Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

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1 Liceo Scientifico G. Slvemini Corso di preprzione per l gr provincile delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO ALGEBRA

2 PROPRIETA DELLE POTENZE

3 PRODOTTI NOTEVOLI

4 QUESITO

5 SUGGERIMENTO y è un espressione non negtiv Clcol il qudrto..

6 SOLUZIONE y è un espressione non negtiv Clcolimo il qudrto.. y 4y 4 y 4 y Si può ottenere? 4 SI

7 POTENZA DEL BINOMIO

8 QUESITO Qul è l second cifr (prtendo d sinistr) del numero (0 6 +)(0 8 +)(0 4 +)(0 +)(0+)? (A) 0 (B) (C) (D) (E) 4.

9 SUGGERIMENTO Qul è l second cifr (prtendo d sinistr) del numero (0 6 +)(0 8 +)(0 4 +)(0 +)(0+)? (A) 0 (B) (C) (D) (E) 4. Dl prodotto notevole n n n n 0 0 n n

10 SOLUZIONE Qul è l second cifr (prtendo d sinistr) del numero (0 6 +)(0 8 +)(0 4 +)(0 +)(0+)? (A) 0 (B) (C) (D) (E) 4. n n n Dl prodotto notevole n 0 0 n n

11 SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

12 SCOMPOSIZIONE DEL BINOMIO REGOLE DI SCOMPOSIZIONE DEL BINOMIO n ± n ) n pri ( = p ) ) n + n non è scomponiile ) n - n = ( p + p )( p - p ) =.. ) n dispri ) n + n = ( + )( n- - n- + n n- ) ) n - n = ( - )( n- + n- + n n- )

13 QUESITO Frncesco vuole scrivere il polinomio 6 + come prodotto di più polinomi coefficienti interi, ognuno di grdo lmeno. Qunti fttori potrà ottenere l mssimo? (A) (B) (C) (D) 4 (E)

14 SUGGERIMENTO Frncesco vuole scrivere il polinomio 6 + come prodotto di più polinomi coefficienti interi, ognuno di grdo lmeno. Qunti fttori potrà ottenere l mssimo? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 6 0..

15 SOLUZIONE Frncesco vuole scrivere il polinomio 6 + come prodotto di più polinomi coefficienti interi, ognuno di grdo lmeno. Qunti fttori potrà ottenere l mssimo? (A) (B) (C) (D) 4 (E) M è nche vero che Quindi lmeno uno dei due fttori è divisiile per ed i fttori sono lmeno

16 REGOLA DEL RESTO Considerimo un polinomio P() di grdo > Es. P() = Se P() mmette come divisore il inomio (-).... il vlore rzionle pprtiene necessrimente lle frzioni formte di divisori del termine noto e di divisori del primo coefficiente. Tle vlore detto zero o rdice del polinomio, sostituito ll, nnull il polinomio Es. - / P() = + 8 =0 0 P(-) = = 4 0 P(/) = /9 + 8/9 = 0 RESTI DELLA DIVISIONE TRA P() e (-) Il polinomio + 8 è divisiile per il inomio (-/) o (-)

17 REGOLA DI RUFFINI Scomponimo il polinomio con l REGOLA DI RUFFINI / = ( - /)( ) = ( - )( + + ) Trinomio irriduciile perché non esistono due numeri reltivi l cui somm si e il cui prodotto si. Oppure, usndo l regol del resto, perché P(-) e P() 0

18 SISTEMI DI PRIMO GRADO y c y c 0 0 Equzioni di due rette sul pino crtesino Il sistem è determinto se le due rette sono incidenti (m m ) Il sistem è impossiile se le due rette sono prllele (m = m ) Il sistem è indeterminto se le due rette sono coincidenti c c c c

19 SISTEMI DI PRIMO GRADO RISOLUZIONE COL METODO DI SOSTITUZIONE Form cnonic

20 QUESITO Per qunte quterne (,, c, d) di numeri interi non negtivi le tre espressioni - c, - d e + c + cd + d sono tutte uguli 04? (A) 0 (B) (C) 4 (D) 9 (E)

21 SUGGERIMENTO Per qunte quterne (,, c, d) di numeri interi non negtivi le tre espressioni - c, - d e + c + cd + d sono tutte uguli 04? (A) 0 (B) (C) 4 (D) 9 (E) Scomponi i tre polinomi: - c = ( + c)( - c) = A B = = - d = ( + d)( - d) = C D = = + c + cd + d = ( + c) + d( + c) = ( + c)( + d) = A C Quindi A B = C D = A C = 04 = 0..

22 SOLUZIONE Per qunte quterne (,, c, d) di numeri interi non negtivi le tre espressioni - c, - d e + c + cd + d sono tutte uguli 04? (A) 0 (B) (C) 4 (D) 9 (E) Scomponi i tre polinomi: - c = ( + c)( - c) = A B = = - d = ( + d)( - d) = C D = = + c + cd + d = ( + c) + d( + c) = ( + c)( + d) = A C Quindi A B = C D = A C = 04 = 0 B = C e A = D c c Sottrendo memro memro -c = d c = -d. Quindi i numeri c e d dovreero essere opposti, m essendo entrmi non negtivi segue che necessrimente c = d = 0. Riscrivimo le equzioni inizili: = = = 04. Segue che = = =. Quindi l'unic qutern è (,,0,0) d d

23 RADICALI ALGEBRICI Si definisce RADICE n-esim di un numero rele, se esiste, il/i vlore/i : n n indice rdicndo 0 NON HA SIGNIFICATO n R n dispri se 0 n pri

24 REGOLE DI CALCOLO DEI RADICALI

25 RAZIONALIZZAZIONE DEI RADICALI Rzionlizzre un DENOMINATORE signific renderlo RAZIONALE Cso Cso n m n m n nm n nm n nm

26 QUESITO

27 SUGGERIMENTO

28 SOLUZIONE

29 RAZIONALIZZAZIONE DEI RADICALI

30 EQUAZIONI DI GRADO + + c = 0 Formul risolutiv complet: 4c Discriminnte Formul risolutiv ridott: 4 c 0 soluzioni reli distinte 0 0 soluzione rele doppi nessun soluzione rele

31 EQUAZIONI DI GRADO INCOMPLETE Spuri: + = 0 Ammette sempre due rdici reli di cui un null ( > 0) ( ) 0 0 Pur: + c = 0 c c c c soluzioni reli opposte ( > 0) soluzione rele doppi ( = 0) 0 nessun soluzione rele ( < 0) c

32 EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL Scomponimo con il metodo di Ruffini:

33 QUESITO

34 SUGGERIMENTO Considerimo l equzione ) ( ) ( ] ) ( )[ ( ) )( )( ( c c c c c c c Uguglindo: Si ottiene: 7 c 6 c

35 c c 7 7 c c 6 6 SOLUZIONE c

36 QUESITO

37 SUGGERIMENTO Le soluzioni intere del sistem sono le terne (,,).. Verifichimo se esistono ltre soluzioni reli: sreero nche soluzione dell'equzione (t-)(t-y)(t-z) = 0. Sviluppimo: t - (+y+z)t + (y+z+yz)t - yz = 0..

38 SOLUZIONE Le soluzioni intere del sistem sono le terne (,,) (,,)(,,) Verifichimo se esistono ltre soluzioni reli: sreero nche soluzione dell'equzione (t-)(t-y)(t-z) = 0. Sviluppimo: t - (+y+z)t + (y+z+yz)t - yz = 0 Per clcolre y+z+yz sviluppimo (+y+z) = + y + z + (y+z+yz) 49 = 7 + (y+z+yz) y+z+yz = Quindi l'equzione divent t - 7t + t - = 0 che si scompone proprio in (t-)(t-)(t-) = 0. In conclusione non si hnno ltre soluzioni reli ed in totle sono solo (Rispost B)

39 EQUAZIONI RECIPROCHE Sono equzioni crtterizzte dl ftto che per ogni soluzione esiste sempre come soluzione nche l su reciproc (senz considerre il segno) cioe' se ho soluzione =/ vro' come soluzione nche =/ oppure = -/. Si riconoscono per il ftto che, considerndo il polinomio ssocito, i coefficienti equidistnti dl centro del polinomio sono uguli come modulo (possono nche vere segni contrri). 0 4 c 0

40 SOLUZIONE EQUAZIONI RECIPROCHE 4 c Ammette sempre come soluzione + o - e, quindi, è sempre divisiile per ( ± ) Si può sempre trsformre nell equzione equivlente: 0 D risolvere con l posizione: c 0 0 y y

41 QUESITO

42 SUGGERIMENTO L equzione è reciproc.. m l su soluzione è troppo lorios. Trovimo un lterntiv: scomponimo 0 ] ) ( ][ ) ( [ ) )( )( )( ( Il coefficiente del termine è..

43 SOLUZIONE 0 ] ) ( ][ ) ( [ ) )( )( )( ( Il coefficiente del termine è ( 4 ) M, essendo l equzione reciproc, vle 4 4

44 QUESITO

45 SUGGERIMENTO s m r s r r n m n n P P )..( ) ( ) ( )..( ) ( ) ( I fttori di P () sono contenuti in quelli di P (): ) ( Q P P M Q() non può essere..

46 SOLUZIONE s m r s r r n m n n P P )..( ) ( ) ( )..( ) ( ) ( I fttori di P () sono contenuti in quelli di P (): ) ( Q P P 0 Q P M Q() non può essere = perché il grdo di P () è > grdo di P () Quindi esiste lmeno un fttore (-) comune P () e Q() e