Algebra lineare. Capitolo VETTORI

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1 Cpitolo Algebr linere.. VETTORI In generle, nell geometri elementre un segmento AB è introdotto come l prte di rett compres tr i due punti A, B fissti su di ess, senz specificre un ordine tr gli estremi A, B. In questo cpitolo, però, non potremo più considerre del tutto equivlenti i segmenti indicti con AB e con BA. Il concetto di vettore si bs inftti sul concetto di segmento orientto, cioè di prte di rett che colleg un primo estremo un secondo estremo. Definizione.. Assegnti, nel pino, due punti P, Q, si dice segmento orientto nel pino il segmento PQ vente qule primo estremo (o punto di ppliczione) il punto P e qule secondo estremo il punto Q. Le crtteristiche di un segmento orientto PQ sono le seguenti: lunghezz: è l lunghezz del segmento PQ; fisst l unità di misur, è nche possibile considerre l misur di PQ, indict con PQ ed e- spress d un rele non negtivo (rpporto tr PQ e l unità di misur); direzione: è l direzione dell rett ll qule pprtiene PQ; due segmenti orientti hnno dunque l stess direzione se pprtengono ll stess rett o rette prllele; verso: corrisponde ll ordine con cui vengono considerti gli estremi di PQ; su PQ possono quindi essere fissti due versi tr loro opposti: quello in cui P precede Q (il segmento orientto si scrive llor PQ ) e quello in cui Q precede P (il segmento orientto si scrive llor QP ). Definizione.. Due segmenti orientti si dicono equipollenti se hnno l stess lunghezz, l stess direzione, lo stesso verso. L relzione di equipollenz è un relzione di equivlenz; inftti, ess gode delle proprietà riflessiv (ogni segmento orientto è equipollente se stesso), simmetric (se un segmento orientto è equipollente un secondo, llor nche questo secondo segmento orientto è equipollente l primo), trnsitiv (se due segmenti orientti sono equipollenti un terzo segmento orientto, llor sono equipollenti tr loro). 9

2 Definizione.. Si dice vettore pino un clsse di equivlenz definit nell insieme dei segmenti orientti nel pino dll relzione di equipollenz. I vettori devono essere sempre tenuti ben distinti di numeri; l fine di rendere evidente tle distinzione nche dl punto di vist dell notzione, i vettori si indicno con un letter in grssetto: v, w (tlvolt si utilizzno lettere soprlinete, come v, o sovrstte d un freccett, come v r ). Un vettore pino è individuto d un segmento orientto PQ dell clsse di equivlenz. Un vettore è dunque crtterizzto d modulo, direzione e verso. Definizione.. Si dice vettore pino nullo il vettore pino vente modulo ; esso si indic con il simbolo. Definizione.. Dti i vettori pini v, w, rppresentti rispettivmente di segmenti orientti AB, AC, venti lo stesso punto di ppliczione, si dice somm di v e w il vettore pino vw rppresentto dl segmento orientto AP, essendo AP digonle del prllelogrmmo ABPC. L elemento neutro rispetto ll ddizione di vettori è il vettore nullo. Inftti, per ogni vettore pino v risult: v = v = v Definizione.. Dto il vettore pino v e lo sclre k R, si dice prodotto di v per k il vettore pino w = kv vente il modulo ugule l modulo di v moltiplicto per il vlore ssoluto di k, l direzione ugule ll direzione di v, il verso ugule quello di v se k è positivo, opposto quello di v se k è negtivo. Il prodotto di un vettore pino v qulsisi per è il vettore pino nullo,. L sottrzione di w d v si relizz ddizionndo v il vettore pino ()w: v()w si scrive, brevemente: vw e il vettore pino ()w, detto opposto di w, si indic con l scrittur w. Definizione.. Assegnte, nel pino, due rette distinte e incidenti r, s, si dicono vettori componenti di un vettore pino v (secondo le direzioni delle rette ssegnte) due vettori pini, b, venti rispettivmente le direzioni di r, s, l cui somm si v. L esistenz e l unicità dei vettori componenti di un vettore pino secondo due direzioni sono grntite dl risultto seguente, che ci limitimo enuncire. Proposizione.. Assegnte, nel pino, due rette distinte e incidenti r, s e un vettore pino v, esiste ed è unic l coppi di vettori pini, b, venti rispettivmente le direzioni di r, s, l cui somm si v. 9

3 Definizione.. Sino ssegnte, nel pino, due rette distinte e incidenti r, s, e un unità di misur; sino fissti due vettori pini u x, u y (detti versori) di modulo unitrio e venti le direzioni rispettivmente di r e di s; si dicono componenti di un vettore pino v i due reli, b tli che, detti, b i vettori componenti di v secondo le direzioni di r e di s, risult: = u x b = bu y L definizione precedente ci consente quindi di identificre un vettore pino con un coppi ordint (; b) di numeri reli, detti componenti del vettore dto. D or in vnti, supporremo che sino ssegnte, nel pino, due rette distinte e incidenti r, s e un unità di misur, e che sino fissti due versori u x, u y venti le direzioni rispettivmente di r e di s. Tutto ciò ci consentirà di riferirci un vettore pino v ttrverso l coppi ordint delle sue componenti. Per qunto rigurd le operzioni di ddizione di vettori pini e di prodotto di un vettore pino per uno sclre enuncimo le due proposizioni seguenti. Proposizione.. Sino v, w due vettori pini rispettivmente di componenti (; b) e (c; d). Allor il vettore pino vw h componenti (c; bd). Proposizione.. Si v un vettore pino di componenti (; b) e si k R uno sclre. Allor il vettore pino kv h componenti (k; kb). Un vettore pino è dto dll coppi ordint delle componenti; per esprimere un vettore nello spzio tridimensionle è necessrio ricorrere un tern ordint di reli (; b; c). E il concetto può essere esteso ll scrittur: ( ; ; ; ; n ), n-pl ordint di reli, essendo n un nturle mggiore di. Definizione.9. Si dice vettore n-dimensionle un n-pl ordint di numeri reli: ( ; ; ; ; n ) L insieme dei vettori n-dimensionli si indic con R n. Due vettori ( ; ; ; ; n ) e (b ; b ; b ; ; b n ) di R n (venti, dunque, l stess dimensione) sono uguli se e soltnto se: = b = b = b n = b n Esempio.. Il vettore di R (; ; ; ; ) è il vettore nullo di R e non deve essere confuso con i vettori nulli di R n con n né con il numero rele. Le proposizioni precedenti possono essere generlizzte: Proposizione.. Sino v, w due vettori di R n rispettivmente di componenti (v ; v ; v ; ; v n ) e (w ; w ; w ; ; w n ). Allor il vettore vw h componenti (v w ; v w ; v w ; ; v n w n ). Proposizione.. Si v un vettore di R n di componenti (v ; v ; v ; ; v n ) e si k R uno sclre. Allor il vettore kv h componenti (kv ; kv ; kv ; ; kv n ). 9

4 Esempio.. Dti i due vettori di R : v = (; ; ), w = (; ; ), il vettore vw è il vettore di R : vw = (; ; ) Definizione.. L insieme R n, in cui sino definite l legge di composizione intern ddizione di vettori e l legge di composizione estern moltipliczione per uno sclre rele si dice spzio vettorile su R in qunto: per ogni v, w, z di R n : (vw)z = v(wz) (proprietà ssocitiv); il vettore nullo di R n è neutro rispetto ll ddizione di vettori; ogni vettore v di R n h in R n l inverso dditivo, v, opposto di v; vw = wv (proprietà commuttiv); inoltre, per ogni v, w di R n e per ogni, b di R, risult: (vw) = vw (b)v = vbv (bv) = (b)v v = v Dicimo che il nturle n è l dimensione dello spzio vettorile R n. Un concetto fondmentle collegto i vettori è quello di dipendenz linere. Definizione.. Dti i vettori v, v, v, v m di R n e gli sclri reli k, k, k, k m, si dice combinzione linere di tli vettori secondo gli sclri dti il vettore di R n : k v k v k v k m v m Esempio.. Dti i due vettori di R : v = (; ; ), w = (; ; ) e i due sclri reli α, β, l loro combinzione linere è il vettore di R : αvβw = (αβ; α; αβ) Se gli sclri k, k, k, k m sono tutti nulli, llor l combinzione linere di m vettori qulsisi v, v, v, v m di R n secondo tli sclri è il vettore di R n. M è vero il vicevers? In ltri termini: se un combinzione linere di m vettori è il vettore nullo, possimo essere sicuri che gli sclri sono tutti nulli? In generle no. Tutto dipende dgli m vettori che sono stti impiegti per ottenere l combinzione linere in questione: è possibile (con lcune scelte di vettori) ottenere come risultto il vettore nche senz ricorrere sclri tutti nulli. Esempio.. Sino dti i due vettori di R : v = (; ; ), w = (; 9; ). L loro combinzione linere è (con α, β reli): αvβw = (αβ; α9β; αβ) Sppimo già che se α = β =, risult: αvβw = (; ; ) =. Tuttvi, nche scegliendo i reli α, β nel modo seguente: 9

5 α = k β = k con: k R risult: αvβw = (; ; ) =. Ad esempio, per α = e β = ottenimo: αvβw = (; ; ) = (; ; ) = Combinndo linermente ltri vettori può essere impossibile ottenere il vettore nullo senz ricorrere sclri tutti nulli. Esempio.. Sino dti i due vettori di R : v = (; ), w = (; ). L loro combinzione linere è (con α, β reli): αvβw = (αβ; αβ). Trovimo i reli α, β in modo d ottenere αvβw = (; ) =? Deve risultre: αβ = αβ = Ricvimo α dll prim equzione: α = β e sostituendo nell second: (β)β = β = α = Pertnto, l combinzione linere dei vettori v = (; ) e w = (; ) è il vettore se e soltnto se gli sclri impiegti in ess sono tutti nulli. I comportmenti esminti negli esempi introducono l definizione seguente. Definizione.. Gli m vettori v, v, v, v m di R n si dicono linermente indipendenti se l loro combinzione linere k v k v k v k m v m è il vettore nullo di R n soltnto nel cso in cui k = k = k = = k m =. Gli m vettori v, v, v, v m di R n si dicono linermente dipendenti se l loro combinzione linere k v k v k v k m v m può essere il vettore nullo di R n nche se gli sclri k, k, k,, k m non sono tutti nulli. Per qunto visto negli esempi, i vettori di R : v = (; ; ) e w = (; 9; ) sono linermente dipendenti; i vettori di R : v = (; ) e w = (; ) sono linermente indipendenti. Ci limitimo enuncire l proposizione seguente: Proposizione.. Se m > n, llor m vettori di R n sono linermente dipendenti. L condizione m > n espress dll proposizione. ffinché m vettori di R n sino linermente dipendenti è sufficiente, m non necessri: m vettori di R n possono essere linermente dipendenti nche se m n. Proposizione.. Se (lmeno) uno degli m vettori v, v, v, v m di R n è il vettore nullo di R n, gli m vettori considerti sono linermente dipendenti. Anche l condizione sufficiente or espress non è necessri: m vettori possono essere linermente dipendenti nche se nessuno di essi è il vettore nullo. 9

6 .. MATRICI Definizione.. Si dice mtrice m n un tbell rettngolre costituit d numeri reli disposti secondo m righe e n colonne. n n Indicheremo un mtrice con l scrittur A = oppure, più m m mn brevemente, con: A(m n). Gli mn reli che costituiscono un mtrice m n si dicono elementi dell mtrice; per identificre l posizione di ciscuno di essi, si us indicre un elemento con ij in cui i indic il numero di rig dell elemento considerto e j il numero di colonn (dunque ij è l elemento dell i-esim rig e dell j-esim colonn dell mtrice ssegnt). Il rffronto delle rispettive definizioni consente di ffermre che il concetto di vettore può essere considerto un prticolrizzzione del concetto di mtrice: un vettore può inftti essere pensto come un mtrice n ( mtrice-rig o vettore-rig : un sol rig e n colonne) o come un mtrice m ( mtrice-colonn o vettore-colonn : m righe e un sol colonn). Due mtrici sono dello stesso tipo qundo hnno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne. In due mtrici A(m n) e B(m n) dello stesso tipo, elementi con l stess posizione, ij e b ij, sono detti corrispondenti. Definizione.. Due mtrici dello stesso tipo si dicono uguli se hnno tutti gli elementi corrispondenti uguli. Definizione.. Dt l mtrice A(m n), si dice mtrice trspost l A T (n m) ottenut dll A(m n) scmbindo le righe con le colonne e vicevers. Esempio.. L trspost dell C( ): C = è l C T ( ): Definizione.. Un mtrice m n si dice mtrice null se tutti i suoi elementi sono. L mtrice null m n si indic con l scrittur (m n). Se in un mtrice il numero delle righe è ugule quello delle colonne, ess è dett mtrice qudrt. Un mtrice qudrt A(m m) si dice di ordine m. Definizione.. Si dice mtrice simmetric un mtrice qudrt A(m m) tle che, per ogni i tle che i m e per ogni j tle che j m risult: ij = ji 9

7 Il lettore può fcilmente rendersi conto che l mtrice qudrt A(m m) è simmetric se e soltnto se: A(m m) = A T (m m) cioè se e soltnto se A(m m) coincide con l propri trspost. Definizione.. Si dice mtrice digonle un mtrice qudrt A(m m) tle che: ij = con i j, per ogni i tle che i m, per ogni j tle che j m. Definizione.9. Si dice mtrice unità (o mtrice identità) un mtrice qudrt I(m m) tle che: ii = per ogni i tle che i m; e ij = con i j, per ogni i tle che i m, per ogni j tle che j m. L definizione seguente introduce l operzione di ddizione di mtrici: si noti che ess è definit solo se le mtrici d ddizionre sono dello stesso tipo. Definizione.. Dte le mtrici dello stesso tipo A(m n) e B(m n), si dice somm di tli mtrici l mtrice C(m n) i cui elementi sono le somme degli e- lementi corrispondenti di A(m n) e di B(m n); cioè: c ij = ij b ij per ogni i tle che i m e per ogni j tle che j n. Esempio.. Dte le mtrici A( ) e B( ): A = l mtrice somm di esse è l C( ): C = B = 9 9 = 9 L ddizione di mtrici gode delle proprietà espresse dll proposizione seguente (lscimo l lettore le semplici dimostrzioni). Proposizione.. L ddizione di mtrici gode delle proprietà seguenti: l ddizione di mtrici m n è un operzione intern ll insieme delle mtrici m n: ddizionndo due mtrici m n ottenimo un mtrice m n; l ddizione di mtrici m n è un operzione ssocitiv; per ogni tern di mtrici dello stesso tipo A(m n), B(m n), C(m n), risult: (AB)C = A(BC) l ddizione di mtrici m n è un operzione commuttiv; per ogni coppi di mtrici dello stesso tipo A(m n), B(m n), risult: AB = BA l mtrice (m n) è elemento neutro rispetto ll ddizione di mtrici m n; per ogni A(m n), esiste un A(m n) tle che: A(A) = (A)A = (dove con si indic l mtrice null m n). L mtrice A(m n si dice mtrice oppost dell mtrice A(m n): gli elementi dell mtrice A(m n) sono gli opposti dditivi dei corrispondenti elementi dell mtrice A(m n). Definizione.. Dt l mtrice A(m n) e dto k R, si dice prodotto di A(m n) per lo sclre k l mtrice B(m n) i cui elementi sono i prodotti degli ele- 9

8 menti corrispondenti di A(m n) per k; ovvero tle che: b ij = k ij per ogni i tle che i m e per ogni j tle che j n. Il prodotto di un mtrice m n qulsisi per è l mtrice null (m n). Introducimo l moltipliczione di due mtrici. Si trtt di un operzione l cui esecuzione è tecnicmente più impegntiv, possibile soltnto tr le mtrici: A(m p) e B(p n) (ttenzione: considerte in questo ordine, in qunto il prodotto tr mtrici, come vedremo, non è un operzione commuttiv). Quindi: è possibile moltiplicre un prim mtrice per un second mtrice soltnto se il numero delle colonne dell prim coincide con il numero delle righe dell second. Inizimo d un cso prticolre: se come primo fttore considerimo un mtrice A( p) e come secondo fttore considerimo un mtrice B(p ), l condizione sopr nticipt è soddisftt. Pertnto, h senso introdurre il prodotto di un mtrice-rig (o vettore-rig) con p elementi per un mtricecolonn (o vettore-colonn) con p elementi. Come vedremo, il prodotto di un mtrice A( p) per un mtrice B(p ) srà un mtrice C( ): un mtrice di un sol rig e di un sol colonn, costituit d un solo numero rele. Definizione.. Dte l mtrice A( p) ( mtrice-rig ) e l mtrice B(p ) ( mtrice-colonn ), si dice prodotto AB l mtrice C( ) costituit dl numero rele ottenuto moltiplicndo, per ogni i tle che i p, l elemento ij di A per l elemento b ij di B e sommndo quindi i prodotti ottenuti. Quindi il prodotto di A = p e di: B = b b b p è l mtrice AB = [c ], con: c = b b p b p Esempio.. Dte le due mtrici: A = e B = il loro prodotto è l mtrice : AB = [ () ] = [] Possimo or generlizzre qunto introdotto l cso di mtrici A(m p) e B(p n): si ricordi, comunque, che ffinché si eseguibile l moltipliczione di due mtrici (prese in un dto ordine) il numero delle colonne dell prim deve essere ugule l numero di righe dell second. 9

9 9 Definizione.. Dte le mtrici A(m p) e B(p n), si dice prodotto AB l mtrice C(m n) tle che ogni elemento c ij di C si il prodotto dell rig i-esim di A per l colonn j-esim di B. Esempio.9. Dte le mtrici A( ) e B( ): A = B = 9 l mtrice AB = C( ) è l seguente: C = = Proposizione.9. L moltipliczione di mtrici gode delle proprietà seguenti: se tutte le operzioni indicte sono eseguibili (se il numero delle colonne del primo fttore è ugule l numero delle righe del secondo fttore, in tutte le moltipliczioni), l moltipliczione di mtrici è ssocitiv: (AB)C = A(B C) se le operzioni indicte sono eseguibili, vlgono le proprietà distributive: A(BC) = AB AC (AB)C = AC BC l moltipliczione di mtrici non è un operzione commuttiv. In lcuni csi prticolri può ccdere che risulti AB = BA; d esempio, se: A = B = è: AB = = BA = = Tutto ciò non signific che l moltipliczione di mtrici poss essere considert commuttiv: ffinché un operzione god di un proprietà occorre che quest vlg in ogni possibile situzione, non soltnto per lcuni csi. Alcune osservzioni possono essere sviluppte nel cso di moltipliczioni di mtrici qudrte. Enuncimo l proposizione seguente.

10 Proposizione.. L moltipliczione di mtrici è un operzione intern ll insieme delle mtrici qudrte m m. Inoltre, sino A(m m) un mtrice qudrt, I(m m) l mtrice unità m m, (m m) l mtrice null m m; llor: AI = IA = A e A = A = L mtrice unità I(m m) è quindi, nell insieme delle mtrici qudrte m m, l elemento neutro rispetto ll moltipliczione di mtrici. L ultim tesi dell proposizione non deve fr pensre un sort di legge di nnullmento del prodotto per l moltipliczione di mtrici. Inftti, se è vero che moltiplicndo un mtrice A(m m) per l mtrice null (m m) si ottiene come prodotto un mtrice null (il lettore può verificre che ciò ccde nche se A e non sono qudrte: bst che si possibile l moltipliczione), bisogn notre nche che l mtrice null può essere il prodotto di due mtrici entrmbe non nulle. Esempio.. Dte le A = AB = BA =, B = (entrmbe non nulle), risult: = = Il lettore consideri nche le mtrici (non nulle): A =, C = e ve- rifichi che risult: AC = m: CA Prim di concludere l presentzione dell moltipliczione di mtrici qudrte, è spontneo domndrsi se, dt un A(m m), esiste nell insieme delle mtrici qudrte m m l elemento inverso A - (m m) di A rispetto ll moltipliczione. In molti csi esiste un tle mtrice A - (m m) (che chimeremo mtrice invers dell A), m non sempre. Limitimoci per or fissre l definizione dell mtrice invers, senz ffermre lcunché circ l su esistenz. Definizione.. Assegnt l mtrice qudrt A(m m), si dice mtrice invers A - (m m) dell mtrice A (se A - esiste) l mtrice qudrt tle che: AA - = A - A = I 9

11 99 Esempio.. Dt l mtrice ( ): A = verifichimo che l su mtrice invers è l: A - =. Inftti, risult: AA - = ) ( ) ( = = I A - A = ) ( ) ( = = I Un mtrice m n, com è noto, può essere penst come un insieme di n mtrici-colonn m (o vettori-colonn m-dimensionli). Considerimo or questi n vettori-colonn (m-dimensionli) e domndimoci: sono essi linermente indipendenti o linermente dipendenti? L rispost quest ultim domnd è essenzile per introdurre il concetto di rngo (per colonne) di un mtrice. Definizione.. Si dice rngo (o crtteristic) per colonne di un mtrice A(m n) il mssimo numero r c dei vettori-colonn costituenti A linermente indipendenti. Esempio.. Si dt l mtrice A( ): A = Qul è il suo rngo r c per colonne? Innnzitutto r c deve essere un intero positivo non mggiore di (l mtrice dt h tre colonne). Per trovre r c, chiedimoci se tutti i tre vettoricolonn che costituiscono A sono linermente indipendenti. L rispost è no: α β γ = per α =, β = k, γ = k (essendo k un qulsisi rele, nche non nullo). Pertnto il numero di colonne linermente indipendenti di A deve essere minore di, ovvero il rngo per colonne r c di A deve essere minore di. Possimo trovre due colonne di A linermente indipendenti? Concentrimo l nostr ttenzione, d esempio, sulle prime due colonne di A, e scrivimo:

12 α β = che equivle l sistem: α = β = α β = Tle sistem è soddisftto soltnto per α = β = ; pertnto, il numero di colonne linermente indipendenti di A è, cioè il rngo per colonne r c di A è. Un mtrice m n può nche essere penst come un insieme di m mtrici-rig n (o vettori-rig n-dimensionli). Possimo quindi introdurre un second definizione di rngo (rngo per righe). Definizione.. Si dice rngo (crtteristic) per righe di un mtrice A(m n) il mssimo numero r r dei vettori-rig costituenti A linermente indipendenti. Proposizione.. Il rngo per colonne r c di A e il rngo per righe r r di un mtrice A coincidono; il loro comune vlore è detto rngo (crtteristic) di A. Esempio.. Si dt l mtrice A( ): A = Verifichimo che il suo rngo per colonne r c e il suo rngo per righe r r sono entrmbi. Inftti: α β = equivle : α β = β = verificto soltnto se α = β =. Pertnto possimo ffermre che r c =. Inoltre: α = α[ ] β[ ] = [ ] equivle : α β = e tle sistem è verificto soltnto se α = β =. Pertnto nche r r =. Introducimo or un funzione definit nell insieme Q delle mtrici qudrte: det: Q R Il determinnte di un mtrice qudrt A Q si indic con l scrittur: deta oppure: A. Se l mtrice A(m m) è scritt in form estes, con tutti i suoi e- lementi, il suo determinnte si indic con l scrittur: deta = m m m m mm

13 Inizimo definire il determinnte nel cso, prticolrmente semplice, di un mtrice (costituit, cioè, d un solo numero rele). Definizione.. Si A = [ ] un mtrice qudrt ; dicimo determinnte di A il rele e scrivimo: deta = Dunque =. Per estendere l definizione mtrici qudrte m m (con m>), dobbimo introdurre il concetto di complemento lgebrico. Definizione.. Dt l mtrice qudrt A(m m) e considerto il suo elemento ij (pprtenente ll rig i-esim e ll colonn j-esim), si dice complemento lgebrico A ij dell elemento ij il determinnte dell mtrice (m) (m) ottenut dll mtrice A sopprimendo l rig i-esim e l colonn j- esim, moltiplicto per () ij. Esempio.. Dt l mtrice qudrt A = A = () = () = A = () = () = A = () = () = A = () = () = risult: Definizione.9. Dt l mtrice qudrt A(m m), dicimo determinnte di A il rele ottenuto moltiplicndo tutti gli elementi di un (qulsisi) rig o di un (qulsisi) colonn di A per i rispettivi complementi lgebrici, e sommndo i prodotti così ricvti. L precedente definizione presuppone che il determinnte trovto non vri l vrire dell prticolre rig o colonn considert per effetturne prticmente il clcolo (è possibile dimostrre quest invrinz). Esempio.. Per A = è: deta = A A = () = Il clcolo del determinnte di un mtrice è sintetizzto nell regol: = Esempio.. Dt l mtrice A( ): A = 9 risult:

14 deta = A A A Clcolimo i complementi lgebrici A, A, A : A = () 9 A = () A = () 9 = ()(9) = = ()() = = ()(9) = Quindi: deta = ()() = Anche per il clcolo del determinnte di un mtrice qudrt esiste un regol prtic (dett regol di Srrus), rissunt nel procedimento seguente: si scriv l mtrice A( ) in questione e, di seguito, si riscrivno le sue prime due colonne: con riferimento ll tbell così ottenut, si considerino i prodotti degli elementi che si trovno sulle digonli discendenti, venti direzione dll lto-sinistr l bsso-destr : Tli prodotti devono essere ddizionti tr loro (così come vengono ottenuti, senz essere cmbiti di segno); si considerino quindi i prodotti degli elementi che si trovno sulle digonli scendenti, con direzione dl bsso-sinistr ll lto-destr : Tli prodotti devono essere cmbiti di segno e ddizionti i precedenti. Il risultto che si ottiene è il determinnte dell mtrice A( ): deta = Esempio.. Dt l mtrice A( ) esmint nell esempio precedente), clcolimo il suo determinnte con l regol di Srrus. Dll tbell:

15 9 9 ottenimo: deta = 9 9 = Definizione.. L mtrice qudrt A(m m) si dice singolre se il suo determinnte è nullo. Esempio.. Determinre il vlore di α R in modo che l mtrice A( ): A = α si singolre. Il determinnte di A può essere fcilmente clcolto se notimo che l prim colonn è costituit dll elemento seguito d due elementi nulli: deta = α = α (gli ltri due complementi lgebrici vengono moltiplicti per ). Pertnto A è singolre qundo α =. Enuncimo or i due risultti seguenti. Proposizione.. Esiste l mtrice invers dell mtrice qudrt A(m m) se e soltnto se A non è singolre. In tle cso, l mtrice invers A - dell mtrice A è unic. Un mtrice qudrt non singolre viene nche denomint invertibile. Proposizione.. Dt l mtrice qudrt A(m m) non singolre, l su mtrice invers A - (m m) si ottiene scrivendo l trspost A T dell mtrice dt, sostituendo ciscun elemento di tle mtrice trspost il rispettivo complemento lgebrico e dividendo l mtrice così ottenut per deta. Esempio.9. Determinimo l invers dell A = Risult deta = ; pertnto A è non singolre e dunque invertibile. L trspost è: A T =. Sostituimo ogni elemento di A T il rispettivo complemento lgebrico:

16 Dividimo infine quest ultim mtrice per deta = ; risult: A - = = Possimo inoltre verificre che è AA - = A - A = I. Inftti: AA - = = = = = I A - A = = = = = I L determinzione del rngo può essere condott pplicndo il concetto di determinnte. Enuncimo tle rigurdo l importnte proposizione seguente: Proposizione.. Dt un mtrice A(m n), si k il mssimo intero positivo tle che l mtrice qudrt B(k k), ottenut considerndo gli elementi comuni k righe e k colonne di A, si non singolre; llor il rngo di A(m n) è k. Esempio.. Dt A = 9, è deta =. Il rngo di A( ) è.

17 9 Esempio.. Determinimo il rngo dell mtrice A( ): A = Il rngo di A non può superre : coincide con il rngo per righe di A (non mggiore di ) e con il rngo per colonne di A (non mggiore di ); inoltre, il mssimo intero positivo k tle che un mtrice ottenut considerndo gli elementi comuni k righe e k colonne di A si qudrt è. Per dire che il rngo di A è dovremmo estrrre d A un B( ) non singolre; le mtrici ottenute considerndo due righe e due colonne di A sono però tutte singolri: 9 9 e risult: e risult: e risult: 9 = 9 = 9 = 9 = = = Il rngo di A è : inftti, qulsisi mtrice estrtt d A (costituit d un singolo elemento di A) h determinnte non nullo e quindi è non singolre. Ci occuperemo or dell risoluzione di un sistem di m equzioni di primo grdo nelle n incognite x, x,, x n. Tle sistem, denominto sistem linere, può essere efficcemente descritto utilizzndo vettori e mtrici. x x n xn = b x x nxn = b Definizione.. Il sistem: mx mx mnxn = b di m equzioni di primo grdo nelle n incognite x, x,, x n si dice sistem linere; esso, considerndo l mtrice A(m n): m A = m m n n mn dett mtrice dei coefficienti, il vettore-colonn x(n ):

18 x = x x x n detto vettore delle incognite e il vettore colonn b(m ): b = b b b m detto vettore dei termini noti, può essere scritto, in form comptt: Ax = b Si dice soluzione di un sistem linere in m incognite un vettore numerico n : α α α n tle che, posto ugule l vettore x delle incognite, tutte le equzioni costituenti il sistem sino soddisftte. Un sistem linere si dice: possibile (o comptibile) se mmette (lmeno) un soluzione; impossibile (o incomptibile) se non mmette lcun soluzione. Un sistem linere possibile si dice inoltre: determinto se mmette un unic soluzione; indeterminto se mmette più di un soluzione. Si può dimostrre che se un sistem linere mmette più di un soluzione, llor esso mmette infinite soluzioni. Per risolvere un sistem linere di m equzioni in m incognite Ax = b considerimo l A, mtrice qudrt m m. Se A è non singolre, cioè se deta, esiste l mtrice invers A - e possimo moltiplicre sinistr entrmbi i membri dell precedente uguglinz per A - ; ottenimo: A - Ax = A - b e, ricordndo che A - A = I, risult: Ix = A - b e infine: x = A - b soluzione di tle sistem (si può provre che tle soluzione è unic).

19 Rissumimo qunto finor esposto nell proposizione seguente. Proposizione.. Il sistem linere di m equzioni in m incognite: Ax = b con l mtrice A(m m) non singolre mmette un e un sol soluzione; ess è dt dl vettore: x = A - b Esempio.. Risolvimo il sistem linere di equzioni in incognite: x x = x x = L mtrice dei coefficienti: A = è non singolre, essendo deta =. Possimo dunque ricvre l mtrice invers A - =. Per determinre l soluzione (unic) del sistem linere, clcolimo: x = A - b = = L soluzione del sistem linere ssegnto è dt quindi d: x = x = Uno dei più diffusi procedimenti per l risoluzione di un sistem linere di m equzioni in m incognite (qundo l mtrice dei coefficienti è non singolre) è bsto sul teorem di Crmer, che enuncimo. Proposizione.. Teorem di Crmer. Dto il sistem linere di m equzioni in m incognite: Ax = b con l mtrice dei coefficienti A(m m) non singolre, l su unic soluzione è dt d: x = det A, x = det A,, x m = det Am det A det A det A dove le A i (con i m) sono le mtrici ottenute sostituendo ll i-esim colonn dell mtrice dei coefficienti A il vettore-colonn b dei termini noti. Esempio.. Risolvimo il sistem linere di equzioni in incognite: x x x x x x x x x = = 9 =

20 L mtrice dei coefficienti è: A = e non è singolre: deta =. Risolvimo il sistem linere dto con l regol di Crmer; risult: 9 x = 9 x = = = x = = = 9 = = L soluzione del sistem è dt quindi d: x = x = x = I metodi per l risoluzione di un sistem linere detti dell mtrice invers e di Crmer, presentti nei due prgrfi precedenti, sono elegnti ed efficci, m sono soggetti un pesnte limitzione: possono essere pplicti soltnto sistemi lineri di m equzioni in m incognite. Ci occuperemo or del cso generle di un sistem linere di m equzioni in n incognite: x x n xn = b x x nxn = b mx mx mnxn = b m tle che l mtrice A(m n) dei coefficienti poss nche non essere qudrt. Il primo problem d risolvere è il seguente: un sistem linere di m equzioni in n incognite è sempre possibile? Quli condizioni devono essere verificte ffinché un tle sistem mmett (lmeno) un soluzione? L rispost può essere ftt seguire dl teorem seguente, che ci limitimo enuncire. Proposizione.. Teorem di Rouché-Cpelli. Dto il sistem linere di m equzioni in n incognite: x x n xn = b x x nxn = b mx mx mnxn = b m

21 dicimo mtrice incomplet del sistem l mtrice m n dei coefficienti: m m n n mn e dicimo mtrice complet del sistem l mtrice m (n) ottenut ffincndo, destr dell mtrice dei coefficienti, il vettore-colonn dei termini noti: n b n b m m mn bm Allor il sistem dto è possibile (cioè mmette un o infinite soluzioni) se e soltnto se le sue mtrici incomplet e complet hnno lo stesso rngo. Il teorem di Rouché-Cpelli consente quindi di identificre i sistemi lineri possibili e quelli impossibili. Nel pssggio dll mtrice incomplet ll complet, il rngo potrebbe umentre: se ciò ccde, il sistem in esme è impossibile; se ciò non ccde, il sistem è possibile (determinto o indeterminto). Esempio.. Il sistem linere di tre equzioni in due incognite: x x = x x = x x = non mmette soluzioni. Inftti il rngo dell su mtrice incomplet è (il lettore lo verificherà d esempio provndo che = ), mentre il rngo dell mtrice complet è (il determinnte di ess è ). Esempio.. È dto il sistem linere di due equzioni in tre incognite: 9

22 x x x = x x x = L su mtrice incomplet è: e h rngo (il lettore lo verificherà, d esempio, provndo che = ); nche l su mtrice complet: h rngo (si può ripetere l verific precedente!) e quindi, in bse l teorem di Rouché-Cpelli, il sistem è possibile. Per impostre l risoluzione, considerimo un numero di equzioni e di incognite pri l rngo () dell mtrice incomplet, ccertndo che l mtrice dei coefficienti di tli incognite si non singolre; le rimnenti incognite srnno considerte prmetri (e portte l secondo membro, con i termini noti). Possimo scegliere come incognite x, x e considerre x prmetro: x x x x = x = x Questo sistem, di due equzioni in due incognite, può essere risolto pplicndo il teorem di Crmer; si ottiene: x x x x x = = x x = = x Pertnto, per ogni vlore ttribuito ll incognit x, che possimo indicre con k R, trovimo un soluzione del sistem: x = k x = k x = k Il sistem linere dto è possibile e indeterminto. Definizione.. Un sistem linere di m equzioni in m incognite si dice o- mogeneo se tutti i suoi termini noti sono nulli, cioè se può essere scritto nell form: Ax = essendo il vettore nullo m-dimensionle. È possibile pplicre, nche in questo cso, i teoremi di Crmer e di Rouché- Cpelli. M lcune considerzioni specifiche si rivelno interessnti.

23 L risoluzione di un sistem omogeneo è semplice se l mtrice A(m m) dei coefficienti è non singolre. In tle cso risult pplicbile il teorem di Crmer, in bse l qule pervenimo ll soluzione (unic): x = x = = x m = Più interessnte è il cso in cui l mtrice A(m m) dei coefficienti è singolre. A tle situzione è dedict l proposizione seguente, che enuncimo. Proposizione.. Se il sistem linere omogeneo di m equzioni in m incognite Ax = h l mtrice dei coefficienti A(m m) singolre, llor l su soluzione è (per ogni k R): x = ka i x = ka i x = ka im essendo A i, A i,, A im (con i m) i complementi lgebrici non tutti nulli di un rig dell mtrice A(m m). Esempio.. È ssegnto il sistem linere omogeneo di tre equzioni in tre x x αx = incognite (dove α è un prmetro rele): x x x = x x x = Si determini α in modo che tle sistem bbi soluzioni non tutte nulle, e in tle cso si risolv il sistem. Il determinnte dell mtrice dei coefficienti è: α = α Affinché il sistem dto mmett soluzioni non tutte nulle, dobbimo imporre che l mtrice dei coefficienti si singolre, cioè che il suo determinnte si nullo. Questo ccde se: α =. In tle cso l soluzione del sistem è: x = k x = k x = k (dove bbimo indicto i complementi lgebrici degli elementi dell prim rig dell mtrice dei coefficienti) cioè: x = k x = k x = k per ogni vlore ttribuito l rele k.