Unità Didattica N 3 Le inequazioni. Unità Didattica N 3 Le inequazioni

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1 9 ) Proprietà delle disuguglinze fr numeri reli reltivi ) Inequzioni e loro proprietà ) Inequzioni rzionli intere di primo grdo d un incognit 4) Segno del trinomio di secondo grdo : T = c 5) Inequzioni rzionli intere di secondo grdo d un incognit 6) Sistemi di inequzioni d un incognit 7) Inequzioni rzionli frtte d un incognit 8) Inequzioni di grdo superiore l secondo 9) Inequzioni rzionli intere iqudrtiche ) Inequzioni irrzionli d un incognit ) Equzioni con vlori ssoluti ) Inequzioni con vlori ssoluti ) Risoluzione grfic di un inequzione 4) Inequzioni due vriili

2 Unità Didttic N Le inequzioni Inequzioni rzionli intere di primo grdo d un incognit Sono inequzioni che possono essere ricondotte d un delle seguenti forme : > < Per risolvere un inequzione di primo grdo ridott form cnonic st dividere mo i memri per, ricordndo di cmire il senso dell inequzione se è <. > < 7 5 > 4 4 per Risoluzione > se >, < se >, < ESEMPI < se < > se 6 6 > 6 8 ; 7 > 7, 7 < 7 ; < < < ( ) < ( )( ) per < 7 6 / / < / /, 6 < 7, < < 7 Attrverso lo studio del segno di un inomio di primo grdo è possiile risolvere inequzioni di grdo superiore l primo. Nturlmente il primo memro dell inequzione ridott orm cnonic deve essere decomposto in fttori di primo grdo.

3 IL segno del inomio di primo grdo coincide col segno di ll destr dello zero del inomio. Questo signific che il segno del inomio di primo grdo coincide col segno di per vlori dell mggiori dello zero del inomio > ( )( 5)( 7) > per < 7 e 5 < < Si clcolno gli zeri dei tre fttori di primo grdo e si compil il seguente prospetto. = =, 5 = = 5, 7 = = ( 5 7) 9 < per < <, > > ( )( )( ) 9 5 > ( 5 ) Segno di un trinomio di secondo grdo d un incognit Considerimo un trinomio di secondo grdo nell vriile : T ( ) = c [5] con,, c numeri reli reltivi costnti ( cioè numeri dti indipendenti d ) ed. Col simolo T( α ) intendimo il numero che si ottiene qundo nell [5] l posto dell ponimo α, cioè il vlore numerico che ssume il trinomio per = α.

4 Unità Didttic N Le inequzioni Se ponimo : c = [6] ottenimo un equzione di secondo grdo in ( dett equzione ssocit l trinomio ) le cui rdici ed si chimno zeri del trinomio. Per convenzione ponimo <. = 4c = DISCRIMINANTE del trinomio [7] ) >: il trinomio mmette due zeri reli e distinti =, = se > = = se < ) =: il trinomio mmette due zeri reli e coincidenti = = ) <: il trinomio mmette due zeri complessi e coniugti, cioè il trinomio non si nnull mi R. L intervllo limitto ed perto ] [ Se ], [ U ], [, è detto intervllo delle rdici. dicimo che l vriile ssume vlori esterni ll intervllo delle rdici. Dll lger sppimo che : T = ( )( ) [8] Studire il segno del trinomio signific stilire per quli vlori dell vriile esso ssume vlori positivi, negtivi, nulli. Doimo distinguere tre csi : ) > Il trinomio ssume lo stesso segno di per vlori dell esterni ll intervllo delle rdici, segno opposto d per vlori dell interni ll intervllo delle rdici, Sinteticmente possimo scrivere : T() ; > T() ; <

5 Studire il segno del trinomio ESEMPI T = 4 L equzione ssocit l trinomio è: 4 =, =, = ( zeri del trinomio) ; = - < T > 8, 4 ( cioè per 8 < < ] 4 T <, U, 8 4 ( cioè per < 8 ed > 4 ] T = per = 8 ed = 4 ) =: il trinomio ssume sempre lo stesso segno di e si nnull per = = Quindi il segno di T() coincide col segno di, trnne che per = in corrispondenz del qule il trinomio si nnull. = T() T() ; ; > < Studire il segno del trinomio T = 4 9 = =, = 4 <, = = T >, T <, T = per = ) < Il trinomio ssume sempre lo stesso segno di. T() T() > <

6 4 Unità Didttic N Le inequzioni Studire il segno del trinomio T = 4 <, >, T > R, T Inequzioni rzionli intere di secondo grdo Sono inequzioni riconduciili d un delle due seguenti forme : c > c < Per risolvere un inequzione di secondo grdo d un incognit ridott form cnonic st ricordre le proprietà del segno del trinomio. 7 6 > < < ) 7 6 =, =, = 7 6 = - < Sistemi di inequzioni in un incognit Dicesi sistem di inequzioni in un incognit l insieme di due o più incognite di cui voglimo trovre, qundo esistono, le soluzioni comuni. Un sistem di inequzioni dicesi possiile se mmette soluzioni, impossiile se non mmette soluzioni. In quest ultimo cso le inequzioni che compongono il sistem sono fr loro incomptiili. Per risolvere un sistem di inequzioni si procede come segue : si trovno le soluzioni di tutte le inequzioni che compongono il sistem. Come sppimo tli soluzioni sono intervlli numerici L intervllo o gli intervlli numerici comuni tutti gli intervlli precedentemente trovti sono le soluzioni del sistem. 5 > per < e > < per 4 < < 4 5 > per < <

7 > 8 < 5 > (*) 4 Il sistem dto è verificto per < < e < < cioè, 5 U 5, Inequzioni rzionli frtte d un incognit Sono inequzioni che possono essere ricondotte d un delle due seguenti forme : [] A B > A B < [] con A e B polinomi in. Per risolvere queste inequzioni isogn scrtre i vlori dell che nnullno il denomintore B, cioè isogn porre : B. Le soluzioni dell inequzione sistemi : Le soluzioni dell inequzione sistemi : A B > < A B > > A B A B > coincidono con le soluzioni dei due seguenti A B < < < coincidono con le soluzioni dei due seguenti A B < > (*) Gli intervlli soluzioni delle singole inequzioni vengono messi in evidenz medinte serpentine. Le serpentine disegnte sull sse orientto ci dicono quli sono le soluzioni del sistem dto.

8 6 Unità Didttic N Le inequzioni Nell prtic, però, conviene risolvere un inequzione frzionri ttrverso lo studio del segno dei fttori di primo e di secondo grdo in cui possono essere decomposti i polinomi A() e B(). I seguenti esempi servirnno chirire qunto detto. ( )( ) ( ) > per < <, 5 7 = = 7, 4 5 = = = 5 < <, > 7 = =, = ( )( ) ( ) Inequzioni con vlori ssoluti Le inequzioni con vlori ssoluti si risolvono ricordndo che : se > = se = se > =± se >, f se f f se f > = = f se f > =± f se f f > Prticolrmente importnti, soprttutto in nlisi mtemtic, sono le seguenti inequzioni con vlori ssoluti : σ < σ σ σ < < σ σ >

9 7 f ( ) < ε ε h > h > ε > f < f < ε f f < ε > ε - h h < h > h k > k > c < δ δ > f c < R f < k f > k δ < c < δ c δ < < c δ c δ c c δ δ δ < f c < δ δ c < f < c δ ESEMPI 4 < per <, 6 < <, > 6 < 4 <, 4 4 > < I II > per <, < <, > > per <, 6 < <, > N D

10 8 Unità Didttic N Le inequzioni N D I II < per > Per l inequzione divent : <, > per in qunto : > R Per < l inequzione divent : <, > per < < in qunto : > R

11 9 Inequzione iqudrtic E un inequzione riconduciile d un delle due seguenti forme : 4 4 c > c < Si risolve decomponendo in fttori di secondo grdo il trinomio 4 c e studindo il segno dei singoli fttori < per : < <, 5 < < 5 ± =, = = 9 5 ± 8 9 ( 9) ( 9 5) = = 9 9 5, =, = 9 9 L inequzione propost può essere scritt nell seguente mnier : ( 9 5)( 9) < ( )( ) Inequzioni irrzionli Un inequzione si dice irrzionle qundo in ess l incognit figur lmeno un volt sotto il segno di rdice. In generle, l risoluzione di un inequzione irrzionle present notevoli difficoltà. Noi ci limiteremo ll risoluzione di lcuni tipi di inequzioni irrzionli. Indichimo con A e B due polinomi in. Inequzioni irrzionli del tipo : B L inequzione [] è equivlente l sistem : > ] > B B A [A A > [] Condizionedi reltà Condizione di positività cioè le soluzioni dell inequzione [] coincidono con quelle del sistem [5]. [5]

12 Unità Didttic N Le inequzioni ESEMPI > 5 per 5 5 > ( ) > 5-5 per, 5 > per > 4 > R 5 5 > 4 > L inequzione irrzionle del tipo : A B > > B B A A [7] ESEMPI 4 5 > 7 per : 7, ( )( ) > 4 5 > 7 > [6] è equivlente l sistem : 4 per 7, 4 5 > per < 5, > 6 > R L inequzione irrzionle del tipo : A B due seguenti sistemi : [9] B A Nel sistem [] possimo trscurre l inequzione B ll inequzione < B [ A] quelle dei due seguenti sistemi : < < [8] è equivlente i > < B A B [ A] [] > in qunto ess è suvvlente. Quindi le soluzioni dell inequzione [8] coincidono con

13 [9] B A < < B A [ A] [] < 6 5 per : 6 5 per, 5 < per < ( ) < Il sistem è verificto per 6 5 < per < per < Questo secondo sistem non mmette soluzioni. Altre inequzioni irrzionli 4 > 5 46 per <, > 4 4 > 5 46, > >, 4 6 > per <, > 4 Inequzioni irrzionli del tipo : A B > C A B < C ESEMPI > per : Imponimo, innnzitutto, l condizione di reltà : per per per I tre rdicli sono reli se :. Essendo mo i memri dell inequzione positivi, possimo elevre l qudrto ottenendo : / 4 > /, < 4

14 Unità Didttic N Le inequzioni Quest inequzione irrzionle, tenendo presente l condizione di reltà, equivle i due seguenti sistemi : 4 per, < per > ( ) < 4( 4) Questo sistem è verificto per Questo sistem non mmette soluzioni Equzioni contenenti vlori ssoluti dell incognit Le equzioni con moduli si risolvono ricordndo che : f se f f se f > = = f se f < ttenimo, in ogni singolo intervllo przile, un equzione senz vlori ssoluti m con delle limitzioni per l incognit. Nell risoluzione di un equzione con moduli possono essere utili le seguenti equivlenze : f = k R f = ± k L equzione f = k R non mmette rdici reli L equzione f = g < g = g f = ± g f = g / f = ± g f f = g g = ± g f g non mmette rdici reli, in qunto il numero positivo f ( ) non può mi essere ugule l numero negtivo g <.

15 ESEMPI = - <, < <, > 6 4 =, 4 = = 5 ± 5 4, = 5 9 ( R.A.) = 5 9 < < 6 4 =, = Quest equzione non mmette rdici reli < < 6 4 =, 5 4 = Quest equzione non mmette rdici reli Principli proprietà dei moduli c L L c LL il segno di uguglinz vle qundo,, c,... sono concordi. il segno di uguglinz vle qundo, sono concordi ed il modulo di è mggiore del modulo di. c = c = =