Equazioni e disequazioni

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1 Cpitolo Equzioni e disequzioni.1 Princìpi di equivlenz 1. Sommndo o sottrendo l stess quntità d entrmbi i membri di un equzione o di un disequzione ess non cmbi, ovvero: A(x) B(x) A(x) k(x) B(x) k(x). 2. Moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri di un equzione o di un disequzione per l stess quntità positiv e non null ess non cmbi, ovvero: k(x) > 0 = A(x) B(x) A(x) k(x) B(x) k(x).. Moltiplicndo o dividendo entrmbi i membri di un equzione o di un disequzione per l stess quntità negtiv e non null l equzione non cmbi mentre l disequzione cmbi senso, ovvero: k(x) < 0 = A(x) = B(x) A(x) k(x) = B(x) k(x), k(x) < 0 = A(x) B(x) A(x) k(x) B(x) k(x). Pertnto, qundo si cmbino di segno tutti termini di un disequzione (ovvero si moltplicno tutti per 1) bisogn ricordrsi di cmbire nche il senso. Si per le equzioni che per le disequzioni, non si può mi dividere o moltiplicre per zero..2 Intere di primo grdo.2.1 Equzioni intere di primo grdo Utilizzndo i princìpi richimti nell sezione.1, un equzione inter di primo grdo può sempre essere ricondott ll form x b = 0. Nel cso 0 l soluzione è bnlmente x = b/, mentre se = 0 l disequzione può essere impossibile se b 0 o indetermint se b = 0. Esercizio.1 Risolvere l equzione x 1 (x 1) = x x 2. Risoluzione. Si h: x1(x1) = x x 2 x1x x 2 x1 = x x 2 4x 2 = 0 2x 1 = 0 2x = 1 x =

2 8 CAPITOLO. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Esercizio.2 Risolvere l equzione x 1 (x 1) 2 = (x 1)(x 1) x. Risoluzione. Si h: x 1 (x 1) 2 = (x 1)(x 1) x x 1 x 2 2x 1 = x 2 1 x 1 = 0, pertnto l equzione è impossibile. Esercizio. Risolvere l equzione x 2 x 2 (x 1)(x 2 x 1) = (x 1) 2x. Risoluzione. Si h: x 2 x2(x1)(x 2 x1) = (x1) 2x x 2 x2x 1 = x x 2 x 1 2x x 1 = x 1 0 = 0, indipendentemente dl vlore di x, pertnto l equzione è indetermint..2.2 Disequzioni intere di primo grdo Utilizzndo i princìpi richimti nell sezione.1, un disequzione inter di primo grdo può sempre essere ricondott ll form x b 0. Nel cso > 0 l soluzione è bnlmente x b/, se < 0 l soluzione è x b/ (si osservi il cmbio si senso), mentre se = 0 l disequzione può essere impossibile se b < 0 o indetermint se b 0. In ogni cso, prim di dividere per il coefficiente di x è buon norm, nel cso esso si negtivo, fre un pssggio di preprzione cmbindo i segni in modo che esso diventi positivo. Esercizio.4 Risolvere l disequzione 2 x > 1. Risoluzione. Si h 2 x > 1 x > 1 2 x < 2 1. Esercizio.5 Risolvere l disequzione (x 1) 2 < (2 x) 2 2x 1. Risoluzione. Si h (x1) 2 < (2x) 2 2x1 x 2 2x1 < 44xx 2 2x1 2 < 0, pertnto l disequzione dt è impossibile. Esercizio.6 Risolvere l disequzione (x 1) 2 > (2 x) 2 2x 1. Risoluzione. Si h (x1) 2 > (2x) 2 2x1 x 2 2x1 > 44xx 2 2x1 2 > 0, che è sempre verifict indipendentemente dl vlore di x. Pertnto, l disequzione dt è indetermint.. Rzionli frtte..1 Equzioni rzionli frtte Le equzioni frtte sono quelle in cui l incognit si trov l denomintore, non quelle in cui compiono delle frzioni. Per esempio, l equzione x 1 5x = x 56

3 .. RAZIONALI FRATTE 9 è inter, mentre l equzione 2x 4x 2 18 x 2 8x 15 2(x 1) x = 2x 1 (5 x) x 5 è frtt. Le equzioni frtte si risolvono seguendo questi semplici pssi: 1. si scompongono i denomintori delle singole frzioni (si ved l sezione 2.); 2. si impongono le condizioni di esistenz di ciscun frzione richiedendo che i denomintori sino diversi d zero (i.e. si risolvono delle equzioni con l posto di = );. si eseguono le operzioni tr frzioni lgebriche utilizzndo qunto visto nell sezione 2.4 e riconducendosi d un unico denomintore ugule si per il menbro di sinistr che per quello di destr (minimo comune multiplo); 4. si tolgono i denomintori moltiplicndo ciscun membro dell equzione per il minimo comune multiplo, che è certmente non nullo grzie lle condizioni di esistenz; 5. si svolgono i clcoli come per le comuni equzioni intere e si trovno le eventuli soluzioni dell equzione inter; 6. si confrontno le soluzioni trovte con le condizioni di esistenz e si determin se le soluzioni sono ccettbili oppure no. Se tutte le soluzioni trovte contrddicono le condizioni di esistenz, l equzione è impossibile. Se si rriv d un identità, l equzione non è indetermint m vnno esclusi i vlori di x secondo qunto imposto dlle condizioni di esistenz. Esercizio.7 Risolvere l equzione 2x 4x 2 18 x 2 8x 15 2(x 1) x = 2x 1 (5 x) x 5. Risoluzione. Procedimo ll scomposizione dei denomintori: 2x 4x 2 18 (x )(x 5) 2(x 1) x = 2x 1 (5 x) x 5, quindi le condizioni di esistenz impongono x 0 = x e x 5 0 = x 5. Il minimo comune multiplo è (x )(x 5) per cui si h: 2x 4x (x 1)(x 5) (x )(x 5) = (2x 1)(x )(x 5) (5 x)(x ), (x )(x 5) moltiplicndo sinistr e destr per il minimo comune multiplo (x)(x5), che è certmente diverso d zero perché simo sotto le ipotesi x e x 5, si ottiene 2x 4x (x 1)(x 5) = (2x 1)(x )(x 5) (5 x)(x ), ovvero 2x 4x x 2 2x 10x 10 = 2x 15x 2 22x 15 15x 9x x 12x28 = 10x0 2x = 2 x = 1, che è ccettbile in qunto 1 e 1 5.

4 10 CAPITOLO. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Esercizio.8 Risolvere l equzione 2x x 5 x = 6x x 9 2 x. Risoluzione. Procendendo con l scomposizione dei denomintori si h d cui le condizioni di esistenz 2x x 5 x = 6x (x ) 2 x, x 0 = x, x 0 = x 0 e x 0 = x 0. Quindi, semplicemente, x 0 e x. Il minimo comune multiplo è x(x ) d cui x 2x 5 (x ) x(x ) = 6x2 2(x ). x(x ) Moltiplicndo entrmbi i membri per il denomintore x(x ) (sicurmente diverso d zero in virtù delle condizioni di esistenz x 0 e x ) e svolgendo i clcoli si ottiene 6x 2 15x45 = 6x 2 2x 6 17x = 51 x = x =. Questo risultto contrddice le condizioni di esistenz, per cui l equzione risult impossibile...2 Disequzioni rzionli frtte Le disequzioni frtte si presentno nell stess form delle equzioni frtte, trnne che l posto del simbolo = si trov uno tr i simboli,, >, <. Le disuguglinze del tipo > e < sono dette strette. A differenz delle equzioni frtte, or i denomintori sono importnti perché contribuiscono l segno dell frzione lgebric equivlente che si ottiene portndo tutti i termini dell disequzione llo stesso membro. Pertnto, nelle disequzioni frtte i denomintori non vnno mi tolti. I pssi d percorrere per risolvere gevolmente un disequzione frtt sono i seguenti: 1. si portno tutti i termini l membro di sinistr in modo d ottenere un espressione (qulsivogli complict) mggiore o minore di zero; 2. si eseguono le solite operzioni tr frzioni lgebriche utilizzndo qunto visto nell sezione 2.4 e fcendo ttenzione non eliminre il denomintore: così fcendo ci si riconduce d un disequzione del tipo N(x) D(x) 0 oppure N(x) D(x) 0 oppure N(x) D(x) > 0 oppure N(x) D(x) < 0;. indipendentemente dl senso dell disequzione frtt ottenut, si studi il segno del numertore imponendo N(x) > 0 oppure N(x) 0 second che l disequzione si strett (senz l ugule) o meno, e lo si riport su un line orizzontle utilizzndo queste convenzioni: un segno dove il numertore è positivo, un segno dove il numertore è negtivo, un pllino pieno dove il numertore cmbi segno se l disequzione frtt è del tipo oppure, un pllino vuoto dove il numertore cmbi segno se l disequzione frtt è strett, ovvero del tipo > oppure < ;

5 .. RAZIONALI FRATTE indipendentemente dl senso dell disequzione frtt, si studi qundo il denomintore è strettmente positivo e si riport il risultto su un ltr line orizzontle, post sotto ll precedente, seguendo le stesse convenzioni del numertore con l differenz che il denomintore non è mi nullo e quindi vrà, l più, pllini vuoti; 5. dll tbell dei segni si clcolno gli intervlli nei quli l frzione N(x)/D(x) è positiv, negtiv, null (pllino pieno) o non esiste (pllino vuoto); 6. gurdndo l ultim espressione dell disequzione frtt (ovvero l ultimo pssggio prim dello studio dei segni del numertore e del denomintore) si determin l soluzione dell disequzione e, per comodità, l si riport su un ulteriore line orizzontle contrssegnndol con un ondin ed i rispettivi pllini (pieni o vuoti). Osservzione.9 Le condizioni di esistenz sono utomticmente incluse dl momento che il segno del denomintore viene studito trmite un disuguglinz strett. Esercizio.10 Risolvere l disequzione x 2 x x 2 x x 1 x 2. Risoluzione. Portndo tutto l primo membro si h x 2 x x 2 x x 1 x 2 0, d cui, svolgendo i clcoli e riducendosi d un unic frzione lgebric, l disequzione divent (il lettore lo verifichi) x 1 0. (.11) 2 x L espressione.11 è nell form N(x)/D(x) 0, per cui studimo seprtmente il segno del numertore e del denomintore per poi riportre grficmente i risultti in un tbell dei segni. Numertore. Essendo l disuguglinz non strett, imponimo N(x) 0 d cui x1 0 x 1. Denomintore. Sebbene l disuguglinz si non strett, imponimo D(x) > 0 d cui 2 x > 0 x < 2. Riportimo or i risultti nell tbell dei segni trccindo tre linee orizzontli, un per il 1 2 x 1 2 x Sol. Tbell.1: Studio dei segni per l disequzione.11. numertore, un per il denomintore e un per l soluzione finle, riportndo vicino d esse, rispettivmente, l espressione del numertore, quell del denomintore e Sol. ; trccimo nche due linee verticli in corrispondenz dei vlori 1 e 2, che prendono il nome di cpi-sldi. In

6 12 CAPITOLO. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI bse lle convezioni scelte, si ottiene lo schem riportto in tbell.1. Si osservino, per il numertore, i segni positivi destr di 1, quelli negtivi ltrove e il pllino pieno in 1, essendo x 1; per il denomintore si osservi l disposizione dei segni e, soprttutto, il pllino vuoto. Fcendo i prodotti dei segni nei singoli intervlli si ottengono i segni riportti sull ultim line contrssegnt d Sol.. Si osservi l frzione si nnull dove si nnull il numertore (pllino pieno in 1) e non esiste dove si nnull il denomintore (pllino vuoto in 2). Siccome l utimo pssggio prim dello studio dei singoli segni, ovvero l disequzione.11, richiedev qundo l frzione fosse negtiv o null, l soluzione è l unione degli intervlli corrispondenti l segno sull ultim line, enftizzt dll ondin. In conclusione l soluzione è x 1 x > 2. Osservzione.12 Le disequzioni frtte che si presentno nell form N(x)/D(x) ( ) 0 e per le quli il numertore e il denomintore possono essere scomposte come prodotto di più fttori si trttno studindo il segno di ciscun fttore (si esso l numertore o l denomintore), e costruendo nell tbell dei segni. Esercizio.1 Risolvere l disequzione (x 1)( x) x 2 0. (.14) Risoluzione. Procedimo llo studio del segno di ciscun fttore, tenendo presente che se si trov l numertore lo studieremo 0, mentre se si trov l denomintore lo studieremo > 0. Si h: x 1 0 x 1; x 0 x ; x 2 > 0 x > 2. Pertnto, x 1 x x 2 Sol. 1 2 Tbell.2: Studio dei segni per l disequzione.14. utilizzndo le solite convenzioni, si ottiene l tbell.2 d cui l soluzione 1 x < 2 x enftizzt dll ondin sull ultim rig..4 Intere di secondo grdo.4.1 Equzioni intere di secondo grdo Utilizzndo i princìpi richimti nell sezione.1, un equzione inter di secondo grdo può sempre essere ricondott ll form x 2 bx c = 0. (.15)

7 .4. INTERE DI SECONDO GRADO 1 È fcile dimostrre (si ved l esercizio.22) che x 2 bx c = 0 = x 1 = b e x 2 = b se = b 2 4c 0. (.16) Siccome le rdici qudrte di numeri negtivi non esistono (in cmpo rele), le soluzioni dell equzione (.15) sono: 1. reli e distinte se > 0 2. reli e coincidenti se = 0. non esistono reli se < 0. Siccome discrimin tr le possibilità, è chimto discriminnte. Osservzione.17 Si osservi che, se 0, x 1 x 2 = b e x 1x 2 = c per cui si h ( x 2 bx x = x 2 b x c ) = [x 2 (x 1 x 2 )x x 1 x 2 ] = [x 2 x 1 x x 2 x x 1 x 2 ] = [x(x x 1 ) x 2 (x x 1 )] = (x x 1 )(x x 2 ). Pertnto, se 0, il trinomio x 2 bx x si scompone come x 2 bx x = (x x 1 )(x x 2 ). (.18) Il trinomio specile non è ltro che quest composizione nel cso prticolre = 1. L formul risolutiv (.16) è generle e si riferisce l cso di equzione complet, ovvero quello in cui nessuno dei coefficienti è nullo. Tuttvi, ess può essere semplifict nel cso in cui b o c sino nulli (escludimo il cso = 0 che port d un equzione di primo grdo già trttt nell sezione.2.1): 1. cso b = 0. L equzione, che prende il nome di pur in qunto contiene solo il termine di secondo grdo e il termine noto, divent x 2 c = 0, d cui x 2 = c. Pertnto, si possono verificre due sottocsi: () se c > 0 l equzione è impossibile perché un numero positivo o nullo (x2 ) non può mi essere negtivo ( c < 0, se c > 0); (b) se c 0 l equzione mmette le due soluzioni opposte x 1 = c e x 2 = c. 2. cso c = 0. L equzione, che prende il nome di spuri in qunto mnc il termine noto, divent x 2 bx = 0 x(x b) = 0, per cui mmette sempre due soluzioni x 1 = 0 e x 2 = b. Inoltre, nel cso in cui b si divisibile per 2, l formul (.16) può essere riscritt nell seguente form, not come formul ridott x 2 bxc = 0 = x 1 = b 2 4 e x 2 = b 2 ( ) 4 b 2 se 4 = c 0. (.19) 2 Esercizio.20 Risolvere l equzione 4(2 x)(x 2) 20 = 6(x 1) x(2x 7).

8 14 CAPITOLO. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Risoluzione. 4(2 x)(x 2) 20 = 6(x 1) x(2x 7) 4(4 x 2 ) 20 = 6x 6 2x 2 7x 16 4x 2 20 = 6x 6 2x 2 7x 2x 2 29x 2x 2 29x x(2x 29) = 0 ovvero, per l legge di nnullmento del prodotto di due fttori, si h x 1 = 0 e x 2 = Esercizio.21 Risolvere l equzione x 2 2 x = 0. Risoluzione. Volendo pplicre l formul ridott (.19), clcolimo dpprim /4 = (b/2) 2 c = 9 = 12 = (2 ) 2. Pertnto, x 1 = b 2 4 = 2 = e x 2 = b 2 4 = 2 =. Esercizio.22 Si dimostri che, se b 2 4c 0, le soluzioni di x 2 bx c = 0 sono x 1 = b b 2 4c e x 2 = b b 2 4c. Risoluzione. Riscrivimo l equzione cnonic in modo d ottenere 2 = con contenente l vribile x e 0 ed indipendente d x. Si h x 2 bx c = x 2 4bx 4c = x 2 4bx = 4c 4 2 x 2 4bx b 2 = b 2 4c (x b) 2 = b 2 4c. Se denotimo il membro di destr come = b 2 4c, si hnno due csi: 1. < 0 = equzione impossibile in qunto un qudrto di binomio non può essere negtivo; 2. 0 = (x b) 2 = x 1 b = e x 2 b = d cui si ottengono, rispettivmente, x 1 = b e x 2 = b. Esercizio.2 Prtendo dll formul (.16) per l risoluzione delle equzioni di secondo grdo, ricvre l formul ridott (.19). Risoluzione. Considerimo, d esempio, x 1 = b b = b 2 q 4, dove 4 = b2 4c 4 = b2 4 c = ( b 2) 2 c.. Si h x 1 = b = 1 b 2 =

9 .4. INTERE DI SECONDO GRADO Disequzioni intere di secondo grdo Utilizzndo i princìpi richimti nell sezione.1, un disequzione inter di secondo grdo può sempre essere ricondott ll form x 2 bx c 0. (.24) Per l soluzione di quest disequzione si può procedere in due modi: (1) tentndo di scomporre il polinomio di secondo grdo oppure (2) ricorrendo l metodo grfico considerndo il polinomio come un prbol. 1. Il trinomio di secondo grdo x 2 bxc è scomponibile se = b 2 4c 0; in prticolre se = 0 il trinomio è un qudrto perfetto, mentre se > 0 il trinomio è scomponibile come x 2 bx c = (x x 1 )(x x 2 ), dove x 1 e x 2 sono le due rdici del trinomio stesso, ovvero x 1 = b b 2 4c e x 2 = b b 2 4c. Ftt l scomposizione, si procede llo studio del segno di ciscun fttore come nel cso delle disequzioni frtte viste nell Sezione..2. Se, invece, < 0 il trinomio x 2 bx c non è scomponibile e, quindi, non si nnull mi. Pertnto, esso è sempre positivo oppure è sempre negtivo. Per cpire di qule cso si trtti, bst sostituire d x un vlore e vedere il segno del risultto. Siccome x = 0 è prticolrmente comodo ed estre il termine noto c del trinomio si h che se c > 0 llor x 2 bx c è sempre positivo, mentre se c < 0 llor x 2 bx c è sempre negtivo. 2. Il metodo grfico è un modo molto veloce ed immedito per risolvere le disequzioni di secondo grdo e consiste nell osservre che l disequzione (.24), dopo ver posto y = x 2 bxc, può essere risolt grficmente individundo gli intervlli dell vribile x per i quli l prbol di equzione y = x 2 bx c si trov sopr o coincide con l sse delle scisse. Evidentemente, se l disequzione è del tipo x 2 bx c < 0, si procede sempre ponendo y = x 2 bxc, m cercndo gli intervlli dell vribile x per i quli l prbol di equzione y = x 2 bx c si trov sotto (strettmente) ll sse delle scisse. Come per il metodo (1), si possono verificre csi: () l prbol y = x 2 bx c intersec l sse delle scisse, ovvero > 0 (b) l prbol y = x 2 bx c è tngente l sse delle scisse, ovvero = 0 (c) l prbol y = x 2 bx c non intersec l sse delle scisse, ovvero < 0. L concvità dell prbol (verso l lto o verso il bsso) dipende, come noto, dl segno del coefficiente di secondo grdo : se > 0 è verso l lto, se < 0 è verso il bsso. Ricpitolndo, i pssi d seguire per l soluzione delle disequzioni di secondo grdo con il medoto dell prbol sono 2: () in bse l segno del coefficiente si disegn un prbol con concvità verso l lto (se > 0) o verso il bsso (se < 0), fcendo ttenzione non trccire l sse delle scisse

10 16 CAPITOLO. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI (b) in bse l segno del si disegn l sse delle scisse evidenzindo 2 intersezioni se > 0, un sol (sse tngente) se = 0 o nessun (sse e prbol non hnno punti in comune) se < 0. Esercizio.25 Si risolv, nei due modi, l disequzione e si confrontino i risultti. Risoluzione. Vedimo i due modi. x 2 5x 6 0 (.26) 1. Scomponendo si ottiene (x 2)(x ) 0. Lo studio dei segni port x 2 0 = x 2, x 0 = x, rissunti nell tbell.. Si osservi che l prim rig è riferit l fttore x 2 con i segni destr di 2 e quelli sinistr di 2. In modo nlogo, l second rig è riferit 2 x 2 x Sol. Tbell.: Studio dei segni dei fttori x 2 e x per l disequzione.26. l fttore x con i segni destr di e quelli sinistr di. Si notino i pllini pieni si in 2 che in in qunto l disuguglinz non è stett. Il segno del prodotto dei fttori è riportto nell terz rig: esso è positivo per vlori di x esterni 2 e e negtivo ltrove. Pertnto, siccome l disequzione.26 richiede gli intervlli in cui il prodotto è positivo, l soluzione è x 2 x. 2. Il secondo modo (metodo grfico trmite l utilizzo dell prbol) consider y = x 2 5x6 un prbol. Si h: () = 1 > 0 = prbol con convess (concvità verso l lto) (b) = b 2 4c = = 1 > 0 = due intersezioni con l sse x che sono x 1 = b = 2 e x 2 = b =. L prbol è, quindi, come quell in figur.1. Si osservi che x 2 5x 6 0 equivle chiedere che l prbol di equzione y = x 2 5x 6 si positiv, ovvero che l y si sopr l sse x. Questo succede, come si not dl grfico, solo per vlori di x esterni 2 e, mentre l prbol è negtiv per vlori interni. Pertnto, l soluzione è è x 2 x.

11 .4. INTERE DI SECONDO GRADO 17 x 1 = 2 x 2 = Figur.1: Risoluzione grfic dell disequzione.26 trmite l utilizzo dell prbol. Esercizio.27 Si risolvno, utilizzndo il metodo grfico dell prbol, le disequzioni 1. x 2 4x4 0, 2. x 2 4x4 > 0,. x 2 4x4 0, 4. x 2 4x4 < 0. (.28) Risoluzione. L prbol y = x 2 4x4 = (x 2) 2 h l concvità verso l lto ed è tngente ll sse x nel punto x = 2, come riportto in figur x 2 4x 4 0 = x R 2. x 2 4x 4 > 0 = x 2 x 1 = x 2 = 2. x 2 4x 4 0 = x = 2 x 1 = x 2 = 2 4. x 2 4x 4 < 0 = impossibile x 1 = x 2 = 2 x 1 = x 2 = 2 Figur.2: Risoluzione grfic delle disequzioni.28 trmite l utilizzo dell prbol. 1. x 2 4x 4 0. Siccome l prbol è tngente ll sse x e sempre mggiore o ugule zero, l disequzione risult sempre verifict e l soluzione è x R. In figur.2 (in lto sinistr) si noti l ondin ovunque e il pllino pieno in x = x 2 4x4 > 0. In questo cso viene richiesto qundo l prbol è strettmente mggiore di zero. Siccome l prbol è zero per x = 2 e positiv ltrove, bisogn escludere il solo punto di tngenz e quindi l soluzione è x 2. In figur.2 (in lto destr) si noti l ondin ovunque e il pllino vuoto in x = 2.

12 18 CAPITOLO. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI. x 2 4x 4 0. Siccome viene richiesto qundo l prbol è negtiv o null, l unic soluzione si h qundo l prbol è zero, ovvero per x = 2, in qunto ltrove l prbol è sempre positiv. L soluzione è quindi x = 2. In figur.2 (in bsso sinistr) si noti l ssenz dell ondin e il pllino pieno in x = x 2 4x4 < 0. L prbol è sempre positiv o null e quindi l disequzione non è mi verifict. Pertnto l disequzione è impossibile. In figur.2 (in bsso destr) si noti l ssenz dell ondin e il pllino vuoto in x = 2..5 Intere di grdo superiore l secondo.6 Sistemi.7 Irrzionli.8 Con vlore ssoluto.9 Logritmiche.10 Esponenzili.11 Goniometriche TODO