Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 7 - Integrazione numerica
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- Rosa Romagnoli
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1 Complementi di Mtemtic e Clcolo Numerico A.A Lbortorio 7 - Integrzione numeric Dtunfunzionef vlorireliperclcolre b fornisce l funzione predefinit qud Sintssi: q=qud(f,,b,tol) input: f funzione integrnd, b estremi di integrzione f(x)dx, Mtlb tol tollernz per l errore ( defult : 1e 6) output: q pprossimzione dell integrle Esercizio 1 Approssimre l integrle x dx (= rctg(5) rctg( 5)) con l funzione qud di Mtlb: prim con l precisione di defult poi richiedendo un precisione di 1e-10; in ogni cso clcolre l errore ssoluto e verificre che corrispond ll ordine di precisione impost. (N.B. rctg tn in Mtlb)
2 Formule diqudrtursempliciperpprossimre b f(x)dx sono d esempio: I pm (f) = (b )f( +b ) Punto medio I t (f) = (b ) (f()+f(b)) Trpezi I sim (f) = (b ) 6 (f()+4f( +b )+f(b)) Cvlieri Simpson Def: Un formul di qudrtur si dice che h grdo di precisione p se è estt per polinomi di grdo minore o ugule p, ovvero I(f) = b f(x)dx f P p Le formule del punto medio e dei trpezi hnno grdo di precisione 1 l formul di Simpson h grdo di precisione 3. Esercizio Assegnti i seguenti integrli: 5 7x 5, dx; 5 5x 3x+8dx; 5 3x 3 x +5x 1dx scegliere in mnier pproprit un tr le seguenti formule di qudrtur semlici: punto medio, trpezi e Simpson e clcolre gli integrli indicti. Confrontre il risultto con l soluzione estt clcolt utilizzndo il comndo polyint.
3 Formule di qudrtur composite Scegliendo un prtizione dell intervllo di integrzione in fissti sottointervlli = x 1 < x < < x m+1 = b e sfruttndo l dditivitá dell integrle rispetto l dominio di integrzione ovvero b n xi+1 f(x)dx = f(x)dx i=1 si generno formule composite pplicndo un formul di qudrtur semplice su ogni sottointervllo dell prtizione dt. Formul dei trpezi composit f(x)dx con l formul dei trpezi composit, si considerno i punti di coordinte (x k,y k ), x 1 = x x m+1 = b, y k = f(x k ) e si clcol l quntità: Per pprossimre b I c T = m k=1 x i h k (y k +y k+1 ) dove h k = (x k+1 x k ), k = 1,...m Mtlb fornisce l funzione di libreri trpz che implement tle metodo. Sintssi: int=trpz(x,y) input: x nodi di qudrtur y = f(x) funzione integrnd nei nodi di qudrtur output: int pprossimzione dell integrle 3
4 Esercizio 3 Si pprossimino i seguenti integrli (tr prentesi i vlori estti): π/ 0 sin(x) dx (= 1) cos(x)esin(x) dx (= e sin(10) e sin(10) ) A tl scopo si consideri un suddivisione dell intervllo di integrzione [,b] in m sottontervlli di ugule mpiezz H = b m e si utilizzi il metodo dei trpezi compositi per diversi vlori di m = 10,100,1000, Per ogni integrle si clcoli l errore ssoluto e si compili l seguente tbell m H Errore ssoluto Si verifichi che l errore è O(H ). 4
5 Formul del punto medio composit Per pprossimre b f(x)dx con l formul del punto medio composit, possimo suddividere l intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = b m individuti di punti x k = +(k 1)H, k = 1,...,m+1 e clcolre l quntità: m IPM c = H f(x k + H ), k=1 (Si osservi che l funzione integrnd v vlutt nei punti medi dei sottointervlli di mpiezz H). Esercizio Si scriv un funzione Mtlb con l sintssi indict che implementi l formul del punto medio composit su m sottointervlli di ugule mpiezz.. Sintssi: int=pmedc(,b,m,f) input:, b estremi di integrzione m numero dei sottointervlli f funzione integrnd output: int pprossimzione dell integrle 5
6 Metodo di Cvlieri Simpson composit Per pprossimre b f(x)dx con l formul di Cvlieri-Simpson composit, possimo suddividere l intervllo di integrzione [, b] in m sottointervlli di ugule mpiezz H = b m individuti di puntix k = +(k 1)H, k = 1,...,m+1eclcolrelquntità: [ ] ISIM c = H m m f(x 1 )+ f(x k )+4 f(x k + H 6 )+f(x m+1) k= (Si osservi che l funzione integrnd v vlutt si negli estremi che nei punti medi dei sottointervlli di mpiezz H). Esercizio Si scriv un funzione Mtlb con l sintssi indict che implementi l formul di Cvlieri Simpson composit su m sottointervlli di ugule mpiezz.. Sintssi: int=simpsc(,b,m,f) k=1 input:, b estremi di integrzione m numero dei sottointervlli f funzione integrnd output: int pprossimzione dell integrle 6
7 Esercizio 4 Si considerino i seguenti integrli (tr prentesi i vlori estti): ( 1 1 x +ex) dx (= log()+e e) x dx (= rctn(5)) e si ripet qunto richiesto nell Esercizio 3 m utilizzndo i codici sviluppti per i metodi del punto medio e di Simpson compositi. Si clcoli il vlore ssoluto dell errore commesso e si compili l seguente tbell per ciscun integrle e ciscun metodo. m H Errore ssoluto Si verifichi che l errore è O(H ) per il metodo del punto medio e che l errore è O(H 4 ) per il metodo di Simpson, con H = b m. 7
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