Appunti di Matematica 1 - I polinomi - Polinomi. I vari monomi che compongono il polinomio si chiamano termini del polinomio.

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1 ppunti di Mtemtic Polinomi Un polinomio è un somm lgebric di monomi. Esempio: b ; y y ; b c sono polinomi. I vri monomi che compongono il polinomio si chimno termini del polinomio. Un monomio può nche essere considerto come un polinomio con un solo termine. NOT: se in un polinomio ci sono monomi simili questi si sommno e il polinomio si dice ridotto form normle. Esempio: 6b y b b y Definizione: se un polinomio ridotto form normle h termini, cioè è costituito d monomi, si chim binomio, se è costituito d monomi si chim trinomio. Esempio: b è un binomio b c è un trinomio Definizione: il grdo di un polinomio è il grdo del suo termine di grdo mggiore. Esempio: y y h grdo Definizione: il grdo di un polinomio rispetto d un letter è il mssimo degli esponenti con cui compre quell letter. Esempio: y y h grdo rispetto ll letter e grdo rispetto ll letter y. Termine noto di un polinomio: è il termine di grdo 0 cioè il termine in cui non compre nessun letter. Esempio: b è il termine noto Polinomio omogeneo: un polinomio si dice omogeneo qundo tutti i suoi termini hnno lo stesso grdo. Esempio: grdo. b b b è un polinomio omogeneo poiché tutti i suoi termini hnno 80

2 ppunti di Mtemtic Operzioni con i polinomi ddizione tr polinomi L somm tr due o più polinomi è il polinomio che h per termini tutti i termini dei polinomi ddendi. Esempio: ( y y) ( y y ) y y y y (si riduce sommndo i termini simili) y y Differenz tr polinomi L differenz tr due polinomi si ottiene sommndo l primo polinomio l opposto del secondo (si cmbi il segno dei coefficienti del secondo). Esempio: ( y y) ( y y ) y y y y 5 y y Per indicre ddizione e sottrzione tr polinomi si prl di somm lgebric. Moltipliczione di un monomio per un polinomio Per moltiplicre un monomio per un polinomio si pplic l proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione e si moltiplic il monomio per ciscun termine del polinomio. Esempio: Moltipliczione tr due polinomi Si moltiplic ogni termine del polinomio per ogni termine del e si sommno i risultti (sempre per l proprietà distributiv dell moltipliczione rispetto ll ddizione). 5 b b 5 b b b 5 5 b b b Esempio: ( ) ( ) ( ) ( ) NOT: il grdo del prodotto è l somm dei grdi dei polinomi fttori (per l proprietà delle potenze). NOT: come si moltiplicno tre polinomi? Prim si moltiplicno due polinomi e il risultto si moltiplic per il terzo. Esempio: ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

3 ppunti di Mtemtic Esercizi (somm e prodotto tr polinomi) ) ( 5 ) ( ) [ ) ( 8 6 ) ( 5 ) 5 [ 5 ) ( 5 ) ( 5 7) [ ) ( y ) ( 5y ) ( y ) [ 5) ( ) ( ) ( ) ( ) y y [ 5 6) ( y ) ( y) y( ) y [ y [ ( ) ( )( ) ( 9 ) 7) ( ) [ 8 8) ( )( [ ) ( ) ( ) [ 9) ( )( ) ( )( ) [ 7 8 0) ( )( ) ( )( ) [ 6 5 ) ( b)( b) ( )( ) 5 [ b ) ( 9 y )( 9y ) y ( 6 8y) [ 6 6 y ) ( b)( b)( b ) [ b ) ( ) 5 ( )( ) [ 6 6 5) ( y)( y) ( 5 y)( 5y) [ 7 y 5y [ 7 6) ( )( ) 7) ( )( 5) ( )( ) ( 5)( ) [ 0 8

4 ppunti di Mtemtic Problemi di geometri (polinomi) ) Determin perimetro e re dell figur trtteggit 5 [ p b 6 ; b ) Problem svolto Consider il trpezio isoscele in figur e determin perimetro e re. Osservndo il tringolo HD (tringolo rettngolo isoscele) si h H KB Quindi llor B 7 p 7 b 0 b ( 7 ) 0 8

5 ppunti di Mtemtic 8 Prodotti notevoli Nell moltipliczione dei polinomi ci sono dei csi prticolri che conviene ricordre. Prodotto dell somm di due monomi per l loro differenz ( )( ) B B Considerimo per esempio: ( )( ) b b b b b b In generle si h: ( )( ) B B B B B B cioè si ottiene sempre l differenz tr il qudrto del monomio e il qudrto del monomio. Esempi ) ( )( ) ) ( )( ) b b b ) y y y ) ( )( ) ( )( ) y y y y y 5) ( )( ) ( )( ) 9 b b b b b 6) ( )( )( ) ( )( )

6 ppunti di Mtemtic Qudrto di un binomio ( B) Considerimo per esempio: ( b) ( b)( b) b b ( ) ( ) b ( b) b b b In generle si h: ( B) ( B)( B) B B B B B Quindi il qudrto di un binomio risult ugule ll somm tr il qudrto del termine, il qudrto del termine e il doppio prodotto tr il termine e il termine del binomio. Esempi ) ( y) y y ) ( y) ( ) ( y) ( y) y y ) y y y y y Interpretzione geometric ( b) b b Il qudrto di lto b è dto dll unione del qudrto di lto, del qudrto di lto b e di due rettngoli di lti e b (e quindi re b) 85

7 ppunti di Mtemtic Not: vedimo come risult il qudrto di un trinomio. ( B C) ( B C) ( B C) B C B B BC C CB C B C B C BC Quindi il qudrto di un trinomio è dto dll somm tr qudrto del termine, qudrto del termine, qudrto del termine e il doppio prodotto tr il e il termine, il doppio prodotto tr il e il termine e il doppio prodotto tr il e il termine. Esempio ( b c) 9 b c ( ) ( b) ( ) ( c) ( b) c 9 b c 6b c bc ( ) Cubo di un binomio ( B) ( B) ( B) ( B) ( ) B ( B) ( B) B B B B B B B B B B ( ) Quindi il cubo di un binomio risult l somm tr cubo del termine, cubo del termine, triplo prodotto tr il qudrto del termine e il termine, triplo prodotto tr il termine e il qudrto del termine. Esempi ) ( b) 8 b ( ) ( b) ( ) ( b) 8 b b 6b ) ( b) 8 ( b) ( ) ( b) ( ) ( b) 8 b b 6b 86

8 ppunti di Mtemtic Esercizi (prodotti notevoli) ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 0 ) ( 5b) ( 5b) b( b) b b [ 7 ) ( ) ( ) 5( ) [5 ) ( ) [ 5 5) b b ( ) [ b 5b 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 5 7) ( ) ( 6 ) ( 6) ( ) ( 8) [ 8) ( ) ( ) ( ) [ 9) ( y) ( )( ) ( y) [ y 0) ( b) ( b) b ( )( b) [ b ) ( y) ( y) 6y( y) 7y 8 [ ) ( y) y( y)( y) ( y ) [ y ) ( b )( b )( b ) ( b ) [ b ) ( ) ( ) ( ) [ 6 8 5) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 [ [ 87

9 ppunti di Mtemtic 6) ( )( ) ( ) [ 0 [ y y 7) y y ( y) 8) ( y)( y ) ( y)( y) [ y y 9 9) ( ) ( 5 9) [ 0 0) ( ) [ 5 7 ) ( y) ( y) 8y [ 0 ) y y y [ ) ( y)( y) ( y) [ 8y y )( )( y) ( y ) y [ y 5) ( ) ( )( ) 6 [ 6) ( y ) ( y )( y ) y ( y y ) [ 0 7) ( y) ( y)( y) 8y [ 9 y 8) ( 5b ) ( 5b )( 5b) ( 5 b) 9) ( )( ) [ 0 b [ [ ( ) ( )( ) 0) ( y ) ( y)( y ) 9 y ( y ) [ 0y 88

10 ppunti di Mtemtic Esercizi (clcolo letterle e geometri) ) Determin perimetro e re dell figur trtteggit. [ p 6b; 6b ) Determin perimetro e re del rombo in figur spendo che C 6 ; BD 8. [ p 0; ) Determin l re del settore circolre trtteggito spendo che il rggio misur. [ 0 π ) Consider un rettngolo R di dimensioni e b. Se viene umentto del 50% e b viene diminuito del 50% come risult l re del nuovo rettngolo R? Come risult rispetto ll re di R? [ R ' b; R ' R 89

11 ppunti di Mtemtic 5) Determin l re dell zon trtteggit. [ 6) Determin l re di un esgono regolre di lto. 7) Consider un qudrto di lto e determin l re dell zon trtteggit. [ 6 [ 7 8) Determin perimetro e re dell figur seguente. [ 5 6r r πr ; π 9) Un prllelepipedo rettngolo h dimensioni,,. Clcol il suo volume V. ument di tutte le dimensioni e clcol il nuovo volume V. [ V 6 ; V '

12 ppunti di Mtemtic 0) Clcol l re dell zon trtteggit. [ b ) Clcol l re del qudrto BCD di lto B e l re del qudrto B C D ottenuto congiungendo i punti medi. Come risult l re di B C D rispetto ll re di BCD? ) Determin perimetro e re del trpezio BCD. 9 [ ( BCD) 9 ; ( ' B' C' D' ) 6 [ p 8; 5 9

13 ppunti di Mtemtic Divisione tr polinomi Divisione di un polinomio per un monomio Esempio ( b ):? Per l proprietà distributiv dell divisione rispetto ll ddizione ho: ( b : )( : ) b Quindi in questo cso, essendo ogni termine del polinomio divisibile per il monomio, il polinomio risult divisibile per il monomio. ( b ): b Quindi: ( b ) b cioè se si h Q B Esempio ( b ):? In questo cso il polinomio non è divisibile per poiché il suo termine non è divisibile per. Possimo scrivere b b m non è un polinomio. Esercizi ) ( y ):... ) ( b b) : b... 9

14 ppunti di Mtemtic Divisione tr due polinomi in un sol letter Considerimo polinomi contenenti un sol letter. Definizione: dti polinomi e B dicimo che è divisibile per B se esiste un polinomio Q che moltiplicto per B dà cioè: Q B Esempio ( ): ( )? Poiché sppimo che ( ) ( ) bbimo poiché ( ) ( ) M in generle come possimo trovre il quoziente? Per svolgere l divisione tr due polinomi possimo seguire un procedimento simile quello usto per l divisione tr due numeri. Riprendimo l esempio precedente: I polinomi vnno ordinti secondo le potenze decrescenti dell loro letter e dobbimo lscire, nel dividendo, degli spzi vuoti in corrispondenz delle potenze mncnti Dividimo il termine del dividendo per il termine del divisore e scrivimo il risultto ( termine del quoziente Q) 9

15 ppunti di Mtemtic Moltiplichimo per ogni termine del divisore ( ) e sottrimo i risultti i termini corrispondenti in grdo del dividendo ( ) ; sommimo in colonn e ottenimo Poiché h grdo ugule l divisore si può ncor dividere. Ripetimo quindi il procedimento precedente prtendo d ed in questo cso otterremo resto R0 e quoziente Q NOT IMPORTNTE Se il resto R (di grdo minore del divisore) è diverso d zero, non è divisibile per B m si vrà: Q B R Esempio ( ) : ( )? Q B R ( ) NOT: il grdo di Q è ugule ll differenz tr il grdo di e il grdo di B. 9

16 ppunti di Mtemtic 95 Esempi svolti ) ( ) ( ) : 8 Quindi 8 è divisibile per e ( )( ) 8 ) ( ) ( ) : Verifichimo che R B Q ( )

17 ppunti di Mtemtic Esercizi (divisione tr polinomi in un sol letter) ) ( ) : ( ) [ Q 7 ; R ) ( ) : ( ) [ Q 5 6 ; R 0 ) ( 7 ): ( ) [ Q ; R 9 5 ) ( 6 8 ) : ( ) [ Q 6 8 ; R [ Q ; R 5) ( ) : ( ) 5 6) ( ) : ( ) [ Q ; R 7) ( y 5y y 6) : ( y y) [ Q y ; R y 8) ( y 9 y ) : ( y 5y ) y [ Q y ; R 0 9) ( ) : ( ) [ Q ; R 0 ( ) ( ) 0) 9 : [ 6 9 ; R 8 ) ( 8 ) : ( ) Q [ Q 5 ; R 0 ) ( b b b 5) : ( b) [ Q b b 5 ; R 0 ) ( ) : ( ) [ Q ; R 0 96

18 ppunti di Mtemtic Sched di recupero (CLCOLO LETTERLE: MONOMI E POLINOMI) y y y y y [ y 9. ( ) ( ) ( ) 9. [ y y y ( ) : ( ) y : ( ) [ y. In un tringolo isoscele l bse misur 0 e il lto obliquo. Determin perimetro e re del tringolo. [ 6 ; 60. Un qudrto h lto che misur. Clcol perimetro, re e misur dell digonle. [ 6 ; 6 ; 5. Consider un tringolo equiltero di lto b. Determin perimetro e re del tringolo. 6. ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) 9 [ 9b ; b [ 0 [ 5 7. ( ) 8. ( b) ( b) ( b) [ 5b b 9. ( b b ) : ( b) [ b b 0- ( b) ( b) ( b) ( b) [ 7 b b. ( ) : ( ) [ Q ; R. ( ) : ( ) [ Q 7; R 97