Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita Unità Didattica N 11 Le equazioni di secondo grado ad una incognita

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1 86 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ) L definizione di equzione di seondo grdo d un inognit ) L risoluzione delle equzioni di seondo grdo inomplete ) L risoluzione dell equzione di seondo grdo omplet ) Equzioni frzionrie rionduiili d equzioni di seondo grdo 5) Relzioni fr le rdii ed i oeffiienti di un equzione di seondo grdo 6) Somposizione in fttori di un trinomio di seondo grdo 7) L regol dei segni di Crtesio 8) Equzioni di seondo grdo prmetrihe

2 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 87 Equzioni di seondo grdo d un inognit Diesi equzione di seondo grdo d un inognit ogni equzione rionduiile ll seguente form : [*] L [*] è dett nhe form tipi, o normle o noni dell equzione di seondo grdo. termine qudrtio, termine linere, termine noto o terzo oeffiiente primo oeffiiente o oeffiiente del termine qudrtio seondo oeffiiente o oeffiiente del termine linere Risult sempre :. Inftti se fosse, l equzione [*] sree di primo grdo. Se risult :,, l equzione [*] diesi equzione omplet. In so ontrrio diesi inomplet. OSSERVAZIONE N Diesi soluzione o rdie di un equzione d un inognit, ogni numero he, sostituito l posto dell inognit, rende il primo memro numerimente ugule l seondo memro. OSSERVAZIONE N Un equzione di seondo grdo d un inognit mmette due soluzioni he vengono indite oi simoli ed. Nel so di soluzioni reli si pone per onvenzione :, ioè rppresent l rdie minore, mentre rppresent l rdie mggiore.

3 88 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Risoluzione delle equzioni di seondo grdo inomplete L equzione [*] divent : [] e si die equzione di seondo grdo pur. Ess si risolve nell seguente mnier :,, ±,, ESEMPI 9, 9, 9, ± ± 9,, 8, 8, ± 8 ± 9 i, i, i , 6 7, 6 7, ± ± 6,, L equzione [*] divent : [] Ess prende il nome di equzione di seondo grdo spuri. Si risolve nell seguente mnier : ( ) Applindo l legge di nnullmento di un prodotto di fttori srivimo :,,, Le rdii dell equzione [] sono :, ESEMPI, ( ),,,,, 5, ( ) 5,, 5, 5, OSSERVAZIONE 5, L legge di nnullmento di un prodotto di fttori die he se un prodotto di fttori è nullo, llor lmeno uno dei fttori è nullo >>. ALTRI ESEMPI

4 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 89 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ,, ± ±,, ( ) ( ) ( ) 6 9,,, ± ±, ( )( ) ( )( ) ( ) ,,,,, 7 ( )( ) Si trtt di un equzione frzionri in qunto l inognit figur l denomintore. ( ) ( )( ) 7 ; ( ) ( )( ) mm... ±, 6 9 7,,,, Risoluzione dell equzione di seondo grdo omplet

5 9 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Voglimo risolvere l equzione di seondo grdo omplet Si trsport il termine noto l seondo memro : Moltiplihimo mo i memri per : Aggiungimo d mo i memri il numero : ( ), ±, ± ± [] L [] prende il nome di formul risolutiv dell equzione di seondo grdo. Il numero diesi delt o disriminnte dell equzione di seondo grdo. In un equzione di seondo grdo omplet possimo supporre >. In questo so l rdie più piol è : mentre l rdie più grnde è : Il disriminnte dell equzione può essere. Disutimo seprtmente i tre si : ) > : se il delt è mggiore di zero l equzione mmette due rdii reli e distinte, ) : se il delt è ugule zero l equzione mmette due rdii reli e oinidenti, ) > : se il delt è minore di zero l equzione mmette due rdii omplesse e oniugte ESEMPI

6 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit ± ± , 67, 5 6, 6, 6 ± ± 8 6 ± 7 ( ) 7 7 ( ) 7 7 5, 5, 5 ± ± 6 5 ± i 6 5 i 6 5 i 6 Formul risolutiv ridott e ridottissim

7 9 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit L formul risolutiv di un equzione di seondo grdo è : ± [] Ess può sriversi nell seguente mnier : ± ± ± Dividendo numertore e denomintore per ottenimo : ± L [] è dett formul ridott e si ppli qundo il oeffiiente è un numero pri, ioè [] qundo è divisiile per. L espressione diesi disriminnte ridotto. Se poi risult nhe l [] divent : ± [] RIEPILOGO ) L formul ridott si ppli qundo è un numero pri ) L formul ridottissim si ppli qundo è un numero pri ed risult ugule d 8 ± 6 ± ± ± ±,, Relzioni fr le rdii ed i oeffiienti di un equzione di seondo grdo

8 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 9 Tr le rdii ed dell equzione di seondo grdo ed i oeffiienti,, interorrono le seguenti relzioni : Dimostrzione Noi sppimo he :, ( ) 5 5 Applizioni Clolre un rdie di un equzione di seondo grdo qundo onosimo l ltr rdie Bst utilizzre un delle due seguenti relzioni :, Se, d esempio, onosimo, per lolre si proede ome segue : oppure ,,

9 9 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit oppure 6, Srivere l equzione di seondo grdo he i ome rdii due numeri ssegnti Divido mo i memri per, S, P, Pongo : S ( ) P S P REGOLA L equzione di seondo grdo vente ome rdii due numeri dti h il primo oeffiiente ugule l l unità, il seondo oeffiiente è l somm dei due numeri mit di segno, il terzo oeffiiente oinide ol prodotto dei due numeri. Srivere l equzione di seondo grdo vente ome rdii i numeri : 5 5, S 5 5 6, P 5 5 6, 8 Determinre due numeri onosendo l somm S ed il loro prodotto P I due numeri rihiesti oinidono on le rdii dell equzione : S P S 6, P, 6, ± 9 ± 5 5, 5

10 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 95 Somposizione in fttori di un trinomio di seondo grdo Se risult llor è possiile dimostrre he il trinomio di seondo grdo T() può essere deomposto nel prodotto di due fttori di primo grdo seondo l seguente formul : T() ( )( ) dove i numeri ed sono gli zeri del trinomio, ossi le rdii dell equzione ssoit. [ ( ) ] [ ] ( )( ) [ ] ( ) ( ) Se il trinomio h due zeri reli e oinidenti, ioè se llor l preedente formul ssume l seguente form : ( ) Deomporre in fttori il seguente trinomio di seondo grdo 5 8. Gli zeri di questo trinomio oinidono on le rdii dell equzione ssoit 5 8. ± ± 5 ± ( )(5 5 )

11 96 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit Equzioni prmetrihe (k ) k è un equzione prmetri in qunto lmeno uno dei tre oeffiienti dipende d un prmetro. Prmetro di un equzione nell inognit è un letter qulsisi he rppresent un numero il ui vlore non dipende dll inognit. Questo signifi he i vlori numerii he possimo ttriuire l prmetro non dipendono di vlori numeri ssunti dll inognit. Invee i vlori numerii ssunti dlle rdii, dell equzione dt dipendono di vlori numerii he ttriuimo l prmetro k. I prolemi sulle equzioni di seondo grdo prmetrihe si risolvono tenendo presente he : ), ) rdie di un equzione è un numero he, sostituito nell inognit dell equzione, rende il primo memro numerimente ugule l seondo memro ) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono uguli se : ioè se : ) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono opposte se : ioè se : ioè se : 5) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono reiprohe se : ioè se : ioè se : 6) le rdii, di un equzione di seondo grdo sono ntireiprohe se : ioè se : ioè se : Esempi Per qule vlore del prmetro k un rdie dell equzione (k ) k é ugule zero? >> k k Per qule vlore del prmetro k le rdii dell equzione (k ) k sono opposte? >> k k

12 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 97 Per qule vlore del prmetro le rdii dell equzione 5 ) ( sono uguli? >> ) )( ( Per qule vlore del prmetro k un rdie dell equzione k ) (k vle? >> k ) (k () k k 8 k k dt l equzione lolre : ) ) ( ) ) ) ( ) 5) ( ) ( ) 6) ( )

13 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 98 7) ( ) Se l equzione dt h l form q p imo : q p p 8) ( )

14 Unità Didtti N Le equzioni di seondo grdo d un inognit 99 L regol dei segni di Crtesio Considerimo un equzione di seondo grdo rdii reli : [ ] Possimo supporre he si positivo. Inftti, nel so ontrrio, mindo il segno dei oeffiienti,, ottenimo un equzione equivlente ll dt. Definizione : Diremo he i tre oeffiienti,, dell equzione [ ] ( onsiderti nell ordine sritto ) presentno un permnenz ogni volt he due oeffiienti onseutivi hnno lo stesso segno, presentno un vrizione ogni volt he due oeffiienti onseutivi hnno segni ontrri. Si possono presentre i seguenti si : Teorem di Crtesio In ogni equzione di seondo grdo ridott form noni, omplet ed disriminnte positivo o nullo, d ogni vrizione orrisponde un rdie positiv, d ogni permnenz un rdie negtiv. Se l equzione present un rdie negtiv ( ) ed un positiv ( ) llor il vlore ssoluto dell rdie negtiv è mggiore del vlore ssoluto dell rdie positiv ( > ) se l permnenz preede l vrizione, il vlore ssoluto dell rdie positiv è mggiore del vlore ssoluto dell rdie positiv ( > ) se l vrizione preede l permnenz. > Dimostrimo he due permnenze dnno luogo due rdii negtive. > > > > >