COMPLEMENTI SUGLI INTEGRALI DEFINITI. A. Figà Talamanca

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1 COMPLEMENTI SUGLI INTEGRALI DEFINITI A. Figà Tlmnc 27 ottobre 2010

2 2 0.1 Introduzione C è un modo pprentemente semplice ed intuitivo per introdurre l integrle (definito) di un funzione f definit su un intervllo chiuso e limitto [, b], lmeno nell ipotesi che f ssm solo vlori non negtivi, cioè qundo f(x) 0 per tutti gli x. In questo cso potremmo dire che f(x)dx è semplicemente l re dell figur pin delimitt dll intervllo [, b] dell sse delle x, dl grfico dell funzione, e di segmenti verticli che congiungono i punti di coordinte (, 0) e (b, 0) rispettivmente i punti di coordinte (, f()) e (b, f(b)). Un definizione perfettmente nlog si pplicherebbe nche l cso in cui f ssum solo vlori non positivi. Bsterà pssre ll funzione f (che ssume solo vlori non negtivi) e definire f(x)dx = ( f)(x)dx. Infine, per le funzioni che ssumono vlori si positivi che negtivi, possimo introdurre le funzioni f + (x) = mx(0, f(x)), e f (x) = f(x) + f + (x). Entrmbe f + ed f ssumono vlori non negtivi, risultndo f(x) = f + (x) f (x). Possimo llor coerentemente con le precedenti definizioni definire f(x)dx = f + (x)dx f (x)dx. Il problem con quest definizione, pprentemente semplice, è che, in generle, non sppimo come si poss ssegnre un re d un figur pin qulsisi. In ltre prole, se definimo l integrle in termini di re, ci rest d definire che cos è e come si clcol l re di un rbitrri figur pin. Fccimo prim di tutto un esempio. Considerimo l funzione f(x) = x 2 nell intervllo [0, 1]. L figur delimitt dll sse delle x, il grfico dell funzione e l rett di equzione x = 1 è molto regolre ed è nturle chiedersi qule si l su re. A quest domnd h dto rispost il mtemtico sircusno Archimede che è vissuto nel terzo secolo.c.. Archimede h dimostrto che l re di quest figur, e cioè x2 dx, secondo l nostr definizione è 1/3, pprossimndo l figur con unioni di rettngoli di cui er fcile clcolre l re. Il procedimento di Archimede è illustrto nel libro di testo d pg. 439 pg Il cso f(x) = x 2 rigurd un funzione molto regolre. Noi ci proponimo di estendere, in line di principio, il metodo di Archimede funzioni

3 0.2. SOMME SUPERIORI ED INFERIORI DI UNA FUNZIONE LIMITATA3 molto più generli. Ho detto in line di principio perché l effettivo clcolo dell integrle, l di là dell definizione srà possibile solo per lcune funzioni, quelle che risultno essere le derivte di funzioni elementri. Per le ltre dovremo ccontentrci di un pprossimzione, che però, con i metodi numerici moderni, ed i moderni clcoltori può rggiungere un strordinri precisione. 0.2 Somme superiori ed inferiori di un funzione limitt Supponimo che f si un funzione definit su un intervllo chiuso e limitto [, b] e limitt si superiormente che inferiormente. Questo signific che i vlori f(x) di f mmettono un minornte ed un mggiornte. Possimo suporre che m si il più grnde dei minornti di questi vlori e che M si il più piccolo dei mggiornti. In ltre prole suponimo che: e m = inf{f(x) : x b} M = sup{f(x) : x b}. Un prtizione dell intervllo [, b] è un successione di n + 1 punti = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b, pprtenenti [, b], che determinno n sottointervlli chiusi e limitti [x i 1, x i ] per i = 1,... n. Per ognuno degli intervlli chiusi dell prtizione sono definiti l estremo inferiore m i e l estremo superiore M i dei vlori ssunti in ciscun intervllo dll funzione f. In ltre prole possimo definire e m i = inf{f(x) : x i 1 x x i }), M i = sup{f(x) : x i 1 x x i }. Risult llor m i f(t) M i per tutti i punti t [x i 1, x i ]. Indichimo con P l prtizione definit dll successione = x 0 < x 1 <... x n = b. Allor per l funzione limitt f, in relzione ll prtizione sono definiti i numeri s(f, P ) = m i (x i x i 1 ) M i (x i x i 1 ) = S(f, P ), che si chimno rispettivmente somm inferiore e somm superiore rispetto ll prtizione P.

4 4 E evidente che essendo sempre m i M i, risulterà nche s(f, P ) S(f, P ). Possimo però dire qulcos di più. Se P 1 e P 2 sono due prtizioni diverse risult ncor s(f, P 1 ) S(f, P 2 ). In ltre prole qulsisi somm inferiore è mggiort d qulsisi somm superiore. Per dimostrre questo ftto importnte, osservimo prim di tutto che dte due prtizioni P 1 e P 2 è sempre possibile formre l prtizione che consiste dei punti di P 1 e dei punti di P 2 che consiste cioè dei punti di P 1 P 2. Dett quindi Q = P 1 P 2, risult, s(f, Q) S(f, Q). A questo punto rest d dimostrre che s(f, P 1 ) s(f, Q) S(f, Q) S(f, P 2 ). (1) Di quest successione di disuguglinze solo l prim e l ultim sono d dimostrre. Esse sono l conseguenz del seguente risultto generle Lemm 1. Se P è un prtizione e Q un prtizione che contiene tutti i punti di P, llor s(f, P ) s(f, Q), e S(f, Q) S(f, P ). dimostrzione. Bst considerre il cso in cui Q è ottenut d P ggiungendo un punto. Il cso generle segue ggiungendo successivmente, uno per uno, i punti di Q che non sono in P. Se = x 0 < x 1 < < x n = b è l prtizione P e Q è ottenut ggiungendo il punto y nell intervllo (x i 1, x i ), l somm s(f, Q) differirà dll somm s(f, P ) solo perché l posto dell ddendo m i (x i x i 1 ) vremo l somm dei due ddendi m i(y x i 1 )+m i (x i y). Osservimo che m i (x i x i 1 ) = m i (y x i 1 ) + m i (x i y), e che m i ed m i sono estremi inferiori di insiemi contenuti nell insieme di cui m i è l estremo inferiore. Pertnto m i m i e m i m i. Questo dimostr che m i(y x i 1 ) + m i (x i y) m i (x i x i 1 ) d cui segue l prim disuguglinz dell tesi. L second disuguglinz segue con un rgionmento nlogo. Osservzione 1 Oltre dimostrre l (1) il Lemm dimostr che se si ggiungono punti d un prtizione le corrispondenti somme inferiori possono slire, m certmente non scendono, mentre le corrispondenti somme superiori possono scendere, m certmente non slgono. Questo ci f sperre che, per lo meno per lcune funzioni le somme inferiori ottenute infittendo le prtizioni possno vvicinrsi lle somme superiori primenti ottenute infittendo le prtizioni. Osservimo pure che l prtizione che consiste solo di

5 0.3. FUNZIONI INTEGRABILI ED INTEGRALE 5 due punti = x 0 < x 1 = b, dà luogo ll somm inferiore m(b ) e ll somm superiore M(b ). Per qunto si è detto risulterà quindi per tutte le ltre prtizioni P m(b ) s(f, P ) S(f, P ) M(b ). 0.3 Funzioni integrbili ed integrle Dt un funzione limitt f, considerimo l insieme delle somme inferiori s(f, P ), l vrire delle prtizioni. Questo insieme è mggiorto d qulsisi somm superiore, e pertnto mmette un estremo superiore che srà nch esso mggiorto d qulsisi somm superiore. Anlogmente l insieme delle somme superiori S(f, P ) risult minorto d qulsisi somm inferiore e pertnto mmette un estremo inferiore che risult minorto d qulsisi somm inferiore. Risult quindi sup{s(f, P ) : P un prtizione } inf{s(f, P ) : P un prtizione } (2) I due numeri definiti dll (2) possono in reltà essere uguli qundo ci le somme inferiori si vvicinno lle somme superiori. Cioè qundo si verificno le condizioni indicte nell definizione che segue. Definizione 1. Si f un funzione limitt definit sull intervllo [, b]. L funzione si dice integrbile (secondo Riemnn) se per ogni ε > 0 esiste un prtizione P dell intervllo [, b] tle che In tl cso il vlore comune S(f, P ) s(f, P ) < ε. sup{s(f, P ) : P un prtizione } = inf{s(f, P ) : P un prtizione }, (3) si chim integrle dell funzione f nell intervllo [, b] e si indic con il simbolo f(x)dx. (4) Proposizione 1. Se f è un funzione crescente nell intervllo [, b], llor f è integrbile. dimostrzione. Si ε > 0 dobbimo trovre un prtizione P tle che S(f, P ) s(f, P ) < ε. Sceglimo un numero nturle n così grnde che si verifict l disuguglinz (f(b) f())(b ) < nε,

6 6 e dividimo l intervllo [, b] in n prti uguli. In ltre prole sceglimo l prtizione = x 0 < x 1 < < x n = b, con x i = + i(b ), e, nturlmente n i = 0, 1,... n. Osservimo che poiché f è crescente m i = f(x i 1 ) e M i = f(x i ). Pertnto S(f, P ) s(f, P ) = f(x i )(x i x i 1 ) f(x i 1 )(x i x i 1 ) = (f(x i ) f(x i 1 ))(x i x i 1 ). M per tutti gli i, x i x i 1 = b. Pertnto l scelt di n grntisce che, n S(f, P ) s(f, P ) = b n f(x i ) f(x i 1 ) = (f(b) f()) b n < ε. Nturlmente un rgionmento nlogo ci grntisce che un funzione decrescente è integrbile. Il prossimo lemm ci consentirà di estendere questo risultto lle funzioni che m che sono monotone trtti come verrà spiegto in seguito. Lemm 2. Supponimo che f si definit sull intervllo [, b] e che c (, b). Supponimo inoltre che f risulti integrbile negli intervlli [, c] e [c, ], llor f è integrbile in [, b] e risult f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. dimostrzione. Dobbimo dimostrre che dto ε > 0 esiste un prtizione P dell intervllo [, b], tle che S(f, P ) s(f, P ) < ε. Poiché f è integrbile negli intervlli [, c] e [c, ], sppimo che esistono prtizioni P dell intervllo [, c] e P dell intervllo [c, b], tli che e S(f, P ) s(f, P ) < ε/2, S(f, P ) s(f, P ) < ε/2. Si P = P P, l prtizione di [, b] ottenut considerndo insieme i punti di P e i punti di P (tr i quli certmente il punto c). Allor s(f, P ) = s(f, P ) + s(f, P ),

7 0.3. FUNZIONI INTEGRABILI ED INTEGRALE 7 e Pertnto S(f, P ) = S(f, P ) + S(f, P ). S(f, P ) s(f, P ) < ε/2 + ε/2, che dimostr l sserto. Un corollrio di questo lemm è che se l intervllo [, b] è diviso in sottointervlli su ognuno dei quli l funzione f è integrbile, llor l stess funzione f è integrbile su tutto l intervllo [, b]. Questo corollrio si pplic quindi lle funzioni che sono monotone trtti, cioè lle funzioni che sono monotone (crescenti o decrescenti) sui sottointervlli di un prtizione di [, b]. In ltre prole suponimo che = c 0 < c 1 < c 2 <... c k = b e supponimo che l funzione f, definit su [, b] risulti crescente, ovvero decrescente su ognuno degli intervlli [c j, c j 1 ]. Allor per l Proposizione 1, f risult integrbile su ognuno degli intervlli [c j 1, c j ]. Pertnto, per il Lemm 2 (o meglio per un suo nturle corollrio) f risult integrbile in [, b]. Il risultto che bbimo ppen enuncito ci consente di clssificre come integrbili (negli intervlli in cui sono definite e risultno limitte) molte delle funzioni elementri, d esempio i polinomi,le funzioni rzionli, le funzioni trigonometriche e le loro inverse. Ci sono però ltre funzioni integrbili che non sono monotone trtti. Un esempio è fornito dll funzione (che possimo considerre definit su un intervllo chiuso e limitto che contiene lo zero) che vle 0 in 0 e x sin(1/x) nei punti diversi d zero. Quest funzione risult continu e quindi per un teorem che srà enuncito più vnti è integrbile, m non è monoton trtti in qunto non è possibile dividere l intervllo di definizione in un numero finito di sottointervlli nei quli l funzione è crescente o decrescente. Esercizio 1 Supponimo che < c < b e che l funzione f risulti integrbile nell intervllo [, b]. Dimostrre che f è integrbile negli intervlli [, c] e [c, b]. Dimo or un esempio di funzione limitt che non è integrbile. Definimo l funzione f in un intervllo [, b], con < b, come segue: f(x) = 1 se x è rzionle e f(x) = 0 se x è irrzionle. Dimostrimo or che per per ogni prtizione P dell intervllo [, b] risult s(f, P ) = 0 ed S(f, P ) = 1. Inftti ogni intervllo dell prtizione P contiene un punto rzionle e contiene nche un punto irrzionle. Quindi l estremo inferiore (cioè, in questo cso il minimo) dell funzione in ogni intervllo è zero, mentre l estremo superiore (cioè in questo cso il mssimo) è uno. Ne segue che l differenz S(f, P ) s(f, P ) non può essere minore di b.

8 8 0.4 Proprietà dell integrle definito Conviene estendere l definizione di integrle definito stipulndo che, per ogni f: f(x)dx = 0. Se poi f è integrbile nell intervllo [, b], con < b, conviene stipulre che b f(x)dx = f(x)dx. Con queste convenzioni vle il seguente Esercizio, che di deduce dl Lemm 2 (osservndo però che non si f l ipotesi che < c < b.) Esercizio 2 Dti tre numeri reli, b, c ed un funzione f integrbile negli intervlli chiusi e limitti definiti d questi tre punti, dimostrre che: f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Un ltr proprietà importnte dell integrle definito è enuncit nel seguente esercizio. Esercizio 3 Se f e g sono due funzioni integrbili sull intervllo [, b] e risult sempre f(x) g(x), llor f(x)dx g(x)dx. Prim di enuncire un ltr proprietà importnte dell integrle premettimo un osservzione che rigurd l estremo superiore e l estremo inferiore. Esercizio 4 Sino A e B due sottoinsiemi limitti (superiormente ed inferiormente) dei umeri reli. Si definisc Allor A + B = { + b : A, b B}. inf A + inf B inf(a + B) sup(a + B) sup A + sup B. [Suggerimento: bst dimostrre che sup A+sup B è un mggiornte di A+B e che inf A + inf B è un minornte di A + B]

9 0.4. PROPRIETÀ DELL INTEGRALE DEFINITO 9 A questo punto non è difficile dimostrre l ddittività dell integrle, come enuncito nell proposizione che segue. Proposizione 2. Sino f e g funzioni integrbili nell intervllo [, b], llor è integrbile sul medesimo intervllo l funzione f + g e risult: f(x) + g(x) dx = f(x)dx + g(x)dx. (5) dimostrzione. Per ipotesi, dto ε > 0 esistono prtizioni P 1 e P 2 tli che, S(f, P 1 ) s(f, P 1 ) < ε/2 e S(g, P 2 ) s(g, P 2 ) < ε/2. Le stesse disuguglinze vrrnno llor per l prtizione P 1 P 2 = P. D ltr prte il precedente esercizio ci ssicur che s(f, P ) + s(g, P ) s(f + g, P ) S(f + g, P ) S(f, P ) + S(g, P ). (6) Pertnto risult S((f+g, P ) s(f+g, P ) S(f, P ) s(f, P )+S(g, P ) s(g, P ) < ε/2+ε/2 = ε. Questo dimostr che l funzione f + g è integrbile. M l (6) ci dice nche che f(x)+g(x) dx è compreso tr s(f, P )+s(g, P ) e S(f, P )+S(g, P ), per ogni prtizione P. M poiché posso rendere questi numeri rbitrrimente vicini ll somm f(x)dx + g(x)dx, non può che vlere l (5). Esercizio 5 Dimostrre che se f è integrbile in [, b] e k R, llor è integrbile nche l funzione kf e risult k(f(x)dx = k f(x)dx.