Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

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1 Università degli Studi di Plermo Fcoltà di Economi Diprtimento di Scienze Economiche, Aziendli e Sttistiche Appunti del corso di Mtemtic 11 - Integrli Anno Accdemico 2015/2016 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Pecorell, D. Provenzno e A. Consiglio

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3 1. Introduzione 1. Introduzione Prim di introdurre il concetto di integrle, definimo il concetto di ntiderivt o primitiv di un funzione. Definizione Si f un funzione continu sull intervllo chiuso [, b]. Un funzione F continu su [, b] e derivbile in (, b) si dice ntiderivt o primitiv di f se: F (x) = f(x) x (, b). In ltri termini, dt un funzione f(x), l ntiderivt di f(x) è un qulsisi funzione F (x) l cui derivt è proprio f(x). Esempio 1.1 Determinre un ntiderivt di f(x) = x 2. Per l definizione or vist, stimo cercndo un funzione F (x) tle che F (x) = x 2. Se F (x) fosse ugule x 3 si vrebbe che: F (x) = 3 x 2, che non è esttmente quello che stimo cercndo, m ci si vvicin precchio. In prticolre, moltiplicndo x 3 per un opportun costnte, 1 x3, ottenimo un nuov funzione, F (x) = tle che: 3 3 F (x) = x2 = x 2 = f(x). In generle l ntiderivt di f(x) = x n con n N è dt d F (x) = xn+1 n + 1. Esempio 1.2 Determinre un ntiderivt di f(x) = sin(x). Si ricord che d cos(x) = sin x. dx Quindi, se ponessimo F (x) = cos(x) llor vremmo F (x) = sin(x), che è qunto vorremmo ottenere trnne che per il segno. A questo è possibile ovvire fcilmente ponendo F (x) = cos(x) l cui derivt è F (x) = sin(x) = f(x). In mnier nlog si ottiene che l ntiderivt di f(x) = cos(x) è F (x) = sin(x), in qunto F (x) = cos(x) = f(x). Esempio 1.3 Determinre l ntiderivt di f(x) = x = x 1 2. Si osservi che, come M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 3

4 1. Introduzione bbimo visto, per potenze rzionli d dx xq = q x q 1. Nel nostro cso, voglimo che q 1 si ugule 1, d cui q = 3. Inftti: 2 2 d dx x = 2 x = 3 2 x = x. 2 Questo risultto, meno dell costnte 3 è il risultto che vorremmo 2 ottenere. Per ovvire questo problem srà dunque sufficiente porre: F (x) = x = 2 3 x 3 2. L funzione F (x) = 2 3 x 3 2 è dunque l ntiderivt di f(x) = x. In generle r Q, r 1 si h che l ntiderivt di f(x) = x r è ugule F (x) = xr+1. Il cso r = 1, corrispondente f(x) = 1 è r+1 x prticolre, poiché 1 NON è derivt di lcun potenz. Invece, come x è noto, f(x) = 1 è l derivt dell funzione logritmo: x Dunque l ntiderivt di f(x) = 1 x d dx ln(x) = 1 x. è proprio F (x) = ln(x). Al contrrio delle derivte di funzioni elementri, determinre l ntiderivt di un funzione non è sempre bnle e, volte, dt un f(x), non è possibile trovre un funzione elementre F (x) tle che F (x) = f(x). Per esempio le funzioni f(x) = e x2 e g(x) = x sin(x) non mmettono lcun funzione elementre come ntiderivt. Infine, l ntiderivt dell funzione esponenzile f(x) = e x è l funzione stess, F (x) = e x. Inftti: F (x) = d F (x) = dx ex = f(x). Un interessnte proprietà dell ntiderivt è rissunt nel seguente teorem: Teorem 1.1. Si F (x) un ntiderivt dell funzione f(x) su (, b). Allor l funzione G(x) = F (x) + c è pure un ntiderivt di f(x) su (, b) c R. Dimostrzione.Poiché l funzione F (x) è derivbile su (, b) nche l funzione G(x) = F (x) + c è derivbile su (, b) in qunto somm di funzioni derivbili (l funzione costnte, c, è derivbile ovunque). Per ipotesi F (x) = f(x). Quindi: d dx G(x) = d dx F (x) + d c = f(x) + 0 = f(x). dx Quindi se un funzione f(x) mmette ntiderivt F (x), esiste un inter clsse di funzioni ntiderivte del tipo G(x) = F (x) + c con c R. In 4 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

5 2. Integrle Definito: pproccio di Drboux figur 1 è illustrt l tesi del precedente teorem: le rette tngenti in punti venti l stess sciss nelle due funzioni hnno l stess pendenz, ovvero le tngenti sono prllele. L seprzione tr le due curve è costnte e le curve si dicono prllele. Figur 1. Esempio di due funzioni ntiderivte dell stess funzione. 2. Integrle Definito: pproccio di Drboux Per integrle definito di un funzione 1 si intende il clcolo dell re di un figur che h come bordi un intervllo sull sse delle scisse, chiuso e limitto, [, b], detto intervllo di integrzione o dominio di integrzione e il grfico dell funzione ssegnt. Un pproccio per il clcolo del clore di tle re consiste nel suddividere l figur in rettngoli sempre più piccoli e sommre le ree corrispondenti. Definizione Si < b. Un prtizione dell intervllo [, b] è un qulunque insieme finito e ordinto di punti distinti di [, b] di cui il primo è e l ultimo è b. Indicheremo un prtizione con il simbolo P = {x 0, x 1,..., x n }, dove = x 0 < x 1 <... < x n = b. Gli n+1 punti dell prtizione precedente inducono n sub-intervlli dell intervllo [, b]. L mpiezz dell i-esimo sub-intervllo è denotto d x i = x i x i 1 1 Strettmente prlndo, in quest descrizione qulittiv, si dovrebbe prlre di funzione vlori non negtivi M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 5

6 2. Integrle Definito: pproccio di Drboux e si vrà per costruzione: x i = (x 1 x 0 ) + (x 2 x 1 ) (x n 1 x n 2 ) + (x n x n 1 ) = = x n x 0 = b. Si f(x) un funzione, dett funzione integrnd continu su [, b]. Allor, per il teorem di Weierstrss, su ogni sub-intervllo x i l f(x) mmetterà un mssimo, M i, e un minimo, m i : m i f(x) M i x [x i 1, x i ]. Definizione Si definisce somm integrle inferiore dell funzione f su [, b] reltiv ll prtizione P il numero rele: s(f, P ) = m i x i ; si chim somm integrle superiore di f reltiv ll prtizione P di [, b] il numero rele S(f, P ) = M i x i. Si osservi che ogni ddendo di s(f, P ) è l re del rettngolo interno ll curv f(x), mentre gli ddendi di S(f, P ) rppresentno l re dei rettngoli esterni ll curv f(x). Nei due pnnelli di Fig.2 sono Figur 2. Somm integrle inferiore e somm integrle superiore di un funzione f reltive due diverse prtizioni dell intervllo [, b] = [ 2, 2]. rppresentti i rettngoli che costituiscono l somm inferiore (ros) e l somm superiore (celeste) reltive due diverse prtizioni di [, b] = [ 2, 2]. Nell figur di sinistr, l prtizione h n=4 sub-rettngoli, in quell di destr n = 20 rettngoli. Si osservi che, ll umentre di n l re copert di rettngoli pprossim meglio l re sottes ll 6 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

7 2. Integrle Definito: pproccio di Drboux curv. Inoltre, l somm superiore e quell inferiore covergono verso un unico numero (l loro differenz inftti diminuisce ll umentre di n). Affinché un funzione si integrbile è sufficiente (non necessrio) che si continu. L condizione di continuità non è necessri in qunto esistono funzioni non continue m integrbili (vedremo lcuni esempi qundo prleremo di integrli impropri). Ometteremo quest dimostrzione ed introdurremo questo risultto trmite un definizione. Definizione di integrle definito di funzioni continue. Si f un funzione continu su un intervllo chiuso e limitto [, b] L unico numero I che soddisf l disuguglinz: s(f, P ) I S(f, P ), P di [, b] è chimto integrle definito di f su [, b] ed è denotto d f(x)dx. Nell espressione che denot l integrle, l vribile x, dett vribile di integrzione è un vribile mut, nel senso che non h significto specifico e può essere sostituit con qulsisi simbolo. In molti csi, per evitre confusione con l estremo di integrzione (poiché e b possono essere vribili), l integrle può essere espresso come f(u)du, oppure f(t)dt. Il simbolo dx (oppure du o dt) è detto differenzile dell vribile di integrzione. Come per i limiti, l definizione di integrle può essere utilizzt per clcolrne il vlore. Tuttvi, questo è possibile (o conveniente) solo in lcuni csi specifici. Esempio 2.1 Verificre che, se k è un costnte rele llor: k dx = k (b ). Essendo f(x) = k llor, in ogni sub-intervllo srà m i = k = M i. Di conseguenz s(f, P ) = S(f, P ) = k x 1 + k x k x n = = k ( x 1 + x x n ) = k x i = = k (b ). M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 7

8 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn Esempio 2.2 Verificre che x dx = 1 2 (b2 2 ). In Fig. 3 è rppresentto il cso in cui l integrle deve essere clcolto su [1, 5]. Si not fcilmente che m i = x i 1 e M i = x i. Per esempio nel sub-intervllo [1.5, 2], m 2 = 1.5 e M 2 = 2. Pertnto possimo scrivere s(f, P ) e S(f, P ) nel modo seguente: s(f, P ) = x i 1 x i ; Si osservi che, P, risult: S(f, P ) = x i x i. x i (x i 1 + x i ) x i. Moltiplicndo ogni membro di quest disequzione per l quntità positiv x i ottenimo: x i x i x i (x i 1 + x i ) x i x i. Quindi, sommndo su i risult: 1 s(f, P ) = x i x i 1 2 x i (x i 1 +x i ) x i x i = S(f, P ). Poiché, per definizione, x i = x i x i 1 llor x i (x i 1 + x i ) = (x i x i 1 ) (x i 1 +x i ) = x 2 i x 2 i 1. Inoltre, clcolndo l sommtori, bbimo: 1 2 (x 2 i x 2 i 1) = 1 2 (x2 1 x x 2 2 x x 2 n x 2 n 1) = = 1 2 (x2 n x 2 0) = 1 2 (b2 2 ). Quindi, includendo questo risultto nelle ultime diseguglinze, risult: s(f, P ) 1 2 (b2 2 ) S(f, P ), Quindi I = 1 2 (b2 2 ). 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn Come visto, le somme inferiori e superiori di Drboux si ottengono considerndo, rispettivmente il minimo e il mssimo di f(x) su ciscun 8 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

9 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn Figur 3. Somme superiori e inferiori per il clcolo dell integrle di f(x) = x nell intervllo [, b] = [1, 5]. sub-intervllo x i. Un pproccio lterntivo è quello proposto d Riemnn. Si P = {x 0, x 1,..., x n } un prtizione dell intervllo [, b]. L prtizione P suddivide l intervllo [, b] in n sub-intervlli di mpiezz x i = x i x i 1. Per ogni sub-intervllo si scelg x i [x i 1, x i ] e si formi il prodotto f(x i ) x i. Questo prodotto equivle ll re del rettngolo vente come bse x i e ltezz f(x i ). L somm di questi prodotti (ree) per i = 1, 2,..., n è dett somm di Riemnn: G(f, P ) = f(x i ) x i. E importnte notre che, nel cso di funzioni continue, cui si può pplicre il metodo di Drboux in forz del teorem di Weierstrss risulterà P e i = 1,..., n m i f(x i ) M i, d cui: s(f, P ) G(f, P ) S(f, P ), P. Nei due pnnelli di figur 4 sono riportti i rettngoli ottenuti scegliendo come x i un rbitrrio punto in ogni sub-intervllo [x i 1, x i ]. Per ogni prtizione P di [, b] si definisce con P l norm di P come: P = mx,...,n x i. M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 9

10 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn L integrle definito secondo Riemnn di un funzione f sull intervllo [, b] è definito come il limite per P 0 di G(f, P ): f(x)dx = lim G(f, P ) = P 0 lim P 0 f(x i ) x i. In ltre prole, si definisce integrle secondo Riemnn di f su [, b] l quntità rele f(x)dx tle che ɛ > 0 δ > 0 tle che P : P < δ llor: G(f, P ) f(x)dx < ɛ. Si noti che, mentre per funzioni continue l definizione di Drboux e quell di Riemnn sono equivlenti, l formulzione di Riemnn è più generle, poiché consente di definire l integrle nche di funzione non continue su tutto l intervllo [, b] 2. Figur 4. Rettngoli ottenuti scegliendo punti rbitrri x i nei sub-intervlli [x i 1, x i ] Vedimo or lcune proprietà degli integrli Linerità dell integrle. Sino f e g due funzioni continue su [, b] e sino α e β due numeri reli. Allor: [α f(x) + β g(x)] dx = α f(x) dx + β g(x) dx. 2 Questo rgomento è bbstnz delicto e non lo pprofondiremo ulteriormente, finché non prleremo di integrli impropri. 10 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio

11 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn 3.2. Additività rispetto ll intervllo di integrzione. Si f un funzione continu su [, b] e si c [, b]. Risult: f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx Monotoni. Sino f e g due funzioni continue su [, b] tli che f(x) g(x) x [, b]. Allor: f(x) dx g(x) dx. Come per il clcolo dei limiti, utilizzre l definizione (secondo Drboux o secondo Riemnn) di integrle per il clcolo dell integrle di un funzione generic può risultre molto complicto. Vedremo or lcuni teoremi propedeutici ll dimostrzione di lcuni risultti fondmentli del clcolo integrle, i quli, loro volt, ci mostrernno vie molto più gevoli, rispetto ll utilizzo dell definizione, per clcolre l integrle di un generic funzione. Teorem 3.1 (dell medi integrle). Si f : [, b] R un funzione continu su [, b]. Allor c [, b] tle che: f(c) = 1 b f(x) dx. Dimostrzione.Essendo l funzione f continu su [, b] llor, per il teorem di Weierstrss, ess mmette mssimo M e minimo m su [, b]. Pertnto m f(x) M, x [, b]. Per l proprietà di monotoni dell integrle (vist sopr) vremo: m dx f(x) dx M dx, che, tenuto conto dell proprietà di linerità dell integrle (quindi del ftto che m dx = m dx = m (b )), possimo riscrivere come: d cui: m(b ) m 1 (b ) f(x) dx M(b ), f(x) dx M. Poiché f è (per ipotesi) continu su [, b] vle il teorem dei vlori intermedi (TVI, teorem 1.2 degli ppunti sull continuità) quindi, preso comunque un k in [m, M] llor esiste c [, b] tle che f(c) = k. M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 11

12 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn Nel nostro cso, per l disuguglinz precedente, possimo scegliere il 1 vlore di k pri f(x) dx per ottenere l tesi: (b ) f(c) = 1 (b ) f(x) dx. Tr breve definiremo il concetto di funzione integrle. Cerchimo prim di introdurre questo concetto ttrverso un esempio. Si consideri l integrle t dt. Come bbimo visto, tle integrle risult pri 1 2 (b2 2 ). Se fccimo vrire l estremo superiore dell integrle, b, vremo che il vlore dell integrle srà un funzione del vlore di tle estremo: x t dt = 1 2 (x2 2 ) = F (x). Si osservi che l vribile di integrzione, t, h un simbolo diverso dll vribile x, estremo mobile dell intervllo di integrzione. Definizione di funzione integrle Si f : [, b] R un funzione integrbile su [, b]. Si definisce funzione integrle l funzione F (x) = x f(t) dt. Teorem 3.2 (Teorem fondmentle del clcolo integrle). Si f : [, b] R un funzione continu su [, b]. Allor l funzione integrle F (x) = x f(t) dt è continu su [, b] e derivbile su (, b) e si h che: F (x) = f(x). Dimostrzione.Dimostrimo l derivbilità di F su (, b). Considerimo il rpporto incrementle di F in un punto x di (, b): F (x + h) F (x) h x+h f(t) dt x f(t) dt = = h = (per l dditività rispetto ll intervllo di integrzione) = = = x f(t) dt + x+h x x+h x f(t) dt. h f(t) dt x f(t) dt h 12 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio =

13 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn Per il teorem dell medi integrle (visto sopr) c [x, x + h] tle che: x+h f(t) dt x F (x + h) F (x) = f(c) = f(c). h h Inoltre, dto che x c x + h, se h 0, llor c x. Inoltre, per l continuità di f(x), vremo che lim c x f(c) = f(x) e quindi: F (x) = lim h 0 F (x + h) F (x) h = lim c x f(c) = f(x). Questo teorem è molto importnte in qunto stbilisce un connessione fr l integrle e l derivt di un funzione. In prticolre, l funzione integrle, F (x), è un nti-derivt dell funzione integrnd, f(x). Inftti, il teorem precedente dimostr proprio che F (x) (l derivt dell funzione integrle) è ugule f(x) (l funzione integrnd). M quest è l definizione di nti-derivt, ossi F (x) è un nti-derivt di f(x): F (x) = f(x). Il risultto di questo teorem fornisce uno strumento lterntivo per il clcolo dell integrle di un funzione continu, lterntivo i metodi di Drboux e Riemnn. Teorem 3.3 (Formul fondmentle del clcolo integrle). Si f : [, b] R un funzione continu su [, b] e si, inoltre, F (x) un nti-derivt di f(x), ossi tle che F (x) = f(x). Allor: f(x) dx = F (b) F (). Dimostrzione.Si consideri un prtizione P = {x 0 =, x 1,..., x n = b} di [, b]. Possimo scrivere che: F (b) F () = F (x n ) F (x 0 ) = = F (x 1 ) F (x 0 ) + F (x 2 ) F (x 1 ) F (x n ) F (x n 1 ) = = [F (x i ) F (x i 1 )]. Essendo F (x) derivbile (per definizione di nti-derivt) llor possimo pplicre il teorem del vlore medio d F (x) in ogni intervllino [x i 1, x i ]. Quindi i = 1,..., n c i [x i 1, x i ] tle che F (c i ) = F (x i) F (x i 1 ) x i, d cui, ricordndo che per ipotesi F (c i ) = f(c i ) e sostituendo nell sommtori ottenut sopr per esprimere F (b) F (), si ottiene: F (b) F () = F (c i ) x i = f(c i ) x i. M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio 13

14 3. Integrle definito: pproccio di Riemnn Si osservi che l ultim sommtori è un sommtori di Riemnn (i punti c i sono gli x i dell definizione). Quindi per P 0 ottenimo: f(c i ) x i = f(x)dx, d cui segue l tesi: lim P 0 F (b) F () = f(x)dx. L formul fondmentle del clcolo integrle permette di clcolre l integrle semplicemente cercndo l nti-derivt (o primitiv) dell funzione integrnd. Quest ricerc tuttvi, non è sempre semplice; inoltre, per lcune funzioni non è possibile esprimere un nti-derivt trmite un combinzione (finit) di funzioni elementri. Definizione di integrle indefinito. Si definisce integrle indefinito di un funzione f : I R l insieme di tutte le nti-derivte (o primitive) di f(x). Indicheremo l integrle indefinito di f(x) col simbolo f(x) dx. Si osserv che due nti-derivte differiscono per un costnte dditiv. Per questo motivo, se F (x) è un primitiv di f(x) si scrive che: f(x) dx = F (x) + c, dove c è un costnte rbitrri, che prende il nome di costnte di integrzione. Possimo rissumere nei seguenti punti i pssi necessri per il clcolo dell integrle definito di un funzione f(x) su un intervllo [, b]: (1) Trovre un nti-derivt, F (x), di f(x). (2) Determinre il vlore di F (x) negli estremi di integrzione: F () e F (b). (3) L integrle definito di f(x) su [, b] srà dt dll differenz F (b) F (). IMPORTANTE: un spetto che finor non bbimo sottolineto è che l integrle di un funzione su un certo intervllo può essere negtivo. Questo ccde qundo l funzione integrnd f(x) determin un re l di sotto dell sse delle scisse mggiore di quell che determin l di sopr dell sse. 14 M. Tumminello, V. Lcgnin, A. Consiglio