TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

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1 TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione è : ' ' ' 4 ' ' 4) L funzione 4 è positiv per. ; 4 4; 4 ; 4 4 5) L funzione rele di vriile rele in 4 : present un discontinuità di second specie 4 present un discontinuità eliminile è continu present un discontinuità di second specie present un discontinuità di prim specie 4 6) L funzione rele di vriile rele in 4 : non h sintoti h due sintoti orizzontli e un sintoto verticle h un sintoto orizzontle e un sintoto verticle non h sintoti h un sintoto verticle ed un sintoto oliquo 7) Le funzioni f ( ) e hnno lo stesso dominio tglino l sse X negli stessi punti non tglino l sse Y sono entrme pri g ( ) :

2 8) Se f () e g () sono due funzioni derivili nell insieme dei numeri reli, llor per qulunque rele: se f '( ) g' ( ) llor f ( ) g( ) se f ( ) g( ) llor f '( ) g' ( ) se f '( ) g' ( ) llor può essere f ( ) g( ) se f ( ) g( ) llor f '( ) g' ( ) 9) Si f () un funzione continu e invertiile in un intervllo I e si g() l su invers. Se f () è derivile nel punto 0 I, con derivt f '( 0 ) 0 llor g () è derivile in f ( 0 ) e vle un uguglinz (regol di derivzione dell funzione invers) che si chiede di 0 scrivere e di pplicre l clcolo dell derivt dell funzione ed vlori in (, ). rcsen definit in (, ) 0) Clcolre i primi quttro termini non nulli dello sviluppo in serie di Mc Lurin dell funzione f ( ) e e utilizzrli per clcolre e. e Successivmente vlutre l errore che si commette e specificre se l pprossimzione trovt è per difetto o per eccesso, citndo il criterio che permette di dre l ultim rispost. ) Dire se l funzione f ( ) soddisf l ipotesi del Teorem di Rolle nell intervllo [,0] ed in cso ffermtivo determinre l sciss c del punto (o dei punti) che verific il suddetto teorem. ) Dopo ver dto l definizione di sintoto descrivere come si determin l sintoto oliquo di un funzione. ) Il punto di mssimo ssoluto di un funzione è definito come: il punto di ordint mssim il punto di sciss e ordint mssim il punto di ordint mssim il punto di sciss mssim il punto di sciss mssim e ordint positiv per 4) Dt l funzione f ( ) per - clcolre il vlore di in modo che l funzione si continu in tutto il suo dominio; - nell funzione così determint definire l ntur del punto di sciss, clcolndo le equzioni delle tngenti ll funzione in quel punto 5) Il dominio delle funzione rppresentt in figur è: 5;0 ;4 9 5;0 ;4 9 5;0 ;4 9 5;0 ;4 9

3 6) Il vlore del limite seguente lim è : 0 4 7) L derivt prim dell funzione 6 ' ( ) 0 ' ( ) è : ' ( ) 6 ' ' ( ) 8) L derivt prim dell funzione sen5 è : ' sen5 5cos 5 ' cos 5 ' cos 5 ' sen5 5 cos 5 ' 5 cos 5 9) Per qule delle funzioni i cui grfici sono di seguito riportti si verific lim f ( ) : C A B C D 0) Dopo ver spiegto che cos si intende per crttere di un serie enuncire il criterio del rpporto (o di D Alemert) e illustrrne l ppliczione con qulche esempio. ) L funzione nel punto 0 : non è continu né derivile è continu m non derivile è derivile m non continu è continu ) Il cndidto consideri il grfico di sotto riportto, che rppresent l funzione 6 4 f ( ) e indichi: - il dominio dell funzione; - le intersezioni dell curv con gli ssi crtesini; - gli sintoti; - le coordinte di mssimi e minimi reltivi; - gli intervlli in cui l funzione è crescente.

4 ) Si motivi il ftto che le due funzioni f ( ) e g ( ) descrivono due funzioni diverse clcolndo e confrontndo i loro domini. 6 4) E dt l curv di equzione 9. - si clcoli l su derivt prim; - si determinino i suoi punti di mssimo e di minimo reltivi; - si determini l equzione dell rett tngente d ess nel suo punto di sciss 0. 5) L derivt prim dell funzione ' e 8 ' 8e ' e ' e e 8 8e 8 8 e è 6) Per qule delle funzioni i cui grfici sono di seguito riportti si verific lim f ( ) : (/ ) 7) Dll nlisi del grfico ricv in modo qulittivo le seguenti informzioni circ l ndmento dell funzione rppresentt: - il cmpo di esistenz; - lim f ( ); lim f ( ); lim f ( ); 0 lim f ( ); - le equzioni degli eventuli sintoti; - gli eventuli punti di mssimo e di minimo reltivi.

5 8) Il vlore del limite 0 non esiste lim 9 è: 9) L funzione present un mssimo nel punto di sciss present un mssimo nel punto di sciss è decrescente per è crescente per e un minimo nel punto di sciss 0) Individure e clssificre gli eventuli punti di discontinuità dell funzione f ( ). tg ) L funzione f ( ) h un sintoto: dire di che tipo è e qul è l su equzione. ) Se l funzione f () è continu e derivile nell intervllo chiuso [,7] e si s che nel punto di sciss h un mssimo reltivo che cos si può dire del vlore o del segno delle derivte prim e second in quel punto? ) Dll nlisi del grfico dell funzione f () dedurre il segno dell su derivt prim: ' 0 per ogni ' 0 per ' 0 per ' 0 per 4) Qule delle seguenti funzioni possiede un minimo reltivo: 5 5 5

6 5) L funzione 5 nell intervllo [,4] possiede: un minimo reltivo un mssimo reltivo due mssimi reltivi un mssimo ssoluto 6) L funzione rele di vriile rele present un sintoto verticle ed uno orizzontle present un sintoto verticle ed un sintoto oliquo è sempre definit e non present un sintoto oliquo è sempre definit e present un sintoto orizzontle 7) Fcendo uso dello sviluppo in serie di Mc Lurin clcol il dell seguente funzione cos f ( ). e lim 0 8) Determinre il crttere dell serie n n n. 9) Il dominio dell funzione ln( ) è: ( 0, ) [ 0, ) (, ) [, ) 40) In qule qudrnte le funzioni cos e tg sono entrme negtive?: primo qudrnte secondo qudrnte terzo qudrnte qurto qudrnte 4) Considert l funzione cos ; 0, indicre quli sono i punti nei quli ess non è derivile e motivre l rispost; trccire il grfico. 4) L funzione è: h un mssimo in h un mssimo in 0 h un minimo in 0 non present né mssimi né minimi 4) L derivt dell funzione f ( ) sen è: f '( ) cos 5 f '( ) cos 5 f '( ) sen5 5 cos 5 f '( ) 5 cos 5 44) Si s che sen 0 e cos 0 ;l ngolo è: compreso tr e compreso tr 0 e compreso tr e compreso tr e

7 4 45) Anlizz il seguente grfico, che rppresent l funzione e determin: 4 il dominio; i limiti ll estremo del dominio; gli sintoti; gli intervlli in cui l funzione è positiv/negtiv; gli intervlli in cui ess è crescente/decrescente; i mssimi e i minimi; i flessi. 46) Anlizz il seguente grfico, che rppresent l funzione e determin: il dominio; le eventuli simmetrie; i limiti ll estremo del dominio; gli sintoti; gli intervlli in cui l funzione è positiv/negtiv; gli intervlli in cui ess è crescente/decrescente; i mssimi e i minimi; i flessi. 47) Nell intervllo 0, le soluzioni dell equzione e e 7 e 4 4 cos sono: 48) In un tringolo ABC, rettngolo in C, il cteto BC, opposto ll ngolo, si ottiene: moltiplicndo AC per il seno di dividendo AB per il coseno di moltiplicndo AB per l tngente di moltiplicndo AB per il seno di

8 49) Dt l funzione : clcolrne il dominio e i limiti ll estremo del dominio; - il grfico seguente potree essere quello dell funzione dt? giustific l rispost descrivendo le crtteristiche del grfico stesso:dominio codominio, limiti gli estremi del dominio, eventuli sintoti, discontinuità, mssimi e minimi, eventuli simmetrie, segno di f (). 50) Si verifichi che per l funzione 0, sussistono le condizioni perché vlg il Teorem di Lgrnge e si trovino le scisse dei punti in cui esso è verificto. nell intervllo 5) L funzione h: un flesso, un minimo ssoluto in, un mssimo ssoluto in 0 un flesso, un minimo reltivo in, un mssimo reltivo in 0 non h punti di minimo e di mssimo non h punti di flesso 5) L funzione h: un sintoto orizzontle e un sintoto verticle un sintoto oliquo un sintoto orizzontle e un sintoto verticle un sintoto orizzontle e un sintoto verticle 5) Associre l grfico dell funzione rppresentt in figur l equzione corrispondente:

9 54) Dt l funzione 5 4 stilire se nell intervllo (,5): mmette mssimo e minimo ssoluti mmette mssimo ssoluto m non il minimo ssoluto mmette minimo ssoluto m non il mssimo ssoluto non mmette né mssimo né minimo ssoluti 55) L funzione trscendente goniometric inter sen stilire se nell intervllo (,5): h nell origine un flesso con tngente coincidente con l sse delle scisse h un flesso di coordinte (0,5) con tngente inflessionle di equzione h nel suo punto di flesso (0,) per tngente l rett di equzione 0 è un funzione strettmente monoton decrescente priv di flessi 56) Affinché P( 0; 0 ) si un punto di minimo reltivo per l funzione z f (, ) definit in tutto il pino deve essere : ' ( 0 0 ' f ( 0 0 l nnullrsi delle derivte f, ), ) condizione sufficiente ' ( 0 0 ' f ( 0 0 l nnullrsi delle derivte f, ), ) condizione necessri ' ( 0 0 ' ( 0 0 '' ( 0 0 f, ) 0 ; f, ) 0 ; f, ) 0 ; H, ) 0 condizioni necessrie '' ( 0 0 '' f ( 0 0 ( 0 0 l nnullrsi delle derivte f, ), ) condizione sufficiente 57) Determinre lgericmente il dominio dell seguente funzione due vriili; rppresentre poi grficmente l soluzione ottenut: ln( ) z 9 58) Dt l funzione z f (, ) l funzione f ( 0, h) risult ugule : h ( h) h h h h h 59) Considerre il dominio dell funzione z. Esso è rppresentto d tutti i punti: venti venti venti venti 60) Considert l funzione z 4 trovre l ffermzione corrett tr le seguenti: z z 9 6 z 6 z 6 4 6

10 6) Dt l seguente funzione in due vriili z trovre: - dominio; - mssimi e minimi reltivi utilizzndo le derivte. 6) Clcolre le quttro derivte przili seconde delle seguenti funzioni, imponendo prim le condizioni di esistenz (dominio) delle funzioni: - z ; - z e - z ln. E soddisftto il Teorem di Schwrtz nel punto (0,0) per le tre funzioni? 6) Dt l funzione in due vriili e z ' e e z' ; z' e e z' z' e e z' e z e le sue derivte przili sono rppresentte d: z' e ; e z ' ; 64) Dt l funzione in due vriili z determinre l insieme di esistenz e le sue derivte przili prime. 65) L insieme dei punti interni ll circonferenz con centro nell origine degli ssi e di rggio 5 rppresent: l insieme di definizione dell funzione f (, ) 5 l insieme di definizione dell funzione f (, ) ln(5 ) l insieme dei punti in cui l funzione f (, ) ln(5 ) è positiv l insieme dei punti in cui l funzione f (, ) ln(5 ) è negtiv 66) L derivt przile rispetto ll dell funzione z 5 nel punto A(, ) vle: non esiste in R 67) L enuncito del teorem fondmentle del clcolo integrle (Torricelli-Brrow) dice: se l funzione integrnd f () è continu esiste l derivt dell funzione integrle F ( ) f ( t) dt nel punto,ed è ugule l vlore che l funzione integrnd ssume nello stesso punto, cioè: F' ( ) f ( ). Descrivere quli sono le conseguenze che si trggono d questo teorem.

11 68) Si dice integrle indefinito dell funzione f () e si indic con f ( ) d : un primitiv di f () l derivt di f () l totlità delle primitive di f () il differenzile di f () 69) Dte le seguenti scritture: f ( ) d e f ( ) d con f () funzione continu in R, il cndidto: - ne espong il significto; - ne clcoli il risultto nel cso f ( ) e ; 4 (risolvere utilizzndo il metodo di sostituzione); - espong lmeno un metodo di integrzione elementre; - definire l funzione L [ f ( )] Trsformt di Lplce dell funzione dt. - 70) L re dell regione pin rppresentt in figur e delimitt dlle due funzioni f ( ) 4 e è: f ( ) - 7) Il vlore dell integrle definito 4 0 cos d è: 4 7) Dt l equzione differenzile d d 0 l integrle prticolre soddisfcente l condizione inizile ( ) è: non esiste 7) Se f () e g() sono due funzioni integrili llor [ cf ( ) g( )] d vle: c [ f ( ) g( )] d f ( ) g( ) d f ( ) d f ( ) d c c g( ) d c g( ) d 74) Definire l integrle improprio del primo e del secondo tipo; Clcolre i seguenti integrli impropri: 9 d e e d

12 75) Se F' ( ) f ( ) llor: F () è il differenzile di f () F () è l invers dell f () F () è un primitiv di f () F () è l derivt di f () 76) L integrle dell funzione rele di vriile rele è proprio ed ugule è improprio e divergente è improprio e convergente è proprio ed ugule nell intervllo [-,]: 77) L integrle improprio e d converge diverge diverge converge 0 78) Dt l equzione differenzile l condizione inizile ( ) è: e e ' l integrle prticolre soddisfcente 79) Se nell integrle f ( ) d si oper l sostituzione t f (t) dt f (t) dt f (t) dt f (t) dt si ottiene: 80) Qul è l integrle che rppresent l re A dell prte di pino limitt dll sinusoide e dll sse X nell intervllo 0, : A send A 0 cos d A 4 send A cos d 0 0 0

13 8) Si f () un funzione continu in [, ] ; dll uguglinz f ( t) dt 0 si può dedurre che [, ] si h f ( ) 0? Giustificre l rispost e drne un interpretzione grfic, considerndo d esempio send. 0 8) Determinre l curv integrle dell equzione differenzile ( ) ' che pss per il punto P(, ) e rppresentrl. 8) Disegnt l prol di equzione e clcolt l equzione dell tngente nel punto di intersezione con l sse X di sciss negtiv, clcolre l re dell prte di pino compres tr l tngente, l prol e l sse Y. 4 84) Clcolre il vlore dell integrle definito dell integrle definito che hi incontrto nel corso dei tuoi studi. 5 d e illustrre molto revemente le ppliczioni 85) L re dell prte di pino limitt dll funzione 4 nell intervllo [0,] vle: ) Un equzione differenzile è del primo ordine qundo: contiene solo derivte prime è linere l compre solo con esponente mmette un sol funzione integrle 87) Trovre l unic ffermzioni fls tr le seguenti: se f ( ) 0 R e llor f ( ) d 0 f ( ) d f ( ) d se f () e g() sono primitive di un stess funzione F() llor f ( ) g( ) k (costnte) se f () è un funzione continu in [,] llor f ( ) d f ( )( ) con [,]. 88) L integrle generle dell equzione differenzile '' 0' 5 0 è 5 ( e ( 5c c 5 e ( c c e ( c 5c e c c ) ) ) )

14 5 89) Il vlore dell integrle definito 5 4ln7ln 7ln 4ln5 non esiste 5 4ln7ln d è: ' 90) L integrle generle dell equzione differenzile è c c c nessun delle precedenti 9) Rispondere i seguenti quesiti: - dre l definizione di primitiv e di integrle indefinito di un funzione; - enuncire le proprietà più importnti e motivre revemente l ffermzione l integrle è un opertore linere ; - clcolre: ( tg) d. 9) Determinre l integrle generle dell equzione differenzile ' ln 0 e scriverlo in form esplicit. 9) Risolvere l seguente equzione differenzile '' ' 4. 94) Determinre l integrle generle dell equzione differenzile ' cos sen 0. 95) L integrle generle dell equzione differenzile '' q 0 è di tipo: dipende dl vlore del discriminnte dell equzione crtteristic; c e ce con, soluzioni dell equzione crtteristic e c, c costnti ritrrie; è dto dll somm di due soluzioni prticolri dell equzione differenzile; è dto dll cominzione linere di due soluzioni singolri dell equzione differenzile. 96) L equzione differenzile ' mmette: due integrli singolri 0; ; un integrle singolre 0 ; un integrle prticolre ; nessun integrle singolre.

15 97) L soluzione generle dell equzione differenzile ' cos cos è: rcsen ( sen c) ; tg( sen c) ; rctg ( sen c) csen 98) Individure qule tr le seguenti funzioni è un integrle dell equzione differenzile ' 8 0 : ) Dopo ver enuncito l definizione di integrle prticolre risolvere l seguente equzione differenzile vriili seprili ' 6, determinndo l integrle prticolre che soddisf l condizione inizile ( 0) 0. 00) L integrle generle dell equzione differenzile ' 0 è: ln c ; c ; c e e c