PROPRIETA DELLE POTENZE FUNZIONE ESPONENZIALE

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1 PROPRIETA DELLE POTENZE Sino,b,s,t R,b Vlgono le seguenti proprietà: ) s t = s t Il prodotto di potenze dell stess bse è un potenz dell stess bse che h come esponente l somm degli esponenti ) s s t = t ) ) s = s ) s t = s t s 6) t s t (t N = ) 7) b s = s b s (Proprietà distributiv dell potenz rispetto ll moltipliczione) FUNZIONE ESPONENZIALE Supponimo di depositre in bnc un cifr C e di non toccrl per nni Ogni nno l bnc ggiungerà quest cifr l mmontre dell interesse, clcolto moltiplicndo l importo presente sul conto per il tsso d interesse i: nno sldo inizile interesse sldo finle = sldo inizile + interesse C Ci C Ci=C i C i C i i C i C i i=c i i =C i C i C i i C i C i i=c i i =C i C i Si vede che l somm disposizione ument in modo esponenzile rispetto l tempo trscorso Molti fenomeni economici, fisici, biologici seguono ndmenti di questo tipo, d cui l esigenz di definire e studire le funzioni esponenzili Un funzione esponenzile elementre è un funzione del tipo = con R,, R È così dett perché figur ll esponente e non deve essere confus con l funzione potenz n-esim = n /6

2 Assegnimo lcuni diversi vlori d per trccire dei grfici di esempio e chirirci le idee Clcolimo lcuni punti pprtenenti ll funzione = per trccirne il grfico: { = = = { = = = { = = = {= { = { = = = = = = = Procedendo in modo nlogo, ricvimo il grfico di = Osservimo che esso si vvicin più rpidmente ll'sse sinistr e che sle più velocemente destr Clcolimo lcuni punti del grfico di = : {= = = {= = = {= = = {= = = {= = = Il grfico è il simmetrico rispetto ll'sse di quello di = Nturlmente il grfico di = srà il simmetrico di quello di = /6

3 L ndmento del grfico dell funzione = verificti i ftti seguenti: dipende quindi dl vlore di, m risultno sempre R,, R = R Se è un numero positivo, tutte le sue potenze con qulsisi esponente, sono nche numeri positivi Quindi, il grfico di ogni funzione esponenzile elementre gice tutto nel o e o qudrnte, dove Si può nche dire che l funzione esponenzile h per dominio R e per codominio R R,, = = = = Il punto P ; pprtiene l grfico di ogni funzione esponenzile elementre L sse è un sintoto orizzontle (destro o sinistro) per l funzione Il grfico di tutte le funzioni esponenzili elementri si vvicin indefinitmente ll sse qundo tende + o Spesso i fenomeni nturli sono descritti d funzioni esponenzili venti per bse un numero specile, detto numero di Nepero ed indicto con l letter e Questo numero non si può scrivere sotto form di frzione (è irrzionle) né utilizzndo le rdici (è trscendente) Il suo vlore, pprossimto ll 7 cifr decimle è,7888 L funzione =e è generlmente chimt LA funzione esponenzile Il suo grfico, intermedio fr due di quelli rppresentti pg, è tle che in ogni punto il coefficiente ngolre dell rett tngente ll funzione nel punto h lo stesso vlore dell ordint del punto Non sono funzioni esponenzili quelle con bse = oppure < Inftti, per = si vrebbe =, cioè l rett prllel ll sse delle scisse = Si escludono nche tutte le bsi perché non si potrebbero clcolre le potenze R /6

4 OPERAZIONI E LORO INVERSE Alcune operzioni sono definite direttmente, ltre invece sono definite come inverse di queste Ad esempio l definizione di sottrzione è l seguente: è l differenz tr e b se e solo se è l somm di b e Nell seguente tbell compiono ffincte le operzioni più comuni e le loro inverse: ADDIZIONE b b, = ddendi = somm SOTTRAZIONE = b = differenz = minuendo b = sottrendo MOLTIPLICAZIONE b b, = fttori = prodotto DIVISIONE = :b = quoziente = dividendo b = divisore b POTENZA n-esima n = bse n = esponente = potenz n-esim n N RADICE n-esima ARITMETICA n = rdice n-esim n = indice = rdicndo n N Se l sottrzione è l invers dell ddizione, si può dire nche che l ddizione è l invers dell sottrzione, cosicché le operzioni formno coppie di inverse Inoltre, se voglimo risolvere un equzione in cui l incognit prtecip d un operzione, dobbimo pplicrne l invers Ad esempio, dt l equzione, estrimo l rdice terz di entrmbi i membri e ricvimo LOGARITMI Considerimo or l equzione b, con,b>,, in cui l incognit figur come esponente Per risolvere l equzione occorre trovre l esponente cui bisogn elevre l bse per ottenere il numero b Definimo quindi un operzione che si invers dell esponenzile e l chimimo logritmo: il logritmo in bse di b (con,b>, ) è quel numero rele tle che b /6

5 Completimo or l tbell delle inverse: ESPONENZIALE IN BASE b = bse = esponente b = esponenzile >, b> LOGARITMO IN BASE log = logritmo = bse b = rgomento >, b> b Le due equzioni b e log b sono quindi equivlenti PROPRIETA DEI LOGARITMI Dlle proprietà delle potenze si ricvno le corrispondenti proprietà dei logritmi (,b,c>, ): ) s t = s t log b c =log b log c ) Se le bsi sono uguli, l esponente del prodotto è l somm degli esponenti s s t = log t Se le bsi sono uguli, il logritmo del prodotto è l somm dei logritmi b c =log b log c ) log = ) s = s log b=log b ) s t = s t log b t =t log b 6) s t s t ( t ) log t = b= t log b ( t L proprietà 7) delle potenze non h un equivlente per i logritmi Esiste però un ltr proprietà dei logritmi, dett del cmbimento di bse: 7) log b logb c log c Dim: Ponimo (*) log b, logb c, z log c z cioè si (#) b, b c, c z Dlle ultime due di (#) risult b Essendo per l prim di (#) b, si può sostituire nell precedente e si trov z d cui si ricv z M ricordndo le (*) quest è proprio l tesi /6

6 FUNZIONE LOGARITMICA Si chim funzione logritmic elementre un funzione del tipo R log, con,, Il grfico dell funzione logritmic =log si ricv d quello dell funzione esponenzile =, di cui è l invers, operndo l simmetri rispetto ll bisettrice del e qudrnte Bse Bse : = = log = = = = log L ndmento del grfico dell funzione =log dipende quindi dl vlore di, m risultno sempre verificti i ftti seguenti: Il grfico di gice tutto nel e qudrnte L funzione logritmic f h dominio R e codominio R [ f : R R ] in qunto l su invers esponenzile h dominio R e codominio R Il punto P ; pprtiene l grfico di ogni logritmic L sse è un sintoto verticle sinistro per l funzione Il grfico di tutte le funzioni logritmiche elementri si vvicin indefinitmente ll sse qundo ssume vlori positivi che tendono L insieme di tutti i logritmi clcolti rispetto d un bse fisst prende il nome di sistem di logritmi Poiché lcuni fenomeni nturli sono descritti d funzioni logritmiche venti per bse il numero e, è molto usto il sistem dei logritmi in quest bse, detti logritmi nturli o neperini Per brevità invece che log e si scrive ln Anche i logritmi in bse trovno frequenti ppliczioni pertnto l scrittur log viene bbrevit con log 6/6