U.D. N 13 Le inequazioni ad una incognita

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1 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 5 U.D. N Le inequzioni d un incognit 0) Proprietà delle disuguglinze fr numeri reli reltivi 0) Inequzioni e loro proprietà 0) Inequzioni rzionli intere di primo grdo d un incognit 04) Segno del trinomio di secondo grdo : T = c 05) Inequzioni rzionli intere di secondo grdo d un incognit 06) Sistemi di inequzioni d un incognit 07) Inequzioni rzionli frtte d un incognit 08) Inequzioni di grdo superiore l secondo 09) Inequzioni rzionli intere iqudrtiche 0) Inequzioni irrzionli d un incognit ) Equzioni con vlori ssoluti ) Inequzioni con vlori ssoluti ) Risoluzione grfic di un inequzione

2 6 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Proprietà delle disuguglinze fr numeri reli reltivi Si dice che un numero rele reltivo è mggiore, ugule o minore di un ltro numero rele reltivo qundo l differenz tr il primo numero ed il secondo numero risult rispettivmente positiv, null, negtiv, cioè qundo : 0 0 Dti i numeri reli reltivi, si può verificre un sol delle tre seguenti relzioni : >, =, Si chim disuguglinz tr i numeri reli, ogni scrittur del tipo > con l qule si vuole esprimere che un numero è mggiore o minore di un ltro numero. Dti tre numeri, se il primo è mggiore del secondo ed il secondo è mggiore del terzo, nche il primo è mggiore del terzo ( proprietà trnsitiv delle disuguglinze ) {, } > > c > c Aggiungendo o togliendo d medue i memri di un disuguglinz uno stesso numero si ottiene un disuguglinz dello stesso tipo ( senso ). > m > m, m m m, R In un disuguglinz un termine può essere portto d un memro ll ltro cmindolo di segno. m > > m m m Moltiplicndo e dividendo medue i memri di un disuguglinz per uno stesso numero positivo si ottiene un disuguglinz dello stesso tipo. In simoli imo : > c > c c c c c >, R c R c, R c R c Moltiplicndo e dividendo medue i memri di un disuguglinz per uno stesso numero negtivo si ottiene un disuguglinz di senso contrrio. In simoli imo : > c c c > c c c, R c R c >, R c R c (*) (*) (*) simolo di congiunzione logic ; s i legge : e >>

3 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 7 > se, R > se, R > se, R > se, R Inequzioni e loro proprietà Considerimo due funzioni numeriche f ( ) e g entrme definite in un insieme I R. Se ll ttriuimo un prticolre vlore numerico ( d esempio ) dell insieme I, f ( ) e g ssumono vlori numerici tli che per essi è possiile un sol delle tre seguenti relzioni : f ( ) > g( ) f ( ) = g( ) f ( ) g( ) Spesso è necessrio generlizzre il prolem e ricercre tutti i vlori di si verific un delle due seguenti relzioni : [] f > g f g [] I per i quli L relzione [] ( o l relzione [] ) che trduce il prolem dell ricerc di tutti i vlori numerici di I per i quli l funzione f ( ) ssume vlori numeri mggiori o minori di quelli ssunti dll funzione g dicesi inequzione. In reve possimo dire che un inequzione è un disuguglinz condiziont post llo scopo di stilire se esistono vlori dell che rendono f ( ) mggiore o minore di g. Le due funzioni f ( ) e g si chimno i due memri ( primo e secondo memro ) dell inequzione, mentre l vriile dicesi incognit. Le soluzioni o rdici di un unequzione d un incognit sono intervlli. Un inequzione che non mmette soluzioni dicesi impossiile, se mmette soluzioni si dice possiile. Due inequzioni si dicono equivlenti se mmettono le stesse soluzioni, cioè se ogni soluzione dell prim è nche soluzione dell second e vicevers ogni soluzione dell second è nche soluzione dell prim. Se nelle funzioni f ( ) e g le operzioni d eseguirsi nell incognit sono solo di ddizione, sottrzione e moltipliczione ( in tl cso f ( ) e g sono polinomi ) l inequzione dicesi rzionle inter.

4 8 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Se, infine, f ( ) e g o entrme sono funzioni irrzionli l inequzione dicesi irrzionle. Per le inequzioni vlgono i seguenti 0) Principio preliminre principi di equivlenz: perndo secondo le regole del clcolo lgerico ll interno del primo o del secondo memro o di entrmi i memri di un inequzione ottenimo un inequzione equivlente ll dt. 0) Principio di ddizione e di sottrzione Se p è un polinomio in llor è vlido il seguente teorem fondmentle : f > g f ± p > g ± p D questo teorem si deducono i due seguenti corollri: ) Se nei due memri di un stess inequzione compiono due termini uguli, questi si possono eliminre ) un qulsisi termine di un inequzione può essere trsportto d un memro ll ltro purchè lo si cmi di segno 0) PRINCIPI DI MLTIPLICAZINE E DI DIVISINE Esso fferm qunto segue : f > g m f > m g f f f g > m R g f m > g k f k g g > > m R m k R > g f k k R > k Per k = imo f > g f g > cioè possimo cmire il segno tutti i termini di un inequzione purché ne cmimo il senso. Le inequzioni f > g e f g > 0 sono equivlenti, per cui un qulsisi inequzione può essere ricondott ll seguente form cnonic : P( ) > 0 Se Φ( ) è un polinomio ridotto form cnonic, llor il suo grdo dicesi grdo dell inequzione rzionle inter.

5 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 9 sservzione :Se moltiplichimo o dividimo mo i memri di un inequzione per un funzione p, in generle, non ottenimo un inequzione equivlente, cioè l inequzione f > g non è equivlente né ll inequzione p f > p g né ll inequzione f p g > [4] p [] p f g > Inftti l inequzione [] è equivlente ll inequzione : 0 l qule, su volt, è equivlente i due sistemi : p > 0 p 0 f g > 0 f g > 0 i quli, come si intuisce fcilmente, non sono equivlenti ll inequzione g f >. Le suddette inequzioni sono equivlenti soltnto qundo p è un funzione positiv in tutto il suo dominio. Inequzioni rzionli intere di primo grdo d un incognit Sono inequzioni che possono essere ricondotte d un delle seguenti forme: > Per risolvere un inequzione di primo grdo ridott form cnonic st dividere mo i memri per, ricordndo di cmire il senso dell inequzione se è 0. > > se > 0, se > 0, ESEMPI se 0 > se > per > ; 7 > 7, 7 7 ;

6 0 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit ( ) ( )( ) per 7 6 / / / /, 6 7, Attrverso lo studio del segno di un inomio di primo grdo è possiile risolvere inequzioni di grdo superiore l primo. Nturlmente il primo memro dell inequzione ridott form cnonic deve essere decomposto in fttori di primo grdo. IL segno del inomio di primo grdo coincide col segno di ll destr dello zero del inomio. Questo signific che il segno del inomio di primo grdo coincide col segno di per vlori dell mggiori dello zero del inomio > 0 ( )( )( ) 5 7 > 0 per 7 e 5 Si clcolno gli zeri dei tre fttori di primo grdo e si compil il seguente prospetto. = 0 =, 5 = 0 = 5, 7 = 0 = ( )( 5)( 7)

7 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit per, > > 0 > ( )( )( ) 5 5 ( )( 5)( ) Segno di un trinomio di secondo grdo d un incognit Considerimo un trinomio di secondo grdo nell vriile : T = c [5] con,, c numeri reli reltivi costnti ( cioè numeri dti indipendenti d ) ed 0. Col simolo T( α ) intendimo il numero che si ottiene qundo nell [5] l posto dell ponimo α, cioè il vlore numerico che ssume il trinomio per = α. Se ponimo : c = 0 [6] ottenimo un equzione di secondo grdo in ( dett equzione ssocit l trinomio ) le cui rdici ed si chimno zeri del trinomio. Per convenzione ponimo. Δ = 4 c = DISCRIMINANTE del trinomio [7] 0) Δ>0 : il trinomio mmette due zeri reli e distinti = Δ, = Δ se > 0 = Δ = Δ se 0 0) Δ=0: il trinomio mmette due zeri reli e coincidenti = = 0) Δ0 : il trinomio mmette due zeri complessi e coniugti, il trinomio non si nnull mi R. L intervllo limitto ed perto ] [, è detto intervllo delle rdici. Se ], [ ], [ dicimo che l vriile ssume vlori esterni ll intervllo delle rdici. Dll lger sppimo che : T ( )( ) = [8]

8 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Studire il segno del trinomio signific stilire per quli vlori dell vriile esso ssume vlori positivi, negtivi, nulli. Doimo distinguere tre csi : 0) Δ>0 Il trinomio ssume lo stesso segno di per vlori dell esterni ll intervllo delle rdici, segno opposto d per vlori dell interni ll intervllo delle rdici. Sinteticmente possimo scrivere : T() ; > 0 T() ; 0 Studire il segno del trinomio T = 4 L equzione ssocit l trinomio è : 4 = 0, =, = ( zeri del 8 4 trinomio) ; = - 0 T > 0 8, 4 ( cioè per 8 ] 4 T 0,, 8 4 ( cioè per 8 ed > 4 ] T = 0 per = 8 ed = 4 0) Δ=0 : il trinomio ssume sempre lo stesso segno di e si nnull per = = Quindi il segno di T() coincide col segno di, trnne che per = in corrispondenz del qule il trinomio si nnull. = T() T() ; ; >0 0

9 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Studire il segno del trinomio T = 4 9 = 0 Δ=0, = 4 0, = = T > 0, T 0, T = 0 per = 0) Δ0 Il trinomio ssume sempre lo stesso segno di. Studire il segno del trinomio T = 4 T() >0 T() 0 Δ0, > 0, T > 0 R, T 0 Inequzioni rzionli intere di secondo grdo Sono inequzioni riconduciili d un delle due seguenti forme: c > 0 c 0 Per risolvere un inequzione di secondo grdo d un incognit ridott form cnonic st ricordre le proprietà del segno del trinomio. 7 6 > 0 ) 7 6 = 0, =, = 7 6 = - 0

10 4 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Sistemi di inequzioni in un incognit Dicesi sistem di inequzioni in un incognit l insieme di due o più incognite di cui voglimo trovre, qundo esistono, le soluzioni comuni. Un sistem di inequzioni dicesi possiile se mmette soluzioni, impossiile se non mmette soluzioni. In quest ultimo cso le inequzioni che compongono il sistem sono fr loro incomptiili. Per risolvere un sistem di inequzioni si procede come segue : si trovno le soluzioni di tutte le inequzioni che compongono il sistem. Come sppimo tli soluzioni sono intervlli numerici L intervllo o gli intervlli numerici comuni tutti gli intervlli precedentemente trovti sono le soluzioni del sistem. 5 0 > 0 per e > per > 0 per > > 0 (*) 4 Il sistem dto è verificto per e cioè, 5 5, (*) Gli intervlli soluzioni delle singole inequzioni vengono messi in evidenz medinte serpentine. Le serpentine disegnte sull sse orientto ci dicono quli sono le soluzioni del sistem dto.

11 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 5 Il sistem è verificto per Inequzioni rzionli frtte d un incognit Sono inequzioni che possono essere ricondotte d un delle due seguenti forme : [] A B > 0 A B 0 [] con A e B polinomi in. Per risolvere queste inequzioni isogn scrtre i vlori dell che nnullno il denomintore B, cioè isogn porre : B 0. Le soluzioni dell inequzione A B A B > 0 > 0 > 0 coincidono con le soluzioni dei due seguenti sistemi : A B 0 0

12 6 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Le soluzioni dell inequzione A B 0 coincidono con le soluzioni dei due seguenti A > 0 A 0 sistemi : B 0 B > 0 Nell prtic, però, conviene risolvere un inequzione frzionri ttrverso lo studio del segno dei fttori di primo e di secondo grdo in cui possono essere decomposti i polinomi A() e B(). I seguenti esempi servirnno chirire qunto detto. ( )( ) ( ) > 0 per, 5 7 = 0 = 7, 4 5 = 0 = = 5, > 7 = 0 =, = ( )( ) ( ) Inequzione iqudrtic E un inequzione riconduciile d un delle due seguenti forme : 4 4 c > 0 c 0 4 Si risolve decomponendo in fttori di secondo grdo il trinomio c e studindo il segno dei singoli fttori. 5 per :, ± = 0, = 9 = 5 ± 8 9 5, =, = 9 9

13 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 7 ( 9) ( 9 5)( 9) = = 9 L inequzione propost può essere scritt nell seguente mnier : ( )( ) ( 9 5)( 9) Inequzioni irrzionli Un inequzione si dice irrzionle qundo in ess l incognit figur lmeno un volt sotto il segno di rdice. In generle, l risoluzione di un inequzione irrzionle present notevoli difficoltà. Noi ci limiteremo ll risoluzione di lcuni tipi di inequzioni irrzionli. Indichimo con A e B due polinomi in. Inequzioni irrzionli del tipo : A B > [] Siccome operimo nel cmpo dei numeri reli dovrà essere : [] B 0 ( condizione di reltà ) Inoltre, poiché convenimo di considerre i rdicli in senso ritmetico, dovrà essere : [] A( ) > 0 ( condizione di positività ) Sotto queste condizioni è lecito elevre mo i memri dell [] l qudrto ottenendo : B [ A] > [4] Pertnto l inequzione [] è equivlente l sistem: 0 > 0 > B B A [ A] cioè le soluzioni dell inequzione [] coincidono con quelle del sistem [5]. [5]

14 8 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 5 > per > 0 ( ) > per, 5 > 0 per > 0 4 > 0 R > > 0 4 > per 0, 7 0 > 0 ( ) > 0 per 0, > 0 per > > 0 per > > > 0 Inequzione irrzionle del tipo : A B Ess è equivlente l sistem : > [6] > 0 > B B A A 0 [7] 4 5 > 7 per : 7, ( )( ) > > per 7, 4 5 > 0 per 5, > 6 > 0 R

15 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 9 > 5 6 per > 0 > per 5 > 0 per > 8 > 0 per 4 Inequzione irrzionle del tipo : A B 6 5 Ess è equivlente i due seguenti sistemi : [9] B A > 0 8 > 0 [8] 0 > 0 B A B [ A] Nel sistem [0] possimo trscurre l inequzione B ll inequzione [ A ] B [0] > 0 in qunto ess è suvvlente. Quindi le soluzioni dell inequzione [8] coincidono con quelle dei due seguenti sistemi : [9] B A per : 0 B A [ A] [] per, 5 0 per 5 Il sistem è verificto per

16 0 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 0 ( ) per per 0 Questo secondo sistem non mmette soluzioni. Altre inequzioni irrzionli > B [ A ] > B A B [ A ] B A > B A > B A B A B A 4 > 5 46 per, > 4 4 > 5 46, > > 0, 4 6 > 0 per, > 4 Inequzioni irrzionli del tipo : A B > C A B C > per : Imponimo, innnzitutto, l condizione di reltà : 0 per 0 per 0 per I tre rdicli sono reli se :. Essendo mo i memri dell inequzione positivi, possimo elevre l qudrto ottenendo : / 4 > /, 4 Quest inequzione irrzionle, tenendo presente l condizione di reltà, equivle i due seguenti sistemi : 4 0 per, 0 per > Questo sistem è verificto per 0 ( ) 4( 4) 0 7 > 0

17 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Condizione generle di reltà > 7,, 07, Questo sistem non mmette soluzioni per Condizione di reltà : 0 0 C.R. Per risult : > 0, quindi è possiile elevre mo i memri ll sest potenz ottenendo : ( ) ( ), disuguglinz sempre verifict per, in qunto il primo memro è sempre negtivo ed il secondo memro è sempre positivo. Quindi l intervllo [, [ è l soluzione dell inequzione propost. per : 5 4, Condizione di reltà : 0 per, 9, 8 0 0, 4 5 > 0 per : 4 4, > > 0

18 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Equzioni contenenti vlori ssoluti dell incognit Sono equzioni in cui l vriile ( incognit ) figur lmeno un volt ll interno di un vlore ssoluto. Si risolvono tenendo presente l definizione di vlore ssoluto di un numero rele reltivo, cioè ricordndo che se R imo : se > 0 = 0 se = 0 se 0 In generle, un equzione con uno o più vlori ssoluti si trsform in due o più equzioni senz vlori ssoluti, ciscun delle quli h l vriile vincolt vrire in un determinto intervllo przile. Un criterio generle potree essere il seguente : ) si studi il segno dell funzione f ( ) presente ll interno del singolo simolo di vlore ssoluto ) ottenimo due o più intervlli przili ll interno dei quli tutte le funzioni f ( ) ssumono segno costnte, cioè sono positive o negtive ) in ogni intervllo przile eliminimo i vlori ssoluti ricordndo che : f se f f se f > 0 = 0 = 0 f se f 0 ttenimo, in ogni singolo intervllo przile, un equzione senz vlori ssoluti m con delle limitzioni per l incognit. Nell risoluzione di un equzione con moduli possono essere utili le seguenti equivlenze : f = k R f = ± k L equzione f = k R non mmette rdici reli f = g f = ± g = g / f = ± g f f = g g 0 = ± g f g 0

19 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit = - 0,0, > 6 4 =, 0 4 = 0 = 5 ± 5 4, =5 9 ( R.A.) = =, = 0 Quest equzione non mmette rdici reli 6 4 =, 5 4 = 0 Quest equzione non mmette rdici reli - = 5 Primo metodo = 5, = S.A. > = 5, 0 4 S.A. Secondo metodo Essendo 5 > 0, possimo elevre l qudrto mo i memri dell nostr equzione ottenendo : = 5, 4 9 = 5, 4 6 = 0, 4 = 0 = ( S.A. ), = 4 ( S.A. ) Terzo metodo = ± 5, = 5, =, = 5, = 5, = 4 = [D] Primo metodo =, =, = ( S.A. ) > =, = 4 ( S.A. )

20 4 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Secondo metodo Per elevre l qudrto mo i memri dell equzione [D] doimo supporre. Sotto tli ipotesi ottenimo : ( ) = ( ) 0, cioè : 4 9 =, 4 8 = 0, = ( S.A. ), = 4 ( S.A. ) Se supponimo Terzo metodo 0, cioè : possimo scrivere : = ± ( ) = = ( S.A. ), = = 4 ( S.A. ) -7-7 = 7 Primo metodo 7 = 7, = 0 ( R.N.A. ) 7 = 7, = 4 ( R.N.A.) > = 7, = 0 ( S.A. ) ( ) ( 7) Secondo metodo =, 4 9 = 4 49, 6 40 = 0 4 =, = 0 Terzo metodo ( ) = ± 7 se = 7 = 0, = 7 = = 5 / / = 5 5 = 5 Tutti i punti dell intervllo ], ] sono soluzioni dell equzione dt

21 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 5 = 5 = 4 = > / / = 5 5 = 5 Nell intervllo ], [ l equzione propost non mmette soluzioni - - = = = 6 = ( R.N.A. ) = = 4 ( R.N.A. ) > = = 0 ( R.N.A. ) L equzione propost non mmette soluzioni. Principli proprietà dei moduli c c il segno di uguglinz vle qundo,, c,... sono concordi. il segno di uguglinz vle qundo, sono concordi ed il modulo di è mggiore del modulo di. c = c = = R R y y y, y R y = y y se y > 0 y y = y se y 0

22 6 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit Inequzioni con vlori ssoluti Le inequzioni con vlori ssoluti si risolvono ricordndo che : se > 0 = 0 se = 0 se > 0 f =± se > 0, f f se f f se f > 0 = 0 = 0 f se f > 0 =± se f > 0 Prticolrmente importnti, soprttutto in nlisi mtemtic, sono le seguenti inequzioni con vlori ssoluti : σ σ > 0 h > h > 0 σ 0 σ σ σ f ( ) ε > 0 f k ε ε f ε f f ε >ε - h 0 h h > h > k > 0 f k f > k c δ δ > 0 f c R δ c δ c δ c δ c δ c c δ δ δ f c δ δ c f c δ Prticolrmente importnti ed utili sono le tre seguenti inequzioni : f g f > g f > g dove f ( ) e g sono funzioni reli di vriile rele. f g > g f g g 0 f f >g g g > 0

23 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit 7 CAS PARTICLARE Se g è un costnte, che per semplicità indicheremo con, si h : f Se 0 l inequzione non mmette soluzioni in qunto un numero positivo non può essere più piccolo di un numero negtivo Se > 0 llor le soluzioni dell inequzione propost coincidono con le soluzioni del sistem : f cioè L soluzione dell inequzione f g f f > > coincide con l unione degli intervlli che risolvono l seguente inequzione : g 0 ed i due seguenti sistemi : g 0 g 0 f > g f g CAS PARTICLARE Se g è un costnte che, per semplicità indicheremo col simolo, l inequzione divent : f Se 0 l inequzione divent un inidentità ( disuguglinz ) in qunto il primo memro, mi negtivo, è sicurmente mggiore di un numero negtivo Se 0 llor l inequzione dt è equivlente lle due seguenti inequzioni : L inequzione f g f f > > > è equivlente i due seguenti sistemi di inequzioni : f f >g > g f f g g 4 per, 6, > 6 4, 4 4 >

24 8 Unità Didttic N Le inequzioni d un incognit I II > 0 per,, > > 0 per, 6, > N D 5 4 N D I II per > Per 0 l inequzione divent :, > 0 per 0 in qunto : > 0 R Per 0 l inequzione divent :, > 0 per 0 in qunto : > 0 R L intervllo ], [ è l soluzione dell inequzione propost.