COLPO D ARIETE: MANOVRE DI CHIUSURA

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1 Università degli studi di Rom Tor Vergt Corso di Idrulic. Prof. P. Smmrco COLPO D ARIETE: MANOVRE DI CHIUSURA Appunti integrtivi l testo E. Mrchi, A. Rubtt - Meccnic dei Fluidi dlle lezioni del prof. P. Smmrco. A cur del dott. ing. Michele d Errico e Giuli Cpuni A.A. 2014/2015

2 1 Equzioni integrli del colpo d riete Per lo studio del fenomeno di colpo d riete dovuto mnovre di chiusur in un sistem torre piezometric-condott monodimetro (illustrto schemticmente in figur 1), si f riferimento ll integrle generle del sistem [16.35] e [16.36] del testo E. Mrchi, A. Rubtt - Meccnic dei Fluidi : ( h (x, t) h 0 = F t x ) ( f t + x ) U (x, t) U 0 = g [ ( F t x ) ( + f t + x )] (1). (1b) Le (1) e (1b) esprimono rispettivmente l vrizione del crico h e dell velocità nell condott U rispetto i vlori di moto permnente h 0 e U 0. L vribile indipendente t rppresent l istnte di tempo che si consider, mentre l vribile x individu l posizione dell sezione cui ci si riferisce. L sezione nell qule vviene l mnovr di chiusur (otturtore), è post x = 0, mentre il serbtoio è posto nell sezione x = L, con L lunghezz dell condott. Il prmetro rppresent l celerità delle onde di pressione in un condott elstic. Le funzioni F e f rppresentno le perturbzioni che si propgno lungo l condott e sono determinte dlle condizioni inizili prim dell mnovr (t 0) (vedi figur 1): h (x, t) = h 0 U (x, t) = U 0, (2) e dlle condizioni l contorno prtire dll inizio dell mnovr (t > 0): h (L, t) = h 0 U (0, t) = U(t) (3) (3b) nell qule U(t) rppresent l velocità ll otturtore ssocit ll mnovr. L (3) è vlid ssimilndo l torre serbtoio infinito. L perturbzione F si propg verso l torre piezometric Figur 1: Condizioni di moto permnente nel sistem serbtoio-condott.

3 2 con celerità di propgzione c F =, mentre per l perturbzione f si propg verso l otturtore con celerità c f =, o, in ltre prole, l perturbzione F si propg nel verso delle x positive, mentre l f nel verso delle x negtive 1. Mnovr di chiusur istntne Le condizioni gli estremi dell condott per il cso di chiusur istntne vlide per t 0 sono: h (L, t) = h 0 U (0, t) = 0 (4) (4b) Prim dell mnovr (t < 0) vlgono le condizioni di moto permnente (2). Considerndo l equzione integrle per l velocità (1b), ll istnte dell chiusur (t = 0), in x = 0 si h: U 0 = g [F (0) + f(0)]. (5) e considerndo che l propgzione dell perturbzione dt dll chiusur può vvenire soltnto verso il serbtoio, si h che f = 0. Pertnto l (5) fornisce: Dll (1b) conseguentemente: Il vlore U 0 /g prende il nome di sovrccrico di Joukowski. F (0) = F 1 = U 0 g. (6) h(0, t) h 0 = F 1 = U 0 g. (7) Per effetto dell chiusur in x = 0 t = 0, l perturbzione F 1 si propg verso il serbtoio con celerità (vedi figur 2(b)). Nell sezione post x = x, fino ll istnte t = x/ si mntengono le condizioni di moto permnente, mentre per istnti successivi, t x/, i vlori dell velocità e del crico sono dti d: cioè: U( x, t) U 0 = g F 1 = U 0, U( x, t) = 0 h( x, t) h 0 = U 0 g. (8) Qundo l perturbzione F 1 giunge ll sezione x = L, ll istnte t = L/ (vedi figur 2(c)), si deve considerre l condizione l contorno (4), h = h 0. 1 Questo risultto si ottiene considerndo: F t c F = F x = F (t x/) (t x/) t F (t x/) (t x/) x = 1 1 = +. In modo equivlente si ricv il vlore dell celerità per l perturbzione f.

4 3 L eq. (1) non ppre soddisftt, 0 = h(l, t) h 0 = F 1. Deve quindi nscere un nuov perturbzione f (F non può propgrsi verso le x negtive), che stbilisc il rispetto dell condizione dett. Allor in x = L vle: 0 = h(l, t) h 0 = F 1 f 1 = 0 f 1 = F 1 = U 0 g U(L, t) U 0 = g [F 1 + f 1 ] U(L, t) = U 0,, t L/ (9) L perturbzione f 1 si origin nell sezione x = L ll istnte t = L/, si propg con celerità (cioè nel verso delle x negtive) e, sommndosi ll F 1, stbilisce nell condott le condizioni di sovrccrico nullo e velocità pri U 0 (verso del moto invertito), dirett cioè verso l torre piezometric (vedi figur 2(d)). All istnte t = 2L/ si h che in tutt l condott il sovrccrico è nullo e l velocità dirett verso monte (vedi figur 2(e)). Nell sezione dell otturtore però quest configurzione non rispett l condizione (4b). Per ristbilire il rispetto di quest ultim, nsce un nuov perturbzione F 2 in modo tle d ottenere: U 0 = g [F 1 + f 1 + F 2 ] F 2 = U 0 g h(0, t) h 0 = F 1 f 1 + F 2 = U 0 g, t 2L/ (10) L F 2 genert t = 2L/, x = 0 si propg dll otturtore ll torre trsportndo l condizione ll otturtore espress dll (10). Nelle sezioni rggiunte dll nuov perturbzione si h quindi velocità null ed un vrizione negtiv di crico pri U 0 /g (vedi figur 2(f)). Al tempo t = 3L/ l nuov perturbzione F 2 rggiunge l sezione x = L ed ncor per il rispetto dell condizione (4) in questo estremo, nsce un f 2 tle che (vedi figur 2(g)): 0 = h(l, t) h 0 = F 1 f 1 + F 2 f 2 = 0 f 2 = F 2 = U 0 g U(L, t) U 0 = g [F 1 + f 1 + F 2 + f 2 ] U(L, t) = U 0,, t 3L/. (11) Dunque per t > 3L/ i vlori del crico piezometrico e dell velocità l torrino corrispondono quelli del moto permnente presente prim dell chiusur. Questi vlori si propgno verso l otturtore con celerità (vedi figur 2(h)) e lo rggiungono per t = 4L/, istnte in cui sono ristbilite le condizioni che si vevno ll inizio del processo t = 0. Si osserv quindi che il fenomeno di colpo d riete è periodico, con periodo 2θ = 4L/; il vlore θ = 2L/ prende il nome di durt di fse.

5 4 () (e) (b) (f) (c) (g) (d) (h) Figur 2: Propgzione delle perturbzioni in un periodo 2θ.

6 5 L figur 2 mostr dunque l ndmento dei sovrccrichi e delle velocità lungo l condott per fissti istnti di tempo, scelti opportunmente per rppresentre le diverse fsi che crtterizzno l intero periodo del fenomeno. Con riferimento invece sezioni specifiche fisste, è interessnte osservre l ndmeto nel tempo delle grndezze h ed U. Anlizzndo in prticolre l sezione dell otturtore (x = 0) si not che per tutto il semiperiodo θ, cioè per 0 < t < θ, si h il vlore di sovrccrico mssimo; per istnti successivi, θ < t < 2θ, il sovrccrico ssume il suo vlore minimo (vedi figur 3()). In quest sezione l velocità è sempre null, nel rispetto dell condizione in questo estremo dt dll (4b). Nell sezione di collegmento col torrino, x = L, il rispetto dell condizione di crico invribile, pri d h 0, si trduce in un ndmento dell velocità nel tempo pri d U 0 fino ll istnte t = θ/2, pri U 0 per vlori θ/2 < t < 3/2θ (verso il torrino), e dll istnte t = 3/2θ pri di nuovo U 0 (l velocità nell condott torn d essere dirett verso l otturtore). Dll istnte t = 2θ l ndmento si ripete (vedi figur 3(c)). Per un sezione generic x (vedi figur 3(b)) si not che fino che l effetto dell chiusur non rggiunge tle sezione, quindi fino ll istnte t = x/, le condizioni di moto permnente rimngono inlterte. Appen l perturbzione rggiunge l sezione considert, il crico ument istntnemente del vlore U 0 /g, mentre l velocità si nnull. Tli condizioni si mntengono per il tempo necessrio ll perturbzione F 1 di rggiungere il torrino e ll f 1 di ritornre nell sezione x, un tempo quindi pri 2(L x)/. Successivmente, per un periodo di tempo pri 2 x/, nell sezione si h sovrccrico nullo e velocità pri U 0, dirett quindi verso monte. Per istnti compresi tr θ + x/ e 2θ x/, l vrizione di crico è pri U 0 /g e l velocità è null. Nell ultim fse del primo periodo 2θ sono ristbilite le condizioni di moto permnente. Si not che se l sezione considert è vicin ll otturtore, llor gli ndmenti del sovrccrico e dell velocità tendernno quelli che si hnno proprio nell sezione dell otturtore (si immgini il lim x 0 dell figur 3(b)). In prticolre l durt degli intervlli in cui si hnno vrizioni di crico e velocità null tende θ, mentre l durt dell fse crtterizzt d vrizioni nell velocità e sovrccrichi nulli tende zero. L osservzione nlog vle per un sezione molto vicino ll torre (si immgini il lim x L dell figur 3(b)). In questo cso l presenz di un sovrccrico nell sezione permne per un tempo tnto minore qunto più l sezione è prossim ll torre, l velocità invece nell condott mnterrà il suo vlore mssimo o minimo per un durt che tende ll durt di fse θ.

7 6 () x = 0 (b) x = x (c) x = L Figur 3: Andmento del sovrccrico e dell velocità nel tempo in x = 0, x = x e x = L.

8 7 Mnovre di chiusur finite Considerre un mnovr rele signific tenere conto del ftto che il tempo impiegto nell mnovr di chiusur è di ordine mggiore, o lmeno dello stesso ordine, dell durt di fse θ. mnovr quindi non vviene istntnemente, m impieg un tempo τ (detto di mnovr) per essere complett. Nell mbito di mnovre di chiusur complet, si pss nell otturtore dll velocità U 0 di moto permnente ll velocità null nel tempo di mnovr τ. In figur 4 è rppresentt un legge di mnovr linere. L ndmento dell velocità nell otturtore nel tempo é: ( U(t) = U 0 1 t ) τ L (12) Figur 4: Legge di mnovr linere. L velocità nell otturtore si nnull ne tempo di chiusur τ. Tle legge è idele e non rppresent il vero ndmento dell U(t) (vedi prgrfo del testo E. Mrchi, A. Rubtt - Meccnic dei Fluidi ), tuttvi i fini delle considerzioni qui esposte ppre sufficiente. Mnovr brusc Per brusc si intende un mnovr il cui tempo di mnovr τ risult minore dell durt di fse θ (vedi figur 5). In questo cso è rggiunto sempre il sovrccrico di Joukowski lmeno nell sezione Figur 5: Legge di mnovr linere. Mnovr brusc τ < θ. dell otturtore. Il vlore del sovrccrico mssimo in x = 0 si mntiene poi per un intervllo di tempo pri θ τ (vedi figur 7()). Il mssimo sovrccrico è rggiunto in tutte le sezioni x che rispettno l condizione: x < L τ/2. (13)

9 8 L condizione (13) si ricv imponendo che l tempo x/ + τ, qundo l intero sovrccrico di Joukowski rggiunge l sezione x, si minore dell istnte 2L/ x/ nel qule l perturbzione rifless ll otturtore ritorn ll stess sezione (vedi figur 6). In figur 7 sono riportti gli ndmenti Figur 6: Andmento del sovrccrico h h 0 in un sezione x per l qule è rispettt l condizione (13) nel cso di mnovr brusc τ < θ. del sovrccrico e dell velocità nell sezione dell otturtore x = 0, in un sezione prticolre x = x nell qule si rggiunge il mssimo vlore del sovrccrico, ed infine nell sezione corrispondente l torrino x = L.

10 9 () (b) (c) Figur 7: Andmento del sovrccrico e dell velocità nel tempo in x = 0, x = x e x = L per un mnovr brusc.

11 10 Mnovr lent Nel cso in cui l durt dell mnovr τ si mggiore dell durt di fse θ, nell otturtore (e quindi in tutto il resto dell condott) non si rggiunge il vlore di Joukowski del sovrccrico. Inftti prim ncor che si rggiunto il mssimo vlore del sovrccrico, l perturbzione f 1 nt nell sezione x = L ritorn ll otturtore. Il mssimo vlore del sovrccrico, h mx, si h per- Figur 8: Legge di mnovr linere. Mnovr lent τ > θ. tnto ll istnte t = θ. Un stim di h mx si ricv considerndo che ll istnte t = θ è presente ll otturtore l sol perturbzione F 1 che vle: Sostituendo U(θ) = U 0 ( 1 θ τ F 1 (θ) = [U 0 U(θ)] g. (14) ) nell (14), si ottiene θ F1 (θ) = U 0 g τ. Sostituendo nell (1) si ottiene: θ h mx = U 0 g τ. (15) In figur 9 è mostrto l ndmento del sovrccrico in x = 0 nel cso di mnovr lent. L line continu rppresent il sovrccrico rele, mentre l line trtteggit rppresent l ndmento che si vrebbe nel cso in cui l mnovr non fosse lent (quindi se l sciss θ coincidesse con quell τ). Per l similitudine dei tringoli si può scrivere: e quindi ricvre l (15). 1 U 0 g τ = h mx θ. (16) Figur 9: Mssimo sovrccrico in cso di mnovr lent τ > θ.