Richiami sulle matrici (TITOLO)
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- Agata Franchini
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1 Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione prile Introduzione lle trsformzioni F. Cliò Richimi sulle mtrici (TITOLO) Lezione prile Trsformzioni
2 Mtrici: Definizioni Un mtrice (m n) è un insieme (strutturto) di m n elementi, precismente un mtrice può essere considert un insieme di m n elementi disposti secondo un ordine di righe e colonne Indicndo il generico elemento ij... m... m n n... mn Prticolrità sulle mtrici (/4) Se mn, mtrice qudrt 7 Supponimo nel seguito qudrt Gli elementi ii formno l digonle, 7 Se ij con i>j, tringolre superiore Lezione prile Trsformzioni
3 Se ij con i<j, Prticolrità sulle mtrici (/4) tringolre inferiore Se ij ji, simmetric Se ij con i j, digonle Prticolrità sulle mtrici (/4) Scmbindo righe e colonne di un mtrice, mtrice trspost 8 4 T 8 4 Se simmetric, T 6 Lezione prile Trsformzioni
4 Prticolrità sulle mtrici (4/4) Se ij i e j, mtrice null Se ij con i j e ii, mtrice unitri o identic, che comunemente si indic con I I 7 ddizione fr mtrici Dte due mtrici (mn), B(mn) si definisce ddizione delle due mtrici l operzione che gener l mtrice somm S(mn) S+B, i cui elementi s ij ij +b ij i e j Per l opertore ddizione fr mtrici vlgono tutte le proprietà che vlgono per l ddizione fr reli. 8 Lezione prile Trsformzioni 4
5 Moltipliczione fr mtrici Dte due mtrici (mn), B(np) (comptibili) si definisce moltipliczione delle due mtrici l operzione che gener l mtrice prodotto P(mp) P B, i cui elementi dove p ij r i c j i e j r i è il vettore formto dgli elementi dell i-esim rig di c j è il vettore formto dgli elementi dell j-esim colonn di B Per l opertore moltipliczione fr mtrici vlgono tutte le proprietà che vlgono per l moltipliczione fr reli eccetto l commuttiv. 9 Mtrice ortogonle Un mtrice qudrt è ortogonle se T I Lezione prile Trsformzioni 5
6 Determinnte di un mtrice ( ) Si ( ), determinnte di è il numero det - Determinnte di un mtrice ( ) Si ( ), determinnte di è il numero det Regol di Srrus det Lezione prile Trsformzioni 6
7 Proprietà dei determinnti Se det, mtrice singolre det( B) detdetb det det T se è ortogonle det ± Trsformzioni Dt un mtrice (n n) ed un vettore v d n componenti, se v dove è un vettore d n componenti si dice che trsform v in, ttrverso un trsformzione linere o ffine. 4 Lezione prile Trsformzioni 7
8 ppliczione d un vettore numerico Dt l mtrice trsformre ttrverso l mtrice il vettore 8 8 v 8 5 ppliczione d un vettore prmetrico (rett) Dt l mtrice trsformre ttrverso l mtrice il vettore + t 8 t t R v + t t t t t R Rette si trsformno in rette 6 Lezione prile Trsformzioni 8
9 ppliczione d un vettore prmetrico (pino) Dt l mtrice trsformre ttrverso l mtrice il vettore + u + v 8 + v u u, v R v + u + v 8 v 8 + v + u + v u, v u u R Pini si trsformno in pini 7 ppliczione d un form poligonle (/) vertici B 5 5 M 45 5 connessioni C D E F G H I J B C D E F G H H I J J H I B G C F D E B C D E F G H J F I 8 Lezione prile Trsformzioni 9
10 ppliczione d un form poligonle (/) Dt l mtrice trsformre ttrverso l mtrice l'oggetto J H B G C F D E B 5 5 M 45 5 M M C D E F G H I J J I I H G B C F E D 9 Trsformzioni: definizioni (/) Un trsformzione geometric dello spzio R o R su se stesso è un corrispondenz biunivoc tr i punti dello spzio R o R Un trsformzione linere lgebric o ffinità di R o R è un legme lgebrico fr vettori e mtrici rppresentto d v, det() dove è un mtrice () o () (mtrice di trsformzione) v è un vettore pprtenente R o R (vettore d trsformre) è un vettore pprtenente R o R (vettore trsformto) Lezione prile Trsformzioni
11 più in generle: Trsformzioni: definizioni (/) un trsformzione linere lgebric o ffinità di R o R è un legme lgebrico fr vettori e mtrici rppresentto d v+b, det() dove è un mtrice () o () (mtrice di trsformzione) v è un vettore pprtenente R o R (vettore d trsformre) è un vettore pprtenente R o R (vettore trsformto) b è un vettore pprtenente R o R (vettore di trslzione) utomorfismi e endomorfismi (/5) Dto un insieme D e un insieme C, morfismo è un legge che f corrispondere d ogni elemento di D (dominio) un solo elemento di C (codominio). D C morfismo è endomorfismo. Se l corrispondenz è biunivoc endomorfismo è utomorfismo Un trsformzione linere lgebric o ffinità di R o R, v+b, det(), è un utomorfismo, con D C R o R Lezione prile Trsformzioni
12 utomorfismi e endomorfismi (/5) utomorfismi e endomorfismi (/5) Se det() l corrispondenz di R su R o di R su R è endomorfismo m non utomorfismo Esempio: b det() v+b non è un trsformzione linere o ffinità, inftti 4 Lezione prile Trsformzioni
13 utomorfismi e endomorfismi (4/5) pplicndo l trsformzione ll oggetto superficie sferic centrt in O e rggio, di equzione vettorile sinu cos v s sinusinv u, cos u [, π],v [ π] sinu cos v sinusinv cos u + sinu cos 4 sinusinv v [, π],v [ π] u, 5 utomorfismi e endomorfismi (5/5) 6 Lezione prile Trsformzioni
14 Trsformzioni: composizione Dto un insieme di mtrici, B, C, pprtenenti R o R e di vettori b (), b (), b (), di R o R...C(B(v+b () )+ b () )+ b () )... con det(), det(b), det(c) è un trsformzione linere lgebric o ffinità di R o R che si dice composizione di trsformzioni. ttenzione ll ordine con cui si presentno le mtrici!!! 7 Esempio di composizione di trsformzioni (/) Dti ( ) ( ) 5 B b b 6 det()5+, det(b) è un trsformzione linere o ffinità che f corrispondere, d esempio 8 Lezione prile Trsformzioni 4
15 Esempio di composizione di trsformzioni (/) l vettore v 4 il vettore Punti, rette e pini uniti Nel linguggio delle trsformzioni si dice punto, rett, pino unito: il punto, l rett, il pino che, nell trsformzione, corrispondono se stessi. ttenzione rett unit non è necessrimente rett di punti uniti, pino unito non è necessrimente pino di punti uniti!!! Punto, rett di punti uniti, pino di punti uniti soddisfno l seguente relzione: +b Lezione prile Trsformzioni 5
16 Esempio di punti uniti (/4) Dti b det()/4+/4 v+b è un trsformzione linere o ffinità tle che l relzione: +b comport, chimndo, le componenti di, Esempio di punti uniti (/4) In form sclre: + Lezione prile Trsformzioni 6
17 Lezione prile Trsformzioni 7 Esempio di punti uniti (/4) + 4 Esempio di punti uniti (4/4) L trsformzione mmette un unico punto unito: l origine
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; c. ; d nessuna delle precedenti In R 5 [x] distanza tra x e x 2 rispetto al prodotto scalare p, q = 1
![; c. ; d nessuna delle precedenti In R 5 [x] distanza tra x e x 2 rispetto al prodotto scalare p, q = 1](/thumbs/94/119130474.jpg "; c. ; d nessuna delle precedenti In R 5 [x] distanza tra x e x 2 rispetto al prodotto scalare p, q = 1")
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