Nicola De Rosa, Liceo scientifico scuole italiane all estero Americhe sessione ordinaria 2012, matematicamente.it

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1 PROBLEMA Il tringolo ABC è equiltero di lto unitrio. L rett r prllel d AB intersec i lti AC e BC, rispettivmente, nei punti P e Q.. Si indici con l distnz di r dl vertice C. Per qule vlore di, nel qudriltero ABQP si può inscrivere un circonferenz? Qule è l lungezz del suo rggio?. Si esprim in funzione di il rpporto fr l re del tringolo PQC e l re del qudriltero ABQP, verificndo ce si ottiene l funzione: f Il rpporto rispost. Si studi l funzione f senz tener conto dei limiti geometrici del prolem e se ne trcci il grfico. Si clcoli l re dell regione finit di pino limitt d e dll rett di equzione y. f ssume tutti i vlori reli positivi? Si giustifici l RISOLUZIONE

2 Punto Con riferimento ll figur il trpezio ABQP è circoscriviile un circonferenz se AB PQ AP QB. Si CH con ; il tringolo PQC è simile l tringolo ABC, pertnto nc esso è equiltero. Ance i tringoli CHQ e CKB sono simili, pertnto vle l seguente proporzione tr lti omologi, CH : HQ CK : KB, cioè : HQ : d cui HQ ; per il teorem di Pitgor CQ CH HQ. Di conseguenz PQ HQ, AP QB BC CQ ; imponendo l condizione di inscriviilità dell circonferenz, AB PQ AP QB, si

3 6. Il rggio dell HK CK CH circonferenz inscritt è R 6. 6 Si rriv llo stesso risultto molto più velocemente osservndo ce l circonferenz inscritt nel trpezio isoscele ABQP coincide con quell inscritt nel tringolo ABC, il cui rggio è pri dell ltezz, cioè R. 6 Punto CH PQ SPQC L re del tringolo PQC è ; l re del trpezio ABQP è dto dll differenz tr l re del tringolo equiltero ABC e l re del tringolo PQC, SABQP SABC SPQC. Il rpporto tr l re del tringolo PQC e del trpezio ABQP è pertnto S PQC f SABPQ con. Considerndo l limitzione geometric, poicé f è continu in,, ess ssume in ogni intervllo

4 ciuso del tipo,,, norm del teorem di Weierstrss, tutti i vlori compresi tr il minimo e il mssimo ssoluto. In prticolre se, poicé lim f lim e lim f lim, il minimo ssoluto srà e il mssimo ssoluto, pertnto se l funzione f ssume tutti e solo i vlori reli positivi. Se, invece, rimuovimo l limitzione geometric ssume vlori negtivi per,,. Punto, il rpporto f Studimo l funzione f prescindendo di limiti geometrici. Dominio: R \, Intersezione sse scisse: f ; Intersezione sse ordinte: f ; Simmetrie: l funzione è pri in qunto f f ;

5 Positività: f Asintoti verticli: lim, lim, lim, lim 5,, ; pertnto le rette sono sintoti verticli; Asintoti orizzontli: lim pertnto y è sintoto orizzontle; Asintoti oliqui: l presenz di sintoti orizzontli esclude l presenz di quelli oliqui in qunto l funzione f è rzionle frtt; Crescenz e decrescenz: l derivt prim è f ' ce è positiv in, e negtiv in,, pertnto l funzione è strettmente crescente, in e strettmente decrescente in, e ssume minimo reltivo in,; 7 Concvità e convessità: l derivt second è f '' pertnto l funzione rivolge concvità verso l lto in, e verso il sso in,, Il grfico è di seguito presentto.

6 6 Punto Le intersezioni dell funzione f con l rett y si ricvno risolvendo l equzione d cui 8 6. L re riciest è rffigurt in grigio. Ess è pri pri Integrndo 6 d d d d d S

7 Scrivimo l frzione come somm di due frzioni A B ; effettundo il minimo comune multiplo A B B A si e tle uguglinz sussiste se e A B A solo se e cioè se. B A B Di conseguenz si : S 6 d 6 d 6 d 6 d 6 ln 6 ln 6 ln 6 ln 6 ln 7

8 PROBLEMA Il grfico dell funzione g, disegnto sotto, consiste di tre segmenti e di un semicirconferenz (con rggio e centro (, )). Si f l funzione definit d f gt f e Si determinino f ' Si trovi il vlore di, 5, in cui f present il mssimo ssoluto e si trovi ltresì il minimo ssoluto di f nell intervllo ciuso, 5 Si trovino i vlori di, 5, in cui il grfico di f present punti di flesso. dt RISOLUZIONE 8

9 Punto L funzione f gt dt per rppresent l re sottes dll funzione g mentre per 5 rppresent l re sottes cmit di segno.. In prticolre gt f dt è l re del trpezio rettngolo di se mggiore, se minore ed ltezz ce è pri 9 f gt dt. Per il teorem fondmentle del clcolo integrle f ' g f ' g., pertnto Punto Poicè f ' g, dl grfico fornito dll trcci deducimo ce l derivt prim f ' è positiv in minimo mssimo,, e negtiv in + 5,,, pertnto è sciss di minimo reltivo e è sciss di mssimo reltivo per f come si evince dl qudro dei segni dell derivt prim lto. 9

10 Per trovre il mssimo ssoluto di necessrio confrontre il vlore qunto f gt Clcolimo f : dt è continu. f nell intervllo perto 5, è f con lim gt dt pri 5 5 gt dt gt dt gt dt gt dt gt f in 9 f dt ; l integrle definito t g dt corrisponde ll re del rettngolo di se e ltezz cui v sottrtt l re di un semicercio di rggio unitrio g t dt mentre t tringolo rettngolo con cteti unitri 9 f 7. f 5 : Clcolimo g dt rppresent l re del g t dt pertnto 5 f 5 gt dt gt dt g t dt g t dt in 5 5 qunto somm lgeric di due regioni di pino, ovvero tringoli, di ugule re m orientmento opposto. Poicé f f 5 deducimo ce M,7 è il mssimo ssoluto di f. Per trovre il minimo ssoluto di f è nell intervllo ciuso 5, è necessrio confrontre il vlore f. f con

11 Clcolimo definito f : f gt dt gt dt gt t dt ; l integrle g dt è l re cmit di segno del tringolo rettngolo isoscele di cteto untrio f g t gt dt gt dt gt dt, pertnto dt 7 Clcolimo f : gt dt gt definito t. f dt dove l integrle g dt è pri ll re del tringolo rettngoli di cteti pri e g t dt, pertnto gt dt gt dt Poicè f f deducimo ce, f. m è il minimo ssoluto. In conclusione m, è il minimo ssoluto e M,7 è il mssimo ssoluto di f. Punto I punti di flesso vnno ricercti nei punti in cui l derivt prim cmi monotoni; dl grfico deducimo ce le scisse di suddetti punti sono,,. In prticolre è sciss di flesso tngente orizzontle in qunto f ' g, mentre per e vnno ftte lcune considerzioni. Dl grfico dell derivt prim possimo dedurre nce l su form nlitic: 5,, l derivt prim è l rett di estremi 5, e, di equzione y 8;

12 ,, l derivt prim è l rett di estremi, e, equzione y ; di,, l derivt prim è l semicirconferenz di centro, e rggio nel semipino y di equzione y ;,, l derivt prim è l rett di estremi, e, di equzione y. L derivt second srà quindi pri : se 5 se f '' se se Dl prospetto soprstnte notimo suito ce l derivt second si nnull in, ce pertnto è sciss di flesso tngente orizzontle come precedentemente dimostrto. Clcolimo or i limiti destro e sinistro per e : lim f '' lim f '' lim f '' lim lim f '' Di limiti soprstnti deducimo ce in l derivt second non è definit in qunto è punto ngoloso per l derivt prim poicè il limite destro è pri mentre quello sinistro è pri ; nce in l derivt second non è definit in qunto il limite destro è pri mentre quello sinistro è pri ; quindi in conclusione

13 e sono comunque flessi dell funzione in qunto in essi l derivt prim cmi monotoni, nce se l derivt second in essi non è definit. A vlle delle informzioni cquisite sinor, nce se non riciesto, provimo grficre f gt Sppimo ce ess present: m, Minimo ssoluto in dt. Mssimo ssoluto in M,7 flessi lle scisse,, di cui quello con sciss tngente orizzontle f 5, f, f 7, f Clcolimo i vlori di f gt,,,,, : gt dt f ; dt lle ltre scisse 5 f g t dt pri cioè ll re del trpezio 6 rettngolo di se mggiore, se minore 5 e ltezz unitri; f g t dt pri cioè ll re del trpezio rettngolo di se mggiore, se minore e ltezz ;

14 9 f gt dt come già clcolto; f gt dt gt dt gt dt ; l integrle definito t g dt è pri ll differenz tr l re di un qudrto di lto unitrio e di un qurto di cercio di rggio unitrio, f f gt dt gt dt gt gt dt gt dt gt Il grfico di f gt g t dt pertnto 9 dt ; 9 dt ; dt è di seguito presentto.

15 QUESTIONARIO Quesito Un docente deve scegliere studenti cui ffidre un compito tr i ce ne nno ftto riciest. Qunte scelte può fre?! 7 89 Il numero possiile di scelte è pri.!6! Quesito Si clcoli: lim Ponendo t, il limite divent t t tt t(t t t t lim lim lim t lim 6 t in qunto lim t. t 5

16 f Quesito Si f si clcoli f ' 6 L funzione 6 f può essere riscritt, vlle dello sviluppo dei prodotti tr i fttori l numertore e l denomintore, come f. Applicndo l regol di derivzione 8 del rpporto tr funzioni si : 6 8 '

17 Quesito Si R l regione del pino rccius tr il grfico di y, l rett e l sse. Si trovi l re di R. L funzione y non è ltro ce l rco di prol di equzione y con sse coincidente con l sse delle scisse e vertice in, definito nel semipino y. L re riciest è pri S R d 8. Quesito 5 Un prticell si muove lungo l sse in modo tle ce l su velocità v l tempo t, per t 5, è dt d v t lnt t. Qul è l ccelerzione dell prticell l tempo t =? L ccelerzione è l derivt dell velocità in funzione del tempo, t 5 t v' t, pertnto. t t 7 7

18 Quesito 6 Dto l insieme A = {,, 5, 8}: determinre qunti numeri due cifre si possono scrivere con gli elementi di A, considerndo ce sono mmesse le ripetizioni. Enumerimo le possiili cominzioni:,,,,,5,,8,,,,,5,,8 5,, 5,, 5,5, 5,8 8,, 8,, 8,5, 8,8 d cui si deduce ce possimo scirvere 6 numeri due cifre con gli A,,5,8 includendo le ripetizioni. elementi di Quesito 7 Si determini il cono di volume minimo circoscritto d un sfer di rggio r. Considerimo l figur lto. Ponimo CO con r ; per il teorem di Pitgor CD r. I tringoli COD e CHB sono simili per cui vle l seguente proporzione tr lti omologi CD : OD CH : HBce equivle r : r r: HB d cui volume del cono è r HB r r r r r CH HB r r r V r r. L r r minimizzzione dell re lterle l effettuimo medinte derivzione.. Il 8

19 L derivt prim dell funzione V r r r r r V ' Considerndo l limitzione geometric r, il qudro dei segni dell derivt prim è di seguito mostrto: V ' r V ' r r 9 r r r r è r r r r - r minimo V ' r d cui deducimo ce l funzione è strettmente decrescente in r, r e strettmente crescente in r,, pertnto r è sciss di minimo. Il volume minimo di conseguenz è pri r r r 8 V r r r r. Quesito 8 Di un tronco di pirmide rett se qudrt si conoscono l ltezz e i lti e delle due si. Come si può procedere per esprimere il volume del tronco in funzione di, e? Considerimo un pirmide rett se qudrt con re di se A B ed ltezz VH H ; tglimo l pitmide con un pino prllelo ll se e distnte VH ' H dl vertice in modo d ottenere un pirmide con re di se A ed ltezz.

20 H e un tronco di pirmide con ree di se, A A B ed ltezz HH '. Il volume del tronco di pirmide è dto dll differenz tr il volume V dell pirmide rett se qudrt con re di se A B ed ltezz H VH e il volume V dell pirmide rett se qudrt con re di se A ed ltezz H VH '. Le due pirmidi sono simili, pertnto le ree di se stnno come i qudrti delle rispettive ltezze: H H H H H. Il volume V è pri H V mentre V è pri H V. Di conseguenz il volume del tronco di pirmide è V V V