24 prile

35 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per È sufficiente inftti osservre che, dt un qulunque prtizione puntt α = (P, S) di [, b], il numero Σ(α) = n c( x) i = c i= n ( x) i = c(b ), i= non dipende dll prtizione α e coincide, quindi, con il ite di Σ(α) per α 0. Tle osservzione verrà ust nell dimostrzione del Teorem dell medi per gli integrli. Osservzione. Si f un funzione integrbile in [, b] e si g : [, b] R che differisce d f in un sol punto (o in un numero finito di punti). Allor si può provre che nche g è integrbile e g(x) dx = f(x) dx. [,b] I due teoremi che seguono sono fcile conseguenz di teoremi per il clcolo dei iti (l cui vlidità si può estendere nche l contesto delle funzioni reli di vribile non rele). [,b] Teorem (proprietà di linerità dell integrle definito). Sino f, g : [, b] R due funzioni integrbili e λ un costnte. Allor si h (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx (dditività), [,b] [,b] [,b] λf(x) dx = λ [,b] [,b] f(x) dx (omogeneità). Teorem (proprietà di monotoni dell integrle definito). Sino f, g : [, b] R integrbili e tli che f(x) g(x) per ogni x [, b]. Allor f(x) dx g(x) dx. [,b] [,b] Osservzione. Anlogmente ll ben not disuguglinz che fferm che il vlore ssoluto di un sommtori è minore o ugule ll sommtori dei vlori ssoluti per l integrle si h f(x)dx f(x) dx. [,b] [,b] Versione del 24 prile

36 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Inftti, essendo f integrbile, si può provre che nche f lo è. Di conseguenz, è sufficiente considerre l disuguglinz f(x) f(x) f(x) e pplicre l proprietà di monotoni degli integrli. Definizione. Un sottoinsieme X di R si dice trscurbile, o di misur null, se fissto un rbitrrio ɛ > 0 si può ricoprire X con un fmigli (l più) numerbile di intervlli perti di lunghezz complessiv (intes come serie delle lunghezze) minore o ugule d ɛ. Osservzione. Gli insiemi finiti sono trscurbili. Inftti, se si considerno n punti e si fiss ɛ > 0, bst coprire ciscun punto con un intervllo di mpiezz ɛ/n. Anche gli insiemi numerbili (cioè quelli che possono essere messi in corrispondenz biunivoc con i numeri nturli) sono trscurbili. Inftti, se X = {x, x 2,..., x n,... } è un insieme numerbile, llor, fissto ɛ, per ricoprire X con intervlli di mpiezz complessiv minore o ugule d ɛ è sufficiente coprire il primo punto con un intervllo di mpiezz ɛ/2, il secondo con un intervllo di mpiezz ɛ/4, e così vi dividendo per due, d ogni psso, l mpiezz del precedente intervllo. In bse ll teori delle serie geometriche (che vedremo in seguito), l mpiezz totle di tli intervlli è dt d n= ɛ 2 n = ɛ/2 /2 = ɛ. In prticolre, perciò, l insieme Q dei rzionli essendo numerbile h misur null. 4 settimn - dl Teorem (di integrbilità). Un funzione f : [, b] R è integrbile (secondo Cuchy-Riemnn) in [, b] se e solo se è itt e l insieme dei suoi punti di discontinuità è trscurbile. Alcune conseguenze del teorem di integrbilità sono le seguenti:. l somm, il prodotto e l composizione di funzioni integrbili è ncor integrbile (il quoziente, invece, potrebbe essere un funzione non itt, e quindi non integrbile); 2. un funzione f : [, b] R continu è integrbile in [, b] (inftti è itt per il Teorem di Weierstrss, ed h un insieme vuoto (quindi trscurbile) di punti di discontinuità); Versione del 24 prile

37 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per 3. più in generle, un funzione f : [, b] R che bbi un numero finito (o un infinità numerbile) di punti di discontinuità, è integrbile, purché si itt (l ittezz, quest volt, non è ssicurt!); 4. un funzione monoton in un intervllo [, b] è integrbile (inftti è itt mmettendo mssimo e minimo gli estremi dell intervllo [, b] e si potrebbe dimostrre che h l mssimo un infinità numerbile di punti di discontinuità); 5. l funzione di Dirichlet f(x) = { x Q, 0 x R \ Q, non è integrbile in [, b] (inftti, essendo discontinu in tutti i punti, l insieme dei punti di discontinuità h misur b cioè h misur positiv). In prtic possimo ffermre che tutte le funzioni che uno studente di ingegneri può incontrre nello svolgere gli esercizi hnno un insieme trscurbile di punti di discontinuità. Il motivo è dovuto l ftto che ogni rgionevole funzione può essere ottenut combinndo (con un numero finito di operzioni di somm, prodotto, quoziente, composizione, restrizione d un intervllo e inversione) le seguenti funzioni (dette fondmentli), che hnno un insieme trscurbile di punti di discontinuità (c è un costnte): c, x, sen x, log x, sign x, [x]. Diremo che f è un funzione dedott o deducibile se si può ottenere dlle precedenti funzioni fondmentli con un numero finito di operzioni di somm, prodotto, quoziente, composizione, restrizione d un intervllo e inversione. Ecco lcuni esempi di funzioni dedotte: ) cos x si ottiene componendo x + π/2 con sen x (ossi cos x = sen(x + π/2)); 2) tng x è il rpporto tr sen x e cos x; 3) rctng x si ottiene invertendo l restrizione di tng x ll intervllo ( π/2, π/2); 4) x = x sign x; 5) il grdino di Heviside H(x) = ( + sign x)/2; 6) l funzione mx{x, 0} = x H(x) = (x + x )/2; 7) exp x è l invers di log x; 8) x = exp(x log ); 9) x 2 è il prodotto di x per x; 0) x è l invers dell restrizione di x 2 ll intervllo [0, + ); Versione del 24 prile

38 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ) 3 x è l invers di x 3 ; 2) l mntiss di x, cioè l funzione x x [x]. Teorem. Ogni funzione dedott h un insieme trscurbile di punti di discontinuità. Tenendo conto del precedente risultto e del teorem di integrbilità, dt un funzione dedott f e dto un intervllo itto e chiuso [, b], per controllre se f(x) dx [,b] rppresent un numero, ossi se f è integrbile in [, b], è necessrio (ed è nche sufficiente) verificre che f si definit in [, b] trnne l più un numero finito di punti (possimo inftti estenderl supponendo che vlg zero nei punti in cui non è definit) e che si itt in tle intervllo. Ad esempio [0,2] e x x 2 9 dx e [,] sen x x sono numeri reli (si clcolno con metodi numerici), mentre non lo sono e x x 2 9 dx e cos x x dx. Inftti [2,4] f(x) = [,] ex x 2 9 è itt in [0, 2] essendo ivi continu (ricordrsi del Teorem di Weierstrss), mentre non è itt in [2, 4] in qunto x 3 e x x 2 9 = +. L funzione f(x) = sen x x (supponendo di estenderl ugule zero in x = 0) è itt in [, ] essendo dx sen x x x =, x [, ]. x Invece, l funzione f(x) = cos x x Versione del 24 prile

39 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per non è itt in [, ] e quindi non è integrbile in tle intervllo. Definizione. Si f : I R un funzione rele definit in un intervllo I. Diremo che f è loclmente integrbile in I se è integrbile in ogni sottointervllo chiuso e itto di I. Osservimo che, in bse l Teorem di integrbilità, le funzioni continue in un intervllo I sono loclmente integrbili poiché in ogni intervllo chiuso e itto contenuto in I sono itte (per il Teorem di Weierstrss) e l insieme dei punti di discontinuità è trscurbile (essendo vuoto). Definizione (di integrle orientto). Si f : I R loclmente integrbile in un intervllo I. Dti due rbitrri punti, b I (N.B. non è necessrimente minore di b), si pone b [,b] f(x) dx se < b; f(x) dx = 0 se = b; [b,] f(x) dx se > b. Si osservi che qundo > b il numero b f(x) dx non rppresent l integrle dell funzione f nell intervllo [b, ], m il suo opposto. Dll precedente definizione segue immeditmente per ogni, b I. Vle l seguente proprietà: b f(x) dx = b f(x) dx Teorem (di dditività rispetto ll intervllo). Si f : I R loclmente integrbile in un intervllo I. Allor, dti tre rbitrri punti, b, c I, si h b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Il teorem che segue verrà usto nell dimostrzione del Teorem fondmentle del clcolo integrle. Teorem (Teorem dell medi per gli integrli.) Si f : [, b] R un funzione integrbile. Allor l medi di f in [, b], ossi b b f(x)dx, Versione del 24 prile

40 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per è un numero compreso tr l estremo inferiore e l estremo superiore di f in [, b]. In prticolre, se f è continu, llor esiste un punto x 0 [, b] per il qule si h b f(x)dx = f(x 0 )(b ). Dimostrzione. Poiché f, essendo integrbile, è itt, esistono finiti l estremo inferiore e l estremo superiore di f in [, b]. Indichimoli con m e M rispettivmente. Si h m f(x) M per ogni x [, b] e, quindi, per l proprietà di monotoni dell integrle, b m dx b f(x) dx b M dx. D ltr prte, per un delle osservzione ftte dopo l definizione di integrle definito, si h b m dx = m(b ) e b M dx = M(b ), d cui m(b ) b f(x) dx M(b ). Dividendo per (b ) si ottiene l tesi dell prim prte del teorem. Se inoltre f è continu, l conclusione segue immeditmente dl Teorem dei vlori intermedi. Osservzione. Nel cso in cui f si continu e positiv in [, b], l uguglinz b f(x)dx = f(x 0)(b ) ottenut nel teorem precedente, signific che esiste un punto x 0 [, b] tle che l re dell regione compres tr il grfico di f in [, b] e l sse delle scisse (rppresentt dll integrle definito di f in [, b]) coincide con l re del rettngolo di bse [, b] e ltezz f(x 0 ). Il seguente risultto mostr che ogni funzione continu su un intervllo mmette primitiv (nche se per clcolrl è spesso necessrio ricorrere metodi di integrzione numeric). Teorem (fondmentle del clcolo integrle). Si f un funzione continu in un intervllo I e si I. Allor l funzione F : I R definit d F (x) = x f(t) dt è un primitiv di f (ossi, F è derivbile e per ogni x I si h F (x) = f(x)). Versione del 24 prile

41 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Dimostrzione. Si x I e considerimo il rpporto incrementle dell funzione F in x. Si h F (x + h) F (x) = ( x+h x ) f(t) dt f(t) dt = x+h f(t)dt. h h h Per il teorem dell medi integrle e poiché f è continu in I, esiste x(h) [x, x + h] se h > 0 oppure x(h) [x + h, x] se h < 0 tle che h x+h x f(t)dt = f(x(h)). Pssndo l ite per h 0 si h che x(h) x e, tenendo nuovmente conto dell continuità di f in x, si ottiene f(x(h) f(x), d cui F (x + h) F (x) = f(x(h)) = f(x). h 0 h h 0 Questo prov che F è derivbile in x e che F (x) = f(x). Essendo x un punto rbitrrio dell intervllo I, si h l tesi. x L funzione F (x) = x f(t)dt che compre nell enuncito del teorem precedente viene dett funzione integrle (reltiv l punto ). Ovvimente, dto un ltro punto I, nche l funzione F (x) = x f(t)dt è un primitiv di f. Risult inoltre che F differisce d F per l costnte f(t)dt. Si h inftti F (x) = x f(t)dt = f(t)dt + x f(t)dt = f(t)dt + F (x). Esempio. Un possibile definizione dell funzione logritmo (nturle) si può dre trmite un funzione integrle. Si dt l funzione integrle F (x) = x t dt. Poiché un estremo di integrzione è positivo, in bse l Teorem di integrbilità, ffinché il precedente integrle bbi senso è necessrio e sufficiente che nche l ltro estremo si positivo. Quindi il dominio di F è l semirett (0, + ). Per il Teorem fondmentle del clcolo integrle, F è derivbile e F (x) = /x. Perciò, Versione del 24 prile 202 4

42 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per vendo derivt positiv nel suo dominio (che è un intervllo), ess è strettmente crescente e quindi invertibile. L su invers è continu e derivbile in R ed è dett funzione esponenzile (nturle). L funzione logritmo si indic con log x, mentre l funzione esponenzile si indic con e x o, nche, con exp x. Ovvimente F () = 0; quindi, poiché F è strettmente crescente, risult F (x) < 0 se x (0, ) e F (x) > 0 se x >. Si può inoltre provre che F (x x 2 ) = F (x ) + F (x 2 ), che F (e) = e che l immgine di F (che è necessrimente un intervllo in bse l Teorem dei vlori intermedi essendo l funzione continu, dto che è derivbile) coincide con R (cioè F è suriettiv). Di conseguenz, il dominio dell funzione esponenzile, che coincide (per definizione di funzione invers) con l immgine dell funzione logritmo, è R. Esercizio. Clcolre x 0 x 4 x 0 ( cos t) log( + t) dt. (suggerimento: usndo il teorem di de l Hôpitl ci si riconduce l clcolo di ( cos x) log( + x) x 0 4x 3.) Esercizio. Si f : I R un funzione continu in un intervllo I. Provre che l derivt di è 2x f(x 2 ). x 2 0 f(t)dt (suggerimento: osservre che l funzione dt è composizione di x x 2 e dell funzione integrle y y 0f(t)dt e pplicre l regol di derivzione dell funzione compost.) Esercizio. Provre che l funzione Φ(x) = 2x 2 0 sen t + t 2 dt. è definit e derivbile in R e clcolrne l derivt. (suggerimento: Poiché l funzione t sen t/( + t 2 ) è continu in R, llor è loclmente integrbile. Quindi il dominio di Φ è R. Inoltre, Φ(x) = F (g(x)), dove g(x) = 2x 2 e y sen t F (y) = + t 2 dt. 0 Versione del 24 prile

43 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Pertnto si h Φ (x) = F (g(x))g (x) = 4xF ( 2x 2 ), ecc.) Il legme tr il clcolo di un integrle definito e l ricerc delle primitive di un funzione dt è espresso dll seguente importnte conseguenz del teorem fondmentle del clcolo integrle: Teorem (Formul fondmentle del clcolo integrle). Si f : I R continu in un intervllo I. Se G: I R è un primitiv di f, llor, fissti, b I, si h b f(x)dx = G(b) G(). Dimostrzione. Poichè G è un primitiv di f, ess differisce nell intervllo I dll funzione integrle F per un costnte. Perciò, esiste c R tle che G(x) x f(t)dt = c, x I. Ponendo, in prticolre, x = si ottiene G() = c essendo f(t)dt = 0. Di conseguenz, per ogni x I, si h x e, per x = b, si ottiene l tesi. f(t)dt = G(x) G() Notzione. Dt un funzione G: I R e due punti, b I, col simbolo [G(x)] b si denot l differenz G(b) G(). L formul fondmentle del clcolo integrle può essere quindi scritt nel seguente modo: b f(x) dx = [G(x)] b. Osservzione. Dll formul fondmentle (del clcolo integrle) si potrebbe improprimente dedurre che se c è un funzione costnte, llor F (x) = cx è un primitiv di c e, quindi, fissti, b R, risult b c dx = [cx] b = c(b ). Tuttvi non è lecito utilizzre l formul fondmentle per provre l uguglinz precedente. Il motivo è il seguente: l formul fondmentle si deduce dl teorem fondmentle, che su volt f uso del teorem dell medi, nell cui dimostrzione si utilizz proprio tle formul (rigurdre l dimostrzione). Versione del 24 prile

44 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservzione. Come conseguenz dell formul fondmentle del clcolo integrle si ottiene che se f : I R è derivbile con derivt continu in un intervllo I, llor, fissti, b I, si h b df(x) = b f (x) dx = f(b) f(). L Formul fondmentle del clcolo integrle ci permette di dre un rispost (lmeno teoric) l problem del clcolo degli integrli definiti. Se voglimo clcolre b f(x) dx ed f è continu in [, b], possimo tentre di ricvre un primitiv di f. Quest ricerc non è sempre fcile; nzi, in molti csi si rivel ssi compless. Esistono, come in prte bbimo nche visto, tecniche per l determinzione di primitive per lcune funzioni continue, m in molti csi il clcolo di b f(x) dx è ffidto d lgoritmi numerici (d esempio metodo dei rettngoli, dei trpezi, di Simpson) che forniscono pprossimzioni del vlore cercto. Sebbene ogni funzione continu definit in un intervllo mmett un primitiv (ce l ssicur il teorem fondmentle del clcolo integrle), dl punto di vist prtico ricvrl esplicitmente, in molti csi, è prticmente impossibile. Ecco il senso di tle ffermzione: esistono (e sono molte) delle funzioni deducibili dlle sei funzioni fondmentli l cui primitiv non è un funzione deducibile (dlle sei funzioni fondmentli). Ad esempio le funzioni e x2 e sen x x, pur essendo ovvimente deducibili, mmettono primitive non deducibili. L prim di esse è l cosiddett cmpn di Guss ed è di notevole importnz in Sttistic e Clcolo delle Probbilità. Concludimo con un osservzione che cerc di fre chirezz sui legmi fr integrzione e derivzione. Spesso lo studente si è ftto l ide che l integrle si il contrrio dell derivt o vicevers. In mtemtic l espressione è il contrrio di vuol dire ben poco. È bene pensre che l teori dell integrzione nsce come tenttivo di risolvere il problem del clcolo delle ree (d esempio il metodo di Archimede per clcolre l re del segmento di prbol è del III secolo.c.), mentre l teori dell derivzione ffront il problem dell determinzione delle tngenti e risle ll second metà del secolo XVII con i contributi fondmentli di Newton e Leibniz: sono perciò due problemi diversi tr loro e pprentemente non collegti. Il legme che si instur tr integrzione e derivzione è dovuto l Teorem fondmentle del clcolo integrle, perché, se f è continu in un intervllo, llor l funzione integrle F (x) = x f(t) dt è un primitiv dell funzione integrnd. Di conseguenz, come bbimo visto, il clcolo di b f(x) dx è riconducibile quello dell differenz G(b) G(), dove G(x) è un qulsisi primitiv di f(x). Versione del 24 prile

45 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esercizio. Scrivere esplicitmente l funzione F (x) = x 2t dt. (suggerimento: per x < /2 il segmento di estremi e x è tutto contenuto nell semirett (, /2), perciò si h x ( 2t) dt se x < /2 F (x) = /2 ( 2t) dt + x /2 (2t ) dt se x /2, ecc.) Scrivere poi l funzione e confrontrl con F (x). G(x) = x 2t dt Formul di integrzione per prti per gli integrli definiti. Sino f e g due funzioni di clsse C in un intervllo I. Allor, fissti, b I, vle l seguente formul: b f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)] b Dimostrzione. (Fcolttiv.) Posto ϕ(x) = x b f(t)g (t) dt [f(t)g(t)] x + g(x)f (x) dx. x g(t)f (t) dt, bst provre che ϕ(b) = 0. Questo segue immeditmente dl ftto che ϕ() = 0 e ϕ (x) = 0 per ogni x [, b]. Esempio. Clcolimo, usndo il metodo di integrzione per prti, il seguente integrle: Risult 2 log x dx = [ ] 2 (log x) x 2 2 log x dx. x d log x = 2 log 2 2 dx = 2 log 2. Versione del 24 prile

46 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Clcolimo, usndo il metodo di integrzione per prti, il seguente integrle: Risult π/2 0 cos x d sen x = π/2 0 cos 2 x dx. [ ] π/2 cos x sen x 0 π/2 0 sen x d cos x = Perciò π/2 0 2 π/2 0 sen 2 x dx = cos 2 x dx = π/2 0 π/2 0 ( cos 2 x) dx. dx = π/2, d cui π/2 cos 2 x dx = π 4. 0 Formul di integrzione per sostituzione (o di cmbimento di vribile) per gli integrli definiti. Si f un funzione continu definit su un intervllo I e si ϕ: J I un funzione di clsse C in un intervllo J, vlori nel dominio I di f (non occorre che ϕ si monoton). Allor, fissti due punti α e β nell intervllo J, si h ϕ(β) ϕ(α) f(x) dx = β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt. Dimostrzione. (Fcolttiv) Supponimo α < β e considerimo l funzione g : [α, β] R definit d g(s) = ϕ(s) ϕ(α) f(x) dx s α f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. Occorre provre che g(β) = 0. Dll definizione di g(s) si ricv immeditmente g(α) = 0. Derivndo si h g (s) = f(ϕ(s))ϕ (s) f(ϕ(s)) ϕ (s) = 0, s [α, β]. Quindi g è costnte e, conseguentemente, g(β) = g(α) = 0. Osservzione (utile per comprendere le ipotesi dell formul di integrzione per sostituzione). Supponimo che l composizione f(ϕ(t)) di due funzioni si Versione del 24 prile

47 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per definit per ogni t pprtenente d un segmento di estremi α, β R. Allor, se ϕ è continu, l funzione f(x) è necessrimente definit per ogni x pprtenente l segmento di estremi ϕ(α) e ϕ(β). Tle segmento, inftti, per il teorem dei vlori intermedi, è contenuto nell immgine trmite ϕ del segmento di estremi α e β, e tle immgine deve essere contenut nel dominio di f(x). Esempio. Clcolimo, usndo il metodo di integrzione per sostituzione, il seguente integrle: x 2 dx. Ponendo x = sen t = ϕ(t) si ottiene x 2 = cos t e ϕ (t) = cos t. 0 Occorre trovre due punti, α e β, tli che ϕ(α) = 0 e ϕ(β) =. Di punti α tli che sen α = 0 ce ne sono tnti (ddirittur infiniti) e lo stesso vle per i punti β tli che sen β =. Come si effettu llor l scelt dei punti? Poiché nell nuov funzione integrnd compre il vlore ssoluto di cos t, è bene fre in modo che nell intervllo di estremi α e β l funzione cos t non cmbi segno, in modo d poter togliere il vlore ssoluto (eventulmente moltiplicndo cos t per ) senz essere costretti spezzre l integrle in più prti. Scegliendo α = 0 e β = π/2 e tenendo conto che cos t 0 per t (0, π/2), si ottiene 0 π/2 x 2 dx = cos t cos t dt = 0 π/2 0 cos 2 t dt = π 4, dove l ultimo integrle è stto clcolto per prti in precedenz. Esercizio. I seguenti integrli definiti si possono clcolre usndo il metodo di integrzione per sostituzione: 2 x 3 e x2 dx (porre x = t), 2 log 2 t t dt 0 2 x 2 dx (si h ϕ(t) = log t). (porre x = sen t), Esercizio. Usndo l formul di cmbimento di vribile per gli integrli definiti, provre i seguenti ftti:. Si f : R R un funzione continu e dispri (cioè f(x) = f( x) x R). Allor, R si h f(x) dx = 0. Versione del 24 prile

48 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per 2. Si f : R R un funzione continu e pri (cioè f(x) = f( x) x R). Allor, R si h f(x) dx = 2 0 f(x) dx. 3. Si f : R R un funzione continu e periodic di periodo T > 0 (cioè f(x + T ) = f(x) x R). Allor,, b R si h b+t +T f(x) dx = b f(x) dx. L teori dell integrzione svolt è utile per il clcolo dell re di figure pine. Dt f : [, b] R continu e non negtiv e posto chimeremo re di A il numero A = {(x, y) : x b, 0 y f(x)}, b f(x) dx. Più in generle, dte due funzioni f, g : [, b] R continue, possimo clcolre l re dell regione T definit nel modo seguente Si h T = {(x, y) : x b, g(x) y f(x)}. re T = b [f(x) g(x)] dx. Esempio. Ricordndo che l equzione dell circonferenz di centro l origine e rggio è x 2 + y 2 =, l re del cerchio di centro l origine e rggio è dt dl doppio dell re di A = {(x, y) : x, 0 y x 2 }. Si h re A = x 2 dx. Essendo l funzione integrnd pri, dll esercizio precedente si ottiene x 2 dx = 2 x 2 dx 0 Versione del 24 prile

49 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per e, come bbimo già visto in precedenz, (usndo d esempio l formul di integrzione per sostituzione con ϕ(t) = sen t), si verific subito che 0 x 2 dx = π 4. Esempio. L integrle definito può essere ust nche per clcolre il volume di un solido di rotzione. Più precismente, dt un funzione continu f : [, b] R, si può provre (usndo le formule di riduzione per gli integrli tripli che fremo in seguito) che il volume V ottenuto dll rotzione intorno ll sse delle scisse dell insieme {(x, y) R 2 : x b, y = f(x)} è dto d V = π b f 2 (x) dx. Ad esempio, il volume del prboloide ottenuto fcendo ruotre il grfico di f(x) = x in [0, ] è V = π 0 x dx = π[x 2 /2] 0 = π 2. In mnier nlog, fcendo ruotre y = x intorno ll sse x si ottiene il volume del cono circolre retto V = π 0 x 2 dx = π[x 3 /3] 0 = π 3. Integrli impropri Ricordimo che un funzione è loclmente integrbile in un intervllo I se è integrbile in ogni sottointervllo chiuso e itto di I. Ovvimente, le funzioni continue in I sono ivi loclmente integrbili. Prenderemo in esme i seguenti csi: I = [, + ) oppure I = (, b] I = (, b] oppure I = [, b) Considerimo per primo il cso di funzioni definite in un intervllo non itto [, + ). Versione del 24 prile

50 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Si dunque f : [, + ) R un funzione loclmente integrbile. l intervllo [, + ) non è itto, l integrle Poiché + f(x) dx non h senso secondo l definizione dt in precedenz (si osservi inftti che ogni prtizione dell intervllo di integrzione non può vere prmetro di finezz finito). Per questo motivo tle integrle si dice improprio e il suo vlore (qundo esiste, finito o infinito) si definisce nel modo seguente: + f(x) dx = b b + f(x) dx. In ltre prole, l integrle (improprio) tr e + di f non è ltro che il ite per b + dell funzione integrle b F (b) := b f(x) dx. Se tle ite è finito, diremo che l integrle è convergente, se vle + o diremo che è divergente ( + o, rispettivmente). Se il ite non esiste, l integrle improprio si dirà indeterminto. Esempio. Clcolimo Si h x 2 dx. b dx = b x2 rctng b = π b + 2. Esempio. L funzione f(x) = /x α h integrle improprio convergente in [, + ), > 0, se e solo se α >. Si h inftti { b log b log se α = x α dx = b α+ α+ α+ se α. Perciò + x α dx = b b + x α dx = { (α ) α se α > + se 0 < α. Versione del 24 prile

51 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per 5 settimn - dl Osservzione. Si f : [, + ) R un funzione loclmente integrbile. Supponimo f(x) 0 per ogni x. Allor l funzione integrle F (b) = b f(x) dx è crescente. Pertnto, per il teorem del ite per le funzioni monotone, il ite per b + dell funzione integrle esiste e coincide con l estremo superiore dell funzione F in [, + ). Esso è quindi finito o +. Di conseguenz, l integrle di f in [, + ) converge o diverge + e, quindi, per funzioni non negtive è sempre ben definito. Come bbimo osservto precedentemente, l ricerc di un primitiv di un funzione continu si rivel, in molti csi, ssi compless o ddirittur impossibile. Perciò non sempre è possibile stbilire se un integrle improprio è convergente o meno clcolndo direttmente l funzione integrle F (b) e fcendone il ite per b +. Il risultto che segue è utile per stbilire il crttere di un integrle improprio. Criterio del confronto (per gli integrli impropri su un semirett destr). Sino f, g : [, + ) R due funzioni loclmente integrbili e tli che Allor, si h 0 f(x) g(x), x. + f(x) dx + g(x) dx. Pertnto, se converge l integrle dell funzione g (dett mggiornte), converge nche l integrle dell f (dett minornte), e se diverge l integrle dell f, diverge nche l integrle dell g. Dimostrzione. Poiché f e g sono non negtive, le due funzioni integrli F (b) = b f(x) dx e G(b) = b g(x) dx sono crescenti. Di conseguenz, in bse ll osservzione sopr, per entrmbe esiste (finito o infinito) il ite per b +. Dll ipotesi f(x) g(x) per x e tenendo conto dell proprietà di monotoni dell integrle definito si ottiene F (b) G(b) per ogni b, e l tesi segue immeditmente dl teorem del confronto dei iti. Versione del 24 prile 202 5

52 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. L funzione f(x) = sen2 x x 2 h integrle improprio convergente in [, + ). Inftti bst osservre che l funzione integrnd è positiv (condizione senz l qule il criterio del confronto non è pplicbile) e che si h 0 sen2 x x 2 x 2. Quindi, poiché l integrle (tr e + ) di /x 2 è convergente, per il criterio del confronto risult convergente nche l integrle ssegnto. In bse ll disuguglinz del criterio del confronto possimo nche ffermre che tle integrle improprio è un numero compreso tr 0 e. Esercizio. Provre che + dx x 2 + cos x è convergente. Esempio. Studimo il crttere del seguente integrle: + dx x + cos x. L funzione integrnd è sicurmente positiv nell intervllo di integrzione e quindi possimo tentre di pplicre il criterio del confronto. Il ftto che per vlori grndi di x l funzione integrnd si pprossimtivmente ugule / x ci f nscere il sospetto che l integrle ssegnto si divergente (come lo è, inftti, l integrle di / x). Provimo vedere se si può minorre l funzione integrnd con un funzione il cui integrle si divergente. Dto che (nell intervllo di integrzione) x, risult nche x cos x. Quindi 2 x x + cos x ( x ) e, di conseguenz, l integrle ssegnto è divergente. Il criterio che segue si deduce fcilmente dl criterio del confronto. Criterio del confronto sintotico (per gli integrli impropri su un semirett destr). Sino f, g : [, + ) R due funzioni loclmente integrbili e positive. Supponimo che esist f(x) x + g(x) = λ R. Versione del 24 prile

53 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Allor, se 0 < λ < + l integrle di f e l integrle di g hnno lo stesso crttere (cioè sono entrmbi convergenti o entrmbi divergenti); se λ = 0 e l integrle di g converge, llor converge nche l integrle di f; se λ = + e l integrle di g diverge, llor l integrle di f diverge. Osservzione. In molti csi, come funzione test per pplicre il criterio del confronto sintotico si consider g(x) = /x α. Ad esempio, confrontndo con g(x) = /x 2, si può provre che gli integrli x rctng x dx, sen x 3 + x dx, ( cos ) dx, x x 2 + x + log x dx sono convergenti. Confrontndo invece con g(x) = /x, si deduce che + cos + x dx, log(x 2 + x + ) dx, x è divergente. Esempio. Considerimo l integrle improprio + 0 e x2 dx. Usndo il criterio del confronto sintotico (d esempio, confrontndo con g(x) = /x 2 ), si prov che tle integrle è convergente. Come bbimo già osservto, l funzione integrle F (x) = x 0 e t2 dt, (l cui funzione integrnd e t2 è l fmos cmpn di Guss) è un esempio di funzione non deducibile dlle sei funzioni fondmentli. Ricorrendo però metodi di clcolo per gli integrli doppi si f vedere che il vlore dell integrle improprio è π/2, cioè che Pertnto, l funzione integrle x x + 0 erf x = 2 x π 0 e t2 dt = π/2. e t2 dt = π x x e t2 dt, Versione del 24 prile

54 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dett funzione degli errori (error-function in inglese), h l seguente proprietà: erf x =. x + L funzione degli errori è prticolrmente utile in Sttistic e Clcolo dell Probbilità; il ftto che tend è un proprietà importnte perché, nel Clcolo delle Probbilità, il numero rppresent l certezz. ll risultto che segue è importnte per provre l convergenz (e mi l non convergenz) di integrli impropri di funzioni di segno non costnte (si osservi che lo studio dell integrle di un funzione negtiv si riconduce quello di un funzione positiv portndo fuori dll integrle). Inftti, se l funzione f cmbi segno infinite volte in [, + ), né il criterio del confronto né quello del confronto sintotico per gli integrli impropri si possono pplicre. Si h il seguente: Criterio dell convergenz ssolut (per gli integrli impropri su un semirett destr). Si f : [, + ) R un funzione loclmente integrbile. Se converge (in [, + )) l integrle di f, llor converge nche l integrle di f, e risult + + f(x) dx f(x) dx. Si osservi che l precedente disuguglinz h senso in virtù del ftto che l integrle di f è convergente. In questo cso, inftti, tle integrle rppresent un numero rele, e quindi h senso il suo vlore ssoluto. Qundo converge l integrle di f si dice che l integrle di f è ssolutmente convergente. Esempio. L funzione f(x) = cos x + x 2 h integrle ssolutmente convergente in [0, + ). Inftti, dl criterio del confronto, si deduce subito che l funzione h integrle convergente. f(x) = cos x + x 2 Osservzione. Ci sono funzioni il cui integrle in [, + ) converge m tli che l integrle del vlore ssoluto diverge, cioè funzioni il cui integrle è convergente m non ssolutmente convergente. Ad esempio, si potrebbe dimostrre che f(x) = sen x/x h integrle improprio convergente in [, + ), m f(x) h integrle non convergente. Versione del 24 prile

55 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Anlogmente come si è definito l integrle improprio su un semirett destr, dt un funzione loclmente integrbile f : (, b] R, il suo integrle improprio, che denoteremo col simbolo b è il ite per dell funzione F () = f(x) dx, b f(x) dx. È evidente che per gli integrli impropri su un semirett sinistr vlgono ncor, con ovvie modifiche, i criteri del confronto, del confronto sintotico e dell convergenz ssolut. Prendimo or in esme il cso di un funzione definit in un intervllo itto (, b]. Abbimo visto che se un funzione è integrbile (secondo Cuchy-Riemnn) in un intervllo chiuso e itto [, b], llor, dll definizione, è necessrimente itt in tle intervllo. Supponimo or che un funzione f si definit in un intervllo (itto m non chiuso) (, b] e che in tle intervllo risulti loclmente integrbile (d esempio, f potrebbe essere continu in (, b], m non definit in ). Il ftto che f poss non essere definit in non costituisce un problem: è sempre possibile estenderl ssegnndole un rbitrrio vlore f() (d esempio, si può porre f() = 0). Comunque, che si estend o no, i csi sono due: o f è itt o non lo è. Nel primo cso non ci sono problemi: si potrebbe dimostrre, inftti, che ogni su estensione è integrbile e che l integrle non dipende dl vlore f() scelto. Se invece f è non itt, nessun su estensione d [, b] potrà einre tle difetto (per fissre le idee si pensi d un f continu in (, b] che tende ll infinito per x + ). In questo secondo cso si us dire che f h un singolrità in. L integrle b f(x) dx non h senso secondo l teori di Cuchy-Riemnn e per quest rgione viene detto improprio. Tuttvi, usndo il ftto che f è integrbile (nel senso di Cuchy- Riemnn) in ogni sottointervllo chiuso e itto di (, b], è possibile ttribuirgli un significto. Il suo vlore (qundo esiste nei reli estesi) è così definito: b f(x) dx = c + b c f(x) dx. Versione del 24 prile

56 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Se tle ite è finito, diremo che l integrle (di f in [, b]) è convergente, se vle + o diremo che è divergente ( + o, rispettivmente). Se il ite non esiste, l integrle improprio si dirà indeterminto. Anlogmente, se un funzione f è loclmente integrbile in [, b), m non itt, definimo b f(x) dx = c b c f(x) dx. Come per il cso dell singolrità in, tle integrle potrà essere convergente, divergente o indeterminto. Esempio. L integrle improprio dx, α > 0, xα converge se 0 < α < e diverge se α. Si h inftti c 0 x α dx = Perciò dx = xα c 0 0 c { log c se α = c α+ α+ se α. x α dx = { ( α) se 0 < α < + se α. Più in generle, lo stesso risultto si ottiene per i seguenti integrli impropri: b dx (x ) α, b dx (b x) α. Può cpitre nche che un funzione f si integrbile in ogni intervllo chiuso e itto contenuto in [, b]\{x 0 } con x 0 (, b). Ad esempio, f potrebbe essere continu in [, b]\{x 0 } m non definit in x 0. Se f è itt, bst definirl in un modo qulunque nel punto x 0 e l nuov funzione risulterà integrbile secondo Cuchy-Riemnn (e l integrle risulterà indipendente dl vlore ssegnto in x 0 ). Se invece f non è itt (d esempio, se per x x 0 si h f(x) + ), llor l integrle tr e b di f è improprio e si definisce riconducendosi i csi precedentemente visti: b f(x) dx = x0 f(x) dx + b purché non si bbi l form indetermint. x 0 f(x) dx, Versione del 24 prile

57 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Ovvimente si possono presentre csi di funzioni con più di un singolrità in [, b]. Se queste sono in numero finito, è sufficiente spezzre l integrle nell somm di integrli con singolrità in uno solo dei due estremi di integrzione, riconducendosi così i due csi già trttti. I criteri del confronto, del confronto sintotico, e dell convergenz ssolut, con le opportune modifiche, vlgono nche per gli integrli impropri in un intervllo itto. Esempio. Provimo che 0 x 0 dx sen x è convergente. Applichimo il criterio del confronto sintotico confrontndo / sen x con / x. Si h x =. sen x Poiché dx x è convergente, nche l integrle dto h lo stesso crttere. Esempio. Provimo che sen x dx x(2 x) /3 è convergente. Osservimo che l funzione integrnd non è definit né in 0 né in 2. Si h però sen x x 0 x(2 x) /3 = 2 /3 e quindi l unic singolrità dell funzione è in 2. Si può perciò procedere come nell esempio precedente confrontndo l funzione integrnd con g(x) = (2 x) /3. Esercizio. Studire il crttere del seguente integrle improprio 0 x 2/3 x dx (Sugg. Prendere in esme seprtmente i due csi c 0 x 2/3 x dx e c x 2/3 x dx Versione del 24 prile

58 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dove c è un qulunque punto dell intervllo (0, )). 6 settimn - dl Successioni numeriche Definizione. Un successione in un insieme X è un ppliczione (o funzione) f : N X. Se il codominio X è un sottoinsieme di R, l successione si dice rele (o di numeri reli). Dt un successione f : N X, per motivi di trdizione e di semplicità, l immgine di un generico n N si denot col simbolo n, invece che con f(n). Il vlore n ssocito d n si chim termine n-esimo dell successione o elemento di indice n. I numeri nturli sono detti gli indici dell successione. Vri modi di indicre un successione f : N X sono: - f : N X (è quello più corretto m il meno usto); -, 2,..., n,... (elencndo i termini); - { n } n N (specificndo che il dominio è N ) o nche { n } (usto qundo risult chiro dl contesto che rppresent un successione). D or in vnti, meno che non si diversmente specificto, ci occuperemo di successioni di numeri reli. In questo cso vle l convenzione che bbimo dottto per le funzioni reli: per semplicità, meno che non si detto esplicitmente, si ssume che il codominio coincid con R. Esempi di successioni reli:, 2, 3,, n,...,,,..., ( ) n,... 2, 4, 6,..., 2n,... 2, 2 3, 3 4,..., n n+,... Alcune successioni sono definite in modo ricorsivo, cioè: ) ssegnndo il primo termine (o i primi k-termini); 2) dndo un legge per ricvre il termine (n + )-esimo di termini precedenti. Un esempio di successione definit in modo ricorsivo è rppresentto dll successione di Fiboncci (mtemtico pisno dell prim metà del XIII secolo), dove sono ssegnti i primi due termini, = e 2 =, ed ogni ltro termine è somm dei due precedenti, cioè n+ = n + n. Tle successione govern lcuni fenomeni nturli come, d esempio, il numero dei discendenti dei conigli e il numero degli ntenti delle pi (nelle vrie generzioni). Versione del 24 prile

59 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Un ltro esempio di successione ricorsiv si ottiene ponendo b n = n+ / n, dove { n } è l successione di Fiboncci. Si h b = e b n+ = +/b n. Si può provre che tle successione h come ite (vedere sotto per l definizione di ite) il numero ( + 5)/2 che è detto sezione ure e h importnti ppliczioni nell rchitettur e nell pittur. Osservzione. Attenzione non fre confusione tr i termini dell successione (che sono sempre infiniti: il primo, il secondo, il terzo, ecc.) e i vlori ssunti dll successione che possono essere nche un numero finito. Ad esempio, l successione { n } n N = {( ) n } n N ssume solo i vlori e m, ciscuno, infinite volte (il primo termine è, il secondo è, il terzo è,..., l n-esimo è ( ) n,... ). Definizione. Si dice che un successione { n } tende (o converge) l R, e si scrive n l (per n + ), se per ogni ɛ > 0 esiste un indice N (dipendente d ɛ) tle che per n > N si h n l < ɛ. Il numero l è detto il ite di { n } e si scrive nche n + n = l oppure n = l. L second notzione, prticolrmente sintetic, è giustifict dl ftto che + è l unico punto di ccumulzione per N e quindi l unic nozione di ite che h senso per le successioni è per n +. Osservimo nche che nell definizione di ite ffermre che per ogni ɛ > 0 esiste N N tle che per n > N si bbi n l < ɛ è equivlente verificre che per ogni ɛ > 0 esiste N R tle che per n > N si bbi n l < ɛ. In ltre prole è sufficiente che l disuguglinz n l < ɛ si soddisftt per tutti gli indici n mggiori di un certo numero rele N che può nche non essere un intero positivo. Definizione. Si dice che { n } tende (o diverge) + [ ] (si scrive n + [ n ]) se per ogni M R esiste un indice N (dipendente d M) tle che per n > N si h n > M [ n < M]. Definizione. Un successione { n } si dice convergente se mmette ite finito, divergente se il ite è + o e non regolre qundo non mmette ite. Esempio. Verifichimo che n + n = 0. Dto ɛ > 0, dobbimo determinre N N tle che se n > N si bbi n < ɛ o, equivlentemente, ɛ < n < ɛ. Versione del 24 prile

60 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Ovvimente risult /n > ɛ per ogni n N ed è sufficiente prendere N = [/ɛ] + perché se n > N si bbi n < ɛ (ricordimo che [/ɛ] denot l prte inter di /ɛ). Per qunto osservto sopr, se cerchimo N R e non necessrimente N N, srà sufficiente prendere N = /ɛ, senz ricorrere ll prte inter di tle numero. Esercizio. Verificre, medinte l definizione di ite, che n n +. Svolgimento. Fissimo ɛ > 0. Occorre provre che esiste un N N tle che n > N = n n + < ɛ. L disequzione è equivlente ll coppi di disequzioni n n+ ɛ < n n + < ɛ. L disuguglinz < ɛ è ver per ogni n N in qunto il primo membro è negtivo, mentre ɛ < n+ è ver se n è mggiore di ɛ oppure se è mggiore di un qulsisi ltro numero mggiore di ɛ. Scegliendo N = [ ɛ ] + si h che, se n > N, llor n n+ < ɛ. Esercizio. Verificre, usndo l definizione di ite, che 3n + n + n + 2 = 3; n 3 + 2n + n + 2n 3 = 4 2, n + n2 + n = +, n + n2 + n =. Esercizio. Provre che l successione {( ) n } è non regolre. Teorem. (Unicità del ite). Il ite di un successione, se esiste (finito o infinito), è unico. Versione del 24 prile

61 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per I concetti di funzione itt superiormente, itt inferiormente, itt, monoton sono già stti definiti per rbitrrie funzioni vlori reli. Essi rimngono pertnto vlidi nche per le successioni reli, essendo queste delle prticolri funzioni vlori reli (l unic distinzione rigurd il dominio, non il codominio). Ad esempio, diremo che l successione { n } è itt se esiste M > 0 tle che n M per ogni n N. Teorem. Ogni successione convergente è itt. Osservzione. Esistono successioni itte m non convergenti. Ad esempio, l successione { n } = {( ) n }. Definizione. Diremo che un successione { n } soddisf un cert proprietà P definitivmente se esiste N N tle che i termini n soddisfno P per ogni n > N. In ltre prole, se { n } soddisf P definitivmente signific che i termini dell successione per i quli P può non essere soddisftt sono in numero finito. Esempio. L successione di termine n-esimo n = n 7 n + 3 è definitivmente positiv essendo n > 0 per ogni n > 7. Esempio. Un successione { n } converge d l se per ogni ɛ > 0 si h n l < ɛ definitivmente. I risultti che seguono sono stti già enunciti nel contesto delle proprietà dei iti di funzioni reli di vribile rele. Per completezz li riportimo interpretndoli nell mbito delle successioni. Teorem. (Permnenz del segno per le successioni). Si { n } un successione rele. Se n tende d un ite mggiore di 0 (nche + ), llor n > 0 definitivmente (cioè esiste N N tle che n > 0 per ogni n > N). Dimostrzione. Supponimo che il ite l dell successione { n } si finito e positivo. Fissto ɛ = l/2, dll definizione di ite si deduce che l ɛ < n < l + ɛ definitivmente. Quindi, essendo l ɛ = l l/2 = l/2 > 0, si ottiene 0 < n definitivmente. Anlizzimo or il cso in cui il ite si +. Fissto un qulunque M > 0, si h (sempre per l definizione di ite) n > M definitivmente e quindi, mggior rgione, n > 0 definitivmente. Teorem. (Operzioni sui iti per le successioni). Sino { n } e {b n } due successioni tli che n λ e b n µ, dove λ, µ R. Allor, qundo h senso nei reli estesi (cioè trnne i csi, 0/0, 0 e / ), si h: Versione del 24 prile 202 6

62 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ) n + b n λ + µ ; 2) n b n λµ ; 3) n /b n λ/µ. Riportimo lcuni esempi per mostrre come non si conveniente dre un senso, nei reli estesi, lle espressioni, 0/0, 0 e / (dette forme indeterminte): ( ) (n + ) n ( ) n 2 n + (0 ) (/n)n (0 ) (/n)n 2 + (0/0) (/n)/(/n) (0/0) (/n 2 )/(/n) 0 ( / ) n/n ( / ) n 2 /n + Esercizio. Usndo il teorem precedente, clcolre n 2 + n + n 6n 2 + 3n ; n n 2 +. n Il risultto che segue è un fcile conseguenz del teorem dell permnenz del segno. Teorem (del confronto dei iti per le successioni). Se n l R, b n m R e n b n per ogni n, llor l m. Dimostrzione. Se, per ssurdo, l fosse mggiore di m, l successione { n b n } tenderebbe l numero positivo l m. Di conseguenz, per il teorem dell permnenz del segno, risulterebbe n b n > 0 definitivmente, in contrsto con l ipotesi n b n, n N. Un cso prticolre del Teorem del confronto dei iti per le successioni è il seguente corollrio. Corollrio. Se { n } è un successione rele termini non negtivi (rispettivmente non positivi) convergente d l, llor risult l 0 (risp. l 0). Teorem (dei crbinieri per le successioni). successioni tli che n b n c n. Sino { n }, {b n } e {c n } tre Versione del 24 prile

63 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Se n l R e c n l R, llor nche b n l. Dimostrzione. Fissimo un ɛ > 0. Poiché n l, esiste un n tle che l ɛ < n < l + ɛ per tutti gli n > n. Per lo stesso ɛ è possibile determinre un n 2 tle che l ɛ < c n < l + ɛ per n > n 2. Quindi, se n > N := mx{n, n 2 }, llor l ɛ < n b n c n < l + ɛ, d cui si ottiene l ɛ < b n < l + ɛ per tutti gli n > N. Osservzione. Osservimo che il teorem dei crbinieri è ncor vlido se si suppone che l condizione n b n c n (ferme restndo le ltre ipotesi) vlg definitivmente (non occorre si ver per ogni n N). L importnte è che i crbinieri { n } e {c n } prim o poi ctturino {b n } e si dirigno entrmbi dll stess prte. Esempio. L successione { sen n } n è rpporto di due successioni: {sen n} e {n}. Il suo ite non si può determinre pplicndo il Teorem sulle operzioni dei iti perché l successione {sen n} non h ite per n (cos che noi non dimostreremo). D ltr prte si h n sen n n e quindi dl Teorem dei crbinieri si deduce sen n n 0. n, Definizione. Un successione si dice infinitesim se è convergente zero. E immedito verificre che Teorem. L successione { n } è infinitesim se e solo se l successione { n } è infinitesim. Osservzione. Nell proposizione precedente non si può sostituire 0 con un vlore l 0. Inftti, d esempio, l successione n = ( ) n non mmette ite, m n = e quindi converge. In generle, vle però l seguente impliczione: n l = n l. Il seguente teorem è utile in molte occsioni: Teorem. L successione prodotto di un successione itt per un infinitesim è infinitesim. Versione del 24 prile

64 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Dimostrzione. Si { n } un successione itt. Perciò esiste M > 0 tle che n M per ogni n N. Si b n tle che n + b n = 0. Si h 0 n b n M b n, d cui, per il Teorem dei crbinieri e per il teorem precedente, si deduce che { n b n } è infinitesim. Esempio. Dl teorem precedente si deduce immeditmente che le successioni { } { } ( ) n sen n e n n 2 n sono infinitesime. Teorem (del crbiniere per le successioni). Sino { n }, {b n } due successioni tli che n b n definitivmente. Se n + (b n ), llor nche b n + ( n ). Anlogmente ciò che si è visto per le funzioni, gli estremi inferiore e superiore di { n } sono gli estremi inferiore e superiore dell insieme dei vlori ssunti dll successione e si denotno, rispettivmente, con inf n e sup n, n N o più semplicemente con inf n e sup n. Se un successione { n } non è itt superiormente [inferiormente] si pone n N sup n = + [inf n = ]. Osservzione. L seguente crtterizzzione per l estremo superiore [estremo inferiore] di un successione è nlog quell dt per un funzione rele: sup n = l R [ inf n = l R] se e solo se ) n l, [ n l] n N; 2) ɛ > 0 esiste un indice n ɛ tle che nɛ > l ɛ [ nɛ < l + ɛ]. Esercizio. Provre che ( ) n 2 sup( ) n n N n + 3 = e inf n N ( )n ( ) n 2 =. n + 3 Versione del 24 prile

65 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Suggerimento. Per provre l prim delle due uguglinze usimo l crtterizzzione richimt sopr. L ) è verifict essendo ovvimente ( ) n 2 ( ) n n + 3 per ogni n N. Per qunto rigurd l 2) si trtt di verificre che per ogni ɛ > 0 è possibile determinre un indice n ɛ tle che ( ) nɛ 2 ( ) nɛ > ɛ. n ɛ + 3 È sufficiente prendere come n ɛ un n pri e tle che n > (3( ɛ) + 2)/ɛ. Definizione. Un successione { n } si dice crescente [decrescente] se per ogni m, n N con m < n si h m n [ m n ]. Un successione { n } si dice strettmente crescente [strettmente decrescente] se per ogni m, n N con m < n si h m < n [ m > n ]. Le successioni (strettmente) crescenti o (strettmente) decrescenti sono dette successioni (strettmente) monotòne. Osservzione. È fcile verificre che l definizione di successione monoton è equivlente ll seguente: { n } si dice crescente [decrescente] se, per ogni n N risult n n+ [ n n+ ]. Teorem. (Limite per successioni monotone). Se { n } è un successione monoton, llor mmette ite. Precismente si h n = sup n se { n } è crescente e n = inf n se è decrescente. In prticolre se { n }, oltre d essere monoton, è nche itt, llor è convergente, se invece non è itt, è divergente. Dimostrzione. (Fcolttiv) Assumimo, per fissre le idee, che l successione { n } si crescente (il cso { n } decrescente è nlogo). Supponimo prim che l estremo superiore di { n } si finito e denotimolo, per brevità, con l letter l. Fissimo un rbitrrio ɛ > 0. Poiché (per definizione di estremo superiore) l è il minimo mggiornte per { n }, il numero l ɛ non può essere un mggiornte per { n }. Non è vero quindi che tutti gli n verificno l condizione n l ɛ. Ne esiste quindi (lmeno) uno, denotimolo n, che non verific tle condizione. Esiste cioè un indice n per il qule risult n > l ɛ (proprietà (2) dell crtterizzzione dell estremo superiore). Dto che bbimo supposto { n } crescente, se n è un qulunque indice mggiore di n, si h n n e quindi, mggior rgione, l ɛ < n. D ltr prte l è un mggiornte per gli n e, di conseguenz, per ogni n (e non solo per quelli mggiori di n) risult n Versione del 24 prile

66 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per l (proprietà () dell crtterizzzione dell estremo superiore). In conclusione, possimo ffermre che per gli n > n si h l ɛ < n < l + ɛ, e quindi, per l definizione di ite, n l = sup n. Supponimo or sup n = + e fissimo un M > 0. Poiché (in bse l significto dell notzione sup n = + ) l successione non è itt superiormente, il numero M non può essere un mggiornte per tutti gli n. Esiste quindi un indice n per il qule risult n > M. Dto che l successione è crescente, qundo n > n si h n > M. Dunque, per l definizione di ite, n + = sup n. Osservzione. L condizione espress dl teorem precedente è ovvimente solo sufficiente. Ad esempio l successione { n } = { ( )n n } è convergente (inftti tende 0), m non è monoton. Si h sup n = mx n = /2 e inf n = min n =. Un esempio importnte di successione monoton è il seguente: Esempio. Il numero e. Considerimo l successione il cui termine n-esimo è ( n = + ) n n Si può provre che ess è: strettmente crescente; itt superiormente (3 è un mggiornte). Perciò, per il teorem del ite per le successioni monotone, è convergente. Il suo ite si denot con e ed è detto numero di Nepero. Tle numero è irrzionle e un suo vlore pprossimto ( meno di 0 9 ) è dto d 2, Notimo che quest è un delle possibili definizioni del numero e (un ltr, che vedremo in seguito, è quell bst sull nozione di serie). Il logritmo nturle (o in bse e) di un numero x si denot ln x o log x. Esempio. Provimo che ( ) n = n + n e. Si h ( n) n = D ltr prte ( ) ( ) n n + n + = = n n ( n n ) n. [ ( + ) n ( + ) ] e. n n Versione del 24 prile

67 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Provimo che ( + x = e. x ± x) Per x > 0, si h ( + ) [x] ( + x ( + [x] + x) ) [x]+. [x] D ltr prte, dl ite dell successione {( + /n) n } considerto sopr, si deduce che il primo e l ultimo membro dell precedente disequzione tendono e. Di conseguenz, per il Teorem dei crbinieri, si ottiene che il ite per x + è ugule e. Applicndo il Teorem di cmbimento di vribile per i iti e tenendo conto del ftto che ( /n) n /e, si verific che nche il ite per x è ugule e. Inoltre, ponendo x = /y e pplicndo nuovmente il Teorem di cmbimento di vribile, si deduce che x 0 ( + x)/x = e. Infine, tenendo conto dell continuità dell funzione logritmo, si ottiene Inftti, si h log( + x) =. x 0 x log( + x) = log ( + x) /x = log e =. x 0 x x 0 7 settimn - dl Il seguente risultto mette in relzione il ite di successione e quello di funzione. Teorem ( di collegmento ). Si f : X R R e si α R un punto di ccumulzione per X. Allor x α f(x) = λ R se e solo se per ogni successione { n } n N, n X, n α, n α si h n f( n ) = λ. Usndo il teorem di collegmento e i iti di funzione provti in precedenz si ottiene immeditmente che: se { n } è un qulunque successione infinitesim, llor sen n cos n =, n n n 2 n = 2 Versione del 24 prile

68 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per e log( + n ) =. n n In mnier nlog: se { n } è un qulunque successione divergente ( + oppure ), llor ( + ) n = e. n n D quest ultimo risultto si deduce fcilmente che ( ) n + k + n = e, n n + k n ( n + k n + k + ) n = e. Esempio. Usndo il teorem di collegmento si può provre che non esiste il ite per x + di sen x. Bst inftti considerre le successioni di termine n-esimo n = π 2 + 2nπ, n = 3 2 π + 2nπ e osservre che n sen n = mentre n sen n =. Nel clcolo dei iti di successione sono utili i seguenti teoremi. Teorem. Si dt un successione { n } termini positivi. Allor si h n + n n = purché esist il ite l secondo membro. n+, n + n Esempio. Usndo il teorem precedente si deduce immeditmente che n h, (h > ); n n n ; n! + ; n n n n! e. Ad esempio, si h n + n n n n + n! = n + n n = (n + ) n+ (n + )! n + =. n + n n! n n = n + ( ) n + n = e. Teorem (criterio del rpporto per le successioni). Si { n } un successione termini positivi. Supponimo che l successione {b n } = { n+ / n } ottenut d { n } fcendo il rpporto tr un termine e il precedente mmett ite β (finito n Versione del 24 prile

69 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per o infinito). Allor, se β < l successione { n } è infinitesim, se β > l successione è infinit. Esempio. Fcendo uso del criterio del rpporto si deduce che Ad esempio, si h n α n 0 (α > 0, > ), n n! 0, n! n n 0. n + (n + )! n n (n + ) n+ n! = d cui, per il criterio del rpporto, n!/n n 0. Esempio. Provimo che n + rn = ( n ) n = n + n + e <, 0 se r < se r = + se r > se r Dimostrzione. Considerimo d esempio il cso r <. Per il criterio del rpporto, essendo r n+ n + r n = r <, si ottiene r n 0. Di conseguenz, poiché come visto in precedenz un successione è infinitesim se e solo se lo è il suo vlore ssoluto, llor nche r n 0. Gli ltri csi sono lsciti per esercizio. Esempio. Si h l seguente scl di infiniti: log n, n α (α > 0), n ( > ), n!, n n. L scl v intes nel senso che il ite tr un infinito e il successivo è 0. Serie numeriche Prendimo or in esme un esempio prticolrmente importnte di successione rele. Dt un successione rele { n } n N ssocimo d ess l successione {s n } n N di termine n-esimo s n = n = n k. k= Versione del 24 prile

70 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Ci interess studire il ite Tle ite si indic con il simbolo s n. n + k, k= detto serie (numeric), e si legge somm per k che v d infinito di k. Ovvimente l posto di k si può usre un qulunque ltro indice (si pensi l significto di sommtori). In ltre prole: col simbolo si intende n, n= n + k= n k. L successione {s n } si dice successione delle somme przili (o delle ridotte) dell serie, mentre n è detto il termine generle. Il crttere dell serie è, per definizione, il crttere dell successione {s n }. In ltre prole, si dice che l serie converge [diverge] se {s n } converge [diverge]; se il ite di {s n } non esiste, l serie è indetermint (o irregolre). Il ite s (finito o infinito) di {s n }, qundo esiste, si dice somm dell serie e si scrive s = n. n= Tlvolt, invece di sommre prtire d n =, si prte d un indice n 0 N (può essere utile nche n 0 = 0). Scriveremo llor n=n 0 n. Si vede fcilmente che il crttere di un serie non cmbi se si modific un numero finito di termini. Esempio. L serie n=0 r n Versione del 24 prile

71 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per è dett geometric. Osservimo che in un serie geometric il rpporto tr un termine e il precedente è costnte (ossi, non dipende d n) e vle r. Tle rpporto si chim rgione dell serie. Un serie geometric converge se e solo se l su rgione è in vlore ssoluto minore di uno. Inoltre, l somm è /( r). E noto inftti che s n = rn+ r. Perciò, {s n } è convergente se e solo se r < (inftti, in tl cso, r n+ 0). Di conseguenz, se r <, si h o, nche, r n r n+ = n + r n=0 r n = r r n = n= Ad esempio, per r = /2, si ottiene n= n=0 2 n =. = r, r r. A titolo di esempio, considerimo il numero decimle periodico 3, 7 = 3, Si può scrivere Ovvero Si h 3, 7 = 3, + 0, , , = 3, n=2 3, 7 = n. 7 0 n = 7 00 n=0 n=2 0 n = 7/00 /0, essendo n=0 /0n un serie geometric di rgione /0. Si h pertnto 3, 7 = /00 /0 = In modo nlogo si prov che ogni numero decimle periodico è rzionle e se ne determin l frzione genertrice. Versione del 24 prile 202 7

72 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Teorem. Condizione necessri ffinché un serie si convergente è che il termine generle tend zero. Dimostrzione. Si n=n 0 n un serie convergente. Ciò signific, per definizione, che l successione {s n } delle somme przili converge d un numero (finito) s. Osservimo che n = s n s n e che (oltre d {s n }) nche {s n } converge d s (inftti, se s n s < ɛ per n > N, llor s n s < ɛ per n > N + ). Si h llor n = (s n s n ) = s s = 0. n n Osservzione. L precedente condizione non è sufficiente. Proveremo inftti, fcendo uso del criterio dell integrle che enunceremo successivmente, che l serie n= /n (dett rmonic) non è convergente, sebbene il suo termine generle si infinitesimo. Esercizio. Si n=n 0 n un serie convergente e si c R. Provre che c n = c n. n=n 0 n=n 0 Esercizio. Sino n=n 0 n e n=n 0 b n due serie convergenti. Provre che ( n + b n ) = n + b n. n=n 0 n=n 0 n=n 0 Osservzione (importnte). Se un serie n=n 0 n è termini non negtivi (ossi n 0 per ogni n), llor l successione {s n } delle sue somme przili è crescente. Inftti, essendo n 0, risult s n = s n + n s n. Perciò, per il teorem sul ite delle successioni monotone, il ite di {s n } esiste sempre (finito o infinito) dl momento che coincide con l estremo superiore di {s n }. In tl cso, l somm dell serie è ben definit e rppresent un numero rele esteso (ovvimente positivo). In ltre prole, un serie termini non negtivi o è convergente o è divergente. Anloghe considerzioni vlgono, ovvimente, nche per le serie termini non positivi. Esempio. Considerimo l serie n= n α, α > 0, Versione del 24 prile

73 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dett serie rmonic generlizzt. Si può provre (d esempio medinte il criterio dell integrle che enunceremo dopo) che l serie converge se e solo se α >. Di conseguenz, essendo termini positivi, ess diverge per 0 < α. Tlvolt non h interesse o non si riesce clcolre esplicitmente l somm di un serie; di solito si cerc di stbilirne il crttere. Successivmente, dopo ver provto che un serie converge, l su somm (se interess) potrà essere stimt con metodi numerici medinte l usilio di un computer. Dimo or un criterio utile per stbilire il crttere di un serie termini positivi. Criterio del confronto per le serie termini positivi. Sino n=n 0 n e n=n 0 b n due serie termini non negtivi. Supponimo n b n per n n 0. Allor, se converge l serie n=n 0 b n (dett mggiornte), converge nche (l minornte) n=n 0 n e si h n b n ; n=n 0 n=n 0 se diverge l minornte, diverge nche l mggiornte. Dimostrzione. Poiché le due serie sono termini non negtivi, le successioni delle somme przili n n s n = k e σ n = k=n 0 k=n 0 b k risultno crescenti e, conseguentemente, per il teorem del ite di successioni monotone, per entrmbe esiste (finito o infinito) il ite per n +. Poiché n b n per n n 0, si deduce s n σ n per ogni n n 0. Perciò, se n=n 0 b n è convergente (cioè se l successione {σ n } è convergente), dl teorem del confronto dei iti, si ottiene che l successione {s n } e, quindi, l serie n=n 0 n sono convergenti. Di conseguenz, se n=n 0 n diverge, l serie n=n 0 b n non può convergere e quindi necessrimente diverge (ricordrsi che esiste il ite di σ n ). Esercizio. Provimo che l serie n sen 2 n n 3 + n è convergente. Si h sen 2 n n 3 + n n 3 + n n 3. Versione del 24 prile

74 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per L conclusione segue dl criterio del confronto, ricordndo che n n 3 è convergente. Esercizio. Provimo che l serie è convergente. Inftti si h 2 + ( ) n n 2 n 2 + ( ) n 2 n 3 2 n e n ( 2 )n, essendo un serie geometric di rgione 2, è convergente. Un utile corollrio del criterio del confronto è il seguente: Criterio del confronto sintotico per le serie termini positivi. Si n=n 0 n un serie termini non negtivi. Supponimo che per qulche α > 0 si bbi n + n α n = λ R. Allor,. se 0 < λ < + l serie h lo stesso crttere di n solo se α > ); n α (cioè converge se e 2. se λ = 0 e α > l serie converge; 3. se λ = + e α l serie diverge. Esempio. Considerimo Poiché n n + 2 rctng n. n + n2 n + 2 rctng ( n = n + n2 n + 2 n + o( ) n ) =, per il punto ) del criterio del confronto sintotico, l serie dt h lo stesso crttere di n n 2 e quindi è convergente. Esempio. Considerimo Usndo l formul di Tylor si h n n sen n tng n 2. n ( n + o( )) 6n 3 n 3 + o( = ) n 2 n 2 + o( ) 6n 3 n 3 + o( ). n 2 n 2 Versione del 24 prile

75 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Perciò, il termine generle dell serie dt è un infinitesimo di ordine. Di conseguenz, per il punto ) del criterio del confronto sintotico, l serie diverge vendo lo stesso crttere dell serie rmonic. Esempio. Considerimo ne n. n Poiché n + n α+ /e n = 0 per ogni α > 0 e quindi, in prticolre, nche per ogni α >, per il punto 2) del criterio del confronto sintotico, l serie dt converge. Esempio. Considerimo n log n. Poiché n + n α / log n = + per ogni α > 0 e quindi, in prticolre, nche per ogni α, per il punto 3) del criterio del confronto sintotico, l serie dt diverge. Un utile criterio per stbilire il crttere di un serie numeric termini positivi è il seguente: Criterio dell integrle. Si n 0 N e si f : [n 0, + ) R un funzione continu positiv e decrescente. Allor n=n 0 f(n) e + hnno lo stesso crttere. Più precismente si h Esempio. rmonic + n 0 + f(x) dx n=n 0 + n 0 f(n) f(x) dx + n 0 f(x) dx. Dl criterio dell integrle si deduce immeditmente che l serie n= è divergente. Più precismente, sempre usndo il criterio dell integrle, è fcile verificre che l serie rmonic generlizzt n= n n α, Versione del 24 prile

76 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per converge se e solo se α >. È sufficiente inftti ricordre che l integrle improprio è convergente se e solo se α >. + x α dx Esercizio. Usndo il criterio dell integrle, provre che sono divergenti. n=2 n log n e n= log 2 n n Se l serie n=n 0 n non è di segno costnte, in lcuni csi è utile considerre l serie dei vlori ssoluti, cioé n=n 0 n. Vle il seguente risultto Criterio dell convergenz ssolut. Se converge n=n 0 n, converge nche n=n 0 n e vle l disuguglinz n=n 0 n n. n=n 0 Osservzione. Si osservi che l disuguglinz nel precedente teorem h senso in virtù dell ffermzione che l serie n=n 0 n è convergente. In questo cso, inftti, tle serie rppresent un numero rele, e quindi h senso il suo vlore ssoluto. Definizione. L serie n=n 0 n si dice ssolutmente convergente se è convergente l serie n=n 0 n. Osservzione. Tenendo conto dell definizione precedente, il criterio dell convergenz ssolut si può enuncire ffermndo che se un serie è ssolutmente convergente, llor è convergente. Esistono nche serie convergenti m non ssolutmente convergenti. Ad esempio, l serie n= ( )n n è convergente (ciò si può dimostrre fcendo uso del criterio di Leibniz che vedremo dopo). D ltr prte, l serie dei vlori ssoluti n= ( )n n, che è l serie rmonic, come sppimo non converge. Un ltro esempio di serie convergente m non ssolutmente convergente è n= sen n n. Il criterio del confronto per le serie termini positivi è ovvimente un criterio di convergenz ssolut. Inftti, dt l serie n=n 0 n esso si può pplicre (come mostrto nell esempio che segue) ll serie n=n 0 n per studirne il crttere. Versione del 24 prile

77 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. ) L serie n= cos n n 3. è convergente, come si verific subito pplicndo il criterio del confronto n= cos n n 3 e pplicndo successivmente ll serie dt il criterio dell convergenz ssolut. 2) Considerimo l serie n=0 ( ) 2 n sen π 3 2 n. Si h ( ) 2 n sen π 3 2 n ( ) 2 n 3 e quest ultimo è il termine n-esimo di un serie geometric di rgione 2/3 (quindi convergente). Di conseguenz, n=0 ( ) 2 n sen π 3 2 n è convergente e, quindi, per il criterio dell convergenz ssolut, è convergente. Un serie del tipo n=0 ( ) 2 n sen π 3 2 n n=n 0 ( ) n n, n 0, si dice segni lterni. Per le serie segni lterni si può dimostrre il seguente criterio di convergenz: Criterio di Leibniz. Si n=n 0 ( ) n n un serie segni lterni. Se l successione { n } è decrescente ed è infinitesim, llor l serie è convergente. Inoltre, denott con s l su somm e con s n l su somm przile n-esim, risult s s n < n+, n N, ossi l errore che si commette nell vlutzione di s Versione del 24 prile

78 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per rrestndosi ll somm przile n-esim è inferiore, in vlore ssoluto, l vlore ssoluto del primo termine trscurto. A titolo di esempio osservimo che l serie ( ) n n= soddisf le due ipotesi del criterio di Leibniz e pertnto è convergente.d ltr prte, come già osservto in precedenz, ess non è ssolutmente convergente. Inoltre, dett s l su somm, risult n ( ) k s < k n +. Serie di funzioni Un serie del tipo k= n n=n 0 f n (x), dove le f n sono funzioni reli di vribile rele, è dett serie di funzioni (reli di vribile rele). Si dice che l serie è definit in un insieme X R se il domino di tutte le funzioni contiene X (ossi, se sono tutte definite per ogni x X). Ovvimente, ogni volt che si fiss x X, si ottiene un serie numeric che può essere convergente oppure no, second che l successione di funzioni {s n (x)} delle somme przili n-esime (dove s n (x) = n k=n 0 f k (x)) si convergente o meno. L insieme dei numeri x X per cui l serie converge si chim insieme di convergenz. Ad esempio, l insieme di convergenz dell serie n=0 è l intervllo (, ), visto che si trtt di un serie geometric di rgione x R. In nlogi con le serie numeriche, se n=n 0 f n (x) converge in un punto x, diremo che l serie di funzioni n=n 0 f n (x) converge ssolutmente in x. Dl criterio di convergenz ssolut delle serie numeriche si ottiene subito che l convergenz ssolut di un serie di funzioni implic l su convergenz. Se un serie di funzioni n=n 0 f n (x) converge in un insieme A X, llor per ogni x A si ottiene un numero f(x) = f n (x). n=n 0 x n Versione del 24 prile

79 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Risult così definit un funzione rele di vribile rele f : A R. È nturle porsi l domnd se un tle funzione si continu qundo sono continue tutte le f n. In ltre prole: è ncor vero che l somm di funzioni continue è un funzione continu nel cso di infiniti ddendi? L rispost è negtiv. L esempio seguente illustr questo ftto. Esempio. Considerimo, nell intervllo [0, ], l serie di funzioni (x n x n+ ) n= che si può nche riscrivere nell form ( x)x n. n= Per x [0, ) l serie è geometric di rgione x e primo termine ( x)x; pertnto converge e l su somm è dt d ( x)x x = x. Per x = tutte le funzioni f n (x) = ( x)x n sono nulle e, di conseguenz, l serie converge nche in tle punto ed h somm zero. Si può concludere che l serie converge in tutto l intervllo chiuso [0, ] e l su somm è { x se x [0, ) f(x) = 0 se x = che è un funzione discontinu, sebbene tutte le f n ddirittur C ). sino continue (sono È utile perciò introdurre un ltro tipo di convergenz, l convergenz totle, che implic l convergenz ssolut e grntisce, tr l ltro, l continuità dell funzione somm. Definizione. Si dice che l serie di funzioni n=n 0 f n (x) converge totlmente in un insieme A R se esiste un serie numeric convergente n=n 0 c n tle che f n (x) c n, n n 0 e x A. Notimo che se un serie di funzioni n=n 0 f n (x) converge totlmente in un insieme A, llor (come conseguenz dei criteri di convergenz ssolut e del confronto) converge (ssolutmente) per ogni x A. Risult quindi ben definit l funzione somm f(x) = f n (x). n=n 0 Versione del 24 prile

80 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservimo inoltre che, supponendo ogni f n itt, l più piccol serie numeric che domin n=n 0 f n (x) è quell il cui termine generle λ n è dto d λ n = sup{ f n (x) : x A}. Pertnto, se tle serie numeric converge, llor l serie di funzioni converge totlmente. In cso contrrio, ossi se n=n 0 λ n = +, per il criterio del confronto nessun serie numeric che domin l serie di funzioni può convergere. Possimo quindi enuncire il seguente Teorem. (fcolttivo) Condizione necessri e sufficiente ffinché un serie di funzioni n=n 0 f n (x) converg totlmente in un insieme A è che si convergente l serie numeric dove λ n = sup{ f n (x) : x A}. n=2 n=n 0 λ n, Esempio. Considerimo l serie di funzioni ( n log + x n n(n ) 2 ). Osservimo che il termine generle f n (x) = n log ( + x n n(n ) 2 ) tende zero se e solo se x ; perciò l serie può convergere in x se e solo se x [, ]. Fissto x [, ], si h ( x n ) ( ) f n (x) = n log + n(n ) 2 n log + n(n ) 2 (n ) 2, d cui, essendo l serie n=2 convergente, dl criterio del confronto si (n ) 2 deduce che l serie dt è ssolutmente convergente in x. D ltr prte, posto c n =, dl ftto che (n ) 2 n=2 c n è un serie numeric mggiornte e convergente, si deduce nche che l serie dt converge totlmente nell intervllo [, ]. Considerimo invece l serie ) n log ( + x n. n(n ) n=2 Versione del 24 prile

81 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Anche in questo cso il termine generle tende zero se e solo se x. Però l serie converge puntulmente solo per x (, ), in qunto per x = e x = si h ( ) n=2 n log + n(n ) che diverge vendo lo stesso crttere dell serie rmonic n= n. Inoltre, essendo ) ( ) sup n log ( + x n = n log +, x (,) n(n ) n(n ) l serie non converge totlmente in (, ) in qunto, come visto sopr, ) n=2 ( n log + n(n ) è divergente. Considerndo invece un intervllo dell form [ r, r] con r <, si h ) ( sup n log ( + x n r n ) = n log + = λ n, x [ r,r] n(n ) n(n ) ed essendo n λ n convergente si può concludere che l serie dt converge totlmente in [ r, r]. Esercizio. Provre che l serie n x log( + n ) n= converge puntulmente se x > 2 e converge totlmente in [r, + ), con r > 2. Teorem. Si n=n 0 f n (x) un serie di funzioni continue convergente totlmente in un insieme A e si f(x) := n=n 0 f n (x) l somm dell serie. i) (continuità) l funzione f risult continu in A; ii) (pssggio l ite sotto l integrle) per ogni intervllo [, b] A si h n=n 0 b f n(x) dx = b n=n 0 f n (x) dx; iii) (derivbilità) se inoltre le funzioni f n sono di clsse C in A e se l serie delle derivte converge totlmente in A, llor f risult di clsse C in A e si h f (x) = n=n 0 f n(x). 8 settimn - dl Un esempio importnte di serie di funzioni è costituito dlle serie di potenze. Un serie di funzioni del tipo n (x x 0 ) n, n=0 Versione del 24 prile 202 8

82 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dove x 0 e gli n sono numeri reli ssegnti, si dice un serie di potenze in cmpo rele. Il punto x 0 si chim centro dell serie. Un serie di potenze converge ovvimente in x = x 0 (e l su somm in tl cso vle 0 ). Dl teorem che segue si deduce che l insieme di convergenz di un serie di potenze è un intervllo (eventulmente ridotto l punto x = x 0 ). Teorem. Supponimo che l serie di potenze n=0 n(x x 0 ) n converg in un punto x x 0. Allor l serie converge ssolutmente in ogni x tle che x x 0 < x x 0. Inoltre converge totlmente in ogni intervllo del tipo [x 0 r, x 0 + r] con 0 < r < x x 0. Dimostrzione. Poiché l serie converge puntulmente in x, il termine n-esimo tende 0 per n. Di conseguenz, essendo le successioni convergenti necessrimente itte, esiste M > 0 tle che n ( x x 0 ) n M. Pertnto, preso x tle che x x 0 < x x 0 risult n (x x 0 ) n = n ( x x 0 ) n ( ) x x0 n M x x 0 ( ) x x0 n. x x 0 Per come è stto scelto x, l serie geometric ( n x x0 n=0 x x 0 ) h rgione minore di e quindi converge. Perciò, per il criterio del confronto, n=0 n(x x 0 ) n converge, cioè n=0 n(x x 0 ) n converge ssolutmente in x. Si or r tle che 0 < r < x x 0. Si h ( ) n (x x 0 ) n r n M. x x 0 Perciò n=0 n(x x 0 ) n, essendo domint d un serie numeric convergente, risult totlmente convergente in [x 0 r, x 0 + r]. Dl teorem precedente si ottiene il seguente Teorem. Si dt l serie di potenze n (x x 0 ) n. n=0 Allor, o l serie converge solo in x = x 0, oppure esiste R > 0 (eventulmente nche infinito) tle che l serie converge ssolutmente se x x 0 < R e non converge se x x 0 > R. Inoltre l serie converge totlmente in ogni intervllo [x 0 r, x 0 + r], con 0 < r < R. Dl risultto precedente si deduce perciò che l insieme di convergenz di un serie di potenze centrt in x 0 è un intervllo (perto, chiuso o semiperto) e Versione del 24 prile

83 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per che x 0 è equidistnte dgli estremi (finiti o infiniti che sino). Osservimo che non si può dire null priori del comportmento dell serie nei punti x 0 R e x 0 + R. Ad esempio: l serie n xn n h rggio di convergenz e converge (non ssolutmente) in x = mentre non converge in x = ; l serie n xn h rggio n 2 di convergenz e converge ssolutmente si in x = che in x = ; l serie n nxn h rggio di convergenz e non converge negli estremi dell intervllo (, ) (il termine generle non tende zero). Definizione. L semimpiezz R dell intervllo di convergenz di un serie di potenze si chim rggio di convergenz dell serie. Per clcolre il rggio di convergenz, fissto x R, si può ricorrere gli usuli criteri per le serie termini positivi pplicndoli ll serie n=0 n x x 0 n, penst come un serie numeric dipendente dl prmetro x. Altrimenti, si può usre d esempio il seguente Teorem. Si dt un serie di potenze n=0 n(x x 0 ) n e supponimo che esist n n n. Allor si h R = n n n con l convenzione che R = 0 se n n n = + e R = + se n n n = 0 Osservzione. Ricordimo che se esiste n + n+ n, llor si h Esempio. n + n n = n+. n + n. L serie h rggio di convergenz R = ; n=0 x n n 2. L serie h rggio di convergenz R = +. n=0 x n n! 3. L serie n!x n n=0 Versione del 24 prile

84 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per h rggio di convergenz R = 0. Si dt un serie di potenze n=0 n(x x 0 ) n e supponimo che bbi rggio di convergenz R > 0. Allor è ben definit, nell intervllo (x 0 R, x 0 + R), l somm dell serie, cioè un funzione f tle che f(x) := n (x x 0 ) n, x (x 0 R, x 0 + R). n=0 Teorem. L funzione f definit dll serie di potenze n=0 n(x x 0 ) n è continu in ogni punto dell intervllo (x 0 R, x 0 + R). Dimostrzione. Si x un qulunque punto dell intervllo (x 0 R, x 0 + R). Esiste un numero r, con 0 < r < R, tle che l intervllo (x 0 r, x 0 + r) contiene x. Di conseguenz, poiché l serie è totlmente convergente in [x 0 r, x 0 + r], l funzione somm f è ivi continu. Questo implic, in prticolre, che f è continu nche nel punto x. Vedimo ltre proprietà delle serie di potenze. Lemm (di invrinz del dominio di convergenz). Supponimo che l serie di potenze n (x x 0 ) n n=0 bbi rggio di convergenz R > 0. Allor le due serie e n n (x x 0 ) n n= n=0 hnno rggio di convergenz R. n n + (x x 0) n+ Il lemm precedente serve per provre che le serie di potenze sono derivbili termine termine e integrbili termine termine ; si h cioè il seguente Teorem (di derivzione e integrzione delle serie di potenze). Si f(x) := n (x x 0 ) n, x (x 0 R, x 0 + R) n=0 Versione del 24 prile

85 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per un funzione definit d un serie di potenze. Allor f è derivbile in (x 0 R, x 0 + R) e si h f (x) = n n (x x 0 ) n. n= Inoltre, per ogni x (x 0 R, x 0 + R) si h x x 0 f(t)dt = n=0 n n + (x x 0) n+. Dimostrzione. (fcolttiv) Fissto un qulunque punto x pprtenente ll intervllo di convergenz (x 0 R, x 0 + R) dell prim serie, esiste un intervllo (x 0 r, x 0 + r), con 0 < r < R, contenente x. Per il lemm precedente, R è nche il rggio di convergenz dell serie delle derivte, e quindi, in bse l teorem dell convergenz totle per le serie di potenze, entrmbe le serie convergono totlmente in [x 0 r, x 0 + r]. Dl teorem di derivbilità delle serie di funzioni segue che f è derivbile in x e risult f (x) = n n (x x 0 ) n. n= Inoltre, dl teorem di pssggio l ite sotto il segno di integrle, si h x x 0 f(t)dt = x n (t x 0 ) n dt = x 0 n=0 n=0 x x 0 n (t x 0 ) n dt = n=0 n n + (x x 0) n+. Osservzione. Poiché l derivt di un serie di potenze è ncor un serie di potenze, dl teorem precedente segue che le funzioni definite trmite serie di potenze sono di clsse C. Si dunque f(x) := 0 + (x x 0 ) + 2 (x x 0 ) n (x x 0 ) n + un funzione definit medinte un serie di potenze nell intervllo (x 0 R, x 0 +R). Ponendo x = x 0, si ottiene 0 = f(x 0 ). Derivndo e ponendo di nuovo x = x 0, si h = f (x 0 ). Anlogmente, medinte derivte successive (vedi l osservzione precedente), si ottiene n = f (n) (x 0 ). n! Versione del 24 prile

86 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Pertnto, risult necessrimente dove f (0) (x 0 ) denot f(x 0 ). f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n, In ltre prole, l serie di potenze n=0 n(x x 0 ) n coincide in (x 0 R, x 0 + R) con l serie di potenze f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n, n! n=0 che è dett serie di Tylor di f di centro x 0 (o di McLurin, qundo x 0 = 0). Il rgionmento precedente prov cioè che se un funzione è definit medinte un serie di potenze, ess risult di clsse C in x 0 e l su serie di Tylor h per somm l funzione stess. D ltr prte, dt un funzione di clsse C in x 0, si può considerre l serie di Tylor di f di centro x 0, cioè Ci chiedimo: n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. ) se esist un intorno di x 0 nel qule quest serie si convergente; 2) supposto che esist un tle intorno, se in esso l somm dell serie si proprio f(x). Definizione. Un funzione f si dice sviluppbile in serie di Tylor in un intorno di un punto x 0 (o nlitic in x 0 ) se esiste un intorno di x 0 in cui vle l uguglinz f(x) = n=0 f (n) (x 0 ) n! (x x 0 ) n. Si dice che f è nlitic se ogni punto del suo dominio mmette un intorno in cui f è sviluppbile in serie di Tylor (ossi, se è nlitic in ogni punto del suo dominio). Osservzione. Esistono funzioni di clsse C m non nlitiche. Un di queste è { e /x 2 se x 0 f(x) := 0 se x = 0, Versione del 24 prile

87 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per le cui derivte successive (come si potrebbe provre usndo un corollrio del teorem di Lgrnge) risultno tutte continue e nulle nel punto x 0 = 0. Quindi, se f fosse nlitic, in un intorno del punto x 0 = 0 dovrebbe vlere l uguglinz f(x) = n=0 f (n) (0) x n, n! e ciò è impossibile perché f(x) 0 per x 0, mentre l serie per somm zero (essendo nulli tutti i suoi termini). n=0 f (n) (0) n! x n h Si h l seguente condizione necessri e sufficiente perché un funzione si sviluppbile in serie di Tylor. Teorem. Un funzione f di clsse C in x 0 è sviluppbile in serie di Tylor in un intorno (x 0 R, x 0 + R) di x 0 se e solo se, per ogni x (x 0 R, x 0 + R), risult n R n (x x 0 ) = 0, dove R n (x x 0 ) = f(x) n k=0 denot il resto n-esimo dell formul di Tylor. f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k Esempio. L funzione f(x) = e x è sviluppbile in serie di McLurin e tle serie h rggio di convergenz R = +. Fissimo un punto x R. Sppimo che se e x è effettivmente sviluppbile in serie di McLurin, llor si deve necessrimente vere e x = n=0 f (n) (0) n! x n = n=0 x n n!. Per il teorem precedente, ciò equivle d ffermre che dove l somm przile n-esim R n(x) = n n (ex P n (x)) = 0, P n (x) = non è ltro che il polinomio di McLurin di e x di ordine n. Scrivendo il resto R n (x) nell form di Lgrnge, si potrebbe fcilmente fr vedere che in effetti esso tende 0 per n +. Per l rbitrrietà del punto x, possimo concludere che lo sviluppo è vlido in tutto R. n k=0 x k k! Versione del 24 prile

88 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Ponendo x = nello sviluppo in serie di McLurin di e x si ottiene il numero e espresso medinte un serie numeric: e = n=0 n!. Mostrimo or che l funzione e x è nlitic, cioè che è sviluppbile in serie di Tylor in ogni punto di R (fcolttivo). A tle scopo fissimo x 0 R e ponimo, per comodità, x = x 0 + h. Si h e x = e x 0+h = e x 0 e h = e x 0 ( + h + h2 2! + + hn n! + ) = Quindi e x 0 + e x 0 h + e x 0 h2 2! + + ex 0 hn n! + e x = e x 0 + e x 0 (x x 0 ) + e x 0 (x x 0) 2 2! + + e x 0 (x x 0) n n! + Esercizio. In mnier nlog qunto ftto per l funzione esponenzile, si può provre che le funzioni cos x e sen x sono sviluppbili in serie di McLurin. Determinrne lo sviluppo e l intorno di vlidità. Il metodo usto per sviluppre in serie di McLurin le funzioni e x, sen x e cos x (bsto su un stim del resto dell formul di Tylor) non è dtto per l funzione f(x) = log( + x). In questo cso conviene procedere diversmente:. si determin prim lo sviluppo dell derivt f (x) di f(x); 2. successivmente, medinte il teorem di integrzione termine termine delle serie di potenze, si trov un primitiv dello sviluppo di f (x); 3. infine, tr tutte le primitive di f (x) espresse in serie di potenze, si sceglie quell che coincide con f(x). Tle metodo è dtto nche per determinre lo sviluppo di rctng x e, in generle, di tutte le funzioni di cui è fcile sviluppre l derivt. A tle proposito ricordimo che due primitive di un stess funzione (definit in un intervllo) differiscono per un costnte e, di conseguenz, se coincidono in un punto, coincidono in tutto l intervllo di definizione. Comincimo col determinre, col metodo ppen esposto, lo sviluppo di McLurin di log( + x). L derivt ( + x) di log( + x) rppresent, per x (, ), Versione del 24 prile

89 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per l somm di un serie geometric di rgione x e primo termine. Quindi, per x (, ), si h ( + x) = x + x 2 x ( ) n x n + Dl teorem di derivzione delle serie di potenze si deduce che g(x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn+ + + ( )n 4 n + + è un primitiv di ( + x) ; m, è bene precisre, soltnto per x pprtenente l comune dominio di convergenz (, ) delle due serie. Dunque, log( + x) e g(x) hnno l stess derivt per x (, ). Poiché coincidono per x = 0, si può concludere che log( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn+ + + ( )n + x (, ). 4 n + Esercizio. Provre che l funzione rctng x è sviluppbile in serie di McLurin, determinrne lo sviluppo e l intervllo di vlidità. Suggerimento. Sviluppre prim l derivt di rctng x. Esercizio. Provre che l funzione e x2 è sviluppbile in serie di McLurin, determinrne lo sviluppo e l intervllo di vlidità. Suggerimento. Si ricord che l uguglinz e x = + x + x2 2! + + xn n! + è vlid per ogni numero rele x, e quindi, in prticolre, è vlid per ogni numero rele x 2. Esercizio. Provre che l funzione degli errori, erf x = 2 x e t2 dt, π è sviluppbile in serie di McLurin, determinrne lo sviluppo e l intervllo di vlidità. Suggerimento. Sviluppre prim l derivt di erf x. Esercizio. Provre che l funzione { sen x f(x) = x se x 0 se x = 0 è sviluppbile in serie di McLurin, determinrne lo sviluppo e l intervllo di vlidità. 0 Versione del 24 prile

90 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Suggerimento. Sviluppre prim sen x. Dto α R, considerimo l funzione f(x) = ( + x) α che è senz ltro definit e C nell intervllo (, + ). Si h per cui l serie di McLurin di f è f (n) (0) = α(α ) (α n + ), n=0 ( ) α x n, n ove ricordimo che ( α n) è il coefficiente binomile ( ) α α(α ) (α n + ) =, n n! ( ) α =. 0 Si può provre che per x < e qulunque si α si h ( + x) α = n=0 ( ) α x n. n Quest serie di potenze è dett serie binomile. Se α è un numero nturle l serie è un somm finit. Inftti si riduce ll somm dei primi α + termini essendo i coefficienti binomili tutti nulli per n > α. In questo cso prende il nome di binomio di Newton. Esercizio. Scrivere i primi quttro termini dell serie di McLurin di f(x) = + x (α = /2) e di f(x) = +x (α = (/2)). Versione del 24 prile