Funzioni razionali fratte

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1 Funzioni rzionli frtte Per illustrre l medizione che AlNuSet fornisce per lo studio delle funzioni rzionli frtte, inizimo con il considerre l funzione f ( ) l vrire del prmetro. L su rppresentzione nell mbiente Funzioni di AlNuSet è illustrt nell prim immgine dell figur sotto riportt. L rppresentzione evidenzi l presenz di un sintoto verticle e uno orizzontle coincidenti con gli ssi crtesini. Considerimo or l funzione f ( ) b. Le immgini sotto riportte visulizzno il comportmento dell funzione per diversi vlori dei prmetri e b. Si può notre come l rppresentzione dell funzione g( ) b consent di mettere in evidenz l presenz di un sintoto orizzontle. Se b viene trscinto sul punto 0, si torn l cso precedente e si evidenzi l presenz dell sintoto y 0.

2 L rppresentzione dell funzione obliquo rppresentto dll funzione f ( ) b c consente di fre esperienz dell sintoto g( ) b c (si vedl prim immgine dell figur sotto riportt). Con il trscinmento di c su 0 e di b su 1 (second immgine dell figur) si evidenzi il cso dell sintoto che è bisettrice del primo e terzo qudrnte. Il trscinmento di su vlori negtivi trsform l funzione come mostrto nell terz immgine. L esplorzione può continure considerndo l funzione f ( ) b. In questo cso è fcile rendersi conto che l funzione h un sintoto verticle coincidente con l sse delle ordinte e un ndmento sintotico rispetto ll prbol g( ) b (prim immgine sotto riportt). L esperienz compiut può essere lo stimolo per nuove domnde che possono orientre verso ltre

3 esplorzioni. Che grfico si potrà ottenere se viene rppresentt l funzione (second immgine sotto riportt), oppure l funzione riportt)? f ( ) b c 3 f ( ) b c (terz immgine sotto Riportimo di seguito un serie di esplorzioni di funzioni di grnde interesse sul pino didttico che possono essere relizzte con AlNuSet: f ( ) b c ; f ( ) b c ; f ( ) b c 3. Al lettore è lscito il compito di relizzre l esplorzione per comprendere il ruolo di medizione fornito d AlNuSet. In tutti questi csi AlNuSet è uno strumento importnte per esplorre il comportmento dell funzione l vrire dei vlori di prmetri che ne crtterizzno l struttur e nche per costruire il significto di nozioni importnti, quli quello di sintoto o di cmpo di esistenz di un funzione. In prticolre, per qunto rigurd l nozione di cmpo di esistenz di un funzione, notimo che tutte le funzioni rzionli frtte sino qui considerte non sono definite per 0. Considerimo per semplicità l funzione 1 f ( ). Per vvicinre gli studenti ll nozione di cmpo di esistenz di quest funzione si possono sfruttre tre distinte fenomenologie che crtterizzno rispettivmente l Rett Algebric, l mbiente Funzioni e il Mnipoltore Algebrico. Sull Rett Algebric, vrindo l unità di misur, si può notre che, se il punto mobile viene trscinto fcendogli ssumere vi vi vlori positivi sempre più prossimi llo 0, il vlore dell espressione 1 cresce molto velocemente. L funzione Attiv il puntmento di questo mbiente

4 1 consente di mntenere il controllo su tle vlore. Se viene trscinto sul punto 0, l espressione scompre dll rett. Per questo vlore di l espressione, perde significto. Se viene d ssumere vlori prossimi 0 m di segno negtivo, il vlore dell espressione è molto lto in vlore ssoluto m con segno quest volt negtivo. Quest fenomenologi può costituire il punto di prtenz per discutere il comportmento di grfico nel pino crtesino. 1 per vlori prossimi 0, utile nche per l interpretzione del 1 Nell mbiente Funzioni, invece, un volt che è stto trccito il grfico dell funzione f ( ) non è più possibile trscinre il punto mobile sullo 0, cioè sul vlore in cui l espressione nlitic perde significto. Sull rett si viene determinre un buco in cui non può essere trscinto e ciò perché in tle punto l funzione non è definit. Infine, se d uno dei due precedenti mbienti l espressione 1 viene invit nel Mnipoltore Algebrico, il clcoltore utomticmente introduce l condizione che definisce l su esistenz: Queste diverse fenomenologie contribuiscono chirire l importnz di vlutre ttentmente le condizioni in cui un espressione nlitic perde significto e l necessit di definire sempre, in modo preciso, il cmpo di esistenz di un funzione. Un esempio di ppliczione delle esplorzioni relizzte Si consideri l funzione f trsformre l espressione 4 4 ( ). L lgoritmo dell divisione tr polinomi consente di nell espressione. Sull Rett Algebric di AlNuSet inserimo l vribile e le due espressioni. Il trscinmento dell vribile consente di verificre che le due espressioni sono equivlenti. Se un delle due

5 espressioni viene inserit nel Mnipoltore Algebrico, viene utomticmente esplicitt l condizione per l qule le due espressioni hnno senso: E possibile determinre l insieme numerico in cui le due espressioni sono definite si operndo nel Mnipoltore Algebrico in modo formle si operndo quntittivmente nell Rett Algebric. In questo contesto mostreremo il secondo pproccio. Dl Mnipoltore Algebrico si invi nell Rett Algebric l proposizione 0 e l espressione. Medinte il comndo E=0 si trovno le rdici del polinomio come illustrto nell seguente figur. Attrverso l funzione Edit Insieme Numerico, ttivbile medinte il tsto destro del mouse posizionto sull disuguglinz, si definisce l insieme che rende ver l proposizione 0.

6 Attrverso il trscinmento del punto mobile sull rett, si può verificre che qundo ssume vlori e le due espressioni non sono rppresentte sull Rett Algebric. Modificndo l unità di misur è possibile nche esplorre il comportmento delle espressioni qundo ssume vlori molto prossimi e. L insieme costruito con l funzione Edit Insieme Numerico costituisce il cmpo di esistenz delle due funzioni ssocite lle espressioni. Nell mbiente Funzioni di AlNuSet costruimo il grfico dell funzione g ( ). Se si costruisce nche il grfico di f () si può verificre che essi sono coincidenti e quindi f ( ) g( ). Si rppresent sull Rett Algebric nche l espressione e nell mbiente Funzioni il grfico dell funzione d ess ssocit: k ( ). L figur sotto riportt mostr ciò che è visulizzto sullo schermo dopo ver compiuto queste operzioni.

7 Il grfico mostr: l presenz di due sintoti verticli in corrispondenz dei vlori e funzione non è definit; in cui l un ndmento sintotico dell funzione rispetto ll prbol k ( ) ; due punti di intersezione dell funzione con l sse delle scisse. I vlori di per i quli l funzione intersec l sse delle scisse ( 4 e 4 E=0 pplicto l polinomio 4, cioè l numertore dell funzione ) sono stti trovti usndo il comndo 4 f ( ).