Matematica II. Un sistema lineare è un sistema di m equazioni lineari (cioè di primo grado) in n incognite x 1,, x n :

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1 Mtemtic II. Generlità sui sistemi lineri Un sistem linere è un sistem di m equzioni lineri (cioè di primo grdo) in n incognite,, n : n n b b m mn n m (*) Un soluzione del sistem linere è un n-upl di numeri reli (,, n ) ce soddisf contemormente tutte le equzioni (*), ovvero un n-upl tle ce: m n mn n b n b m Esempio. è un sistem linere vente due equzioni (m ) e tre incognite (n ). L tern ( 4,, ) è un soluzione perce soddisf entrmbe le equzioni, mentre l tern (,, ) non e un soluzione, perce non soddisf l second equzione. Esempio. y z 8 y z y z è un sistem linere di tre equzioni in tre incognite. Se (,, ) fosse un soluzione del sistem dovrebbe essere: 8 Sommndo 9 il ce contrddice l terz equzione y z Quindi questo sistem non è risolubile. In genere si riciede:. di stbilire se un dto sistem è o non è risolubile; Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

2 Mtemtic II B. di risolvere ove possibile il sistem, cioè di trovrne tutte le soluzioni. Per ffrontre questi problemi è vntggioso introdure l uso di opportune mtrici. l sistem n n b. m mn n b m si possono ssocire due mtrici n. dett mtrice dei coefficienti e mn nn b B. Dett mtrice complet ce si otiene dll ggiugendo l colonn dei fermini noti. m mn bm L mtrice m rige ed n colonne L mtrice ( B) m rige ed n colonne. Introducendo le mtrici con un sol colonn b B M X M b m m e ricordndo come è definito il prodotto di mtrici, il sistem linere può essere scritto in form mtricile X B.. Risolubilità del sistem (*) Lemm Si un mtrice con m rige ed n colonne e si M l mtrice complet. llor ed M nno lo stesso rngo se e soltnto se l colonn ggiunt è combinzione linere delle colonne di. Considerimo or il sistem linere X B. Esso può essere presentto nel modo seguente (sempre usndo le operzioni fr mtrici): Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

3 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino m mn n n m m b b M M M M Se il sistem lmeno un soluzione (,, n ), llor si m mn n n m m b b M M M M ciò l colonn B è combinzione linere delle colonne dell mtrice. M d questo ftto segue (per il lemm) ce l mtrice complet M ( B) lo stesso rngo dell mtrice. Vicevers se le due mtrici nno lo stesso rngo, llor l colonn B è necessrimente combinzione linere delle colonne di (per il lemm) e quindi esiste un soluzione del sistem, formt di coefficienti dell combinzione linere. bbimo perciò dimostrto il Teorem di Roucé Cpelli (I prte): Il sistem X B è risolubile se e soltnto se ρ () ρ ( B) Esempio. Si consideri il sistem linere X B dove B Se ρ () ρ ( B) il sistem è risolubile Se ρ (), ρ ( B) il sistem non è risolubile, B è gi ridott per colonne con due colonne non nulle ρ ()

4 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin 4 di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino B C C 4 B' ' C C C B'' ' ' e ridott per colonne con tre colonne non nulle ρ ( B) ρ llor sicome ρ() ρ ( B), per il sistem non è risolubile. - - R R R R R llor ridott per rige con tre rige non nulle ρ () - R R R R R R R ridott per rige con tre rige non nulle ρ( B) llor per bbimo ρ() ρ( B) e quindi il sistem è risolubile. In effetti se ponimo, ottenimo le equzioni y y y y Cioè il sistem non è risolubile.

5 Mtemtic II Se si y y z y 4 z L unic soluzione è,,.. Risoluzione dei sistemi lineri ridotti Il sistem X B si può risolver bbstnz fcilmente qundo l mtrice si ridott per rige. Esempio. Il sistem X B, dove 5 B l mtrice ridott per rige. Le equzioni sono y z 5z Risolvendo l ultim si ottiene z ; Sostituendo nell second si ottiene Infine sostituendo nell prim si ottiene y In prtic si può ricvre un incognit per volt prtendo dll ultim equzione. Esempio. Il sistem X B, dove B 5 Politecnico di Torino Pgin 5 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

6 Mtemtic II l mtrice ridott per rige ed quttro incognite e solo tre equzioni. Poice l mtrice rngo, come nce l mtrice ( B) il sistem è certmente risolubile. Le equzioni sono: y z t y t y 5t Prtimo per l soluzione dll ultim equzione y 5 t Sostituiendo il vlore di y nell second ottenimo 5 t t 7 t Or sostituimo i vlori trovti per e y nell prim 7 5 t t z t z In conclusione trovimo ce l soluzione generle è formto dll qutern ( 7 t, 5 t,, t) con t numero rele rbitrrio. Le soluzioni sono dunque infinite e dipendono dl prmetro t, ce si dice incognit liber. Un sistem ridotto risolubile di rngo p in n incognite n p soluzioni, ciò (n p) incognite si possono ssegnre libermente e le ltre sono funzioni lineri di questo. Se n p il sistem un e un sol soluzione (nessun incognit liber). Esempio. Il sistem X B, dove Politecnico di Torino Pgin 6 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

7 Mtemtic II B è ridotto per rige L mtrice e l mtrice ( B) nno rngo p Le incognite sono: n 5 Pertnto ci srnno n p 5 incognite libere. Le equzioni sono: y z t u 4 z t z 4 t y t u y t u u y t y t L soluzione generle (, t, 4 t t, ) Ci sono due incognite libere come previsto. Esse sono e t mentre le tre incognite y, z, u sono funzioni lineri delle incognite libere Si nno cioè soluzioni. Esempio 4 Si risolv, l vrire di rele, il sistem linere X B dove B Soluzione Si trtt di mtrice ridott e quindi di sistem ridotto. Un sistem ridotto risolubile di rngo p in n incognite n p soluzioni, cioè n p incognite si possono ssegnre libermente e le ltre sono funzioni lineri di queste. Se n p il sistem un e un sol soluzione (nessun incognit liber). Politecnico di Torino Pgin 7 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

8 Mtemtic II Per Il rngo p di mtrice è uqule l, e nce il rngo di Pertnto il sistem X B è risolubile Il sistem le incognite, quindi n p B. Pertnto un incognit si può ssegnre libermente e le ltre due sono funzioni lineri di quest. Dvvero: X B y y z y z Per Il rngo di è e nce il rngo di ( B) Il sistem è risolubile. n p, quindi due incognite si posono ssegnre libermente e l terz e un funzione linere di quest. Dvero y z L prime equzione e soddisft per y e z qulsisi ossi y e z sono libere. L soluzione generle è (, y, z) con y e z libere..4. Soluzioni di un sistem linere qulsisi Esempio 6. Si risolv l vrire di rele il sistem linere X B, dove Politecnico di Torino Pgin 8 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

9 Mtemtic II B Come vedimo si trtt del sistem qulsisi non ridotto. Si dto un sistem linere qulsisi con n incognite X B vente ρ () p, ρ ( B) q. Con opportune trsformzioni elementri si può operre sulle rige dell mtrice complet in modo ce l mtrice si trsformi in un mtrice ridott per rige e di conseguenz nce l mtrice complet si trsformi in un mtrice ( B ) ce non è necessrimente ridott per rige. Il nuovo sistem diventerà X B Dove è un mtrice ridott per rige (un sistem ridotto). Si può dimostrre ce questo sistem è equivlente d X B (cioè i due sistemi nno esetmente le stesse soluzioni). Si presentno due csi Cso. Il unovo sistem non è risolubile, cioè ρ ( ) < ρ ( B ) (teorem Roucé Cpelli) llor si nce ρ () < ρ ( B) cioè p < q e quindi X B non è risolubile. Cso. Il nuovo sistem è risolubile: cioè Si quindi ρ ( ) ρ ( B ) e quindi ρ () ρ ( B) oppure p q Pertnto X B è risolubile. Per qunto detto per il sistem ridotto il nuovo sistem n p incognite libere mentre le ltre p incognite sono funzioni delle n p incognite libere. llor nce il sistem X B n p incognite libere e le ltre funzioni di queste. In prtic X B si risolve (se ρ () ρ ( B)) con un reduzione per rige ce trsformi in un mtrice ridott e risolvendo il sistem ridotto equivlente X B. Soluzione Con le trsformzioni R R R R R R Politecnico di Torino Pgin 9 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

10 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino Si ottiene l mtrice: B' ' Se L mtrice dei coefficienti è ridott Il rngo di ρ ( ) Il rngo di ( B) ρ ( B) Se B' ' Con l trsformzione R R si ottiene l mtrice B'' ' ' è ridott ρ ( ) ρ ( B ) I due rngi sono uguli e il sistem è risolubile con (n p 4 ) un incognit liber. Le soluzioni sono: t z y

11 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino t t t z y t z y y z Pertnto si : (, y, y, ) con y liber. Pertnto il sistem ce n 4 e quindi n p n ρ ( ) 4 mnette infinite soluzioni e un incognit liber Dvvero t z y t z y t z )y ( ) ( t z y Dll terz equzione si t Dll secondo si ( ) / ) y ( ) ( ) y ( ) y ( ) y ) ( ) (

12 Mtemtic II Dll prim si ottiene z ( ) ( ) Le soluzioni sono (, ( ), ( ) ( ), ( ).5. Sistemi omogenei Esempio. Si risolv il sistem omogeneo X dove Se il sistem linere i termini noti tutti nulli, ovvero è X, si dice omogeneo. Pocé l n upl (,,, ) è sempre un soluzione, il sistem è risolubile. Se ρ () ρ ( B), llor ci srnno (n p) in cognite libere. In prticolre ci srà solo l soluzione (,,, ) se e solo se n p, ovvero se il rngo e ugule l numero delle incognite. Soluzione Occorre ridurre l mtrice. Con le trsformzioni: R R R R R R R R R 4 5 R 4 R Si ottiene l mtrice ridott 4 ' 5 ce rngo. Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

13 Mtemtic II Pertnto il numero di incognite n è ugule l rngo dell mtrice e il sistem solo l soluzione null. Esempio. Può un sistem linere di 4 equzioni in due incognite vere infinite soluzioni? Soluzione Dlle due incognite un deve essere liber. Pertnto l differenz tr il numero delle incognite n e il rngo dell mtrice p deve essere ugule d. n p p p Quindi il rngo dell mtrice dei coefficienti e quell complet deve essere ugule d. d esempio il sistem y y y 7 7y ( B) Con le trsformzioni R R R R R R R 4 R 4 7 R ( B) divent ridott ( ' B' ) ρ ( ) ρ ( B ) Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

14 Mtemtic II Le soluzioni z y y L soluzione generle è (, ) con liber..6. Sistemi lineri e invers di un mtrice Definizione Dt un mtrice, qudrt di ordine n Se esiste un mtrice qudrt X di ordine n tle ce si bbi: X X I n Si dice ce è invertibile e ce X è l invers di e si denot con il simbolo. In effeti l invers è l unic soluzione dell equzione X M n n n m X.. Xn. n nn Se si clcol il prodotto X rige per colonne si ottengono n equzioni n incognite n n n n n n nn nn l cui risoluzione è complict (ci sono 9 equzioni per n ) Considerimo invece le rige dell mtrice X: Politecnico di Torino Pgin 4 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

15 Mtemtic II X (,, n ) X n ( n,, nn ) Lo scope è ce le rige sudette diventno le incognite. Si può vedere ce ogni rig del prodotto X è combinzione linere delle rige di X. Esempio (5 6) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( 4) Quindi nel cso di X I n bbimo X nxn () *. nx nnx n (,,, ) (,,, ) Questo sistem si può risolvere con il metodo di riduzione come i sistemi in cui le incognite sono numeri. Possimo concludere ce l mtrice mmette invers se e solo se il sistem (*) e risolubile, cioè se e solo se l mtrice e l mtrice ( I n ) nno lo stesso rngo. Siccome l mtrice ( I n ) è ridotto con n rige non nulle, occorre ce si bbi ρ () n Esempio. Si trovi, se esiste, l invers dell mtrice Soluzione Occorre risolvere il sistem linere X I dove X è l mtrice colonn i cui elementi sono le rige X, X, X Politecnico di Torino Pgin 5 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

16 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin 6 di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino delle mtrice incognite (se esiste). Si deve pertnto operre sulle rige dell mtrice ( ) I fino ridure. Con le trsformzioni R R R R R R R R Si ottiene l mtrice ( ) 5 ' I ' con ridott, ce dà luogo l sistem (nelle incognite X, X, X ): ) ) ) ( ( ( 5X X X X X X Si ottiene X X X Quindi si Esempio. Si provi ce l mtrice è invertibile e se ne clcoli l invers

17 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin 7 di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino Soluzione L mtrice è qudrt, quindi per essere invertibile deve vere il rngo. Con l trsformzione R R R divent ' è ridott e il rngo Quindi nce il rngo, pertnto l mtrice è invertibile ( ) I Con l trsformzione R R R si ottiene l mtrice ( ) I' ' con ridott. Il sistem equivlente è: ) ) ) - ( ( ( X X X X X Risolvendo come l solito prtire dll ultim equzione si ottengono le tre rige: e quindi l mtrice invers è Esempio. Si trovi l invers dell mtrice coefficienti complessi 4i i i i

18 Mtemtic II Soluzione Con l trsformzione R R R si i ' i - i è ridott e quindi ρ ( ) ρ () Pertnto è invertibile i i i ( I) 4i con R R R si i i ( ' I) i con ridott, ce dà luogo l sistem (nelle incognite X X ): ix ix ix Si ottiene: ( ) ( ) X ( ) ( i i) i X ( 4 i i) Quindi si 4i i i i. DETERMINNTI Per ogni mtrice qudrt si può introdure un numero detto il determinnte di, denotto det o nce, ce ci servirà in vri problemi reltivi lle mtrice e i sistemi lineri.. Regol di Lplce Per l mtrice Politecnico di Torino Pgin 8 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

19 Mtemtic II n. n mn il determinnte di si definisce come: det i i i i in in ij ij j j nj nj dove ij rppresent complemento lgebrico dell elemento ij. ij ( ) ij det E ij C j dove E ij rpresent l mtrice ottent dll mtrice ij cncelndo l rig R i e l colonn Esempio 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( )( ) 4( ) [( )( ) 4( ) ( )] ( )( ) ( )( ) ( ) Si possono dimostrre le proprietà seguenti:. det se un rig oppure colonn di è null;. det se due rige oppure due colonne sono uguli;. 4. n n.. det i in det... n nn n nn Politecnico di Torino Pgin 9 di 4 Dt ultim revisione 4/7/

20 Mtemtic II nn. det i bi in b. n nn in n n.. det i in det b ibin.. n nn n (e nologo se un colonn, nzicé un rig, è som di due). 5. Se l mtrice B si ottiene con un trsformzione elementre di tipo E (R i R j ), llor si : det B det. 6. Se l mtrice B si ottiene con un trsformzione elementre di tipo E (uno scmbio di rige: R i R j ), llor si : det B det. 7. Se l mtrice B si ottiene con un trsformzione elementre di tipo E (moltipliczione di un rig per : R i R i det B det. 8. Se un mtrice tutti nulli gli elementi sopr (o soto) l digonle principle (formt dgli elementi,, nn ) llor il suo determinnte è ugule ll prodotto degli elementi dell digonle stess. det n 9. det ( t ) det Per clcolo prtico di un determinnte si può pplicve direttmente l regol di Lplce usndo un qulsisi rig o colonn, preferibilmente contente qulce zero. Tuttvi può essere utile modificre con trsformzioni elementri l mtrice in modo d ottenere molti zeri su un stess rig o colonn. Ovvero può essere utile ridurre l mtrice per rige, e poi scmbire eventulmente fr loro lcune colonne, in modo d mettersi nelle ipotesi di 8. In ogni cso il clcolo di si f tenendo conto dlle proprietà precedente. nn Esercizio Si clcoli det dove 6 Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

21 Mtemtic II Soluzione Somndo l prim con l second rig si ottiene: B 6 e si : det B det. pplicndo l regol di Lplce ll prim colonn: detb det 6 Con le trsformzioni R R R R R R si ottiene C e si det C det B det, e finlmente 7 det det 4 9 ( 6) 5.. Teorem sulle mtrici invertibili ) è invertibile se e solo se det ; b) se è invertibile det ( ) det c) se det, l invers di è l mtrice Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

22 Mtemtic II det det... n.. n nn Ottenuto mettendo l posto di ij il complemento lgebrico di ji (si noti lo scmbio di indici) e dividendo per det : Esempio. Si stbilisc per quli reli è invertibile. Soluzione Bst vedere per quli si det ( ) Pertnto è invertibile se e solo se, Esempio. Si trovi, se esiste, l invers dell mtrice Soluzione è invertibile percé det Poicé si L invers di è l mtrice Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

23 Mtemtic II - - Esempio. Si trovi, se esiste, l invers dell mtrice b c Soluzione Si b det bc c Se, oppure b, oppure c si det, e quindi non è invertibile. Se, b, c si b bc,,,,,, c c, c e quindi b b - bc bc c b - b - - c.. L regol di Crmer Se è invertibile, il sistem linere X B. omette l unic soluzione X n B det n n nn B Politecnico di Torino Pgin di 4 Dt ultim revisione 4/7/

24 Mtemtic II Politecnico di Torino Pgin 4 di 4 Dt ultim revisione 4/7/ Politecnico di Torino Si può dimostrre il seguento risultto noto come regol di Crmer: det D. n det D n D i e il determinnte delle mtrice ce si ottiene sostituendo in l colonn i esim con l colonn B dei termino noti. Esempio. Si risolv il seguente sistem con l regol di Crmer: y z y z y Soluzione Poicé si ) ( et 4 d D D D det D det D det D