Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1

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1 Antonell Greco, Rosngel Mpelli E-Mtemtic E-Book di Mtemtic per il triennio Volume

2 COPIA SAGGIO Cmpione grtuito fuori commercio d esclusivo uso dei docenti Grmond 009 Tutti i diritti riservti Vi Tevere, Rom Prim edizione Volume Cod. ISBN

3 Premess Nel seguente volume gli esercizi sono stti scelti con i seguenti obiettivi: potenzire le conoscenze impdronirsi delle bilità necessrie per svolgere semplici problemi. I test su competenze e problemi più complessi verrnno cricti in pittform, insieme i moduli di pprofondimento. Srnno, inoltre, pubblicti: Lerning object Test interttivi di tipo scelt multipl, completmento frse, rispost pert. Mppe concettuli Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

4 Indice INDICE GENERALE Le Disequzioni... 7 Disequzioni e loro proprietà... 7 Disequzioni di I grdo... 7 Segno di un prodotto... 0 Disequzioni di II grdo... Disequzioni numeriche intere... Disequzioni letterli intere... 5 Disequzioni Frtte... 7 Sistemi di disequzioni... Disequzioni di grdo superiore l secondo... Disequzioni con vlori ssoluti... 7 Equzioni con vlori ssoluti... 7 Disequzioni con vlori ssoluti... 8 Disequzioni venti tr i loro termini i vlori ssoluti di un o più espressioni contenente l incognit... Disequzioni Irrzionli... Condizioni di esistenz... Disequzioni irrzionli semplici... Disequzioni con due rdicli... 5 Disequzioni dove compre un solo rdicle... 6 Esercizi di riepilogo... 9 Geometri Anlitic... 5 Pino Crtesino... 5 Sistem di coordinte su un rett... 5 Distnz fr due punti sull rett... 6 Punto medio sull rett... 7 Sistem di coordinte nel pino... 8 Distnz fr due punti... 9 Punto medio di un segmento nel pino Bricentro di un tringolo... 5 Il metodo delle coordinte e i teoremi di geometri Euclide... 5 Luogo geometrico... 5 Esercizi di riepilogo L rett Rett e le sue equzioni Equzioni di rette come luogo geometrico Equzione rett che pss per origine Coefficiente ngolre Equzione rett generic... 6 Equzione dell rett pssnte per un punto... 6 Equzione dell rett pssnte per due punti... 6 Come disegnre un rett Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

5 Indice Rette prllele e perpendicolri Rette prllele Rette perpendicolri Posizione reciproc di due rette nel pino Distnz di un punto d un rett Equzione dell bisettrice di un ngolo Esercizi di riepilogo... 7 L circonferenz... 7 Equzione dell circonferenz... 7 Rett e circonferenz nel pino Rett tngente ll circonferenz Condizioni generli per determinre l equzione di un circonferenz... 8 Circonferenze nel pino Esercizi di riepilogo L Prbol... 9 Equzione dell prbol... 9 Luogo geometrico... 9 Equzione dell prbol con vertice nell origine... 9 Concvità... 9 Equzione prbol con sse prllelo sse delle y... 9 Grfico dell prbol... 9 Equzione prbol con sse prllelo sse delle Equzione dell prbol con vertice nell origine Posizione rett e prbol nel pino Condizione di tngenz Condizioni generli per determinre l equzione di un prbol... 0 Il segmento prbolico... 0 Esercizi di riepilogo... 0 L ellisse Equzione dell ellisse Luogo geometrico Equzione dell ellisse con i fuochi sull sse delle scisse Equzione dell ellisse con i fuochi sull sse delle ordinte Crtteristiche dell ellisse Eccentricità Ellisse e rett nel pino... Rett tngente ll ellisse... Condizioni generli per determinre l equzione dell ellisse... Ellisse trslt... 6 Esercizi di riepilogo... 8 L iperbole... 9 Equzione dell iperbole... 9 Luogo geometrico... 9 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

6 Indice Equzione dell iperbole con i fuochi sull sse delle scisse... 0 Equzione dell iperbole con i fuochi sull sse delle ordinte... 0 Crtteristiche dell iperbole... Eccentricità... Iperbole equilter... Iperbole equilter riferit i propri ssi... Iperbole equilter riferit i propri sintoti... Funzione omogrfic... 5 Iperbole e rett nel pino... 7 Rett tngente ll iperbole... 8 Iperbole trslt... 0 Condizioni generli per determinre l equzione di un iperbole... Esercizi di riepilogo... Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

7 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di I grdo Le Disequzioni Disequzioni e loro proprietà Disequzioni di I grdo Risolvere l disequzione 5 6 Portimo tutti i contenenti l vribile sinistr e tutti gli ltri termini destr 6 5 Risolvimo e ottenimo Moltiplichimo i due membri per - cioè cmbimo i segni ll disequzione!!! ATTENZIONE vengono cmbiti tutti i segni, nche il segno di disuguglinz. L disequzione è verifict Risolvere le seguenti disequzioni numeriche intere. ( ) > [ > ] [ > 6 ]. ( ) 5 > ( 6) [ R ]. ( 5) > ( ). ( ) ( ) [ ] 9 5. ( ) ( ) > [ < ] 5 6. < [ R ] < [ < 0 ] 8. < [ R ] ( ) < [ < ] 0. ( ) ( ) < ( ) ( ) [ / R ]. ( ) < [ < ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

8 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di I grdo [ < ]. ( ) ( ) <. ( ) > 0 [ > ]. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 5. ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 6. Spendo che il triplo di un numero, sommto l qudrto del suo doppio è mggiore volte il suo qudrto sottrtto di. Determinre. [ > ] 7. Verificre se sono equivlenti le seguenti disequzioni ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 0 [Sì, perché.] Svolgere l disequzione > > E un disequzione letterle inter > ( ) > Dobbimo studire il segno del I coefficiente, ottenimo i seguenti csi: > > In questo cso il coefficiente dell è positivo. Dividimo per - e non cmbimo il verso dell disequzione = 0 > R Sostituimo l posto del prmetro il vlore e ottenimo un disuguglinz fls, per qulsisi vlore di < < In questo cso il coefficiente dell è negtivo. Dividimo per - e cmbimo il verso dell disequzione Risolvere le seguenti disequzioni letterli intere: 8. ( ) < [ < < ; = R; > > ] 9. [ < 0 > ; = 0 = R;0 < < ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

9 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di I grdo 0. <, > 0 [ = 0 R; > 0 < ] 6 6 [ > > ; = R; < < ]. ( )( ) ( )( ) <. > 0 [ < 0 > > ; = R;0 < < < ] ( b) < b, > b > 0 [ < b ]. Dti tre numeri,, -, determin per quli vlori di il prodotto dei primi due è mggiore del terzo, l vrire di. ( ) ( ). [ > ; = R; < ] 5. Un rettngolo h i lti che misurno,. Determinre per quli vlori di, l vrire di, >0: il perimetro è mggiore di ; [ 0 < 6; > R ] 6 6 b) l re è minore o ugule 9. ( ) ( ) [ 0 < < ; = 0 R; < < 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

10 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Segno di un prodotto Segno di un prodotto Svolgere l seguente disequzione ( )( )( ) > 0 Per determinre l insieme delle soluzioni dell disequzione dobbimo porre: ogni singolo fttore mggiore di zero, cioè studire il segno di ogni fttore > 0 > > 0 > > 0 < Riportimo sopr un rett orientt i vlori trovti, e trccimo in corrispondenz delle linee verticli. Riportimo l insieme di soluzione di ogni singolo fttore ponendo il segno positivo, dove è mggiore di zero, e il negtivo nel verso opposto. Trccimo l termine un line orizzontle e L disequzione è verifict per: < - v < < L disequzione è in senso stretto quindi, non si ccettno le soluzioni dell equzione. In corrispondenz di tli soluzioni, nel grfico, ponimo un pllino vuoto. Risolvere le seguenti disequzioni letterli intere: 6. ( )( ) > 0 [ < - v > -] 7. ( )( 5)(6 ) 0 [ 5 6 ] 8. ( )( ) 0 [ - v -] 9. ( )( 5) 0 [ 5 ] 0. ( )( ) 0 [ - v ]. ( 5)(7 ) 0 [ ]. ( ) > 0 [ < 0 v > ]. ( 5 6)( - ) > 0 [ < - v - < < v > ]. ( 5 6)( )<0 [ - < < - -] 5. ( 5 6)(8 ) < 0 [ < < > 8 ] [ 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

11 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Segno di un prodotto 7. Se l disequzione B() 0 mmette come soluzioni 5 B()(,che soluzioni h l disequzione )( 6) 0 [ 6 5 ] 8. Se l disequzione B () < 0 mmette come soluzioni >,che soluzioni h l disequzione B()( )( 5) 0 [ 5 < ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

12 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di II grdo Disequzioni di II grdo Ricordimo > 0 = 0 < 0 b c > 0 < > b c < 0 < < b c > 0 R, b c < 0 R b c > 0 R b c < 0 R b Se concorde con il verso dell disequzione, soluzioni esterne ll intervllo delle rdici Se discorde con il verso dell disequzione, soluzioni interne ll intervllo delle rdici Se concorde con il verso dell disequzione, è verifict per qulsisi vlore di, escluso il vlore che verific l equzione Se discorde con il verso dell disequzione, non mmette nessun soluzione Se concorde con il verso dell disequzione, è verifict per qulsisi vlore di Se discorde con il verso dell disequzione, non mmette nessun soluzione Disequzioni numeriche intere Risolvere l disequzione 0 Trovimo le rdici dell equzione di secondo grdo ssocit cioè = 0 il = 9 6 = 5 = 5 > 0 essendo > 0 l equzione mmette due soluzioni = - e = Dto che è discorde con il verso dell disequzione, le soluzioni sono interne ll intervllo delle rdici dell equzione ssocit. L disequzione è verifict Risolvere le seguenti disequzioni : [ R ] 0. 0 [ = 0 ]. 7 < 0 [ R, 0 ]. > 0 [ < 0 > ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

13 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di II grdo. - > 0 [ 0 < < ]. 0 [ 0 ] 5. 9 > 0 [ R ] > 0 [ < > ] 7. 5 > 0 [ 0 < < 5 ] 8. 9 > 0 [ < < ] 9. > 0 [ R ] 50. > 0 [ < - v > ] 5. - > 0 [ - < < ] 5. 5 > 0 [ < 5 > 5 ] 5. < 0 [ < < 7 ] > 0 [ = 5 ] [ < > ] 56. > 0 [ R ] 57. < 0 [ / R ] 58. > 0 [ < > ] 59. ( )( ) ( ) 6 > 0 [ < > ] 60. ( ) ( ) ( ) > 6 [ < < 7 ] ( ) ( ) 7 6. < [ < < 5 ] 6. Scrivi un disequzione di II grdo l cui soluzione è < < 6. [ 5 6 < 0 ] 6. Scrivi un disequzione di II grdo verifict per < 0 > [ > 0 ] 6. Scrivi un disequzione verifict solo per =. [ ] 65. Scrivi un disequzione verifict per R, [ 9 > 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

14 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di II grdo Scegli l rispost estt. L disequzione b c < 0 vlori interni ll intervllo delle rdici; vlori esterni ll intervllo delle rdici; per qulsisi vlore rele di ; per nessun vlore rele di. L disequzione b c < 0 se < 0 < 0, è verifict per: se < 0 = 0, è verifict per: per qulsisi vlore rele di, escluso il vlore che nnull il trinomio; vlori esterni ll intervllo delle rdici; per qulsisi vlore rele di ; per nessun vlore rele di ;. L disequzione b c < 0 se < 0 > 0, è verifict per: vlori interni ll intervllo delle rdici; vlori esterni ll intervllo delle rdici; per qulsisi vlore rele di ; per nessun vlore rele di. L disequzione 0 ; R = / R, è verifict per: Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

15 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di II grdo Disequzioni letterli intere Svolgere l seguente disequzione k k k > 0 Per determinre l insieme delle soluzioni dell disequzione dobbimo clcolre il discriminnte dell equzione ssocit: = b c = k k k = k k Discussione Le soluzioni dell disequzione dipendernno dl segno del discriminnte. > 0 k k > 0 < k < 0 L equzione ssocit mmette due soluzioni reli e distinte. k k k k k k = = >0, verso dell disequzione è concorde. L disequzione è verifict per vlori esterni ll intervllo delle rdici k < k k k > k k = 0 k k = 0 k = 0 k = >0, verso dell disequzione è concorde. L disequzione è verifict per qulsisi vlore di, d esclusione dell rdice dell equzione ssocit. Sostituimo i vlori di k trovti: k = 0 = 0 L disequzione è verifict R, 0 < 0 k k < 0 k < k > 0 >0, verso dell disequzione è concorde. L disequzione è verifict per qulsisi vlore di. Riepilogo k k k k k. < k < 0 < > b. k = R, o k = 0 R, 0, c. k < k > 0 R k Risolvere le seguenti disequzioni : 66. > 0, > 0 [ < > ] [ < < > ; = R, ; > < > ] 67. ( ) > ( ) 0, > [ 0 < < ; = R; > R ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

16 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di II grdo Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond ( ) 0 < < < > < > 0 ; ( ) 0 > < ; ( ) 0 < < = = > < R R ; ( ) 0 < = > 0 R ; > < = = R R ;

17 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Frtte Disequzioni Frtte 9 Risolvere l disequzione < 0 Ponimo N > 0 9 > 0 < > D > 0 > 0 < 0 > Riportimo nel grfico le soluzioni trovte: L disequzione è verifict < < 0 < < * utilizzimo questo simbolo per indicre che il Denomintore non può mi essere nullo Risolvere le seguenti disequzioni : 7. < [ < 0 < < > ] [ 0 v > ] 0 [ < - v -] [ ] 78. > [ - < < -] > [ < 0 ] [ < - v - < < ] 8. 0 [ < < ] 8. 9 < 0 [ < 0] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

18 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Frtte 8. < 0 [ < - -] 8. > ( ) 0 [ < > ] [ < < 0, = ] 86. > 0 [ < > ] [ < > ] [ - 0] 89. > 0 [ < > 8 ] > 9 [ < < < > ] 9. 0 [ -] [ R ] > 0 [ -9 < < - v > -] 9. > [ < < ] < [ 0 < < 5 5 < < 0 ] > 0 [ > -] > 0 [ -] 98. < [ 5 < < 0 < < ] 99. < 0 [ < - ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

19 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Frtte 00. > [ 6 < < 0, ] > 0 [ < - v > -] > 0 [ < - v > - - ] 0 [ 0] < 0 [ - < < - v - < < -] > 0 [ < - v - < < - v > 0] < 0 [- < < - -] > [ < 8 < < 0 > ] [ < ] 09. ( )( ) > 0 [ < - v > ] 0. 0 [ < -]. 0 [ 0 -]. < 0 [ < - v - < < 0 v > ] [ < < < < ] [ ] 5. Le disequzioni ( 5)( ) > 0 5 e > 0 sono equivlenti? Motiv l rispost. Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

20 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Frtte 6. Le disequzioni ( 5)( ) 0 5 e 0 sono equivlenti? Motiv l rispost. Complet A. 0 B. < 0 per.. per C. ( ) 5 0 per D. > 0 per E....6 < 0 R F....5 < 0 R G....9 > 0 < > H < 0 7 < < I J R Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

21 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Sistemi di disequzioni Sistemi di disequzioni 0 Risolvere il sistem 6 < 0 0 Svolgimo singolrmente le disequzioni: ) 0 0 b) 6 < 0 < < c) 0 R Riportimo nel grfico le soluzioni trovte: Il sistem è verificto < < 0 Risolvere i seguenti sistemi: 7. > 0 < 0 [ / R ] 5 > 0 8. > 0 [ < 5 > 5 ] 5 > 0 9. < 0 [ < < ] 6 9 > 0 0. < 0 [ / R ] < 0 [ = ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

22 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Sistemi di disequzioni Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009. > 8 ) ( ) ( 0 6 ) ( ) )( ( [ 5 < < ]. > [ 5 < ]. > > [ > < < ] 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ R / ] 6. ( ) 0 0 [ 0 = ] 7. > > [ < < < ] 8. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) > > [ 6 < < ] 9. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) < > [ 0 > ] 0. ( ) < [ R / ]. ( ) < < [ R / ]

23 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Sistemi di disequzioni. < 0 0 [ < < > ] 0. > 0 [ > ]. 5. ( ) 0 > 0 0 > 0 [ / R ] [ ] 6. Un trpezio isoscele h i lti obliqui che misurno (), l bse mggiore misur 8 e bse minore -. Determinre i vlori di ffinché il perimetro si mggiore l mssimo ugule 8. [ > ] 7. Determinre per quli vlori di k l equzione ( k) = k( ) mmette soluzioni comprese tr - e 5. [ k < 6 k > 0 ] 8. Determinre per quli vlori di k l equzione k (k ) k = 0 mmette soluzioni reli e concordi. [ 7 < k < 0 < k < 7 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

24 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di grdo superiore l secondo Disequzioni di grdo superiore l secondo Risolvere l seguente disequzione di grdo superiore l secondo > 0 Per determinre l insieme delle soluzioni di un disequzione di grdo superiore l secondo, dobbimo scomporre in fttori primi il polinomio. Utilizzimo il Teorem di Ruffini e ottenimo: ( )( ) > 0 ponimo ogni fttore mggiore di zero > 0 > > 0 < > Riportimo sopr un rett orientt i vlori trovti, e trccimo in corrispondenz delle linee verticli. Riportimo l insieme di soluzione di ogni singolo fttore ponendo il segno positivo, dove è mggiore di zero, e il negtivo nel verso opposto. Trccimo l termine un line orizzontle e L disequzione è verifict per: < < > Risolvere le seguenti disequzioni di grdo superiore l secondo: [ ] [ ]. 0 [ ]. - - < 0 [ < - v < < ] [ 0]. 8 0 [ - ] 5. 0 > 0 [ < -0 e > 0] > 0 [ > 5] > 0 [ < > ] 8. 0 [ = 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

25 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di grdo superiore l secondo 9. 0 [ = ] [ ] < 0 [- < < 0 v 0 < < ] 5. ( 6)( - 5) > 0 [ < 5 v > 5] [ = - v = ] > 0 [ < - v < < v > ] 55. < 0 [ 0 ] [ 0 ] > > < 0 [ < > ] [ < > ] [ < < ] 60. ³²- =0 [ - v 0 ] [- - v ] 6. 0 < 0 [ 5 0 ] 6. ( ) ( 6) 0 [ ] [ ] 65. (-)(²)(³-)>0 [<- v 0<< v >] < 0 0 ( ) [ / R ] [ ] [ < 0 ] [ < > ] [ < > 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

26 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni di grdo superiore l secondo 7. 80( )( 0)( 0) 7. < 0 8 ( )( 5)( ) ( )( 9 6 ) ( )( ) 7. > 0 ( )( 5 6) ( ) < [ < ] [ R ± ] [ < < ] [ < < ] [ < > ] [ < < ] [ < - v - < < ] [ - v - < < v ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

27 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, disequzioni con vlori ssoluti Disequzioni con vlori ssoluti Equzioni con vlori ssoluti Ricordimo Definizione di vlore ssoluto 0 = < 0 Risolvere l equzione = Ricordndo l definizione di vlore ssoluto l seguente equzione divent = ± cioè: = = e = = 5 Risolvere le seguenti equzioni: 79. = 0 [ = ] 80. = 0 [ = = 0 ] 8. = 0 [ = = ] 8. = 0 [ / R ] 8. = [ = = ] 8. 5 = 6 [ = = ] 85. = = 5 = = [ = ] 87. = 0 [ = 7 v = ] 88. = [ = = ] 5 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

28 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, disequzioni con vlori ssoluti Disequzioni con vlori ssoluti Ricordimo f () < k,k R k < f() < k Risolvere k < f() < k equivle f() < k svolgere il sistem, f() > k f () > k,k R f() < k f() > k Risolvere f () < k f() > k equivle determinre. l insieme S delle soluzioni dell disequzione f() < k. l insieme S delle soluzioni dell disequzione f () > k L insieme delle soluzioni di f() > k,k R è S = S S Risolvere l equzione < < < < 0 < < < > < > L disequzione è verifict per < < < < Risolvere l equzione > < > > 0 > < > < < < 5 5 L disequzione è verifict per: < < < > Risolvere le seguenti disequzioni: 89. < [ < <, ] 90. [ / R ] 9. > [ < < ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

29 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, disequzioni con vlori ssoluti 9. < < 5 e > [ 0 8 ] 9. < [ < > ] 95. < 0 [ ] 96. < 0 [ < ] 97. < [ < < ] 98. [ ] 99. [ 9 7 ] 00. < 5 [ 6 6 ] 0. > [ R ] 0. < [ 5 5 ] 0. [ 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

30 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, disequzioni con vlori ssoluti Complet A. > 0 per.. B. 0 per.. C. > 0 per.. D. > 0 per.. E. > 0 per.. F. 7 0 per.. G. 0 per.. H. 7 > 0 per.. I. > 0 J. > 0 per.. per.. > per K. ( ) 0 L. 7 0 per.. Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

31 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, disequzioni con vlori ssoluti Disequzioni venti tr i loro termini i vlori ssoluti di un o più espressioni contenente l incognit Risolvere l equzione 0 Spostimo l II membro i termini fuori dl vlore ssoluto Applichimo l definizione di vlore ssoluto e ottenimo: 0 < 0 A ) B) Svolgimo i due sistemi e ottenimo 5 S A : e S B : < L disequzione è verifict per S = S A S Risolvere le seguenti disequzioni: B > ( ) < [ R ] [ / R ] [ < ] [ R ] [ / R ] 09. < [ < > ] [ < 0 > ] 0. >. 5 6 [ ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

32 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, disequzioni con vlori ssoluti Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009 Risolvere l equzione 0 Ponimo ogni espressione contenut nel vlore ssoluto mggiore di zero: 0 0 Riportimo in un tbell Ottenimo i seguenti sistemi: < < 0 C) 0 B) 0 ) A Svolgimo i sistemi e ottenimo R : S A / e R : S B / e R : S C / L disequzione è verifict per C B A S S S S = R Risolvere le seguenti disequzioni:. < [ 0 < < ]. < [ 5 > ]. 0 [ ] 5. 0 < [ < ] 6. 0 [ 7 ] 7. 0 [ R ]

33 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Irrzionli Disequzioni Irrzionli Condizioni di esistenz Ricordimo Rdicli di indice pri condizioni di esistenz: rdicndo mggiore o ugule zero. Rdicli di indice dispri condizioni di esistenz: esistono per qulsisi vlore rele. Clcolr le condizioni di esistenz dei seguenti rdicli ) b) ) Si trtt di un rdicle con rdice di indice pri quindi l condizione di esistenz è porre il rdicndo mggiore o ugule zero cioè 0 d cui B) Si trtt di un rdicle con rdice di indice dispri quindi qulsisi vlore viene dto ll vribile il rdicle esiste sempre l soluzione è R Clcolre le condizioni di esistenz dei seguenti rdicli: 8. [ ] 9. [ < 0 ] 0. [ 0 ].. [ ] [ 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

34 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Irrzionli Disequzioni irrzionli semplici Risolvere l disequzione Osservzioni Il primo membro è un rdicle di indice pri che, esiste solo se il rdicndo è mggiore l mssimo ugule zero. Il secondo membro dell disequzione è un numero positivo. Per svolgere l disequzione irrzionle dobbimo porre l condizione di esistenz del rdicndo, ed elevre l qudrto entrmbi i membri. Ottenimo il seguente sistem: L disequzione è verifict per 9 Risolvere le seguenti disequzioni:. [ ]. > 0 [<0 v >] 5. [ ] 6. 9 > 5 [ - v ] 7. 5 > 6 [ > /] 8. < 8 [ 0 < 6 ] > [ < < ] > [ > /7 ]. [ 0 0 ]. [ / R ]. > [ > ]. > 0 [< v >] Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

35 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Irrzionli 5. < [ > - / ] Disequzioni con due rdicli Risolvere l disequzione Osservzioni Il primo e il secondo membro sono rdicli di indice pri che, esistono solo se i rdicndi sono mggiori o l mssimo ugule zero. Per svolgere l disequzione irrzionle dobbimo porre le condizioni di esistenz dei rdicndi, ed elevre l qudrto entrmbi i membri. Ottenimo il seguente sistem: / L disequzione non è verifict per nessun vlore rele di. / R Risolvere le seguenti disequzioni: 6. [ ] 7. [ ] 8. [ ] 9. < [ < ] [ > 5 ]. < [ / R ]. 9 [ ]. 6 > 0 [ > 0 ]. [ / R ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

36 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Irrzionli 5. < [ - ] [ ] 5 5 [ ] Disequzioni dove compre un solo rdicle Ricordimo Indice dispri n f ( ) > g ( ) n f ( ) g ( ) n < f ( ) > g ( ) f ( ) > [ g ( )] n n f ( ) < g ( ) f ( ) < [ g ( )] n Indice pri L disequzione n f() < g() è equivlente l sistem: f() 0 g() > 0 n f() < [ g() ] L disequzione n f() > g() è equivlente : f() 0 f() 0 V g() 0 g() < 0 n f() > ( g() ) Se S è l insieme di soluzioni del primo sistem e S è l insieme delle soluzioni del secondo sistem, l insieme delle soluzioni dell disequzione srà : S = S S Risolvere l disequzione Simo nel cso n f() > g(). Svolgimo L disequzione è verifict per. 7 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

37 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Irrzionli Risolvere l disequzione 9( ) Simo nel cso n f() > g(). Svolgimo 0 9( ) 0 A) < 0 B) 9( ) < 0 0 Svolgimo il sistem A ) = < Svolgimo il sistemb) L insieme delle soluzioni dell disequzione è dt d S = S A SB 5 Risolvere le seguenti disequzioni: 8. [ ] 9. [ ] 50. [ ] [ < ] 5. > ( ) 5. < [ < > ] 5. > [ - v ] 5 5. < 6 [ > ] < [ R, ] 56. < 7 [ < 7 > ] 7 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

38 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Disequzioni Irrzionli [ < ] > [ < 9/] < 6 [ < < ] 60. < [ > ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

39 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Esercizi di riepilogo Esercizi di riepilogo [ ] 6. > 6 [ < < < < > 5 ] 5 6. < 0 7 [ < < < < < ] 5 6. > [ >7] 65. < 0 [ / R ] 66. > 7 [ < - 8] < 7 [0<< v 7<<9] (7 ) 68. > 0 [ 0 < < 7. ] > [ < ] 70. > [ ] 7. [ 7 7 ] 7. < 5 [ < 0 v < ] 7. > 0 [ > ] 7. > 7 0 [ ] [ 0 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

40 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Esercizi di riepilogo [ < 0 ] 77. [ ] > [ 0 ] 79. < 80. > 0 Stbilisci se sono vere o flse le seguenti impliczioni A. > < > Vero Flso B. 0 R Vero Flso / R C. > 0 Vero Flso D. 6 < 0 / R Vero Flso > R E. Vero Flso / R F. 9 < Vero Flso Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

41 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Esercizi di riepilogo Complet A. > 0 per.. B. > 0 per.. C. > 0 per.. D. 0 per.. E. > 0 per.. F. > 0 per.. G. > 0 per.. H. < 0 per.. I. < 0 per.. J. 0 per.. K. 0 per.. L. 0 per.. M. 0 per.. N. < 0 per.. O. 0 per.. P. 0 Q. < 0 R. ( ) 0 5 S. > 0 per.. per per per Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

42 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Esercizi di riepilogo Scegli l rispost estt. < 0 / R R < > < <. > / R R < > 6 < <. 5 > 0 / R R 5 < > 0 5 < < 0. < / R R < > < < 5. > / R R < > < < Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

43 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Esercizi di riepilogo 6. > / R R > > 7. < / R R < > < < 8. > / R R < > < < 9. > / R 5 < < < < 5 < < Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

44 Disequzioni,Disequzioni e loro proprietà, Esercizi di riepilogo 0. > 0 / R R < 0 < < < < 0 > Complet A....6 < 0 R B....5 < 0 R C....9 > 0 < > D < 0 7 < < E F R Antonell Greco, Rosngel Mpelli - - Grmond 009

45 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte su un rett Geometri Anlitic Pino Crtesino Sistem di coordinte su un rett Ricordimo Pres un rett r orientt, su cui sono stti fissti un origine O e un unità di misur, definimo sistem di coordinte su un rett l corrispondenz biunivoc tr i punti P e i numeri reli P R detti scisse dei punti P Nell figur è disegnt un rett orientt r sull qule e stto fissto un sistem di riferimento; determinimo l sciss dei punti A, B, Q Dto che il punto A si trov sinistr di O l su sciss è negtiv, mentre i punti B e Q sono destr e l loro sciss risult quindi positiv rispetto ll orientmento dell rett vremo perciò: = A( ) = B() = Q() A B Q. Disegn un rett orientt, prendi un unità di misur e posizion i seguenti punti: 5 A A = B B = C C = 0 D D = E E = F 6 6 G G = H H = I I = L L = M M = N F N = 7 =. Nell figur è disegnt un rett orientt r sull qule è stto fissto un sistem di riferimento; determinimo l sciss dei punti A, B, C, D, E, F Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

46 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte su un rett Distnz fr due punti sull rett Ricordimo d(ab) d(ab) d(ab) = A B distnz orientt di A d B = B A distnz orientt di B d A = distnz ssolut di A d B A B Clcolimo l distnz tr A(-5) e B( ). d(ab) = A B = 5 = 8 = 8 Quindi l distnz tr i punti A e B è 8 Clcol l distnz ssolut tr le seguenti coppie di punti:. A( ) B(). A( ) B() 5. A( ) B( ) 6. A() B( ) 7. A( ) B( ) Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

47 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte su un rett Punto medio sull rett Ricordimo Dti due punti su un rett orientt A e B di sciss rispettivmente A e B l sciss del punto medio M A B del segmento AB è M = Clcolimo l sciss del punto medio del segmento di estremi A(-) e B(5). A B 5 M = = = Quindi l sciss del punto medio M è Clcol l sciss del punto medio del segmento di estremi 8. A( ) B() 9. A( ) B() 0. A( ) B( ). A() B( ). A( ) B( ) Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

48 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino Sistem di coordinte nel pino Ricordimo Per individure un punto A in un sistem di ssi crtesini ortogonle dobbimo ssegnre un coppi ordint di numeri reli A( A,y A ) dove: - A indic l sciss del punto A cioè l distnz sull sse delle del punto A dll origine degli ssi - y A indic l ordint del punto A cioè l distnz sull sse delle y del punto A dll origine degli ssi y vengono chimte le coordinte del punto A - A A Assegn ciscun punto rppresentto in figur le sue coordinte. Gurdndo l figur le coordinte dei punti A,B,C,D,E sono A (,) B(, ) C (,) D(,) E(, ). In un sistem di ssi crtesini disegn i seguenti punti, dopo ver preso un unità di misur pproprit: A (,) B (, ) C (0,) D (, ) E (, ) F (, ) G (, ) H ( 0, ). Assegn ciscun punto rppresentto in figur le sue coordinte A(.) B(.) C(.) D(.) E(.) F(.) Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

49 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino Distnz fr due punti Ricordimo d(ab) d(ab) d(ab) = y A yb I punti hnno stess sciss = A B I punti hnno stess ordint ( A B ) (y A yb ) = I punti hnno coordinte diverse Clcol l misur del perimetro del tringolo che h come vertici i punti A(5,6) B(,) C(5,) Dobbimo clcolre l misur dei segmenti AB, BC, AC. Se osservimo le coordinte dei punti notimo che: i punti A e C hnno l stess sciss e quindi si trovno su un rett prllel ll sse delle y; mentre B e C hnno l stess ordint e quindi si trovno su un rett prllel ll sse dell scisse. Per clcolre BC: d(bc) = B C = 5 = = Per clcolre AC: d(ac) = y A yc = 6 = Per clcolre AB: d(ab) = ( A B ) (y A yb ) = (5 ) (6 ) = 9 6 = 5 = 5 Il perimetro del tringolo è dto d p = 5 = 5. Clcol l distnz fr le seguenti coppie di punti. A(,) B(, 5) A(, ) B(, ) [ 8 ;] b. A(,) B(, 5) A(,) B(, ) 89, 6 c. A(,) B(, ) A(,) B(, ) 5 0 ( ); 5 6. In un pino crtesino sono dti i punti A(,);B(, 5);C(, );D(,).Verificre che l distnz tr A e B si il doppio di quell tr C e D [ AB = 0;CD = 0] 7. Nel pino crtesino sono dti i punti A(,);B(, 5);C(,6) Verific che il tringolo si isoscele e clcol il perimetro 8. Dti i punti A(, -), B(, -5), C(5, -/) verific che sino i vertici di un tringolo rettngolo. 9. Trov il punto C dell sse delle equidistnte d A( 6,) e d (,) [ p = 6 5] B [ C(,0) ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

50 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino Punto medio di un segmento nel pino Ricordimo A B y A yb M, coordinte del punto medio M B[(M A ),(ym y A )] coordinte del secondo estremo B di un segmento conoscendo le coordinte del punto medio M Trov le coordinte del punto medio M del segmento di estremi P(-,6) e Q(,-) Bst pplicre l relzione A B y A yb 6 M, quindi M, cioè M (,) Dto il punto A(,-5) e M(,) punto medio del segmento AB trovre le coordinte del punto B secondo estremo del segmento. Indichimo il punto B(B,yB ), ricordimo l relzione A B y A yb M, sppimo cioè che A B y A yb M = e che ym = sostituendo le coordinte di A e di M ricvimo B 5 yb = e = d cui ricvimo le coordinte di B (,) 0. Trov le coordinte del punto medio M del segmento che h come estremi le seguenti coppie di punti 5 5. A(, ) e B(,) A(,) e B(, ) M (0, );M( ;) 7 b. A(,) e B (,5) A(,) e C(5, ) M (, );M(, ) 7 c. A (, ) e B (, ) B(,) e C(, ) M (, );M( ;) 8. Rppresent il tringolo di vertici A(-7;-) B(;) C(; -) Trov i punti medi M e N rispettivmente dei lti AB e BC Verific che il segmento MN bbi lunghezz ugule metà di AC. [ M(,);N(,0) ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

51 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino. Il punto medio di un segmento h le coordinte M(, 5) e uno degli estremi è il punto B(, ),trovre le coordinte dell ltro estremo A [ A(5, 7) ]. Dti i punti A(,), B (,5) C(,0) vertici di un tringolo determin le lunghezze delle tre medine 5, 58 5,. Dti i punti di coordinte A(,) e B (, ), trovre per qule vlore del prmetro il punto 5 medio di AB h coordinte uguli = Bricentro di un tringolo Ricordimo A B C y A yb yc G =, yg = coordinte del bricentro di un tringolo dti i tre punti A( A,y A ), B(B,yB ) e C(C,yC ), vertici di un tringolo I punti A(7,5), B(,) e C(,6) sono i vertici di un tringolo. Clcolre il punto d incontro delle sue medine. Il punto d incontro delle medine è il bricentro G del tringolo, ricordimo le relzioni A B C y A yb yc G = e yg = sostituendo le coordinte dei tre vertici e trovimo: G = = e y G = = = le coordinte di G, Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

52 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino 5. Clcolre il bricentro dei tringoli che hnno per vertici i seguenti punti: 5. A(;) B(5;0) C(-;) G ( ; ) b. A(-;) B(;) C(;-) G ( ; ) c. A(-;) B(;) C(;-) G ( ;) 6. I punti A(-,5), B(,-) e C(,) sono i vertici di un tringolo. Clcolre il punto d incontro delle sue medine. 7 G ( ; ) 7. Dti i punti A(m;), B(-m;0) e C ( m;),vertici di un tringolo trov il vlore di m spendo che il punto P(;) è il bricentro [ m = 6] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

53 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino Il metodo delle coordinte e i teoremi di geometri Euclide Ricordimo E possibile dimostrre lcuni teoremi di geometri utilizzndo il metodo delle coordinte, trducendo gli enti geometrici e le loro proprietà in lgebrici e poi si eseguono i clcoli Verific nliticmente che in un tringolo rettngolo l medin reltiv ll ipotenus è l metà dell ipotenus stess. Prendimo un sistem di riferimento opportuno, ponimo il tringolo rettngolo con i cteti sugli ssi crtesini in modo che i vertici bbino coordinte A(0;0), B(;0) e C(0;b). b Clcolimo M punto medio di CB M ;. Trovimo l misur dell ipotenus CB e dell medin reltiv ll ipotenus cioè CB = ( 0) (0 b) = b e b AM 0 0 = b che = d cui possimo ricvre AM = CB 8. Verific nliticmente che in un trpezio isoscele le digonli sono congruenti 9. Verific nliticmente che in un prllelogrmm le digonli si dividono scmbievolmente per metà 0. Verific nliticmente che in un trpezio il segmento che congiunge i punti medi dei lti obliqui è congruente ll semisomm delle bsi. Verific nliticmente che le digonli di un rettngolo lo dividono in due tringoli rettngoli congruenti. Verific nliticmente che in un tringolo isoscele le medine reltive i lti congruenti formno con l bse due tringoli isoperimetrici. Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

54 Geometri nlitic,pino crtesino, sistem di coordinte nel pino Luogo geometrico Ricordimo Definimo luogo geometrico l insieme di tutti e soli i punti del pino che soddisfno un dt proprietà Trov il luogo geometrico dei punti del pino equidistnti di punti A(,) e B(-,). Trovre il luogo geometrico dei punti del pino vuol dire considerre un punto generico del pino P(,y) e trovre l distnz di P di punti A e B, cioè trovre le misure dei segmenti PA e PB e porle uguli PA=PB. Clcolimo l distnz AP ( A P ) (y A yp ) = ( ) ( y) BP (B P ) (yb yp ) = ( ) ( y) ( ) ( y) = ( ) ( y) qudrto / 9 y/ 6y = / 6 y/ 8y = e l distnz = uguglimo le due distnze svolgimo i clcoli ed elevimo mbo i membri l il luogo geometrico cercto è: y 6 0 = 0. Trov il luogo geometrico dei punti del pino per si pri l somm delle coordinte [ y = ]. Trov il luogo geometrico dei punti equidistnti di punti A(,) e B(-,6). Verific se i punti A(-,) e B(,-7) pprtengono l luogo geometrico [ y 8 0 = 0;si;no] 5. Trov il luogo geometrico dei punti del pino per cui l ordint è tripl dell sciss [ y = ] 6. Trov l sse del segmento di estremi A(;) e B(-;) [ 8 y = 0] 7. Trov il luogo geometrico dei punti del pino tli che l distnz dl punto A(;) si l metà di quell dl punto B(-;-) [ y 0 0y = 0] 8. Trov il luogo geometrico dei punti del pino che hnno distnz dl punto A(;) [ y y = 0] 9. Trov l equzione che rppresent l circonferenz di centro C(;0) e rggio. (ricord l definizione di circonferenz) [ y = 0] 0. Considerte le due rette prllele r di equzione y-=0 e r' di equzione y-=0, determinre il luogo dei punti equidistnti dlle due rette. [ y = ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

55 Geometri nlitic,pino crtesino, esercizi di riepilogo Esercizi di riepilogo. Dti i punti A(,), B(6,), C(5,) dopo verli disegnti in un pino crtesino clcol:. Il punto medio di AB 9 b. Verific che il tringolo ABC è isoscele (, ). Trov il punto P dell sse delle y equidistnte d A (,) e d B( 8, ) [ P (0,6)]. Rppresent il tringolo di vertici A(-6;-) B(;-8) C(;/).Trov M punto medio di BC e verific che l misur dell medin AM è ugule ll metà di BC 5 M (, ). Verific che il tringolo di vertici A (,0), B(,0), A(0, ) è equiltero. 5. Rppresent il tringolo di vertici A(-7;-) B(;) C(; -) Trov i punti medi M e N rispettivmente dei lti AB e BC Verific che il segmento MN h lunghezz ugule metà di AC. 6. Dti i punti A(6, -), B(, -8), C(, /) verific che sono i vertici di un tringolo rettngolo 7. Trov i punti P di sciss doppi dell ordint che hnno distnz pri 5 dl punto A(6;-) [ P (,),P(6,)] 8. Dti i punti A(k;) e B(;-k) determinre il prmetro k in modo che il segmento AB = 8 9. Dti i punti A(0;0) B(;0) C(;k) qunto deve vlere il prmetro k ffinché il tringolo si rettngolo? 50. Determinre l sciss del punto A di ordint che pprtiene ll curv di equzione y 5 8 = 0 trov poi l distnz di A dgli ssi crtesini. [ A (;6);;6 ] 5. Si consideri il qudriltero di vertici O(0;0), A(;0), B(;), C(;). Dimostrre che è un prllelogrmm e verificre che le digonli si dividono scmbievolmente metà 5. Spendo che le coordinte degli estremi del lto AB di un prllelogrmm sono A(-;), B(;-) e che il punto di incontro delle digonli è P(;), trovre le coordinte degli ltri vertici del prllelogrmm [ C (5;0),D(;6) ] 5. Dto il tringolo di vertici A(;0), B(0;-), C(;), verificre che h l re doppi di quell del tringolo A B C che h i vertici nei punti medi del tringolo ABC Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

56 Geometri nlitic,pino crtesino, esercizi di riepilogo 5. Si consideri il segmento AB, si prend su di esso due punti M e N in modo tle che il segmento risulti diviso in tre prti congruenti. Spendo che A(;-), M(;), clcolre le coordinte dei punti B e N e l misur di ciscun prte. [( 7; 5),(; ); ] 55. Trov l equzione del luogo geometrico dei punti del pino equidistnti d A(-;), B(;0). Trov poi l re del tringolo che bbi come terzo vertice il punto C pprtenete tle luogo geometrico e di sciss null y = 0;A = 55 8 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

57 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni L rett Rett e le sue equzioni Equzioni di rette come luogo geometrico Ricordimo y = h h R equzione di un rett prllel ll sse delle scisse = 0 equzione dell sse delle ordinte y = h h R equzione di un rett prllel ll sse delle scisse = k k R equzione di un rett prllel ll sse delle ordinte y = equzione dell bisettrice del I e III qudrnte y = equzione dell bisettrice del II e IV qudrnte. Tr le equzioni delle seguenti rette individu e disegn quelle prllele ll sse delle scisse:. ) = 0 b) y = 0 c) = 5 d) y = e) y = f) y = g) = h) y = i) y = 0 l) = 0. Tr le equzioni delle seguenti rette individu e disegn quelle prllele ll sse delle ordinte:. ) = 0 b) y = 0 c) = 5 d) y = e) y = f) y = g) = h) y = i) y = 0 l) = 0 5. Tr le equzioni delle seguenti rette individu e disegn quelle delle bisettrici: 6. ) = 0 b) y = 0 c) = 5 d) y = e) y = f) y = g) = h) y = i) y = 0 l) = 0 7. Scrivi l equzione del luogo geometrico dei punti che hnno ordint ugule - 8. Scrivi l equzione delle rette prllele gli ssi e pssnti per il punto A(-,) 9. Disegn e scrivi l equzione dell rett pssnte per il punto A(,-) prllele ll sse delle scisse Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

58 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni 0. Scrivi l equzione dell rett reltiv i seguenti grfici Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

59 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni Equzione rett che pss per origine Ricordimo y = m equzione dell rett che pss per origine degli ssi Scrivere l equzione dell rett che pss per l origine e per il punto A(-,) L equzione dell rett cerct è del tipo y = m, possimo procedere in due modi:. modo Trovimo il coefficiente ngolre ricordndo che se l rett pss per l origine è dto dl rpporto y A delle coordinte del punto A m = = = quindi l equzione dell rett cerct è y = A.modo Il punto A deve pprtenere ll rett e quindi soddisfre l equzione y = m, possimo perciò sostituire le coordinte del punto A e trovre il vlore di m = m( ) m = l equzione cerct è y = Prendimo un sistem di riferimento opportuno, ponimo il tringolo rettngolo con i cteti sugli ssi crtesini in modo che i vertici bbino coordinte A(0;0), B(;0) e C(0;b). b Clcolimo M punto medio di CB M ;. Trovimo l misur dell ipotenus CB e dell medin reltiv ll ipotenus cioè CB = ( 0) (0 b) = b e b AM 0 0 = b = d cui possimo ricvre che AM = CB Scrivi l equzione dell rett che pss per l origine e per i seguenti punti:. A(,) y =. A (, ) y =. (,) A [ y = ]. A (, ) y = 8 5. (,) A [ y = ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

60 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni Coefficiente ngolre Ricordimo y y y P Q m = = coefficiente ngolre P Q dove P(P,yP ) e Q(Q, y Q ) sono due generici punti dell rett yp 0 yp m = = qundo uno dei due punti è l origine degli ssi P 0 P Il coefficiente ngolre rppresent l pendenz dell rett, cioè l ngolo che l rett form con l sse delle scisse. Se m > 0 0 < α < 90 - Se m < 0 90 < α < 80 Trovre il coefficiente ngolre dell rett che pss per i punti A(,) e B(-,-/) y yp yq y Ricordndo che m = = vremo m = P Q y = A A y B B = = ( ) 9 = Determin il coefficiente ngolre dell rett cui pprtengono le coppie di punti ssegnte: 6. A(5,) e B(-,) m = 6 7. A(-,) e B(-,) m = 8. A(5,/) e B(-,0) m = 9. A(-,) e B(,) m = 0. A(5,-) e B(0,0) m = 5. A(- ; ) e B(-;-) [m non esiste perché è = -] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

61 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni. Individu il coefficiente ngolre delle rette disegnte nei seguenti grfici Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

62 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni Equzione rett generic Ricordimo y = m q equzione dell rett generic in form esplicit con m coefficiente ngolre, q = ordint ll origine ordint del punto di intersezione dell rett con sse y by c = 0 equzione dell rett generic in form implicit con m = coefficiente ngolre b c q = = ordint ll origine ordint del punto di intersezione dell rett con sse y b Scrivere in form esplicit l equzione dell rett -y5=0 e individu coefficiente ngolre e ordint ll origine L equzione dell rett scritt in form esplicit è del tipo 5 dll equzione cioè y = dove il coefficiente ngolre è y = m q, quindi ricvimo l y m = e l ordint ll origine è 5 q = Scrivi in form esplicit le seguenti rette e individu coefficiente ngolre e ordint ll origine. y =. y = 5. y = 0 6. y = 0 7. y = 0 5 Determin coefficiente ngolre e ordint ll origine delle seguenti rette, senz scriverle in form esplicit 8. -5y-=0 9. y-7= y=0. 9-y=0 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

63 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni Equzione dell rett pssnte per un punto Ricordimo Dto un punto (,y ) P 0 0 e m = m0 utilizzndo l seguente relzione il coefficiente ngolre l equzione dell rett si determin y y0 = m0 ( 0 ) Scrivere l equzione dell rett che pss per il punto P(;) e che h il coefficiente ngolre ugule quello dell rett che pss per i punti A(-;) e B(0;-) Per prim cos ndimo clcolre il coefficiente ngolre dell rett che pss per i punti A e B cioè y y A yb m = = = = 5 ndimo sostituire coefficiente ngolre e coordinte del punto P 0 A B y y0 = m0 ( 0 nell equzione ) ossi y = 5( ) l equzione dell rett cerct è y = 5. Scrivi l equzione dell rett pssnte per il punto P(;-) e vente coefficiente ngolre m = [ y = ]. Scrivi l equzione dell rett pssnte per il punto medio del segmento di estremi A(;) e B(-;) vente coefficiente ngolre m = - [ y = ]. Scrivi l equzione dell rett pssnte per il punto P(0;) e vente lo stesso coefficiente ngolre dell bisettrice del secondo e qurto qudrnte [ y = ] 5. Scrivi l equzione dell rett pssnte per il punto P(;0) e vente lo stesso coefficiente ngolre 5 dell rett di equzione y = [ y = ] 6. Un rett r pss per il punto (;) ed h coefficiente ngolre ugule ½. Un rett t h coefficiente ngolre e pss pr il punto (;-) Clcol le coordinte del punto P d intersezione delle due rette. [P(-;)] 7. Scrivi l'equzione dell rett pssnte per il punto A(,-) ed vente coefficiente ngolre 5. [y = 5 ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

64 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni Equzione dell rett pssnte per due punti Ricordimo Dti i punti P(,y) e Q(,y ) con e y y y y = y y equzione dell rett pssnte per due punti y y = y y condizione di llinemento Scrivere l equzione dell rett che pss per i punti A(-,) e B(, -) L equzione dell rett cerct è del tipo y = m q, possimo procedere in due modi:. modo y y A yb ( ) Trovimo il coefficiente ngolre che è dto d m = = = = = l equzione A B divent y = q per trovre q ricordimo che se un punto pprtiene ll rett le sue coordinte devono soddisfre l equzione, quindi sostituimo le coordinte di uno dei due punti nell equzione 5 trovt es. del punto A = ( ) q risolvimo l equzione e trovimo q = q q = 5 l equzione cerct è y =. modo Tutti e due i punti pprtengono ll rett e quindi devono soddisfre contempornemente l equzione dobbimo cioè risolvere un sistem di due equzioni che h come vribili m e q 5 = ( )m q m = q m = q m = m = = m q = ( q) q = 6 q 5 q = 5 q = 5 l equzione dell rett cerct è y = 8. Scrivi l equzione dell rett pssnte per le seguenti coppie di punti. A( -; ) e B (; ). A(0;-) e B (; ). A(;-) e B(;-). A(;-) e B(7;) 7 5. A(0;-) e B ( ;0) [ y = ] [ y = 0] [ y = 0] [ y 5 = 0] [ 7y 7 = 0] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

65 Geometri nlitic, L rett, Rett e le sue equzioni 9. Stbilisci se i seguenti punti A(;-), B(;-) e C(7;) sono llineti 0. Scrivi l equzione dell rett c pssnte per il punto P (; ) e per il punto medio del segmento AB dove A(-6;9) e B(;) [ y = ] Come disegnre un rett Ricordimo Trovimo delle coppie di vlori che sono soluzione dell equzione linere in due incognite Ricordndo che il coefficiente ngolre rppresent l pendenz dell rett e che y P y = m q. y Q y = = m P Q possimo ffermre che nel pssggio d un punto di sciss minore un punto di sciss mggiore sull rett, m è l incremento dell ordint per ogni unità di incremento dell sciss. Disegnre l seguente rett y = 0 Per prim cos scrivimo l rett in form esplicit y = poi possimo procedere in due modi:. modo Assegnimo dei vlori ll vribile e trovimo i corrispondenti per l vribile y. (Ricordndo che per due punti pss un sol rett bst dre due vlori ll vribile ) = 0 y = e = y =. modo Ricordimo che l ordint ll origine, nel nostro cso q =, rppresent l intersezione dell rett con l sse delle ordinte possimo subito disegnre il punto A(0;q) A(0;), inoltre sppimo che il coefficiente ngolre rppresent l pendenz dell rett e che yp yq y = = m cioè m è l incremento dell ordint per ogni unità di incremento dell sciss, nel P Q nostro cso m =, quindi per pssre dl punto A l punto B possimo spostrci prim verso destr (incremento delle scisse) di unità e poi verso l lto (incremento delle ordinte) di tre unità. Se il coefficiente ngolre fosse stto negtivo per l incremento delle ordinte ci si srebbe spostti verso il bsso.. Disegn in un grfico crtesino le seguenti rette: ) y = b) y = 0 c) y = d) y = e) y = 0 f) y = g) y = h) y 9 = 0 i) y = l) y 5 = 0 5 Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

66 Geometri nlitic, L rett, Rette prllele e perpendicolri Rette prllele e perpendicolri Rette prllele Ricordimo Due rette di equzioni y = m q e y = m' q',non prllele ll sse delle ordinte, sono prllele se e solo se hnno lo stesso coefficiente ngolre m = m' Stbilire se le rette di equzione r) y = e s) y 6 = 0 sono prllele; trovre poi l equzione dell rett prllel r e che pssi per A(-,) Per stbilire se le rette sono prllele devo clcolre i loro coefficienti ngolre e verificre che sino uguli m r = per l rett s posso scriverl in form esplicit e quindi trovo m s =. Le due rette sono perciò prllele Clcolo l equzione dell rett prllel r che pss per A(-,) utilizzo l equzione y y0 = m0( 0 ) dove m = quindi y = ( ) l equzione dell rett cerct è y = 6. Scrivi l equzione dell rett pssnte per P(;) e prllel ll rett y = 0.. Tr le seguenti coppie rette individu quelle prllele ) y = - b) y = - c) y 6 = 0 d) y = 0 e) y = 0 f) y = 0 g) y 6 = 0 h) y = [ y = 0]. Determin il vlore di per cui le rette y = e y = risultino prllele [ = ] 5. Scrivi l'equzione dell rett pssnte per A(,0) e prllel ll rett r di equzione: y = - 5. [y = - 6] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

67 Geometri nlitic, L rett, Rette prllele e perpendicolri Rette perpendicolri Ricordimo Due rette di equzioni relzioni: mm' = y = m q e y = m' q' sono perpendicolri qundo vle un delle seguenti m = m' Stbilire se le rette di equzione r) y = e s) 8 y = 0 sono perpendicolri; trovre poi l equzione dell rett perpendicolre r e che pssi per A(,-) Per stbilire se le rette sono perpendicolri devo clcolre i loro coefficienti ngolre e verificre che vlg l relzione m =, m r = per l rett s posso scriverl in form esplicit e quindi trovo m s = le m' rette sono perpendicolri. Clcolo l equzione dell rett perpendicolre r che pss per A(,-) utilizzo l equzione y y0 = m0 ( 0 ) dove m r = trovo il coefficiente ngolre usndo l relzione m = e trovo m' m = sostituisco nell equzione y y0 = m0 ( 0 ) y = ( ) l equzione dell rett cerct è y = 6. Scrivi l equzione dell perpendicolre ll rett 5y = 0 pssnte per il punto P( ; ). 7. Tr le seguenti coppie rette individu quelle perpendicolri. ) y = - b) y = - c) y 6 = 0 d) y = 0 b. e) y = 0 f) y = 0 g) y 6 = 0 h) y = [5 y = 0] 8. Dte le rett y = 0, - y = 0, y = 0, verific che esse determinno un tringolo rettngolo 9. Scrivi l'equzione dell rett pssnte per A(-,) e perpendicolre ll rett r di equzione y = [y = ] 50. Determinre il vlore di per cui le rette y = e y = risultino perpendicolri [ = ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009

68 Geometri nlitic, L rett, Rette prllele e perpendicolri Posizione reciproc di due rette nel pino Ricordimo Due rette r e s di equzione rispettivmente y = m q e y = m' q' ( o scritte in form implicit by c = 0 e ' b'y c' = 0 ) nel pino possono intersecrsi coincidere o essere prllele, per stbilirlo dobbimo risolvere il sistem: y = m q by c = 0 o y = m' q' ' b'y c' = 0 b Se le rette sono incidenti ' b' b c Se = = le rette sono coincidenti ' b' c' b c Se = le rette sono prllele ' b' c' Stbilire se le rette di equzione r) y = 5 e s) y = sono incidenti, coincidenti o prllele. b c Per stbilire se le rette sono incidenti, coincidenti o prllele devo clcolre i rpporti,, e trovo: ' b' c' b b =, = quindi le rette sono incidenti perché. Per trovre il punto d incidenz devo ' b' ' b' y = 5 = y 5 = y 5 = risolvere il sistem uso il metodo dell sostituzione y = 6y 0 y = y = y = A(;) è il punto che le due rette hnno in comune 5. Stbilisci se le seguenti rette sono incidenti, coincidenti o prllele.. y = 9 e y = [incidenti P(;-)] b. y = 0 e y 7 = 0 [prllele nessun intersezione] c. y = 0 e y = 0 [incidenti P(;-)] d. y = 0 e y = 0 [prllele nessun intersezione] e. y = 0 e y = 0 [incidenti P(-;)] f. y = 0 e y = 0 [incidenti P(;-)] g. y = 0 e y = [coincidenti infinite intersezioni] h. y = 0 e y = 0 [prllele nessun intersezione] i. = 0 e y = 0 [incidenti P ( ;) ] Antonell Greco, Rosngel Mpelli Grmond 009