FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE GRAFICI DEDUCIBILI

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Chiara Fantini
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1 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE GRAFICI DEDUCIBILI Angel Dontiello

2 FUNZIONI ESPONENZIALI Crescit di un popolzione btteric Se prendimo in esme un microrgnismo, che si riproduce per scissione binri, e lo fccimo crescere in un sistem chiuso il numero dell popolzione btteric che esso produrrà vrierà nel tempo secondo cinque principli fsi: Fse di ltenz: in quest fse il numero di microrgnismi rimne pressoché costnte. Questo perché il microrgnismo deve dttrsi l tipo di terreno in cui è stto inoculto e ciò può durre nche diverse ore. Fse esponenzile: il microrgnismo si divide in mnier esponenzile con velocità di crescit costnte, rddoppindo l loro popolzione intervlli regolri. Fse di trnsizione: l velocità di crescit cominci rllentre. Fse stzionri: non vi è un umento netto dell popolzione microbic perché vi è equilibrio tr divisione e morte cellulre. Ciò succede per un nutriente che scrseggi, per l'ccumulo di sostnze tossiche, per il ph divenuto troppo bsso, e per densità dell popolzione. Fse di morte: l popolzione microbic diminuisce con un ndmento logritmo come è vvenuto per l fse esponenzile. Angel Dontiello

3 Anlizzimo l fse esponenzile: Per semplicità ssumimo che tutte le dupliczioni vvengno nello stesso istnte. Si N k l numerosità dell generzione k esim, llor l numerosità dell generzione (k -) esim srà N k-. Che relzione intercorre tr le numerosità di due generzioni successive? N k = N k- Se indico con N 0 l numerosità dell prim generzione (k = 0), llor si vrà N = N 0 N = N = 4 N 0 = N 0 N 3 = N = 8 N 0 = 3 N 0 nd so on In genere: k Nk = N0 Tle relzione non v confus con un funzione potenz, in qunto nelle funzioni potenz l vribile indipendente è ll bse e non ll esponente. Angel Dontiello 3

4 Un funzione del tipo y = f () = con > 0 e si definisce funzione esponenzile. > Dominio: R Codominio:] 0,+ [ Funzione monoton crescente in senso stretto y > 0 R Andmento gli estremi del dominio: lim = + + lim = 0 y = 3 Angel Dontiello 4

5 y = y = 3 y = 4 OSSERVAZIONE L funzione cresce tnto più rpidmente qunto mggiore è l bse. L funzione pss sempre per il punto (0,) Angel Dontiello 5

6 0 < < Dominio: R Codominio:] 0,+ [ Funzione monoton decrescente in senso stretto y > 0 R Andmento gli estremi del dominio: lim = 0 lim = + + y = 3 Angel Dontiello 6

7 y y = = 3 y = 4 OSSERVAZIONE L funzione decrescente tnto più rpidmente qunto più piccol è l bse Pss sempre per il punto (0,) Angel Dontiello 7

8 Bse nturle: y = e e è un numero trscendente definito come limite di un successione e = lim + n + n n e= Angel Dontiello 8

9 Decdimento rdiottivo Modello di Mlthus DEF. Si definisce logritmo in bse di b l esponente d dre ll bse per vere come risultto b. y y = log = Poiché 0 = llor log = 0, quindi l funzione logritmic intersec l sse delle scisse nel punto (,0) Angel Dontiello 9

10 Un funzione del tipo y funzione logritmic. FUNZIONE LOGARITMICA = f () = log con > 0 e si definisce > Dominio: ] 0,+ [ Codominio: R Funzione monoton crescente in senso stretto y > 0 con > y < 0 con 0 < < Andmento gli estremi del dominio: lim 0 + log = lim + log = + y = log Angel Dontiello 0

11 0 < < Dominio: ] 0,+ [ Codominio: R Funzione monoton decrescente in senso stretto y > 0 con 0 < < y < 0 con > Andmento gli estremi del dominio: lim + lim 0 + log log = = + Angel Dontiello

12 y = y = log log 3 y = log y = log e y = log3 Angel Dontiello

13 y = y = log Sono l un l invers dell ltr Pertnto componendole si ottiene: log = log = Angel Dontiello 3

14 ,y > 0 e > 0 PROPRIETA DEI LOGARITMI log ( y) = log + log y log = log log y y b log = blog log = log = log logritmo del reciproco log b log b c = proprietà del cmbimento di bse log c Le funzioni y = ln( + 6) e y = ln( ) + ln( + 3) sono uguli? Angel Dontiello 4

15 = 5 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI = ( ) = > l funzione è crescente in senso stretto < < Pertnto b < b > b > log e < log b 0 < < l funzione è decrescente in senso stretto Pertnto < b < b > > b < log e > log b = 05 Angel Dontiello 5

16 Angel Dontiello 6 ESEMPI < < 7 > > < + >

17 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE > l funzione è crescente in senso stretto < log < log 0 < < l funzione è decrescente in senso stretto > < log log 3 log < 4 log (3 5) < log ( ) 4 (4 + ) log ln( 4 + ) > ln( ) + ln(5 ) Angel Dontiello 7

18 Funzioni rzionli frtte DOMINI N() y = D() 0 D() Funzioni rdice di indice pri y = A() A() 0 Funzioni logritmiche y = log [A()] A () > 0 ESEMPI y = ln( 9) y log( + = 4 ) < 0 0 y = 4 log Angel Dontiello 8

19 GRAFICI DEDUCIBILI y = ln( 3) Angel Dontiello 9

20 GRAFICI IN SCALA LOGARITMICA I riferimenti in scl logritmic sono riferimenti in cui in sciss pongo un scl linere clssic, mentre in ordint, nziché l funzione y = f(), verrà riportto il log(f()). Sono utili per relizzre grfici di ndmenti esponenzili. Tli ndmenti srnno visulizzti trmite un rett. Un fenomeno descritto d un ndmento esponenzile srà rppresentto d un rett y = lnf () = lnc + y = c Se un fenomeno è descritto d un funzione linere y = +b in scl logritmic, esso vrà ndmento esponenzile f () = e e b e Angel Dontiello 0

21 Angel Dontiello

22 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON CONFRONTO GRAFICO e + = 0 Non risolubile lgebricmente y y = e = Angel Dontiello

23 e + > e > 0 y y y = = > e y Ver per > 0 dove Vlut: log > 0 log + > 0 Angel Dontiello 3

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