Metodologie informatiche per la chimica

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1 Metodologie informtihe per l himi Dr. Sergio Brutti Mtrii

2 Prodotto tr mtrii d Dte mtrii x Il prodotto delle due mtrii produe un nuov mtrie on un numero di righe pri l numero di righe dell mtrie e numero di olonne pri l numero di olonne dell mtrie. Il prodotto tr mtrii è possiile solo se il numero di olonne dell mtrie orrisponde l numero di righe dell mtrie. e g e d g f f e g h d h f h Ciò he si f è un somm di prodotti rig-olonn ' d ' e d' ' e'... d d' d'' ' d d' e e e' e'' '

3 Prodotto tr mtrii Dte mtrii non qudrte in ui il numero delle righe dell mtrie orrisponde l numero delle olonne dell mtrie. d e d' e' d e Il prodotto delle due mtrii è d ' e d ' e d ' e d' ' e' d' ' e' d' ' e' d ' e d ' e d ' e L mtrie finle è un mtrie qudrt (sempre) he h ome numero di righe e olonne il numero di righe dell mtrie (o il numero di olonne dell mtrie )

4 Prodotto tr mtrii - esempio Dte mtrii x Il prodotto delle due mtrii è Dte mtrii non qudrte Il prodotto delle due mtrii è 9

5 Rngo di un mtrie Dt un mtrie x Si definise rngo dell mtrie il numero mssimo di olonne o righe linermente indipendenti dell mtrie stess. Condizioni di linerità tr olonne o righe. d e e d d Il rngo di un mtrie può essere solo minore o ugule l minore tr il numero di righe e olonne.

6 Rngo di un mtrie - esempio Dt un mtrie x Si definise rngo dell mtrie il numero mssimo di olonne o righe linermente indipendenti dell mtrie stess. Condizioni di linerità tr olonne o righe. Il rngo dell mtrie preedente è

7 Rngo di un mtrie - esempio Dt un mtrie x Si definise rngo dell mtrie il numero mssimo di olonne o righe linermente indipendenti dell mtrie stess. Condizioni di linerità tr olonne o righe. Il rngo dell mtrie preedente è

8 Orlti di un mtrie Dt un mtrie x E possiile lolre il suo rngo on il teorem degli orlti o di Kroneker Il rngo di un mtrie è pri ll ordine dell mtrie qudrt (numero di righe=numero di olonne=ordine) più grnde on erminnte non nullo. Quttro minori di ordine dell mtrie x onsidert Solo due di essi si definiso orlti ovvero minori linermente indipendenti

9 Orlti di un mtrie - esempio Dt un mtrie x E possiile lolre il suo rngo on il teorem degli orlti o di Kroneker Poihé esiste lmeno un minore x on il rngo è lmeno. Considero i quttro minori di ordine dell mtrie x onsidert. Solo due di essi si definiso orlti ovvero minori linermente indipendenti poihé ontengono il minore x on Se entrmi vessero erminnte nullo, neessrimente nhe gli ltri due sreero nulli

10 Rngo di un mtrie Dt un mtrie x Il rngo dell mtrie srà se lmeno tr i due erminnti degli orlti x onsiderti è non nullo. oppure Nel so in ui fossero entrmi nulli llor si dovree verifire l esistenz di lmeno un minor x dell mtrie originle il ui erminnte è non nullo.

11 Orlti di un mtrie - esempio Dt un mtrie x Dti due dei quttro minori di ordine (orlti) Entrmi gli orlti hnno erminnte non sullo Il rngo dell mtrie è

12 Mtrie invers Si definise mtrie invers di un mtrie qudrt n x n, un divers mtrie qudrt di dimensioni n x n he moltiplit per l mtrie di prtenz produe ome mtrie risultnte l mtrie identità ' ' ' '' '' '' d e f In generle non esiste un lgoritmo semplie he onsente di lolre qundo esiste l invers di un dt mtrie. Esistono lgoritmi non nli ome quello dei ofttori o il Guss- Jordn. Seondo il metodo dei ofttori per le mtrii x (e solo per esse) vle: d' e' f ' d'' e'' f '' A d A A d

13 Mtrie invers metodo dei ofttori Dt un mtrie qudrt i x j x A x, i, x x, j i, j A L su mtrie invers è dt d: A of of A, x of A, x, A, x of A, x i,, j i, j T In ui (A) è il erminnte dell mtrie A, T indi l operzione di trsposizione e of(a,x i,j ) è definito dll seguente relzione: of i j A,, minor A,i, j x i j (minor(a,i,j)) è il erminnte del minore dell mtrie A ottenuto nellndo l rig i e l olonn j.

14 Mtrie invers esempio Dt un mtrie qudrt x A L su mtrie invers è dt d: T A A A

15 Mtrie invers esempio Svolgendo i prodotti L su mtrie invers è dt d: T T A A A