Appunti di Algebra Lineare. Mappe Lineari. 10 maggio 2013

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1 Appunti di Algebr Linere Mppe Lineri 0 mggio 203

2 Indie Ripsso di Teori 2. Cos è un mpp linere Aluni ftti importnti Eserizi 4 Ripsso di Teori. Cos è un mpp linere Riordimo he un pplizione (o mpp) linere f : V Ñ W fr spzi vettorili reli è un funzione per ui vlgno le proprietà: f( Ñ u + Ñ v )=f( Ñ u)+f( Ñ v ), f(λ Ñu) =λ f( Ñ u), per ogni Ñ u, Ñ v P V e λ P R. Controllrle entrmbe equivle ontrollre he per ogni Ñ u, Ñ v P V e per ogni λ, µ P R si bbi f(λ Ñu + µ Ñv )=λ f( Ñ u)+µ f( Ñ v ). Un po di terminologi. Sif : V Ñ W un mpp linere. Allor f è dett: un monomorfismo se è iniettiv; un epimorfismo se è suriettiv; un isomorfismo se è biiettiv (ioè iniettiv + suriettiv, ioè mono + epi); un endomorfismo se V = W. un utomorfismo se V = W ed è biettiv. di rngo r se r = dim f(v). Inoltre, definimo Hom R (V, W) =t f : V Ñ W f mpp linere u End (V) =Hom R (V, V) =t f : V Ñ V f mpp linere u. Si osservi he il + eil sinistrdell ugulenonsonoglistessiheisonodestr: infttiognispziovettorile h l su somm e il suo prodotto per slri. Lo stesso vle per le due equzioni sopr. 2

3 .2 Aluni ftti importnti Si f : V Ñ W un mpp linere fr spzi vettorili (d esempio su R). Si V Ď V un sottospzio. Allor: Anhe f(v ) Ď W è sottospzio. In prtiolre, f(v) Ď W è sottospzio di W. Il nuleo di f, ker f = t Ñ v P V f( Ñ v )= Ñ 0 u, è sottospzio di V. Se t Ñ v,..., Ñ v h u sono genertori di V, llor t f( Ñ v ),...,f( Ñ v h ) u sono genertori di f(v ) Ď W. M ttenzione: nhe se i Ñ v i fossero un bse di V (ioè: nhe se dim V = h), non potremmo onludere he dim f(v )=h, m solo dim f(v ) ď h. Inftti un bse non sempre v in un bse. In prtiolre, un bse B = t Ñ u,..., Ñ u n u di V viene mndt in un insieme di genertori di f(v), osì he dim f(v) ď dim V. Si h dim ker f + dim f(v) =dim V. In prtiolre, se W = V, sih Riett. Se n, m sono interi e n ă m, llor: V ker f f(v). (i) Un mpp linere R m Ñ R n non è mi iniettiv (Esempi: R 4 Ñ R 3, R 3 Ñ R 2, R 4 Ñ R 2...); m è suriettiv se e soltnto se l mtrie ssoit h rngo mssimo. (ii) Un mpp linere R n Ñ R m non è mi suriettiv (Esempi: R 4 Ñ R 5, R 2 Ñ R 3, R 2 Ñ R 4...); m è iniettiv se e soltnto se l mtrie ssoit h rngo mssimo. Si hnno infine i seguenti importnti risultti: Theorem.. Se f : V Ñ W è mpp linere, le seguenti ondizioni sono equivlenti:. f iniettivo (ioè monomorfismo); 2. ker f = t Ñ 0 u; 3. f mnd vettori LI di V in vettori LI di W; Theorem.2. Sino V e W dell stess dimensione dim V = n = dim W. Se f : V Ñ W è mpp linere, le seguenti ondizioni sono equivlenti:. f iniettivo (ioè monomorfismo); 2. ker f = t Ñ 0 u; 3. Un bse di V v in un bse di W; 4. f suriettivo (ioè epimorfismo); 3

4 5. f isomorfismo. Riett 2. Dt, d esempio, un mpp linere f : R n Ñ R n, per mostrre he è isomorfismo bst mostrre he vle un (qulunque) delle ondizioni del teorem preedente (l seond sembr l più file d verifire). 2 Eserizi Eserizio 2.. Mostrre he un pplizione linere f : V Ñ W soddisf f( Ñ 0 V )= Ñ 0 W.[Quindi: qundo si ontroll se un pplizione è linere, si potrebbe inizire ontrollndo se mnd vettore nullo in vettore nullo: se iò non de non è linere!] Eserizio 2.2. Mostrre he è linere l mpp f : R 3 Ñ R 2,2 definit d f b 0 b Eserizio 2.3. Dire se sono lineri le seguenti pplizioni:. f : R 3 Ñ R 2,2 definit d f b b 2. L pplizione f : R 3 Ñ R 2 definit d f b + b b 3. L pplizione f : R 3 Ñ R 2 definit d f b + b b L pplizione f : R 3 Ñ R 2 definit d f b 2 b + Eserizio 2.4. Mostrre he se f : V Ñ W è mpp linere e W Ă W è sottospzio, llor nhe f (W )=t Ñ v P V f( Ñ v ) P W u Ă V è sottospzio. Eserizio 2.5. Sino V, W spzi vettorili su R. Mostrre he Hom R (V, W) h struttur di spzio vettorile su R. Qul è l su dimensione? [Consiglio: si usi il legme mpp linere Ø mtrie ssoit] Eserizio 2.6. Dire se W = t p(x) =p 0 + p x + p 2 x 2 p 0 = p + 2 u è sottospzio vettorile di R 2 [x]. No Dire se W = t p(x) =p 0 + p x + p 2 x 2 p 0 = p + 2p 2 u è sottospzio vettorile di R 2 [x]. Sì Trovre l dimensione e un bse di W. 4

5 Eserizio 2.7. Ridurre le seguenti mtrii e trovrne il rngo (o grzie ll riduzione, o on il metodo dei determinnti): A = , B = 0 2 3, C = , D = 2 3, E = 2 2 0, F = , G = r(a) =3, r(b) =2, r(c) =3, r(d) =2, r(e) =2, r(f) =3, r(g) =2 Eserizio 2.8. Dire se le seguenti mtrii sono ridotte per righe e/o per olonne: , 0 0 0, 0 0, Eserizio 2.9. Dire per quli h P R sono invertibili le seguenti mtrii: h 0? 3 h + 2 h 2 A = 0 0 h, B = 0 3 h 2 h?, C = 3 2, D = Selto un tle h per isun, lolrne l invers. Verifite voi stessi di ver ftto giusto, moltiplindo l mtrie trovt per quell inizile, e ontrollndo he tle prodotto di l mtrie identi. Eserizio 2.0. Trovre le inverse delle seguenti mtrii (si riordi he i sono due metodi: quello dei ofttori, per ui A = det A C,doveC è l mtrie dei ofttori di AT ;equellodi riduzione, in ui si ridue l mtrie (A I n ) e si risolvono gli n sistemi lineri ssoiti; possibilmente, si usino entrmbi i metodi): A = 0 0, B = 2 3, C = 4 0, 2 2 / D = 0 2, E = 2 4 3, F = Verifite voi stessi di ver ftto giusto, moltiplindo l mtrie trovt per quell inizile, e ontrollndo he tle prodotto di l mtrie identi. Eserizio 2.. Disutere le soluzioni (esistenz, uniità o meno) del sistem linere & x + y + z = 2x + 3y + 2z = 0 % x + 2y z = 0 Usre Rouhé-Cpelli. 5

6 Eserizio 2.2. Risolvere il sistem linere " x 3z = 5 2y 2x + z = 3 4y ol metodo di Crmer. Si può utilizzre tle metodo nhe per il sistem linere " x + 2y = 5 + 3z? 2x + 4y = 3 z Eserizio 2.3. Si " x + by + z = d x + b y + z = d un sistem di due equzioni in tre inognite (x, y, z), ssoito ll mtrie b A = b. Dimostrre (usndo Rouhé-Cpelli) he tle sistem: h soluzioni se e solo se rk A = 2, oppure rk A = e / = b/b = / = d/d ; non h soluzione nel so restnte, ioè qundo rk A =, e / = b/b = / d/d. In prtiolre, non h mi un uni soluzione. Questo i riord qulos? Dovrebbe riordri le intersezioni fr pini nello spzio Eserizio 2.4. Disutere le soluzioni di & x + 2y + z = 2 x 2y + z = 6 % x 4y + 4z = 3 Risolvere il sistem, d esempio on Crmer (siome è un uni soluzione). Eserizio 2.5. Per quli k P R il sistem & x + y z = 2x + 2y + z = 0 % x + y + 2z = k è risolubile? Trovrne le soluzioni. k = Eserizio 2.6. Risolvere il sistem omogeneo x + y + z = 0 & 2x + y 3z = 0 x y = 0 % 4x + 5y + 2z = 0 trmite riduzione dell mtrie ssoit. 6

7 Eserizio 2.7. Il sistem & 3x + y 2z + t = x + 2y t = 2 % 4x + 3y 2z = 3 può vere un sol soluzione? No H rngo mssimo? No Mostrre he h soluzione se e solo se 3 = + 2, e in questo so i sono 2 soluzioni. In so ontrrio, il rngo dell mtrie omplet è 3 ą 2 e non i sono soluzioni. Eserizio 2.8. Trovre le 2 soluzioni del sistem " 3x + y 2z + t = x + 2y t = 3 Eserizio 2.9. Sino dte le pplizioni lineri R 2 f Ñ R 3 R 3 g x Þ Ñ y y x x + 3y Ñ R 3 u v Þ Ñ w u + 2w u + v 2v + w Srivere, rispetto lle bsi nonihe, le mtrii M f P R 3,2, M g P M 3,3, M g f P R 3,2. Verifire he 2 7 = M g f = M g M f. 3 3 Eserizio Srivere, rispetto lle bsi nonihe di R 4, l mtrie ssoit ll mpp linere f è un isomorfismo? f f : R 4 Ñ R 4 x x + y y z Þ Ñ z t t t y Eserizio Risolto (mtrie di pssggio). Si B = t e, e 2, e 3 u l bse noni di R 3 e C = t, 2 u l bse noni di R 2. Prendimo due ltre bsi:, & 0. B = % f = e e 2 =, f 2 = e e 3 = 0, f 3 = e 2 + e 3 = - 0 " * 0 C = + 2 =, 2 = 7

8 Si f : R 3 Ñ R 2 l mpp linere ssoit, medinte le bsi nonihe, ll mtrie 0 A =. 0 Trovre l mtrie M C,B f. Soluzione. L mtrie di pssggio d B B è l mtrie N ssoit ll utomorfismo di R 3 dto d e i ÞÑ f i : tle mtrie h nelle sue olonne le omponenti di f i nell bse B, ioè: N = Allo stesso modo, l mtrie di pssggio d C C è l mtrie P ssoit ll utomorfismo di R 3 he mnd ÞÑ + 2, 2 ÞÑ 2. Le olonne sono quindi le omponenti di + 2 edi 2, rispettivmente, lette nell bse C. Quindi: 0 P L mtrie ert è M C,B f = P A N. Quindi: = M C,B f = P A N = 8