Sistemi di equazioni algebriche lineari. Una equazione algebrica lineare in n incognite si presenta nella forma:...

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1 Sistemi di equzioni lgebriche lineri Un equzione lgebric linere in n incognite si present nell form: n n = b dove ( 1, 2,... n ) rppresentno le incognite, 1, 2,... n sono i coefficienti delle incognite e b è il termine noto. Con sistem di m equzioni in n incognite si intende il sistem: nn = b nn = b = b m1 1 m2 2 mn n m che può nche essere messo nell form comptt mtricile dove: A = b A n m1 m 1.. mn n = 1.. n 2 = b b1 b.. b m 2 = A è l mtrice dei coefficienti delle incognite, è il vettore delle incognite, b è il vettore dei termini noti. Risolvere il sistem signific trovre il vettore delle incognite. Soluzione del sistem è ogni n-pl di numeri che, sostituiti ordintmente lle n incognite, rendono ogni primo membro ugule l rispettivo secondo membro. Se un sistem mmette soluzioni, esso è detto comptibile. In cso contrrio, è incomptibile. Se il sistem mmette un unic soluzione, è detto determinto; se il sistem mmette più soluzioni è detto indeterminto. Dto un sistem di equzioni lineri, ci chiedimo, llor, in successione: 1) Il sistem mmette soluzioni (il sistem è comptibile)? 2) Qunte soluzioni mmette? 3) Quli sono le soluzioni? CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 1/10

2 Teorem di Rouchè-Cpelli: Condizione necessri e sufficiente ffinché un sistem si comptibile è che l mtrice A dei coefficienti delle incognite e l mtrice complet (A b) che si ottiene ggiungendo d ess l colonn dei termini noti, bbino lo stesso rngo 1 : rnk(a)=rnk(a b)=r In un sistem comptibile, se il numero di equzioni è inferiore l numero di incognite (m<n) si possono vere infinite soluzioni. Se il sistem è composto d n equzioni in n incognite, llor un sistem comptibile h un ed un sol soluzione se rnk(a)=n cioè se l mtrice A h rngo mssimo. In tl cso il determinnte di A è diverso d zero, l mtrice A è invertibile ed esiste A -1 e l soluzione è: = -1 A b Il clcolo numerico dell soluzione trmite l mtrice invers A -1 spesso non è consiglibile per problemi di lto costo computzionle e problemi di errore 2. Esempio: Risolvimo il seguente sistem (1 equzione, 1 incognit): Per sostituzione l soluzione è: = 0 = 3 Se utilizzimo l invers e risolvimo con MATLAB, l soluzione è meno ccurt: = inv(11)*33 = *33= Il rngo di un mtrice rppresent il numero mssimo di righe (o colonne) linermente indipendenti L invers di un mtrice A, per definizione, è tle che AA = A A = 1. Ess si ottiene con l seguente operzione: -1 A T A11 A12... A1n 1 A21 A22... A 2n, clcolndo i complementi lgebrici di tutti i termini di A. = A An1 An2... Ann CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 2/10

3 Esiste nche un metodo equivlente che consente di trovre l soluzione senz clcolre l invers dell mtrice A. E l cosiddett Regol di Crmer. CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 3/10

4 Regol di Crmer: Dto un sistem di equzioni lineri A = b con A mtrice qudrt di ordine n non singolre, se indichimo con A i l mtrice ottenut sostituendo l i-esim colonn di A con il vettore colonn b, l soluzione è dt d: i = det det ( A i ) ( A) Esempio: Equzione linere nelle tre incognite 1, 2, 3 : = = = 0 L mtrice dei coefficienti delle incognite è: A = 1 3 4, b = = 2 3 Clcolimo il determinnte di A: ( A ) det = = =, 2 = =+, 3 = = Il metodo di Crmer v bene per sistemi di piccole dimensioni in qunto il tempo di clcolo ument esponenzilmente con il numero di equzioni. Inftti, per risolvere un sistem linere di ordine n, il metodo di Crmer prevede di ottenere l soluzione clcolndo (n+1) determinnti di mtrici di ordine n. Il costo in termini di moltipliczioni d eseguire è ( n + 1)( n 1) n!, ovvero circ n n operzioni se n >> 1. Ad esempio, per risolvere un sistem di ordine 17 sono necessri circ 20 nni, in un clcoltore che esegue un operzione in 1e-7 s. CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 4/10

5 Nei clcoli prtici si ricorre più spesso d un opportun trsformzione del sistem di prtenz, l fine di renderlo tringolre. Inftti, se l mtrice è tringolre inferiore, l soluzione si ottiene per eliminzione in vnti; se l mtrice è tringolre superiore, l soluzione si ottiene per eliminzione ll indietro. Vedremo or cos si intende con tli ffermzioni. Un mtrice U [n n] tringolre superiore è un mtrice del tipo: u11 u12.. u1 n 0 u22.. u 2n U = con u ij = 0 per i > j unn Un sistem lgebrico di tipo tringolre superiore si present nell form: u111 + u u1, n1n1 + u1 nn = c1 + u u + u = c... u + u = c u = c , n1 n1 2n n 2 n1, n1 n1 n1, n n n1 nn n n Con il sistem posto in quest form è subito possibile ricvre l incognit n dll ultim equzione: n c = u n nn Sostituendo tle risultto nell penultim equzione si ottiene nche l incognit n-1 : c c = u n1 n n1 n1, n un 1, n1 unn e così vi. Anlog situzione occorre qundo il sistem è del tipo tringolre inferiore, cioè l mtrice dei coefficienti delle incognite L [n n] è del tipo: L l l l ln1 ln2.. lnn = CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 5/10

6 l111 = d1 l211 + l222 = d ln 1, ln 1, n1n1 = dn l + l l + l = d n1 1 n2 2 n, n1 n1 nn n n d1 In questo cso dll prim equzione si ricv l incognit 1 : 1 = e poi, l11 successivmente, l 2 dll second equzione ecc. Il numero totle di operzioni d effetture è in questo cso pri Vedimo or come sfruttre i risultti ppen ottenuti. 2 n. Metodo di eliminzione di Guss L ide bse di tle lgoritmo è quell di modificre l mtrice complet ssocit l sistem medinte operzioni elementri in modo d ottenere un sistem che poss essere risolto direttmente. In prtic, si trtt di trsformre il sistem in un sistem tringolre superiore equivlente, vente, cioè, l stess soluzione. Per fre ciò si us l proprietà per l qule l soluzione del sistem non cmbi se si sostituisce ll equzione i-esim un su combinzione linere con un ltr equzione del sistem. E opportuno un esempio per illustrre il metodo di Guss. Si dto un sistem di 3 equzioni in 3 incognite: = b = b = b3 Psso 1) E necessrio rendere nullo il coefficiente 21. Per fre ciò, se 11 è diverso d 21 zero, si moltiplic l prim equzione per (coefficiente moltiplictore), ottenendo: = b e si sottre tle equzione dll second + + = b b ( ) Ottenendo un equzione in cui il coefficiente di 1 è nullo: + = b CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 6/10

7 dove: = ; = ; b = b b Anlog operzione v ftt per rendere nullo il coefficiente 31. Si moltiplic l prim 31 equzione per e si sottre tle equzione dll terz. 11 Si ottiene un nuovo sistem equivlente l precedente: = b1 + = b + = b Psso 2) Si deve rendere nullo il coefficiente si moltiplic l second equzione per il coefficiente 32. A tl fine, se il termine 32 22, ottenendo: 22 è non nullo, Poi, si sottre quest equzione dll terz: b = b b = ( ) Si ottiene un nuovo sistem, tringolre superiore, equivlente l precedente: + + = b = b2 (2) (2) = b3 Questo sistem può essere risolto con l lgoritmo di eliminzione ll indietro. L risoluzione di un sistem di ordine n trmite clcoltore richiede un numero di 3 operzioni pri ( n ): per un sistem di ordine 17 richiede un tempo di circ 165µs! L lgoritmo ppen descritto h però un inconveniente. Si può notre, inftti, che nel psso 1 bbimo effettuto un divisione per 11, nel psso 2 bbimo effettuto un divisione per, ecc.; ciò signific che d ogni psso k dobbimo effetture un divisione per 22 l elemento ( k 1) kk, detto elemento pivot. Ovvimente, l lgoritmo non può proseguire se CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 7/10

8 questo termine è ugule zero. Per ovvire questo problem è possibile utilizzre l espediente di seguito illustrto. Prim del psso 1) è necessrio individure il termine pivot. Si controllno llor i vlori ssoluti di tutti i termini dell colonn 1 ( 11, 21, 31 ) e si individu il mssimo, che diverrà l elemento pivot. Se il mssimo si trov nell rig r-sim, llor si scmbino tr loro l rig 1 e l rig r. Si procede poi con il psso 1. Anlogmente, prim del psso 2, è necessrio individure il nuovo elemento pivot tr tutti quelli presenti nell colonn 2, dll second rig fino ll ultim. Si controllno llor i termini ( 22, 32 ), si individu il mssimo e, se questo si trov nell colonn r-sim, si procede llo scmbio tr l rig 2 e l rig r. Si procede così con il psso 2. In prtic l tecnic del pivoting przile or descritt prevede di scegliere d ogni psso il pivot. Al generico psso i si nlizzno i vlori ssoluti di tutti gli elementi dell colonn i- ( i1) ( i1) ( i1) esim, dll rig i-esim fino ll ultim ( ii, ( i+ 1) i,... ni ); se il mssimo si trov nell rig r-sim, llor si scmbino tr loro l rig i e l rig r e si procede poi con il psso i utilizzndo il nuovo pivot. Fttorizzzione LU L lgoritmo di Guss effettu l trsformzione del sistem gendo contempornemente sull mtrice dei coefficienti delle incognite A e sul vettore dei termini noti b. L fttorizzzione LU scinde l trsformzione di A d quell di b. Supponimo sempre di considerre il nostro sistem di n equzioni in n incognite: nn = b = b = b n n 2 n1 1 n2 2 nn n n A = b e supponimo di poter porre l mtrice A nell form: PA = LU dove P è un opportun mtrice di permutzione, L è un mtrice tringolre inferiore con digonle principle costituit d tutti 1, U è un mtrice tringolre superiore. Posso scrivere: A = b PA= Pb LU= Pb Con tle trsformzione, risolvere il nostro sistem, signific risolvere i seguenti due sistemi tringolri: Ly = Pb U = y CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 8/10

9 A questo punto sembr opportuno osservre che il clcolo numerico possiede delle limitzioni ben precise, dovute principlmente ll esistenz di due tipologie di errore: l errore generto dll lgoritmo di clcolo e l errore generto d qulsisi mcchin, dovuto l ftto che il clcoltore può rppresentre solo un numero finito di cifre. In prticolre, questo secondo tipo di errore si propg d ogni operzione e dà luogo l clssico errore di rrotondmento. L entità di questo tipo di errore dipende d come sono rppresentti i numeri sul clcoltore. Il sistem di rppresentzione più utilizzto per il clcolo scientifico è il sistem floting point (punto che si spost), in cui un numero è rppresentto d un numero t di cifre significtive ( d 1, d2,... dt ), d un bse β e dll esponente e: = ±. d d d t e β E chir l utilità di questo tipo di rppresentzione se, d esempio, si vuole rppresentre il numero rppresenttivo dell velocità dell luce: Esempio: c c cm s cm s In MATLAB si utilizz l numerzione floting point con i seguenti prmetri: β = 2; t = 53; 1021 e 1024 Il numero rele più piccolo, in vlore ssoluto, rppresentbile in MATLAB è -308 rel min = ; il numero rele più grnde, in vlore ssoluto rppresentbile in MATLAB è rel m = Un delle conseguenze dell errore di rrotondmento rigurd l ccurtezz dell fttorizzzione LU, per cui le mtrici clcolte si discostno seppur leggermente di vlori reli. A tl punto ci si potrebbe spettre che piccole perturbzioni sui dti portino scostmenti dello stesso ordine di grndezz nei risultti. In reltà le cose non stnno sempre così e può ccdere, d esempio, che piccole perturbzioni nell mtrice A portino grndi perturbzioni nell soluzione. In tl cso il sistem si dice ml condizionto. CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 9/10

10 Di seguito è riportto un esempio di sistem ml condizionto. Esempio: Equzione linere nelle due incognite 1, = = 0 A = ; = b 0 L soluzione è dt d: 1 = 5000, 2 = 5010 Perturbimo leggermente l mtrice A: A = ; = b, 0 e ricvimo le soluzioni con Mtlb: 1 = 10000; 2 = Perturbndo leggermente il solo termine 21 (che pss d ) e lscindo invriti tutti gli ltri elementi dell mtrice A e del vettore b, l soluzione cmbi sensibilmente. CdL Ing. Elettric Corso di Lbortorio di Circuiti Elettrici A.A Pgin 10/10