Teoria in pillole: logaritmi

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1 Teori in pillole: logritmi EQUAZIONI ESPONENZIALI Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo, con > 0 e > 0 ; è l' incognit dell' equzione. Un'equzione esponenzile del tipo può essere impossiile, indetermint o determint : impossiile se 0, oppure e ; esempio : oppure ; indetermint se, ; esempio : ; determint se > 0,, > 0 ; esempio :. Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile : se e si possono scrivere come potenze (rzionli) dell stess se, si eguglino gli esponenti : 8 ; nel cso in cui e non sino esprimiili come potenze (rzionli) nell stess se, srà possiile esprimere solo ttrverso un nuovo opertore: il logritmo. LOGARITMI Con > 0,, > 0, diremo che è il logritmo in se di, e scriveremo log, se è l'unic soluzione dell'equzione esponenzile elementre, cioè l'esponente d ssegnre ll se per ottenere il numero : log. Dll definizione dt risult evidente che il logritmo è l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul logritmo: fisst l se >0, deve essere >0, in qunto è sempre > 0. Inoltre vlgono i csi prticolri: 0 log 0, poichè ; log, poichè. nel cso in cui e non si possno esprimere come potenze (rzionli) dell stess se, l introduzione del logritmo consente di esprimere le soluzioni dell equzione esponenzile nell form log. Nel cso dell equzione log. Dll definizione di logritmo e dlle proprietà delle potenze si ricvno con fcilità le seguenti relzioni:. log 0. log. n n > 0 > 0; log > 0

2 . log 0; >, >0 Sono fcilmente dimostrili le seguenti proprietà dei logritmi: ) log c log + log c (,, c > 0); ) log log - logc c (,, c > 0); ) k log k log (,, c > 0 ; k R ) ; ) logc log logc (,, c > 0); formul di cmimento di se nei logritmi.. n m m log log n > 0, > 0; mn, Ν. Operndo sulle si, dll segue: 6. log log c log c 7. log log I logritmi comunemente utilizzti dlle clcoltrici tscili sono in se 0 oppure in se e,78. Il tsto che permette di clcolre log0, detto nche logritmo decimle, sulle clcoltrici è normlmente indicto con il simolo Log oppure log ; mentre con ln si intende indicre il log e, detto nche logritmo nturle o neperino. Funzione logritmic Fisst l se > 0 e, chimeremo funzione logritmic ogni funzione che d R ssoci y log. L funzione logritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmiti rispetto quelli dell funzione esponenzile. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttriuire è R + ; il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R. Si distinguono due csi. Con > : l funzione è crescente: > log > log ; Con 0 < < : l funzione è decrescente: > log < log ; I grfici dell funzione logritmic reltivi i due csi si ottengono d quelli dell funzione esponenzile +

3 per simmetri rispetto ll isettrice del I e III qudrnte ( y ) ; essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice logritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più logritmi. L'equzione logritmic più semplice (elementre) è del tipo : log, con > 0 e R ; > 0 è l' incognit dell' equzione. L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : Per risolvere un'equzione logritmic conviene:.. (qundo è possiile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo log A( ) log B( ), pplicndo le proprietà dei logritmi; A B ;. determinre le soluzioni dell'equzione ( ) ( ). eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto ;. in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui logritmi (ricordimo che un logritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettili. Esempi. Risolvimo l'equzione:

4 Osservimo che: + e. Quindi è possiile trsformre l'equzione ssegnt nell'equzione: L soluzione dell'equzione dt è quindi.. Risolvimo l'equzione: 7. Isolndo si ottiene: 7. Prendendo il logritmo in se di entrmi i memri si h: 7 log log 7 log.. Risolvimo l'equzione: + 6. Osservimo che:. L'equzione ssegnt è equivlente : Il denomintore, essendo un funzione esponenzile, non può ssumere il vlore zero. Possimo moltiplicre per entrmi i memri, ottenendo: ( ) E' evidente l struttur di equzione lgeric di II grdo nell'incognit Ponendo t si h: t 6t+ 8 0che risolt fornisce le soluzioni oppure d cui: oppure.. Risolvimo l'equzione logritmic: log + log log. ( ) ( ) Imponimo le condizioni di esistenz sui logritmi dell'equzione dt, ricordndo che gli rgomenti devono essere positivi: + > 0 > > 0 > > > 0 > 0 cioè ll vriile si possono ssegnre solo i vlori mggiori di. Risolvimo l'equzione pplicndo l proprietà ) dei logritmi e osservndo che log : + log log Uguglindo gli rgomenti si h l seguente equzione equivlente:.

5 ±, 7. 7 Il vlore è minore di, quindi non è comptiile con le condizioni di esistenz. L'unic soluzione dell'equzione è dt d: + 7. Esercizi m n m. Tenendo presente che n, scrivi le seguenti potenze sotto form di rdice: 8 ) ; ; ; ) ; ;.. Scrivi le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: 6 ) ; ; 0.; ) ; 9 ; Risolvi le seguenti equzioni esponenzili: ) 6 9 ) 8 c) 6 d) log e) [ ] 7 log 7 log f) 7 log log g) + [ 0; ] h) 9 + [ ; ] log i) 6 + ; log + j) + 0 [ ; log ]. Risolvi le seguenti equzioni logritmiche:

6 ) log ( ) [ 9] ) log ( ) + log log c) log ( ) log( ) log [ ] d) log + log ( ) [ 6] + + e) log ( ) log( + ) log8 ; 9 f) log ( ) log 6