Metodo degli elementi finiti in una dimensione

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1 Metodo degli elementi finiti in un dimensione Luci Gstldi DICATAM - Sez. di Mtemtic,

2 Indice 1 Problemi di diffusione-rezione del secondo ordine Formulzione debole Metodo di Glerkin 2 Assemblggio dell mtrice e del termine noto Condizioni l bordo Esercizi

3 Problem di Dirichlet Problem in un dimensione Si Ω =], b[, µ R, con µ > 0 σ R tle che σ 0 Trovre u : Ω R tle che (µu (x)) + σu(x) = f (x) u() = α, u(b) = β. per x Ω Teorem Il problem è ben posto nel senso che esiste un ed un sol soluzione che dipende con continuità di dti (stbilità). pge 2

4 Problem con condizioni di Dirichlet omogenee Problem µu + σu = f in Ω =], b[ u() = u(b) = 0 Qudro funzionle Posto si definisce L 2 (, b) = {v : (, b) R : v 2 dx < + } H 1 (, b) = {v L 2 (, b) : v L 2 (, b)} V = H 1 0 (, b) = {v H 1 (, b) : v() = v(b) = 0} pge 3

5 Moltiplichimo l equzione per v V (test function) e integrimo su (, b): ( µu (x) + σu(x))v(x) dx = Integrndo per prti il primo termine si h d cui µu (x)v(x) dx = [ µu (x)v(x) ] b (µu (x)v (x) + σu(x)v(x)) dx = Problem Trovre u V tle che (µu (x)v (x) + σu(x)v(x)) dx = f (x)v(x) dx µu (x)v (x) dx f (x)v(x) dx f (x)v(x) dx v V. pge 4

6 Metodo di Glerkin Considerimo uno spzio di dimensione finit V h V (h è il prmetro di finezz dell mesh) Problem discreto Trovre u h V h tle che (µu h (x)v h (x)+σu h(x)v h (x)) dx = f (x)v h (x) dx v h V h. Supponimo che V h = spn{ϕ 1,..., ϕ Nh }, quindi u h = N h j=1 u j ϕ j. Il problem si riscrive: trovre u = {u j } tle che per ogni i ( N h ) ( N h µ u j ϕ j ϕ i + σ u j ϕ j )ϕ i dx = f ϕ i dx. j=1 j=1 pge 5

7 Metodo di Glerkin (segue) Per l linerità degli integrli si ottiene N h ( ) u j µϕ jϕ i + σϕ j ϕ i dx = j=1 f ϕ i dx i = 1,..., N h. Indichimo con K l mtrice di rigidezz o stiffness e con M l mtrice di mss, rispettivmente di elementi K ij = ϕ jϕ i dx M ij = con F il vettore di crico con componenti F i = f ϕ i dx. ϕ j ϕ i dx, Posto A = µk + σm, il problem discreto è equivlente l seguente sistem linere Au = F essendo A simmetric e definit positiv. pge 6

8 Stime dell errore Lemm Posto ( v 0 = ) 1/2 v 2 dx, v V = ( v v 2 1/2 0), v V vle l seguente mggiorzione u u h V M α inf u v h V. v V h L errore è mggiorto dll migliore pprossimzione. Occorre un buon scelt di V h! pge 7

9 Elementi finiti Approssimzione in 1D con polinomi lineri trtti. Funzioni di bse (shpe functions): funzioni tetto. Un elemento finito è definito d: 1) un dominio (intervllo, tringolo, tetredro,... ), 2) uno spzio di dimensione finit (polinomile), 3) un insieme di grdi di libertà d.o.f (degrees of freedom). pge 8

10 Elementi finiti in 1D 1) dominio: intervllo 2) spzio: P r 3) d.o.f.: dipendono dl grdo dei polinomi elementi lineri: estremi (2) elementi qudrtici: estremi + punto medio (3)... Proprietà di pprossimzione Si I h u(x) = N h i=1 u(x i)ϕ i (x) l interpolt linere trtti di u llor inf v h V h u v h 0 u I h u 0 C 1 h 2 u 0 inf v h V h u v h 0 u (I h u) 0 C 2 h u 0 pge 9

11 Mtrici di rigidezz e di mss Le mtrici di rigidezz K e di mss M hnno l seguente struttur: K = h M = h pge 10

12 Elemento di riferimento ed elemento corrente 1 ˆϕ 1 ˆϕ 2 ϕ 2 1 F ˆϕ 1, ˆϕ 2 funzioni di bse su ˆK; ϕ 1, ϕ 2 funzioni di bse su K. ϕ 1 ˆK = [0, 1] elemento di riferimento x i x i+1 K = I i = [x i 1, x i ] elemento corrente Quindi F K : ˆK K, ϕ(x) = ˆϕ(F 1 K (x)) x = F K (ˆx) x = F K (ˆx) = x i 1 + hˆx. pge 11

13 Clcolo del termine noto Si h F i = F (ϕ i ) = Ω f (x)ϕ i (x)dx = K K f (x)ϕ i (x)dx. Pssndo ll elemento di riferimento si h: f (x)ϕ i (x)dx = f (F K (ˆx)) ˆϕ i (ˆx)F K (ˆx) dˆx K ˆK = h f (F K (ˆx)) ˆϕ i (ˆx) dˆx Per il clcolo di questo integrle occorrono delle formule di qudrtur pproprite in modo che l errore introdotto nell uso delle formule di qudrtur si di ordine superiore rispetto ll errore di discretizzzione. Ad esempio, si possono usre le formule di Guss-Legendre. ˆK pge 12

14 Formule di Guss - Legendre Nell tbell qui sotto, n indic il grdo dei polinomi interpolnti. I nodi x i e i pesi w i sono reltivi ll intervllo [ 1, 1]. n nodi x i i = 0,..., n pesi w i i = 0,..., n 0 (0) (2) 1 ( 1/ 3, 1/ 3) (1, 1) 2 ( 15/5, 0, 15/5) (5/9, 8/9, 5/9) n G.d.P. ordine 0 1 CH 2 mx f (2) 1 3 CH 4 mx f (4) 2 5 CH 6 mx f (6) I nodi ˆx i e i pesi ŵ i sull intervllo [0, 1] si ottengono con le trsformzioni: ˆx i = 1 + x i, ŵ i = w i. 2 pge 13

15 Assemblggio del termine noto Strtegi generle: Ciclo sugli elementi ie = 1,..., ne Clcolo del vettore termine noto locle Fi loc = F (ϕ i ), i = 1,..., ndof Ciclo sui grdi di libertà locli i = 1,..., ndof e ssemblggio del termine noto globle F iglob = F iglob + Fi loc Imposizione delle condizioni l bordo pge 14

16 Condizioni di Dirichlet omogenee Il vettore del termine noto con quest costruzione h due elementi in più corrispondenti lle funzioni di bse ssocite gli estremi dell intervllo. F prim = Bst eliminre l prim e l ultim componente: F dopo = pge 15

17 Function per l soluzione con elementi finiti [x,u]=femp1(mu,sigm,f,,b,n) Input mu, sigm f,b N Output x u coefficienti funzione l secondo membro estremi dell intervllo numero di punti interni punti dell mesh vlori dell soluzione pge 16

18 Pssi principli Funzioni di bse sull elemento di riferimento Costruzione dell mesh clcolre h costruire il vettore dei punti di suddivisione Costruzione dell mtrice e del termine noto costruire le mtrici K, M in formto sprse costruire il termine noto crico.m Ciclo sugli elementi clcolre il termine noto locle ssemblre il termine noto globle Condizioni l bordo Soluzione del sistem linere Output x,u shpe.m pge 17

19 Errore Conoscendo l soluzione estt, l function errore fornisce le due quntità: u u h 0 u u h 0. [E0,E1]=errore(u,,b,estt,destt,N) Input u,b estt, destt N Output E0 E1 vettore soluzione estremi dell intervllo espressioni nlitiche dell soluzione estt e dell su derivt numero degli intervlli errore in L 2 dell soluzione errore in L 2 dell derivt pge 18

20 Esercizio 1 Si consideri l equzione differenzile u = f x (0, 1) u(0) = u(1) = 0 essendo f un delle seguenti funzioni: f 1 (x) = 2 f 2 (x) = 12x x 2 f 3 (x) = 4π 2 sin(2πx) f 4 (x) = e x (1 + x) Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1 l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Clcolre inoltre l errore reltivo in norm euclide di R N+1 del vettore soluzione rispetto i vlori dell soluzione estt nei nodi. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 19

21 Soluzioni dell esercizio 1 L soluzione estt dell equzione differenzile dell esercizio 1 h l seguente espressione nlitic: u 1 (x) = x(1 x) u 2 (x) = x 2 (1 x) 2 u 3 (x) = sin(2πx) u 4 (x) = (e x 1)(1 x) pge 20

22 Esercizio 2 Si consideri l equzione differenzile u + u = f x (0, 1) u(0) = u(1) = 0 essendo f clcolt in mnier opportun in modo che l soluzione estt si l stess dell esercizio 1. Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1 l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Clcolre inoltre l errore reltivo in norm euclide di R N+1 del vettore soluzione rispetto i vlori dell soluzione estt nei nodi. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 21

23 Esercizio 3 Risolvere l seguente equzione differenzile: u (x) = f (x) x ( 1, 1), u( 1) = u(1) = 0 essendo f (x) = α(α 1) x α 2. L soluzione estt è: u(x) = 1 x α. Si considerino i seguenti vlori α = 3, 2, 5/3, 3/2, 5/4. Plottre l soluzione insieme ll soluzione estt. Plottre gli errori in norm L 2 si dell funzione che dell derivt e determinre l ordine di convergenz. pge 22

24 Perturbzione singolre εu + u = 1 x [0, 1] u(0) = u(1) = 0 Soluzione: ( ) ( ) ( ) sinh x x 1 ε + sinh ε + sinh 1 ε u = ( ) 1 sinh ε Si consideri ε =1e-1,1e-3,1e-5 e si clcoli l soluzione per N = 10 e l si confronti con l soluzione estt. Per ε =1e-3,1e-5 si possono osservre oscillzioni indesiderte. Trovre il più piccolo N multiplo di 10 per cui le soluzioni numeriche non presentno oscillzioni nei due csi. Gli elementi dell mtrice del sistem sono dti d: A ii = 2ε h + 2h 3, A i i 1 = A i i+1 = ε h + h 6 Verificre che le oscillzioni si verificno fintnto che A i i 1 = A i i+1 > 0. pge 23