ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

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Maria Teresa Valentino
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1 Potenze con esponente rele L potenz Sono definite: è definit:. se 0, per ogni R. se 0, per tutti e soli gli R. se 0, per tutti e soli gli Z Non sono definite: 0 0. Csi prticolri :,, per ogni R 0 0,, per ogni R Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi(z) vlgono nche per esponenti reli (R): Se 0, : b per ogni, b pprtenenti R vle : Funzione esponenzile Si chim funzione esponenzile ogni funzione del tipo :, con 0 fissto, R. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è tutto R il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R + (l funzione esponenzile è sempre strettmente positiv). Si distinguono tre csi: : funzione crescente : : funzione costnte : per ogni R 0 : funzione decrescente :. Anlizzimoli uno d uno: Prof.ss Ann Rit Vlente

2 ESERCITAZIONE Costruimo il grfico dell funzione esponenzile e' mggiore di, esempio =. qundo l bse Qundo l bse e' mggiore di tutte le curve ottenute con qulunque bse hnno le stesse crtteristiche. L funzione divent > Costruimo per punti: dimo dei vlori ll ed ottenimo l /6 /8 /4 / or metto i punti trovti nel grfico il punto (4,6) non e' stto messo Qundo l cresce l tende vlori sempre più grndi (quindi tende infinito) llor l funzione si dice CRESCENTE. Osservzione: se =, si h: = = = che è l funzione costnte, rppresentt d un rett prllel ll'sse. Prof.ss Ann Rit Vlente

3 ESERCITAZIONE Costruimo il grfico dell funzione esponenzile e' compres tr 0 ed, esempio = ½. Voglio costruire il grfico dell funzione 0<< Costruimo per punti: dimo dei vlori ll ed ottenimo l qundo l bse / /4 /8 /6 or metto i punti trovti in un grfico il punto (-4,6) non e' stto messo Qundo l cresce l decresce (quindi tende zero) llor l funzione si dice DECRESCENTE. Se unimo i due grfici notimo che sono SIMMETRICI rispetto ll sse delle. Questi grfici sono ll bse dell risoluzione di equzioni esponenzili. UN PO DI STORIA L funzione esponenzile con bse e è un f con bse specile che si chim numero di NEPERO e vle,788 (è un numero irrzionle). Un proprietà importnte di quest funzione è che l tngente ll curv nel punto (0) è prllel ll bisettrice del primo e terzo qudrnte, vendo equzione = + Prof.ss Ann Rit Vlente

4 Un'equzione si dice esponenzile qundo l'incognit compre soltnto nell'esponente di un o più potenze. L'equzione esponenzile più semplice (elementre) è del tipo : b, con 0 e b 0 è l' incognit dell' equzione. QUANTE SOLUZIONI AMMETTE? Per rispondere tle domnd, osservimo che grficmente, risolvere un equzione equivle determinre, se esiste, l sciss del punto di intersezione tr il grfico dell funzione esponenzile e l rett = b. Notimo llor che esiste sempre UNA SOLA soluzione, trnne che per vlori di b minori o uguli zero!!! Un'equzione esponenzile del tipo RIASSUMENDO b può essere: impossibile se b 0, oppure b e esempio : oppure 5 indetermint se, b esempio : determint se 0,, b 0 esempio : 5. Prof.ss Ann Rit Vlente

5 PER RISOLVERE LE EQUAZIONI ESPONENZIALI DISTINGUIAMO: EQUAZIONI IN CUI SI POSSONO UGUAGLIANZE LE BASI ( utilizzndo le proprietà delle potenze). Risolvimo l'equzione: 8 6 Osservimo che: e. Quindi è possibile trsformre l'equzione ssegnt nell'equzione: L soluzione dell'equzione dt è quindi. EQUAZIONI RIDUCIBILI AD EQUAZIONI ALGEBRICHE RICORRENDO AD UN INCOGNITA SUPPLEMENTARE. Risolvimo l'equzione: 6 Osservimo che:. L'equzione ssegnt è equivlente : Il denomintore, essendo un funzione esponenzile, non può ssumere il vlore zero. Possimo moltiplicre per entrmbi i membri, ottenendo: E' evidente l struttur di equzione lgebric di II grdo nell'incognit. Risolvendo tle equzione (può essere utile introdurre un vribile usiliri z per rendere più evidente l ntur di equzione di secondo grdo) si h: oppure 4 d cui: oppure ALTRI TIPI DI ESPONENZIALI: f() = b g() dove b Per risolverle è necessrio uno strumento nuovo, il LOGARITMO che vedremo subito dopo l trttzione delle esponenzili. Prof.ss Ann Rit Vlente

6 n ADESSO PROVA TU!! m m. Tenendo presente che n, scrivi le seguenti potenze sotto form di rdice: 5 8 ) b). 4. Scrivi le seguenti rdici sotto form di potenz con esponente rzionle: ) b) Risolvi le seguenti equzioni esponenzili: 9 ) 6 b) c) 6 4 d) e) 4 0 f) 9 Prof.ss Ann Rit Vlente

7 LOGARITMI Si chim ritmo in bse di b l'unic soluzione dell'equzione esponenzile = b = bse dell eponenzile e del ritmo = b elementre qundo è diverso d b, cioè l'esponente d ssegnre ll bse per ottenere il numero b. Supponimo di dover risolvere un'equzione esponenzile b : se e b non si scrivono come potenze (rzionli) dell stess bse, le soluzioni si scrivono sotto form di ritmi :. Il ritmo risult essere l'operzione invers dell'esponenzile, pertnto le limitzioni cui è soggetto l'esponenzile si riflettono sul ritmo: fisst l bse >0 deve essere b>0, inoltre vlgono i csi prticolri: 0, poichè 0, poichè. Anmente lle proprietà degli esponenzili precedentemente elencte corrispondono le seguenti proprietà dei ritmi: ) ) ) 4) b c c b ( R ( R ( R (, b, c 0) R, 0) R R, 0), 0) formul di cmbiment o di bse nei ritmi. I ritmi che compiono sulle clcoltrici sono in bse 0 oppure in bse e,78 : indic il 0, detto nche ritmo decimle ln, indic il e, detto nche ritmo nturle o neperino. Prof.ss Ann Rit Vlente

8 Funzione ritmic Si chim funzione ritmic ogni funzione del tipo :, con 0 e fissto, R. L funzione ritmic è l'invers dell'esponenzile, pertnto dominio e codominio risultno scmbiti rispetto quelli dell funzione esponenzile. Il dominio dell funzione, cioè l'insieme dei vlori che si possono ttribuire è R + il codominio, cioè l'insieme dei vlori che l funzione ssume è R. Si distinguono due csi: : funzione crescente : 0 : funzione decrescente : I grfici dell funzione ritmic si ottengono d quelli dell funzione esponenzile per simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte ( ) essi illustrno il comportmento dell funzione esponenzile nei vri csi : = = 0 = 0 < < > > > Prof.ss Ann Rit Vlente

9 IN LABORATORIO CON EXCEL COSTRUISCI PER PUNTI I GRAFICI DELLE SEGUENTI FUNZIONI E OSSERVA. = e. = SUGGERIMENTI:. Costruisci due tbelle di vlori un per l f esponenzile e un ritmic. osservimo che.. rppresentle grficmente COME VARIA IL GRAFICO DELLA FUNZIONE LOGARITMICA AL VARIARE DELLA BASE:. =, = > ) il grfico è contenuto nel, b) l funzione pss per c) per vlori di sempre più piccoli ( 0) sse è un ASINTOTO VERTICALE! d) Per vlori di sempre più grndi ( + inf) l funzione è sempre DEF. Un f è crescente se presi < <. = /, 0</ < ) il grfico è contenuto nel b) l funzione pss per c) per vlori di sempre più piccoli (0) sse è un ASINTOTO VERTICALE d) Per vlori di sempre più grndi ( + inf) DEF. Un f è decrescente se presi < > Se unimo i due grfici notimo che sono SIMMETRICI rispetto ll sse delle.(vedi figur in lto ross e zzurr) Prof.ss Ann Rit Vlente

10 EQUAZIONI LOGARITMICHE Un'equzione si dice ritmic qundo l'incognit compre soltnto nell'rgomento di uno o più ritmi. L'equzione ritmic più semplice (elementre) è del tipo : b, con 0 e b R 0 è l' incognit dell' equzione. L su soluzione, per qunto detto proposito dell'equzione esponenzile, è : Per risolvere un'equzione ritmic conviene:. (qundo è possibile) trsformre l'equzione dt in un equivlente del tipo A B, pplicndo le proprietà dei ritmi. determinre le soluzioni dell'equzione B b A. eseguire il controllo medinte verific dirett dei vlori di clcolti l punto 4. in lterntiv l punto, ssocire ll'equzione di cui l punto tutte le condizioni di esistenz sui ritmi (ricordimo che un ritmo è definito soltnto per vlori positivi del suo rgomento), per selezionre le soluzioni ccettbili. Prof.ss Ann Rit Vlente

11 Esempi. Risolvimo l'equzione: 5 7 Possimo trsformre l'equzione eseguendo il ritmo (in un bse qulsisi, per esempio in bse 0) del primo e del secondo membro: 5 7. Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 5 7. Applichimo l proprietà ) dei ritmi: 5 7. Isolndo ottenimo: Risolvimo l'equzione ritmic:. Imponimo le condizioni di esistenz sui ritmi dell'equzione dt, ricordndo che gli rgomenti devono essere positivi: cioè ll vribile si possono ssegnre solo i vlori mggiori di. Risolvimo l'equzione pplicndo l proprietà ) dei ritmi e osservndo che : Uguglindo gli rgomenti si h l seguente equzione equivlente: , Il vlore è minore di, quindi non è comptibile con le condizioni di esistenz. L'unic soluzione dell'equzione è dt d: 57. Prof.ss Ann Rit Vlente

12 ADESSO PROVA TU!!. Risolvi le seguenti equzioni ritmiche: ) 9 5 b) 5 c) 5 d) 6 e) 8 9 f) SOLUZIONI: ) C.E. ->0 --> > 5 quindi: -=8 =9. b) C.E. ->0 >, >0 soluz. > ( ) c) C.E. > 5 5 d) C.E. >0 4 nessun soluzione, perché ¾ è <. 4 ( ) 4 0 d cui NA e 6 soluzione e) C.E. > Prof.ss Ann Rit Vlente

13 Prof.ss Ann Rit Vlente soluzioni e ) ( 00 8 ) ( 0 8 ) ( ) ( f) C.E. > soluzione quindi NAcc m cui d ) (,, ) (, 0 ) (, ) (,

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