UNITA 13. GLI ESPONENZIALI
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- Carmelo Cipriani
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1 UNITA. GLI ESPONENZIALI. Le potenze con esponente intero, rzionle e rele.. Le proprietà delle potenze.. Equzioni esponenzili che si riconducono ll stess bse. 4. L funzione esponenzile. 5. Il grfico dell funzione esponenzile con bse positiv minore di. 6. Il grfico dell funzione esponenzile con bse mggiore di. 7. Le disequzioni esponenzili che si riconducono ll stess bse. 8. Sistemi con equzioni esponenzili. 9. Sistemi con disequzioni esponenzili. 0. Il dominio delle funzioni esponenzili.. Trsformzioni geometriche pplicte ll funzione esponenzile.. Appliczioni prtiche dell funzione esponenzile.. L cpitlizzzione compost. 4. L crescit di un popolzione.
2 . Le potenze con esponente intero, rzionle e rele. Dto un numero rele tle che intero positivo è definit così: n 0 e... n volte L potenz con esponente intero negtivo è definit così: n n n L potenz con esponente rzionle è definit così: m n n m, sppimo già che l potenz con esponente Si può nche definire l potenz con esponente rele, in cui l esponente può essere un numero rele qulsisi, cioè un numero rzionle o un numero irrzionle come,,, ecc. Il vlore pprossimto di un potenz con esponente rele si può determinre con un clcoltrice scientific, utilizzndo l pposito tsto di elevmento potenz, indicto col simbolo Per esempio: 4, ; 5 6, ; 8, Esercitrsi con l propri clcoltrice.
3 . Le proprietà delle potenze. Per risolvere equzioni e disequzioni esponenzili, è opportuno ricordre tutte le proprietà delle potenze, che sono vlide si con esponenti interi positivi (,,,.), si con esponenti 5 interi negtivi (-, -, -, ), si con esponenti rzionli, -,,..., si con 4 7 esponenti irrzionli (,,,...). 0, b 0 b, Se e b rppresentno due numeri reli tli che e e e se ed rppresentno due numeri reli qulsisi, sono vlide le seguenti proprietà delle potenze: ) + ) b ( b ) ) 4) b b ( 5) ) 6) 7) 8) 0 0 inftti: 0 0 9) 0 indeterminto inftti: indeterminto
4 . Equzioni esponenzili che si riconducono ll stess bse. Si chimno equzioni esponenzili quelle equzioni che contengono l incognit nell esponente di qulche potenz. Se è possibile trsformre mbo i membri dell equzione sotto form di potenze con l stess bse, queste equzioni si risolvono bbstnz fcilmente pplicndo opportunmente le proprietà delle potenze. Se ciò non è possibile bisogn utilizzre il concetto di logritmo e le proprietà dei logritmi, che studieremo successivmente. Esempio. 8 Esempio. 9 Esempio. 8 4 ) (
5 4. L funzione esponenzile. Dto un numero rele che si funzione che d ogni vlore di R 0 e, si chim funzione esponenzile quell ssoci il vlore R tle che Bisogn osservre che ffinché l funzione esponenzile si definit che l bse si f ) R (. è necessrio 0 ltrimenti per lcuni vlori di l funzione esponenzile non si potrebbe clcolre. Per esempio se fosse ( ) oppure stbilire il segno di poiché l esponente non è pri né dispri. ltrimenti se fosse ( 5) non si potrebbe, per qulunque vlore di si Inoltre l bse deve essere vrebbe e l funzione esponenzile vrebbe sempre il vlore costnte. Quindi l funzione esponenzile può vere l bse tle che: 0 oppure E importnte distinguere questi due csi perché lcune proprietà dell funzione esponenzile sono diverse secondo che l bse si compres tr 0 e oppure si mggiore di.
6 5. Il grfico dell funzione esponenzile con bse positiv minore di. Il grfico dell funzione esponenzile è utile per determinre le crtteristiche dell funzione esponenzile. Se l bse risult 0, possimo scegliere come esempio il vlore funzione esponenzile divent:. Per trccire il grfico si ssegnno ll vribile lcuni vlori rbitrri, si clcolno i vlori corrispondenti dell funzione, si costruisce un tbell con i vlori ottenuti, si disegnno i punti sugli ssi crtesini e si trcci il grfico dell funzione esponenzile. e l Se 8 Se 4 Se Se 0 Se Se Se / /4 /8
7 Dl grfico ottenuto si possono dedurre le seguenti crtteristiche: Dominio: DR, cioè l funzione si può clcolre per qulunque vlore di ; Codominio: C 0; +, cioè il vlore dell funzione è sempre positivo; Prità o Periodicità: l funzione non è pri, non è dispri e non è periodic; Intersezioni con gli ssi: l funzione intersec l sse nel punto P(0;) Segno dell funzione: l funzione è sempre positiv (il suo grfico si trov sempre sopr l sse ); Asintoti: l funzione h un sintoto orizzontle destro di equzione 0 (sse ) Crescenz e decrescenz: l funzione è sempre decrescente, cioè ll umentre di diminuisce l ; Concvità: il grfico dell funzione rivolge sempre l concvità verso l lto; Limittezz: l funzione è illimitt superiormente mentre è limitt inferiormente dl vlore. 0
8 6. Il grfico dell funzione esponenzile con bse mggiore di., possimo scegliere come esempio il vlore Se l bse risult esponenzile divent:. Per trccire il grfico si ssegnno ll vribile lcuni vlori rbitrri, si clcolno i vlori corrispondenti dell funzione, si costruisce un tbell con i vlori ottenuti, si disegnno i punti sugli ssi crtesini e si trcci il grfico dell funzione esponenzile. e l funzione Se 8 Se 4 Se Se 0 0 Se Se 4 Se 8 - /8 - /4 - / 0 4 8
9 Dl grfico ottenuto si possono dedurre le seguenti crtteristiche: Dominio: DR, cioè l funzione si può clcolre per qulunque vlore di ; Codominio: C 0; +, cioè il vlore dell funzione è sempre positivo; Prità o Periodicità: l funzione non è pri, non è dispri e non è periodic Intersezioni con gli ssi: l funzione intersec l sse nel punto P(0;) Segno dell funzione: l funzione è sempre positiv (il suo grfico si trov sempre sopr l sse ); Asintoti: l funzione h un sintoto orizzontle sinistro di equzione 0 (sse ) Crescenz e decrescenz: l funzione è sempre crescente, cioè ll umentre di ument nche l ; Concvità: il grfico dell funzione rivolge sempre l concvità verso l lto; Limittezz: l funzione è illimitt superiormente mentre è limitt inferiormente dl vlore. 0 Inoltre si osserv che, rispetto ll sse, il grfico dell funzione è simmetrico del grfico dell funzione.
10 7. Disequzioni esponenzili che si riconducono ll stess bse. Sono disequzioni che contengono l incognit nell esponente di qulche potenz. Se è possibile trsformre mbo i membri dell disequzione sotto form di potenze con l stess bse, si risolvono bbstnz fcilmente pplicndo opportunmente le proprietà delle potenze. l funzione esponenzile è crescente Bisogn ricordre, però, che qundo l bse è e quindi ll funzione esponenzile mggiore corrisponde nche l esponente mggiore, perciò: 0 mentre qundo l bse è l funzione esponenzile è decrescente e quindi ll funzione esponenzile mggiore corrisponde l esponente minore, perciò: Se invece non è possibile trsformre mbo i membri dell disequzione sotto form di potenze con l stess bse, bisogn utilizzre il concetto di logritmo e le proprietà dei logritmi, che studieremo successivmente. Esempio ( ) Esempio Esempio
11 8. Sistemi con equzioni esponenzili Sono sistemi che contengono lmeno un equzione esponenzile. Si possono risolvere col metodo di sostituzione. Esercizi pg. 594 Esempio Esempio Nell second equzione ponimo: t di conseguenz risult che t E l second equzione divent: t t 0 Δ-4 (-)+89 t ± 9 ± + 4 M t perciò bbimo: equzione impossibile soluzione. Tornndo l sistem, bbimo:
12 9. Sistemi con disequzioni esponenzili. Sono sistemi che contengono lmeno un disequzione esponenzile. Prim si risolvono tutte le disequzioni del sistem e poi, per risolvere il sistem, si disegn un grfico e si prendono le soluzioni comuni tutte le disequzioni. Esercizi pg Il dominio delle funzioni esponenzili. Per trovre il dominio delle funzioni esponenzili bisogn considerre che l bse deve essere positiv e deve essere possibile clcolre l esponente. Esercizi pg Trsformzioni geometriche pplicte ll funzione esponenzile. Trslzione, simmetri ssile, simmetri centrle, diltzione. Esercizi pg Appliczioni prtiche dell funzione esponenzile. L funzione esponenzile h numerose ppliczioni prtiche in vri mbiti: in mbito economico con l legge dell cpitlizzzione compost; in mbito biologico con l legge dell crescit di un popolzione;
13 . L cpitlizzzione compost. L cpitlizzzione compost è il procedimento mtemtico utilizzto per clcolre il montnte con l condizione che il montnte ottenuto ogni nno si clcol considerndo il montnte dell nno precedente. Il montnte è l somm di denro complessiv che il debitore deve versre l creditore l termine del contrtto. Se si prest un cpitle C, d un tsso d interesse i, dopo un nno il montnte divent: C + ic C( + i) dopo due nni il montnte divent: + i ( + i) C( + i)( + i) C( + i) dopo tre nni il montnte divent: + i ( + i) C( + i) ( + i) C( + i) Generlizzndo il risultto precedente si può dire che dopo un numero di nni il montnte risult: C( + i) Esempio. Un creditore prest un cpitle di 500 d un debitore con un interesse di, %. Scrivi l funzione che descrive l ndmento del montnte. Clcol il montnte dopo nni. Clcol il montnte dopo 6 mesi. Siccome i, %, 0,0, l funzione del montnte risult: 00 C( + i) 500( + 0,0) 500(,0) Dopo nni il montnte vle: () 500(,0) 500,064 58, Dopo 6 mesi il montnte vle: (6 mesi) 500(,0) (,0), 500,06 508,0
14 4. L crescit di un popolzione. Se indichimo con N il numero degli individui viventi in un certo nno e con c il tsso di crescit nnule dell popolzione, espresso in percentule, dopo un nno il numero di individui divent: N + cn N( + c) Dopo due nni il numero di individui divent: + c ( + c) N( + c)( + c) N( + c) Dopo tre nni il numero di individui divent: + c ( + c) N( + c) ( + c) N( + c) Generlizzndo il risultto precedente si può dire che dopo un numero di nni il numero di individui risult: N( + c) Esempio. Un popolzione in un determinto nno contiene individui viventi e h un tsso di crescit costnte nnuo del %. Scrivi l funzione che descrive l ndmento dell popolzione. Clcol il numero di individui dopo 5 nni. Clcol il numero di individui dopo 40 mesi Siccome c % 0,0, l funzione dell ndmento risult: 00 N( + c) 0.000( + 0,0) 5 500(,0) Dopo 5 nni il numero di individui divent: (5) 0.000(,0) ,59.59 Dopo 40 mesi il numero di individui divent: (40 mesi) 0.000(,0) (,0), 0.000,05.05
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. I iti fondmentli Non bisogn pensre l clcolo di un ite come se si trttsse dvvero di eseguire un operzione mtemtic: in reltà non esiste lcun lgoritmo. L procedur si regge invece su questi due pilstri:
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