Lezione 1 Insiemi e numeri

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1 Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi con lettere minuscole. Esempio. Se A è l insieme delle vocli dell prol music si scrive A = {u, i, }. Esempio. Inumeri0,,,,... formno un insieme che indichimo con N e chimimo insieme dei numeri nturli. Nel primo esempio bbimo indicto un insieme (finito) elencndo i suoi elementi. Un ltro modo di definire un insieme può essere quello di dre un su proprietà crtteristic, d esempio: si B l insieme dei numeri nturli divisibili per. Possimo llor scrivere: B = {0,, 6, 9,,...}. Se A èuninsiemee è un suo elemento si scrive A esilegge pprtiene d A. Per indicre che non èunelementodia si scrive 6 A. Ad esempio: 8 B e56 B. Utilizzndo il simbolo possimo riscrivere in modo più preciso l insieme B: B = {b N tli che b =n, con n N}. Si dice che un insieme B èunsottoinsieme di A (o che B è contenuto in A) seognielementob dell insieme B è nche un elemento di A. In simboli: B A (o nche: A B). Esempio. Sino A = {u, i, } e B = {u, i}, llor si h B A. Esempio.4 Si B l insieme dei numeri nturli multipli di e si C l insieme dei numeri nturli multipli di. Allor si h C B. Se A B e B A llor A = B. Questo èilmodoperverificrecheidueinsiemia e B sono uguli (coincidono).. Intersezione e unione di insiemi. Insieme complementre Definizione.5 L insieme degli elementi che pprtengono contempornemente d A eb è detto intersezione di A e B edenottoa B. Si scrive A B = {s tli che s A e s B}.

2 Esempio.6 Sino A = {, b, c,,, } e B = {c, d,, }. Allor A B = {c,, }. Esempio.7 Si A l insieme dei numeri nturli multipli di e si B l insieme dei numeri nturli multipli di. Determinimo A B. Un elemento d è contempornemente in A einb se e solo se è divisibile contempornemente per e : ossi è un multiplo di 6. Cioè A B = {0, 6,,...} = {d N tli che d =6n, con n N}. Due insiemi possono non vere elementi comuni. In tl cso si dice che essi sono disgiunti, ochel loro intersezione è l insieme vuoto, indicto con, insieme crtterizzto dl non vere elementi. Esempio.8 Sino A e B gli insiemi costituiti di punti di due rette diverse nel pino. Allor A B è l insieme vuoto se le rette sono prllele; in cso contrrio, A B è un solo punto del pino. Definizione.9 L insieme degli elementi che pprtengono d lmeno uno degli insiemi A e B è detto unione di A e B edenottoa B. Si scrive A B = {s tli che s A oppure s B}. Esempio.0 Sino A = {, b, c,,, } e B = {c, d,, }, llor A B = {, b, c, d,,, }. Esempio. Si A l insieme dei numeri nturli minori di e B l insieme dei numeri nturli mggiori di. Allor A B è l insieme dei numeri nturli diversi d. Se un insieme A è contenuto in un insieme S, si possono considerre gli elementi di S che non sono in A. A quest ide corrisponde l nozione di insieme complementre. Definizione. Si S un insieme che si suppone fissto e si A S. L insieme degli elementi che pprtengono d S e non pprtengono d A è detto complementre di A (in S) e denotto con A c. Si scrive: A c = {s S tli che s 6 A}. Esempio. Sino S = {, b, c, d, e, f,,,, 4, 5} e A = {, b, c,,, }. Allor A c = {d, e, f, 4, 5}. Esempio.4 Sino S = N e A l insieme dei numeri nturli pri. Allor A c è l insieme dei numeri nturli dispri.. Insiemi numerici Abbimo già introdotto l insieme dei numeri nturli N. Denotimo con Z l insieme degli interi reltivi, ossi dei numeri: 0,,,,,... Denotimo con Q l insieme dei numeri rzionli.

3 Ogni numero rzionle può essere rppresentto d un frzione dell form con, b Z,b6= 0. b Due frzioni b e c rppresentno lo stesso numero rzionle qundo d = bc. d Quindi le frzioni 4 5 e 4 rppresentno lo stesso numero rzionle che possimo indicre più 0 semplicemente con 5. È spesso utile sper confrontre due frzioni (ossi stbilire qule delle due è mggiore). Sino b e c d due frzioni con denomintore mggiore di zero (ossi b>0ed>0). Dicimo che b < c d se e solo se d < bc. Esempio.5 Confrontimo le seguenti coppie di frzioni: 0, 4 e 7,. 0 < 4 7 < inftti = 9, 4 0 = 40 e 9 < 40. inftti ( ) =, ( ) 7= e <. Ricordimo che l somm e il prodotto di due frzioni si eseguono come segue b + c d d + bc =, bd b c d = c bd. Inoltre si h: =0seesolose =0. b (Ricordimo che il denomintore non può MAI essere ugule zero.) Dt un frzione b con 6= 0eb 6= 0sidicefrzione reciproc di b l frzione b. Abbimollorche b b =. Effetture l divisione di b per c d (con c 6= 0ed 6= 0)signific moltiplicre per il reciproco di b c d, cioè: b : c d = b d c = d bc. Esempio : 9 = = 5 6 = 6 5 = 5 = Esempio.7 Voglimo determinre per quli interi n>0 si h che l differenz delle due frzioni n n + èminoredi 0. Deve essere n n + = n(n +) < 0,

4 ossi che è evidentemente verifict per n. n(n + ) > 0 Ogni numero rzionle può essere rppresentto con sviluppo decimle finito o infinito periodico. Ad esempio: 4 = 0.5; 7 5 =.4; = 0.; 6 = 0.6. I numeri corrispondenti sviluppi decimli infiniti non periodici come = ; π = sono detti numeri irrzionli. Definizione.8 L unione dei numeri rzionli e degli irrzionli costituisce l insieme dei numeri reli, che viene indicto con R. Un descrizione rigoros dell insieme dei numeri reli è l di là degli obiettivi di queste lezioni. Nturlmente si h N Z Q R. Dti i numeri reli e b è sempre definit l somm + b (l sottrzione b) e l moltipliczione b (e, se b 0, l divisione : b, che spesso si indic con l notzione b ). In prticolre, dto il numero rele, chimimo opposto di il numero e, se 0, chimimo reciproco di il numero. È spesso comodo visulizzre i numeri reli come punti di un rett. Per fr questo considerimo l rett r e su di ess fissimo un punto O (origine), un segmento OU come unità di misur e un verso di percorrenz d considerrsi positivo: in questo modo bbimo costruito un rett orientt. O U r Si or un numero rele non nullo: prtendo d O ci muovimo sull rett orientt se > 0 nel verso positivo dell rett, di un segmento OA di lunghezz ; se < 0 nel verso negtivo dell rett, di un segmento AO di lunghezz. In entrmbi i csi ssocimo l numero l estremo finle del segmento OA. (Al numero 0 ssocimo il punto O.) Così d ogni numero rele bbimo ssocito un punto dell rett orientt. Ad esempio nell figur sottostnte l numero ssocimo il punto A, l numero rele ssocimo il punto B. B O U A r Vicevers, dto un punto A sull rett orientt 4

5 se A segue O nel verso positivo dell rett, ssocimo d A il numero rele che esprime l misur del segmento OA rispetto ll unità di misur OU; se A precede O nel verso positivo dell rett, ssocimo d A l opposto del numero rele che esprime l misur del segmento OA rispetto ll unità di misur OU. Così d ogni punto dell rett orientt bbimo ssocito uno (e un solo) numero rele. Ad esempio nell figur sottostnte l punto U ssocimo il numero rele, l punto A ssocimo (OA è l digonle del qudrto di lto OU), e l punto B ssocimo. B O U A Questo ci permette di identificre i punti dell rett orientt con i numeri reli e quindi spesso si pongono sull rett direttmente i numeri invece dei punti. In questo contesto i numeri si chimno scisse dei punti corrispondenti. r L distnz (rispetto ll unità di misur fisst) di un punto A di sciss d O è sempre un numero non negtivo dto d: se 0; se < 0. Abbimo così introdotto il modulo (o vlore ssoluto) del numero rele che è così definito: { se < 0 = se 0 Ad esempio: = ( ) = ; = ; 5 = ; 0.4 = 0.4; 0 = 0. 5 Concludendo rppresent l distnz del punto di sciss dll origine O, e quindi è sempre 0. In generle, b rppresent l lunghezz del segmento di estremi A e B venti scisse e b. Quindi è sempre b = b. Esempio.9 L insieme A = { R tli che < } è costituito di numeri reli che sono scisse di punti distnz minore di dll origine. Sono quindi tutti i numeri reli compresi tr e. Ossi A = { R tli che < < }. Un sottoinsieme di R dell form di quello dell esempio precedente è un intervllo. Si chimno intervlli i seguenti sottoinsiemi di R: (, b) = {x R tli che < x < b} [, b] = {x R tli che x b} intervllo limitto perto intervllo limitto chiuso 5

6 [, b) = {x R tli che x < b} (, b) = {x R tli che x < b} [, + ) = {x R tli che x } intervllo limitto chiuso sinistr (e perto destr) intervllo perto illimitto ( sinistr) o semirett intervllo illimitto ( destr) o semirett (, b], (, b], (, + ) sono definiti nlogmente. L insieme A dell esempio precedente è quindi l intervllo (, ). 4. Proporzioni, scle e percentuli Considerimo un treno che viggi ll velocità costnte di 0 chilometri ll or. Ovvimente in 0 minuti percorre 55 chilometri, in due ore 0. E se volessimo spere in qunto tempo h percorso 4 chilometri? Osservimo che il rpporto tr lo spzio percorso e il tempo impiegto è costnte (purchè spzi e tempi sino rispettivmente espressi nell stess unità di misur), ossi 0 60 = 55 0 = 0 0 =... Quindi, detto T il tempo (in minuti) necessrio percorrere 4 chilometri si h: 0 60 = 4 T ossi ore e minuti. cioè 0 T = 60 4 cioè T = In generle, si us esprimere l uguglinz dei rpporti: b = c d : b = c : d che si chim proporzione e che si legge st b come c st d =, usndo l scrittur Esempio.0 L triff pplict per chimte d un telefono pubblico è sctti e ogni sctto cost 0 centesimi di Euro. Per chimte verso l Lituni l durt di ogni sctto è di 8. secondi. Voglimo clcolre il costo C (in centesimi di Euro) minuto che quindi soddisf l proporzione 0 : 8. = C : 60 Ricvimo quindi che C = centesimi di Euro. Esempio. L detrzione fiscle per lvoro dipendente è di 50 Euro su bse nnule (65 giorni di lvoro). Clcolimo l detrzione D spettnte d un lvortore che h lvorto 87 giorni nel corso dell nno. Si vrà 50 : 65 = D : 87 Ricvimo quindi che D = Euro. Nel linguggio topogrfico dire che un crtin, o un tlnte, è in scl : signific che il rpporto tr le distnze riportte sull crt e quelle reli è

7 Ossi, se su un crtin di questo tipo l distnz tr due pesi è di.5 centimetri, l loro distnz effettiv D (in centimetri!!) è tle che cioè D = cm = m = 7 km. :00000=.5 :D Il rpporto tr due grndezze omogenee (ossi dello stesso tipo () )è un numero che non dipende dll unità ust per misurre entrmbe. Ad esempio, se, in un clsse di 5 studenti, hnno l influenz, possimo dire che i dell clsse è mmlto. 5 Si us spesso esprimere il rpporto di grndezze omogenee in form percentule ossi scrivendo l frzione in modo che il denomintore si 00. Nell esempio 5 = 00 =0.. Più brevemente si scrive % e si dice l percentule di mmlti è il % (e si legge per cento). Non sempre è possibile esprimere un rpporto esttmente in form percentule, tlvolt bisogn pprossimrlo: d esempio =% circ esiscrive ' %. Esempio. Il fondo di investimento SoldiPiù nel 000 h gudgnto il 5%, mentre nel 00 h perso il 0%. Voglimo clcolre qule è stto il rendimento su bse biennle. Supponimo che l somm investit ll inizio del 000 fosse C. All fine del primo nno l somm è umentt del 5% ossi è C C = 5 4 C. Nel 00 quest ultim è diminuit del 0% ossi è diventt: µ 5 4 C 0 µ µ C = µ C = 4 5 µ 5 4 C = C. Quindi il rendimento biennle è stto nullo, ossi il bilncio biennle è stto di perfetto preggio. Esempio. Il fondo di investimento SoldiPiù Plus h perso nell ultimo nno il 7.5%. Spendo che or le quote in possesso vlgono Euro, qule er il cpitle investito l nno scorso? Detto C il cpitle inizile, sppimo che dopo l perdit del 7.5% il cpitle è diventto quindi C = = Euro. C C = 40 C =66000 ) Ad esempio due lunghezze entrmbe espresse in metri, oppure due cpcità entrmbe espresse in litri. 7